ejercicio-tanque2

EJERCICIO: Realizar la verificación sísmica del tanque de agua despreciando la masa de la columna.

h= 8,00 mH= 9,00 m

HORMIGÓN: H-21σ'bk= 2100 Tn/m²E~= 21000*(raiz(σ'bk))E~= 300000 Kg/cm²E~= 3,00E+06 Tn/m²

COLUMNA: φ=0,80mφ= 0,80 m

Ac= π.φ²/4 m²Ac= 0,5027 m²Ic= π.φ4/64 m4

Ic= 0,02011 m4

Wc= π.φ³/32 m³Wc= 0,05027 m³

E*Ic= 60319 Tn.m²

MASA DEL TANQUE:φagua= 2,80 mhagua= 1,60 mVagua= (π.(φagua)²/4)*hagua (volumen de agua)Vagua= 9,85 m³γ agua= 1,00 Tn/m³ (peso especifico del agua)Pagua= γ agua*Vagua (peso del agua)

(Área de la columna)

(Momento resistente de la columna)

(Inercia de la columna)

Pagua= 9,85 TnVHº= 2*(π/4)*3,00²*0,20+(π/4)*(3,00²-2,80²)*1,60 (volumen de HºAº)VHº= 4,285 m³γ Hº= 2,45 Tn/m³ (peso especifico del HºAº)PHº= γ Hº*VHº

PHº= 10,50 Tn (peso del HºAº)PTOTAL= 20,35 Tn

MT= PTOTAL/g

MT= 2,074 Tn.s²/m

La inercia rotacional puede calcularse en forma aproximada asumiendo un uniforme, y manteniendo el volumen total del tanque.

VTOTAL= (π/4)*3,00²*2,00 (volumen total del tanque)VTOTAL= 14,14 m³

PTOTAL/VTOTAL

1,44 Tn/m³Se asume:

1,50 Tn/m³

g= 9,81 m/s²0,153 Tn.s²/m4

Luego podemos aplicar la siguiente formula:

h0= 2,00 mΩ0= (π/4)*3,00²Ω0= 7,069 m²I0= (π/64)*3,00^4I0= 3,976 m4

1,936 Tn.s².m

A) Se desprecia la inercia rotacionalRigidez del tanque:a) El tanque se considera infinitamente rígidob) Se desprecian deformaciones cortantes y axiales de las columnas

0,004023

248,57 Tn/mLa matriz de rigidez de los GL del extremoresulta (se utiliza en B):

γ

γ =γ =

γ =

/ gγρ =ρ =

30 0

0 0.h. I .h

12RM ρ⎛ ⎞Ω

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

RM =

1

1,00

8,00

x

y⊕

1

0

1 . ².x dxδ =∞ ∫

9

1

1 . ²..

x dxE Ic

+ ∫9

1

³3. .

xE Ic

δ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦³

3. .HE Ic

≈

1TK δ −= =

12 6.6 4 ²³

HE IcKH HH

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

La condensación del GL traslacional produce:

248,22 Tn/m

10,94 rad/seg

T= 0,574 seg

Espectro Ciudad de Córdoba

"T" del tanque tiene ordenada en el espectro igual a la del plafónSa= 0,24*g g= 9,81 m/s²Sa= 2,354 m/s²

Umax= Sa/ω0²Umax= 0,0197 m

Fmax= KT*Umax =ω0²*M.Umax

Fmax= 4,88 Tn

Mvuelco= Fmax*HMvuelco= 43,96 Tn.m

Qsismo= Fmax

Qsismo= 4,88 TnMsismo= Mvuelco

Msismo= 43,96 Tn.m

Nsismo= 0,00 Tn

COLUMNA

0T

T

KM

ω =

Espectro de diseño - Zona I -Tipo Suelo I

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)

Sa[%

g]

Msismo

2

2

. (6. ) . 36 .. 12 . 12 3.³ 4. ³ 4 ³T

E Ic H E Ic E IcKH H H H

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

TK =

0ω =

0

2.T πω

=

σsismo= Msismo/Wcσsismo= 874,50 Tn/m²

Por peso propio:Npp= PTOTAL

Npp= 20,35 Tn

σpp= Npp/Acσpp= 40,49 Tn/m²

σTOTAL= σsismo+σpp

σTOTAL= 914,99 Tn/m² < σ'bk= 2100 Tn/m²

B) SE CONSIDERA LA INERCIA ROTACIONAL E.Ic= 60319 Tn.m²H= 9,00 m

2,074 0=

0 1,936

992,90 4468=

4468 26808,26

¡Simplificado: es mas rígido!

