INTERVALOS DE CONFIANZA, PRUEBAS DE HIPÓTESIS, VALOR P

PARA UNA MUESTRA

MUESTRAS GRANDES.

Se ha tomado los 120 datos del tratamiento 1, estimar la hipótesis respectiva encontrar un intervalos de confianza a un nivel del 95%.

Tabla Nº9: Parámetros estadísticos para los 120 datos del primer tratamiento.

Brix

Promedio μ=∑ xN

56,0666667

Varianza σ 2=∑ (xi−μ)2

N145,128889

Desviación σ=√σ2 12,0469452

Fuente: Laboratorios de la FCIAL

Intervalo de confianza para una muestra aleatoria de 50 datos del tratamiento 1

Tabla Nº11: Determinación de los estadísticos de la muestra aleatoria.

Brix

Promedio X=∑ Xn 54,68

Varianza S2=∑ (Xi−x ) 2

n−1 177,7376Desviació

n S=√S2

13,3318266Fuente: Laboratorios de la FCIAL

Datos: N=100µ=56,0666667σ=12,0469452n=50x=54,68S=13,3318266

Hipótesis:

Ho: µ =56.066H1: µ ≠56.066

Z=X−μσ√n

Z=54.68−56.06612.0469/√100

Z=3.64777Z(95%)=1.96

Decisión:

ZC>ZT

3.6477>1.96

Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula.

Intervalo de confianza:

IC : [ x±z∗S /√n ]=95 %

IC : [54 .68±1. 96∗13 .33 /√50 ]=95 %

IC : [50 .99≤μ≤58 .38 ]=95 %

De acuerdo a al nivel de confianza del 95%, la media poblacional, es decir, la media de lo brix está dentro de los intervalos de confianza encontrados, por lo que se Acepta la hipótesis nula.

Error máximo cometido:

e=√ z2 σ2

n

e=√ 1. 962∗177 . 74120e=2 . 39

MUESTRAS PEQUEÑAS.

De los datos anteriores se tomaron 15 datos, considerando un nivel del confianza del 99% determinar si los grados brix medios de los datos obtenidos esta dentro de este intervalo y estimar la hipótesis correspondiente.

Tabla Nº3: Estimadores de la muestra pequeña.

Brix

Promedio X=∑ Xn

57,7333333

Varianza S2=∑ (Xi−x ) 2

n−1121,262222

Desviación S=√S2 11,0119127

Fuente: Laboratorios de la FCIAL

Prueba de hipótesis

Ho: µ =56.66667H1: µ ≠56.66667

t= x−uS

√n−1

t=54.68−56.0666613.331826/√14

t=-0.39

-Ttablas=-2.977

Decisión:

-tc<-tT

-0.39>-2.977

Conclusión: Se acepta la hipótesis nula.

Intervalos de confianza al 99%:

t=2.977

IC : [ y±t∗S/√n ]=99 %

IC : [57 . 7±2. 947∗11.01/√15 ]=99 %

IC : [ 49. 32≤μ≤66 . 08 ]=99 %

Se ha comprobado que con un nivel de confianza del 99% la media de los brix de está dentro de los límites calculados.

PROPORCIONES

De una muestra de 100 datos, 15 datos se presumen que no se midió bien, estimar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de los datos mal tomados.

Datos:

n=100Datos mal tomados=15

p=15100

=0 . 15

q=1− p=1−0 . 15q=0.85

π=p∗q

π=0.15∗0.85

π=0.1275Hipótesis:

Ho: π =0.15H1: π ≠0.15

Z= p−π

√ π (1−π )n

Z= 0.15−0.1275

√ 0.1275 (0.8725 )100

Z=0.675

Z tabla: 2.58

Decisión:

ZC<ZT0.0675<2.58:

Se acepta la hipótesis nula.

Conclusión: Con un nivel de confianza del 99% se afirma que la proporción de datos mal tomados es del 15%

Intervalos de Confianza:

IC : [ p± Z√ pqn ] :99 %

IC : [0 .15±2 .58√ 0 .15∗0 .85100 ] :99 %

IC : [0 .058≤π ≤0 .16 ] :99 %

Conclusión: El parámetro π está dentro de los intervalos de 0.058 y 0.16, a un nivel de confianza del 99%.

PARA VARIANZA POBLACIONAL.

Hallar el intervalo de confianza al 99%, para una muestra de 45 datos de brix tomadas de una población de 120, con una varianza, y desviación poblacional presentadas a continuación:

Tabla Nº13: Determinación de los estadísticos de la muestra aleatoria.

