Ejercicios 1-28 de Geometria Analitica Elipse
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Solución:
Tenemos la ecuación (x2/25)+(y2/9)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una
elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que
a2=25a=±5. b2=9b=±3. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2c2=25-
9c2=16c=±4.
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(-a,0)V’(-5,0) y V(a,0)V(5,0).
Focos: F’(-c,0)F’(-4,0) y F(c,0)F(4,0).
Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-3) y B(0,b)B(0,3)
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación (x2/100)+(y2/64)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de
una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que
a2=100a=±10. b2=64b=±8. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2
c2=100-64c2=36c=±6.
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(-a,0)V’(-10,0) y V(a,0)V(10,0).
Focos: F’(-c,0)F’(-6,0) y F(c,0)F(6,0).
Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-8) y B(0,b)B(0,8)
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación (x2/4)+(y2/16)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de una
elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que
a2=16a=±4. b2=4b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2
c2=16-4c2=12c=±(2)(3)1/2c=±3.464
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(0,-a)V’(0,-4) y V(0,a)V(0,4).
Focos: F’(0,-c)F’(0,3.464) y F(0,c)F(0,3.464).
Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-2,0) y B(b,0)B(2,0)
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación (x2/25)+(y2/169)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de
una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que
a2=169a=±13. b2=25b=±5. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2
c2=169-25c2=144c=±12
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(0,-a)V’(0,-13) y V(0,a)V(0,13).
Focos: F’(0,-c)F’(0,-12) y F(0,c)F(0,12).
Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-5,0) y B(b,0)B(5,0)
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación 9x2+25y2=900. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 9x2+25y2=900
((9x2)/900)+((25y2)/900)=1((x2)/100)+((y2)/36)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la
ecuación de una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b.
Tenemos que a2=100a=±10. b2=36b=±6. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:
c2=a2-b2c2=100-36c2=64c=±8.
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(-a,0)V’(-10,0) y V(a,0)V(10,0).
Focos: F’(-c,0)F’(-8,0) y F(c,0)F(8,0).
Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-6) y B(0,b)B(0,6).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación 4x2+9y2=36. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 4x2+9y2=36
((4x2)/36)+((9y2)/36)=1((x2)/9)+((y2)/4)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de
una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que
a2=9a=±3. b2=4b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2
c2=9-4c2=5c=±(5)1/2c=±2.236
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(-a,0)V’(-3,0) y V(a,0)V(3,0).
Focos: F’(-c,0)F’(-2.236,0) y F(c,0)F(2.236,0).
Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-2) y B(0,b)B(0,2).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación 9x2+y2=9. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 9x2+y2=9
((9x2)/9)+((y2)/9)=1((x2))+((y2)/9)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de una
elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que
a2=9a=±(9)1/2a=±3. b2=(1)b=±(1)1/2
b=±1. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este
modo:c2=a2-b2c2=9-1c2=8c=±(8)1/2
c=±2(2)1/2c=±2.8284.
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(0,-a)V’(0,-3) y V(0,a)V(0,3).
Focos: F’(0,-c)F’(0,-2.83) y F(0,c)F(0,2.83).
Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-1,0) y B(b,0)B(1,0).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación 25x2+4y2=100. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 25x2+4y2=100
((25x2)/100)+((4y2)/100)=1((x2)/4)+((y2)/25)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la
ecuación de una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b.
Tenemos que a2=25a=±(25)1/2a=±5. b2=(4)b=±(4)1/2
b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De
este modo:c2=a2-b2c2=25-4c2=21c=±(21)1/2
c=±4.58.
De este modo tenemos Centro en C (0.0).
Vértices: V’(0,-a)V’(0,-5) y V(0,a)V(0,5).
Focos: F’(0,-c)F’(0,-4.58) y F(0,c)F(0,4.58).
Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-2,0) y B(b,0)B(2,0).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Solución:
Tenemos la ecuación 4x2+9y2-16x-18y-11=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 4x2+9y2-16x-18y-11=0(4x2-16x)+(9y2-18y)=114(x2-4x)+9(y2-2y)=114(x2-4x+4)+
9(y2-2y+1)=11+16+94(x-2)2+9(y-1)2=36. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:
4(x-2)2+9(y-1)2=36 (4(x-2)2/36)+(9(y-1)2/36)=1((x-2)2/9)+((y-1)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:
(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor
paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que a2=9a=±(9)1/2a=±3. b2=(4)b=±(4)1/2
b=±2. Usando la
ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=9-4c2=5c=±(5)1/2
c=±2.236. Tenemos la
relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x-2)h=2, de igual modo: (y-k)(y-1)k=1. La ecuación del eje principal
que es paralelo al eje x es y=1. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=2.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (2, 1)
Vértices: V’(h-a, k)V’((2-3),1)V’(-1,1) y V (h+a ,k)V((2+3), 1)V (5, 1).
Focos: F’(h-c, k)F’((2-2.236,1)F’(-0.24, 1) y F(h+c, k)F((2+2.236. 1)F(4.24, 1).
Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(2,(1-2))B’(2,-1) y B(h, k+b)B(2, (1+2))B(2,3).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
x
x’
y y’
x=2
Ecuación del eje
menor: y’ x=2
Ecuación del eje
principal: x’ y=1
Solución:
Tenemos la ecuación x2+4y2-6x-8y-3=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: x2+4y2-6x-8y-3=0(x2-6x)+(4y2-8y)=3(x2-6x)+4(y2-2y)=3(x2-6x+9)+4(y2-2y
+1)=3+9+4(x-3)2+4(y-1)2=16. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: (x-3)2+4(y-1)2=16
((x-3)2/16)+(4(y-1)2/16)=1((x-3)2/16)+((y-1)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la
ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b.
Tenemos que a2=16a=±(16)1/2a=±4. b2=(4)b=±(4)1/2
b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De
este modo:c2=a2-b2c2=16-4c2=12c=±(12)1/2
c=±3.464. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-
h)(x-3)h=3, de igual modo: (y-k)(y-1)k=1. La ecuación del eje principal que es paralelo al eje x es y=1. La
ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=3.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (3, 1)
Vértices: V’(h-a, k)V’((3-4),1)V’(-1,1) y V (h+a ,k)V((3+4), 1)V (7, 1).
Focos: F’(h-c, k)F’((3-3.464,1)F’(-0.46, 1) y F(h+c, k)F((3+3.464, 1)F(6.46, 1).
Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(3,(1-2))B’(3,-1) y B(h, k+b)B(3, (1+2))B(3,3).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
y y’
x
x’
Ecuación del eje
menor: y’ x=3
Ecuación del eje
principal: x’ y=1
Solución:
Tenemos la ecuación 4x2+y2+8x-4y-92=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 4x2+y2+8x-4y-92=0(4x2+8x)+(y2-4y)=924(x2+2x)+(y2-4y)=924(x2+2x+1)+(y2-4y
+4)=92+4+44(x+1)2+(y-2)2=100. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:
4(x+1)2+(y-2)2=100(4(x+1)2/100)+((y-2)2/100)=1((x+1)2/25)+((y-2)2/100)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/b)2
+ (y/a)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo
al eje x. donde a>b. Tenemos que a2=100a=±(100)1/2a=±10. b2=(25)b=±(25)1/2
b=±5. Usando la
ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=100-25c2=75c=±(75)1/2
c=±5(3)1/2c=±8.66.
Tenemos la relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x+1)h=-1, de igual modo: (y-k)(y-2)k=2. La ecuación del
eje principal que es paralelo al eje y es x=-1. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje x es y=2.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (-1, 2)
Vértices: V’(h, k-a)V’(-1,(2-10)V’(-1,-8) y V (h ,k+a)V(-1, (2+10))V (-1, 12).
Focos: F’(h, k-c)F’(-1,(2-8.66))F’(-1, -6.66) y F(h, k+c)F(-1, (2+8.66))F(-1, 10.66).
