HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo

Calcular el valor del límite

lımx→π

4

(x − π4 )

2

(tan x − 1)2

Solución:Se puede aplicar las leyes de potencias para expresar el límite como una fracción al cuadrado y luego lapropiedad de límites que enuncia lım

x→a(f(x)n) = ( lım

x→af(x))

n, entonces vamos a calcular el límite y su

resultado se eleva al cuadrado cuando se termine:

lımx→π

4

(x − π4 )

2

(tan x − 1)2 = lımx→π

4

⎛

⎝

(x − π4 )

(tan x − 1)⎞

⎠

2

=⎛

⎝lımx→π

4

(x − π4 )

(tan x − 1)⎞

⎠

2

Haciendo el cambio de variable u = x − π4 , de donde se obtiene que, si x→ π

4 entonces u→ 0 y x = u + π4 .

Con esto el límite se reescribe como:

lımu→0

u

tan (u + π4 ) − 1

Aplicando la identidad de la tangente de una suma tan(x + y) =tan x + tan y

1 − tan x ⋅ tan y, sabiendo que tan π

4 = 1y resolviendo la suma del denominador se obtiene:

lımu→0

utanu+1

1−tanu⋅1 − 1= lımu→0

utanu+11−tanu − 1

= lımu→0

utanu+1

1−tanu⋅1 −1−tanu1−tanu

= lımu→0

utanu+1−1+tanu

1−tanu

Simplificando la expresión, realizando la división de fracciones y sacando la constante del límite:

lımu→0

utanu+1−1+tanu

1−tanu= lımu→0

u2 tanu1−tanu

= lımu→0

u(1 − tan u)

2 tan u=

12 lımu→0

u(1 − tan u)

tan u

Separando el límite en una multiplicación de límites se obtiene:

12 lımu→0

u(1 − tan u)

tan u=

12 lımu→0

u

tan u⋅ (1 − tan u) =

12 lımu→0

u

tan u⋅ lımu→0(1 − tan u)

Al aplicar el límite especial lımx→0x

tanx = 1, nos queda:

12 lımu→0

u

tan u⋅ lımu→0(1 − tan u) =

12 ⋅ 1 ⋅ (1 − tan 0) = 1

2 ⋅ 1 ⋅ 1 =12

Con esto, hemos hallado el valor del límite, no obstante, hace falta elevarlo al cuadrado según se acordóal inicio, por eso obtenemos que:

lımx→π

4

(x − π4 )

2

(tan x − 1)2 =⎛

⎝lımx→π

4

(x − π4 )

(tan x − 1)⎞

⎠

2

= (12)

2=

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