Brix

Promedio X=∑ Xn 54,8444444

Varianza S2=∑ (Xi−x ) 2

n−1 187,55358Desviació

n S=√S2

13,6950203Fuente: Laboratorios de la FCIAL

Pruebas de hipótesis:

Ho: σ =12.05H1: σ ≠12.05

X2=(n−1 )∗S2

σ2

X2=44∗187 .55145 . 13

=56 .86

X2tabla=73.17

Decisión:

X2c<X

2T

56.86<73.17

Se acepta la hipótesis nula.

Conclusión: Con un nivel de confianza del 99% se acepta la hipótesis nula afirmando que la deviación de los brix es 12.05.Intervalos de confianza

IC : [ (n−1 )∗S2

X21−α /2

; (n−1 )∗S2

X2α /2 ]=99 %

IC : [44∗187 . 673. 17

;44∗187 .622. 90 ]=99 %

IC : [112.8≤σ2≤360 .5 ]=99 %

Conclusión: La varianza de los grados brix de la muestra obtenida está entre los límites de 112.8 y 360.5 en un nivel de confianza del 99%.

DOS POBLACIONES

MUESTRAS GRANDES.

Se compara entre el tratamiento 1 y tratamiento 2, de los 120 datos, y se analiza si existe diferencia entre éstos dos tratamientos a un nivel del 98%.

Datos:

n1=120n2=120Z=2.33

Tabla N°15: Determinación de los estimadores.

Tratamiento 1 Tratamiento 2

Promedio 56,0666667 55,2333333

Varianza 145,128889 147,845556

Desviación 12,0469452 12,1591758

Fuente: Laboratorios de la FCIAL

HipótesisHo: µ1 =µ2H1: µ1 ≠µ2

Z=(Y 1−Y 2 )

√+¿¿

Z= 56,06−55,2

√ 145,12120

+ 147,85120

Zc=0.55Z tablas: 2.33

Decisión:

ZC<ZT

0.55<2.33

Se acepta la hipótesis nula.

Conclusión: Con un nivel de confianza del 98% se acepta la hipótesis nula, afirmando así que las medias poblacionales de las dos muestras son iguales.

Intervalos de confianza:

IC=[( y1− y2)±Z∗√ S12

n1+S

22

n2]=98 %

IC=[ (56,06-55,2 )±2 .33∗√145.12120

+147 . 85120 ]=98 %

IC=[ -2 . 78≤(μ1- μ2 )≤4 .5 ]=98 %

Conclusión: Como se puede observar con un nivel de confianza del 98%, la diferencia de las dos medias poblacionales se encuentra entre los límites calculados anteriormente.

Valor P

P=0.099*2P=0.1980.198>0.01

Acepta la hipótesis nula.

Muestras pequeñas:De dos variedades de brix se recogieron 25 muestras y los datos se

presentan a continuación. Intervalo de confianza del 98%.

Tabla N°17: Determinación de los estimadores para los dos tratamientos

Tratamiento 1 Tratamiento 2

Promedio 50,92 50,04

Varianza 236,0736 239,2384

Desviación 15,3646868 15,4673333

Fuente: Laboratorios de la FCIAL

Ho:σ12=σ2

2

H1:σ12≠σ2

2

F=S

22

S12

=239. 2384236. 0736

F=1 .01

Ft: 1.65

El Fcalculado es menor que el F tabla por tanto se acepta la hipótesis nula.

σ12=σ2

2

Hipótesis:

Ho: µ1 = µ2H1: µ1 ≠ µ2

t=( y1− y2)

√ SP2

n1+SP2

n2

t= (50 . 92−50 .04 )

√237 . 6525 +

237 .6525

SP2=

S12 (n1−1)+S

22(n2−1 )

n1+n2−2

SP2=

236 .07∗24+239. 23∗2425+25−2

SP2=237 .65

tc=0.12

t tablas=1.65

Decisión:

tc<tT

1.29<1.65

Se acepta la hipótesis nula.

Conclusión: Con un nivel de confianza del 98% se acepta la hipótesis nula, afirmando así que las medias poblacionales de las dos muestras son iguales

Intervalos de confianza:

IC=[( y1− y2)±t∗√ SP2

n1+SP2

n2]=98%

IC=[ (50 . 92−50 . 04 )±1.65∗√237 .6525

+237. 6525 ]=98 %

IC=[0 . 59≤(μ1−μ2 )≤11. 01)]=98 %

La diferencia de las medias están entre los 0.59 y 11.01, sigue siendo la muestra 1 la que tiene mayor cantidad de brix.

Valor P

P=0.099*2P=0.1980.198>0.01

Acepto la hipótesis nula.