Extremos del eje menor: B’(h-b, k)B’((-1-5),2))B’(-6,2) y B(h+b, k)B((-1+5), 2)B(4,2).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
x
y
x’
y’
Ecuación del eje
menor: x’ y=2
Ecuación del eje
principal: y’ x=-1
Solución:
Tenemos la ecuación 2x2+2y2-2x+18y+33=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 2x2+2y2-2x+18y+33=0(2x2-2x)+(2y2+18y)=-33
2(x2-x)+2(y2+9y)=-332(x2-x+(1/4))+2(y2+9y+(81/4))=-33+(1/2)+(81/2)2(x-(1/2))2+2(y+(9/2))2=8. Procedemos a
ajustar esta expresión a la forma canónica: 2(x-(1/2))2+2(y+(9/2))2=8(2(x-(1/2))2/8+(2(y+(9/2))2/8)=1
((x-(1/2))2/4)+((y+(9/2))2/4=1(x-(1/2))2+(y+(9/2))2=4. Esta ecuación es de la forma:(x-h)2 + (y-k)2 =r2, que es la
ecuación de una circunferencia con centro C (h, k), y radio r. Tenemos que su centro está en C (1/2,(-9/2)), su
radio es r=2
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (1/2, (-9/2))
El radio es r=2
Con esto se demuestra que la ecuación: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 ( 1 ) si A=C, la ecuación se transforma en:
Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0, que al dividirla entre A resulta: x2+y2+(D/A)x+(E/A)y+(F/A)=0. Esta gráfica es la de una
circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Este enunciado concuerda con el Teorema 1, pues una circunferencia
es una forma límite de una elipse. Este hecho puede demostrarse considerando la ecuación que relaciona los
valores de a, b y c de una elipse: b2=a2-c2.
En esta ecuación se aprecia que a medida que c tiende a cero, b2 tiende a a2. Si b2=a2, las formas estándares de
la ecuación de una elipse se transforman en: ((x-h)2/a2)+((y-k)2/a2)=1(x-h)2+(y-k)2=a2, que es una ecuación de
una circunferencia con centro en (h, k) y radio a.
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
x x
y
x
x’ x
y’ x
Solución:
Tenemos la ecuación 4x2+4y2+20x-32y+89=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios
al cuadrado que son indicados: 4x2+4y2+20x-32y+89=0(4x2+20x)+(4y2-32y)=-894(x2+5x)+4(y2-8y)=-
894(x2+5x+(25/4))+4(y2-8y+16)=-89+25+644(x+(5/2))2+4(y-4)2=0(x+(5/2))2+(y-4)2=0. Esta ecuación es de la
forma:(x-h)2 + (y-k)2 =r2, que es la ecuación de una circunferencia con centro C (h, k), y radio r. Tenemos que su
centro está en C (-5/2,4), su radio es r=0.
Por lo tanto al ser el radio igual a cero, es un punto C (-5/2,4).
Solución:
Tenemos la ecuación 25x2+y2-4y-21=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 25x2+y2-4y-21=0(25x2)+(y2-4y)=2125(x2)+(y2-4y)=21
25(x2)+(y2-4y+4)=21+425(x-0)2+(y-2)2=25. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:
25(x-0)2+(y-2)2=25(25(x-0)2/25)+((y-2)2/25)=1((x-0)2/1)+((y-2)2/25)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/b)2 +
(y/a)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al
eje x. donde a>b. Tenemos que a2=25a=±(25)1/2a=±5. b2=(1)b=±(1)1/2
b=±1. Usando la ecuación:b2=a2-c2,
despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=25-1c2=24c=±(24)1/2
c=±(2)(6)1/2c=±4.89. Tenemos la relación:
(x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x+0)h=0, de igual modo: (y-k)(y-2)k=2. La ecuación del eje principal que es
paralelo al eje y es x=0. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje x es y=2.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (0, 2)
Vértices: V’(h, k-a)V’(0,(2-5)V’(0,-3) y V (h ,k+a)V(0, (2+5))V (0, 7).
Focos: F’(h, k-c)F’(0,(2-4.89))F’(0, -2.89) y F(h, k+c)F(0, (2+4.89))F(0, 6.89).