Calculo analítico de los auto-valores

116,60 10,80 rad/seg( -1,30% )

14197 119,15 rad/seg

MODO 1:

VERIFICA

00

T

R

MM

M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

12 6. .6 4. ²³

HE IcKH HH

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )( )

992.90 2.074 4468det 0

4468 26808.26 1.936λ

λ−⎡ ⎤

= =⎢ ⎥−⎣ ⎦

( ) ( )992.90 2.074 . 26808.26 1.936 4468² 0λ λ− − − =

2 64.021. 57553. 6656x10 0λ λ− + =

6

157553 57553² 4*4.021*6.656 10

2*4.021xλ − −

=

1λ = 1 1ω λ= =

6

257553 57553² 4*4.021*6.656 10

2*4.021xλ + −

=

2λ = 2 2ω λ= =

( )( )

12

1 1

992.90 2.074. 4468 1 0.

4468 26808.26 1.936. 0λ

λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) 21 126808.26 1.936. . 4468λ φ− = −

1,000-0,168

-0,168

MODO 2:

1,000 0,1536,543 =

6,543 1,000Notar que:

A continuación debería aplicarse el Método de Descomposición Modal .NOTA: La inercia rotacional influye poco porque el tanque esta muy alto. Podríarehacerse con H=4m.

Masas y rigideces generalizadas

2,129 248,2781,985 28197,29

10,80 rad/seg 119,19 rad/seg

T1= 0,582 seg T2= 0,053 seg

Factores de Participación Modal:

0,974 0,160

1,000

0,000

Masas Modales:La masa total de la estructura es: MT= 2,074 Tn.s²/m

2,021 Tn.s²/m 0,0506 Tn.s²/m( 97,43% ) ( 2,44% )

21φ = 1Φ =

( )( )

22

2 2

992.90 2.074. 4468 1 0.

4468 26808.26 1.936. 0λ

λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) 22 226808.26 1.936. . 4468λ φ− = −

22φ = 2Φ =

1 2. . 0T MΦ Φ =

1 1 1. .TM M= Φ Φ =2 2 2. .TM M= Φ Φ =

1 1 1. .TK K= Φ Φ =2 2 2. .TK K= Φ Φ =

11

1

KM

ω =

1ω =

11

2.T πω

=

22

2

KM

ω =

2ω =

22

2.T πω

=

11

1

. .T M BM

ΦΓ = = 2

22

. .T M BM

ΦΓ = =

B =

( ) 211

1

. .T

m

M BM

MΦ

=( ) 2

22

2

. .T

m

M BM

MΦ

=

1mM = 2

mM =

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN MODAL

g= 9,81 m/s²0,24*g (0,08+(0,24-0,08)*0,053/0,2)*g

2,354 m/s² 1,199 m/s²

Desplazamientos generalizados máximos:

0,01967 m 0,000013 m

Desplazamientos máximos:

0,0197 0,0000021

-0,0033 0,000013

Fuerzas máximas:

4,76 0,062

-0,75 (*) 0,371

(*) Este valor es relativamente pequeño por lo que errores de redondeo producendiferencias entre las 2 formulas

Modo 1: Modo 2: -Q -

4,76 0,062

4,76 0,062

-Q -


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)

Sa[%

g]

Sa T1 T2

1aS =1aS =

2aS =2aS =

11

1max 21

. aSqω

Γ=

22

2max 22

. aSqω

Γ=

1maxq = 2maxq =

1 1max max 1.u q= Φ

1maxu =


2maxu =

1 1 2 1max max 1 max. . .F K u M uω= =


1maxF = 2

maxF =

Momentos de vuelco: H= 9,00 m

M1vuelco= 4,76 *H-0,75 M2vuelco= -0,062 *H+0,371M1vuelco= 42,08 Tn.m M2vuelco= -0,190 Tn.m