TIPOS DE MUESTREOS

  simple sistemático estratificadoconglomerad

opromedio 55,94 47,495 56,2 58,263

varianza 7,834254,8804092

8 0,063801316 1,53727

desviación2,7989730

323,818394

7 0,252589223 1,2398

Ls56,440799

847,973280

1 56,25856923  

Li55,439200

247,016719

9 56,14143077  

PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

SIGNOS

H0 :tratamiento 3=tratamiento 4H1 :tratamiento 3≠tratamien4

p>α0 . 8918>0 . 05acepto .. la . . hipotesis. . nulaLa relacion de aceptabilida entre las dos variables delm tratamiessnto 1 y el tratamiento 2 no es signioficativa no hay correlacion alguna entre ellos

WILCOXON

H0 :tratamiento 1=tratamiento 2H1 :tratamiento 1≠tratamien2

R≥RT25>8acepto .. la .hipotesis .nulapor .no .existe .diferencia . significativaentre .los .dostratamientos

RACHAS

H0 :tratamiento 3=tratamiento 4H1 :tratamiento 3≠tratamien4reglaZc>Zt-1 . 167>−1 .96acepto la hipotesis nulalo cual nos indica que no hay diferebcia significativa entre los dos tratamientos3 y el tratamiento 4

Correlación de Spearman

H0 :tratamiento 3=tratamiento 4H1 :tratamiento 3≠tratamien4reglaTc<Tt11. 45>2 .262reghazo la hipotesis nulalo cual nos indica que si hay diferencia significativa entre los dos tratamientos3 y el tratamiento 4

Tabla de contingencia

H0 :tratamiento 1=tratamiento 2=tratamiento 3=tratamiento 4H1 :tratamiento 1≠tratamien 2 ≠tratamiento 3 ≠ tratamiento 4reglaχ2 c< χ 2 t8 .68<16 .92acepto la hipotesis nulalo cual nos indica que no hay diferencia significativa entre los cientro tratamientos

Mann-whitney

H0 :tratamiento 3=tratamiento 4H1 :tratamiento 3≠tratamien4reglaZc<Zt1 .039>1 .96acepto la hipotesis nulalo cual nos indica que ni hay diferencia significativa entre los dos tratamientos3 y el tratamiento 4

Kruskal –Wallis

H=1236 (37 )

|6578 . 7120+2 460 .82+ 1595 . 843+1810 .786|−-3 (36++1)

H =0. 00900*13425 . 81H =120. 83-111 .0H =9. 83Gl=K-1Gl=3

X20. 05 =7 .81

reglaHc<X2

9 .83>7 . 81desicionrecgazo . .la . .hipotesis .nulaconclusion . .. lo . ..cual . .nos . . indica. .que ..uno . .de .. los . . 4 . .tratamientossi . . son . .diferente ..

Friedman

H0 :tratamiento 1=tratamiento 2H1 :tratamiento 1≠ tratamien 2

χ2=1210*4 (4+1)

2676 .5−-3*10 (4++1 )

χ2 =160 .59-150χ2 =10 .59

X2

0.05 =7 .81reglaχ2 c<Xt210 .59>7 . 81desicionrechaso . .la . .hipotesis .nulaconclusion . ..el .grado .de .aceptabilidad . . . si . . tienen.diferencias. significativas .entre . los . . los . .cuatro .. tratamientos

REGRESIONES

LINEAL

y=a+bxº Brix=0 .291 XY=º Brixx=tiempoa=nos . indica ..que . .la .. rectapasa .. por . .el . .origenb=que . . por .cada .. minuto .que . pase . .los .º Brix . . . sufreun .. invremento . .de .. 0 .29y=a+bxy=38 .437+0 .29 xnos . .dice . .que . .38 .437 º Brix . .no . .hay . . inf luencia ..dela . . var ianle .. xr=0 .8378nos . . exp lica. la . relacion .que .existe .entra .lo .º Brix . . y . .el . . tiempo ..esmuy . .alta. . por . .que .esta . .muy . . sercano . .a . .ceroR2=0 . 6967el . porcentaje .de var iabilidad . . .de .. º Brix .. y ..el .. tiempo . .esta . . .exp licada ..en . .un . .69 .67es ..debida . ..a . .esta . .eciacion. .encontradasolo . .el . .69 .67 ..esta .. exp licada .. por . .esta . .ecuacion .

MULTIPLE

y=a+b1 x1+b2 x2º Brix=0 .291 XY=º Brixx1= tiempox2=temperaturaa=nos . indica ..que . .la .. rectalas .. var ianles . .idica . .la ..que . .existe . ..entre . .las . .dos .. . var iable ..r=0 .87139nos . . exp lica. la . relacion .que .existe .entra .lo .º Brix . . y . .el . . tiempo ..esmuy . .alta. . por . .que .esta . .muy . . sercano . .a . .ceroR2=0 . 9761el . porcentaje .de var iabilidad . . .de .. º Brix .. y ..el .. tiempo . .esta . . .exp licada ..en . .un . .97 .61es ..debida . ..a . .esta . .eciacion. .encontradasolo . .el . . 97 .61 ..esta .. exp licada .. por . .esta . .ecuacion .