Extremos del eje menor: B’(h-b, k)B’((0-1),2))B’(-1,2) y B(h+b, k)B((0+1), 2)B(1,2).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
x’
x
y
Ecuación del eje
menor: x’ y=2
Ecuación del eje
principal: y’ x=0
Solución:
Tenemos la ecuación x2+3y2-4x-23=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: x2+3y2-4x-23=0(x2-4x)+(3y2)=23(x2-4x+4)+3(y2)=23+4(x-2)2+3(y-0)2=27.
.Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: (x-2)2+3(y-0)2=27(x-2)2/27)+(3(y-0)2/27)=1(x-
2)2/27)+((y-0)2/9)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C
(h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que
a2=27a=±(27)1/2a=±3(3)1/2
a=±5.196. b2=(9)b=±(9)1/2b=±3. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c.
De este modo:c2=a2-b2c2=27-9c2=18c=±(18)1/2
c=±(3)(2)1/2c=±4.24. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k),
entonces (x-h)(x-2)h=2, de igual modo: (y-k)(y-0)k=0. La ecuación del eje principal que es paralelo al eje
x es y=0. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=2.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (2, 0)
Vértices: V’(h-a, k)V’((2-5.2), 0)V’(-3.2, 0) y V (h+a ,k)V((2+5.2), 0)V (7.2, 0).
Focos: F’(h-c, k)F’((2-4.24, 0)F’(-2.24, 0) y F(h+c, k)F((2+4.24), 0)F(6.24, 0).
Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(2,(0-3))B’(2,-3) y B(h, k+b)B(2, (0+3))B(2,3).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
Ecuación del eje
principal: x y=0
Ecuación del eje
menor: y’ x=2
y’ y
x
Solución:
Tenemos la ecuación 2x2+3y2-4x+12y+2=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 2x2+3y2-4x+12y+2=0(2x2-4x)+(3y2+12y)=-22(x2-2x)+3(y2+4y)=-22(x2-2x+1)+
3(y2+4y+4)=-2+2+122(x-1)2+3(y+2)2=12. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:
2(x-1)2+3(y+2)2=12(2(x-1)2/12)+(3(y+2)2/12)=1((x-1)2/6)+((y+2)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 +
(y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al
eje y. donde a>b. Tenemos que a2=6a=±(6)1/2a=±2.45. b2=(4)b=±(4)1/2
b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2,
despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=6-4c2=18c=±(2)1/2
c=±1.414. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k),
entonces (x-h)(x-1)h=1, de igual modo: (y-k)(y+2)k=-2. La ecuación del eje principal que es paralelo al
eje x es y=-2. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=1.
De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (1, -2)
Vértices: V’(h-a, k)V’((1-2.45), -2)V’(-1.45, -2) y V (h+a ,k)V((1+2.45), -2)V (3.45, -2).
Focos: F’(h-c, k)F’((1-1.414, -2)F’(-0.414, -2) y F(h+c, k)F((1+1.414), -2)F(2.414, -2).
Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(1,(-2-2))B’(1,-4) y B(h, k+b)B(1, (-2+2))B(1,0).
La gráfica generada usando el archivo Geogebra:
x
x’
y y’ Ecuación del eje
menor: y’ x=1
Ecuación del eje
principal: x’ y=-2
Solución:
Tenemos la ecuación: 4x2+y2-8x+2y+5=0, agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 4x2+y2-8x+2y+5=0(4x2-8x)+(y2+2y)=-54(x2-2x)+(y2+2y)=-5
4(x2-2x+1)+(y2+2y+1)=-5+4+14(x-1)2+(y+1)2=0.
Como el lado derecho de la ecuación de la ecuación:[ 4(x-1)2+(y+1)2=0] es cero, la gráfica representa un punto, ya
que tenemos (x-h) y (y-k) entonces h=1 y k=-1. El punto es C (h,k) C (1,-1)
Solución:
Tenemos la ecuación: 2x2+3y2+8x-6y+20=0, agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al
cuadrado que son indicados: 2x2+3y2+8x-6y+20=0(2x2+8x)+(3y2-6y)=-202(x2+4x)+3(y2-2y)=-20
2(x2+4x +4)+ 3(y2-2y+1)=-20+8+32(x+2)2+3(y-1)2=-9.