Modo 1: Modo 2:0,75 0,371

42,08 0,19

Valores máximos

0,019674 4,821 Tn

0,0033200

42,27 Tn.m 1,12 Tn.m

C) VARIANTE: Analizar el tanque con: h= 4,00 mH= 5,00 m

MT= 2,074 Tn.s²/m1,936 Tn.s².m

a) Se desprecia la inercia rotacional: E*Ic= 60319 Tn.m²

1447,65 Tn/m

26,42 rad/seg

T= 0,238 seg

Sa= 0,24*g g= 9,81 m/s²Sa= 2,354 m/s²

Umax= Sa/ω0²Umax= 0,00337 m

-Mf -

1 2max max maxu u u= +

maxu =

1 2max max maxQ Q Q= +

maxQ =

maxvuelcoM = max

supM =

RM =

.3.³T

E IcKH

≈

TK =

0T

T

KM

ω =

0ω =

0

2.T πω

=

Fmax= KT*Umax =ω0²*M.Umax

Fmax= 4,88 Tn (La aceleracion y la masa son las mismas)

Mvuelco= Fmax*HMvuelco= 24,42 Tn.m

b) Se considera la inercia rotacional:

2,074 0=

0 1,936

5790,6 14476,5=

14476 48254,9

¡Simplificado: es mas rígido!

Calculo analítico de los auto-valores

642,36 25,34 rad/seg( -4,23% )

27050,75 164,47 rad/seg

MODO 1:

1,000-0,308

-0,308

MODO 2:

1,000 0,2853,507 =

3,507 1,000

00

T

R

MM

M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

12 6. .6 4. ²³

HE IcKH HH

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )( )

5790.6 2.074 14476.5det 0

14476.5 48254.9 1.936λ

λ−⎡ ⎤

= =⎢ ⎥−⎣ ⎦

( ) ( )5790.6 2.074 . 48254.9 1.936 14476.5² 0λ λ− − − =

2 74.021. 111354. 6987x10 0λ λ− + =

1λ = 1 1ω λ= =

2λ = 2 2ω λ= =

21φ = 1Φ =

22φ = 2Φ =

1λ =

( )( )

12

1 1

5790.6 2.074 14476.5 1 0.

14476.5 48254.9 1.936 0λ

λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

( )( )

22

2 2

5790.6 2.074 14476.5 1 0.

14476.5 48254.9 1.936 0λ

λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Masas y rigideces generalizadas

2,258 1450,692,105 56982,2

25,35 rad/seg 164,52 rad/seg

T1= 0,248 seg T2= 0,038 seg

Factores de Participación Modal:

0,919 0,281

1,000

0,000

Masas Modales:La masa total de la estructura es: MT= 2,074 Tn.s²/m

1,906 Tn.s²/m 0,166 Tn.s²/m( 91,87% ) ( 8,01% )

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN MODAL

g= 9,81 m/s²0,24*g (0,08+(0,24-0,08)*0,038/0,2)*g

2,354 m/s² 1,085 m/s²

1 1 1. .TM M= Φ Φ =2 2 2. .TM M= Φ Φ =

1 1 1. .TK K= Φ Φ =2 2 2. .TK K= Φ Φ =

11

1

KM

ω =

1ω =

11

2.T πω

=

22

2

KM

ω =

2ω =

22

2.T πω

=

11

1

. .T M BM

ΦΓ = = 2

22

. .T M BM

ΦΓ = =

B =

( ) 211

1

. .T

m

M BM

M

Φ=

( ) 222

2

. .T

m

M BM

M

Φ=

1mM = 2

mM =


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)

Sa[%

g]

Sa T1 T2

1aS =1aS =

2aS =2aS =

Desplazamientos generalizados máximos:

0,00337 m 0,0000113 m

Desplazamientos máximos:

0,00337 0,0000032

-0,00104 0,0000113Fuerzas máximas:

4,49 0,182

-1,29 (*) 0,590

Modo 1: Modo 2: -Q -

4,49 0,182

4,49 0,182

Momentos de vuelco: H= 5,00 m

M1vuelco= -4,49 *H-1,29 M2vuelco= -0,182 *H+0,590M1vuelco= -23,72 Tn.m M2vuelco= -0,318 Tn.m

Modo 1: Modo 2:1,29 0,590

23,72 0,318

Valores máximos

0,003370 4,669 Tn

0,0010480

24,04 Tn.m 1,88 Tn.m

-Mf -

-Q -

11

1max 21

. aSqω

Γ=

22

2max 22

. aSqω

Γ=

1maxq = 2maxq =


1maxu =


2maxu =



1maxF = 2

maxF =

1 2max max maxu u u= +

maxu =

1 2max max maxQ Q Q= +

maxQ =

maxvuelcoM = max

supM =

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