Como el lado derecho de la ecuación de la ecuación:[ 2(x+2)2+3(y-1)2=-9] es negativo y el lado izquierdo es
positivo, la gráfica es el conjunto vacío.
Solución:
Los focos son F’(-5,0) y F(5,0) y la constante mencionada en la definición es 20, es decir la constante es 2a. De
este modo 2a=20a=10. Luego las coordenadas del foco son determinadas por F’(x-c.k) y F(x+c,k), por
comparación tenemos (x-c)=-5 y k=0, por otro lado (x+c)=5. De la ecuación (x-c)=-5c=x+5, sustituyendo el valor
de c en: (x+c)=5x+(x+5)=52x=0x=0. Sustituyendo el valor de x en (x-c)=-50-c=-5c=5.
De la ecuación:b2=a2-c2b2=(10)2-(5)2
b2=100-25b2=75b=(75)1/2b=±5(3)1/2
b=±8.66.
Por la posición de los focos F’(-5,0) y F(5,0) podemos determinar que es una elipse con el eje principal paralelo al
eje x, por lo que la ecuación de la elipse de la forma canónica es: (x2/a2)+(y2/b2)=1 , donde a>b. De esta manera
sustituyendo los valores de a y b, tenemos: (x2/100)+(y2/75)=1, simplificando la ecuación, tenemos:
(x2/100)+(y2/75)=1100[(x2/100)+(y2/75)=1]x2+(4y2/3)=1003x2+4y2=300
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
Los focos son F’(-5,0) y F(5,0) y la constante mencionada en la definición es 20, es decir la constante es 2a. De
este modo 2a=20a=10. Luego las coordenadas del foco son determinadas por F’(x-c.k) y F(x+c,k), por
comparación tenemos (x-c)=-5 y k=0, por otro lado (x+c)=5. De la ecuación (x-c)=-5c=x+5, sustituyendo el valor
de c en: (x+c)=5x+(x+5)=52x=0x=0. Sustituyendo el valor de x en (x-c)=-50-c=-5c=5.
De la ecuación:b2=a2-c2b2=(10)2-(5)2
b2=100-25b2=75b=(75)1/2b=±5(3)1/2
b=±8.66.
Por la posición de los focos F’(-5,0) y F(5,0) podemos determinar que es una elipse con el eje principal paralelo al
eje x, por lo que la ecuación de la elipse de la forma canónica es: (x2/a2)+(y2/b2)=1 , donde a>b. De esta manera
sustituyendo los valores de a y b, tenemos: (x2/100)+(y2/75)=1, simplificando la ecuación, tenemos:
(x2/100)+(y2/75)=1100[(x2/100)+(y2/75)=1]x2+(4y2/3)=1003x2+4y2=300
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
Los focos son F’(0,-3) y F(0,3) y la constante mencionada en la definición es 6(3)1/2, es decir la constante es 2a.
De este modo 2a=6(3)1/2a=3(3)1/2
a=±5.20 Luego las coordenadas del foco son determinadas por F’(x.k-c) y
F(x,k+c), por comparación tenemos (k-c)=-3 y h=0, por otro lado (k+c)=3. De la ecuación (k-c)=-3c=k+3,
sustituyendo el valor de c en: (k+c)=3k+(k+3)=32k=0k=0. Sustituyendo el valor de x en (k-c)=-3
0-c=-3c=3.
De la ecuación:b2=a2-c2b2=(3(3)1/2)2-(3)2
b2=27-9b2=18b=(18)1/2b=±3(2)1/2
b=±4.24.
Por la posición de los F’(0,-3) y F(0,3) podemos determinar que es una elipse con el eje principal paralelo al eje y,
por lo que la ecuación de la elipse de la forma canónica es: (x2/b2)+(y2/a2)=1 , donde a>b. De esta manera
sustituyendo los valores de a y b, tenemos: (x2/18)+(y2/27)=1, simplificando la ecuación, tenemos:
(x2/18)+(y2/27)=127[(x2/18)+(y2/27)=1](3x2/2)+y2=273x2+2y2=54.
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
Origen en C (0,0), la longitud del eje mayor (2a) es tres veces la del eje menor (2b) y pasa por el punto P (3,3). Los
focos sobre el eje x, esto indica que las coordenadas de los focos son: F’(-c,0) y F(c,0), usando la definición de la
elipse: Una elipse es el conjunto de puntos de un plano para los que es constante la suma de sus distancias a dos
puntos fijos. A cada uno de tales puntos fijos se le llama foco.
Tenemos la relación:2a=(3)(2b)2a=6ba=3bb=a/3. Luego tenemos la relación c2=a2-b2
c2=a2-(a/3)2c2=a2-(a2/9)c2=8a2/9. De esta relación tenemos la relación: 2a=3(2b)b=(a/3). Tenemos un punto
de la elipse: P (3,3), donde x=3, y=3. La ecuación canónica de una elipse con eje principal sobre el eje x y centro
en el origen: (x2/a2)+(y2/b2)=1, donde a>b, sustituyendo: b=(a/3) y x=3, y=3 en esta ecuación tenemos:
(x2/a2)+(y2/b2)=1(9/a2)+(81/a2)=189=a2a=(89)2
a=±9.44. De este modo b=(a/3)b=±(9.44/3)b=±3.14 De
la relación: c2=8a2/9c2=(8/9)(89)c2=712/9c=(712/9)1/2c=±8.89
Así la ecuación que representa esta elipse es: (x2/89)+(9y2/89)=1, simplificando:x2+9y2=89
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
La elipse tiene los vértices en: V’(-2,0) y V(2,0) y pasa por el punto: P(-1,(1/2)(3)1/2)P(-1,0.866). Con esta
información determinamos que V’(-a,0) y V(a,0), por comparación a=2 y –a=-2.
Además es una elipse con eje principal paralelo al eje x. Si consideramos que su centro está en el origen C (0,0) la
ecuación de la elipse en su forma canónica es: (x2/a2)+(y2/b2)=1, conocemos un punto de la elipse, P(-1,(1/2)(3)1/2),
donde x=-1, y=(1/2)(3)1/2, además a=2.Sustituyendo en la forma canónica de la elipse: (x2/a2)+(y2/b2)=1
((-1)2/(2)2)+(((1/2)(3)1/2)2/(b2)=1(1/4)+(3/4b2)=11+(3/b2)=4(3/b2)=3b2=1b=(1)1/2b=±1
Usando la ecuación c2=a2-b2, sustituyendo: c2=a2-b2c2=(2)2-(1)2
c2=4-1c2=3c=(3)1/2c=±1.73
La ecuación que representa esta elipse es: (x2/4)+(y2)=1. Simplificando la ecuación: (x2/4)+(y2)=1x2+4y2=4
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
La elipse tiene los vértices en: V’(0,-5) y V(0,5) y pasa por el punto: P(2,(-5/3)(5)1/2)P(2,-3.73). Con esta
información determinamos que V’(0,-a) y V(0,a), por comparación a=5 y –a=-5.
Además es una elipse con eje principal paralelo al eje y. Si consideramos que su centro está en el origen C (0,0) la
ecuación de la elipse en su forma canónica es: (x2/b2)+(y2/a2)=1, conocemos un punto de la elipse, P(2,(-5/3)(5)1/2),
donde x=2, y=(-5/3)(5)1/2, además a=5.Sustituyendo en la forma canónica de la elipse:
(x2/b2)+(y2/a2)=1((4)/b2)+((25*5)/(9*25)=1(4/b2)+(5/9)=1(36/b2)+5=9(36/b2)=4b2=36/4b2=9b=±3.
Usando la ecuación c2=a2-b2, sustituyendo: c2=a2-b2c2=25-9c2=16c=±4.
Con esto los focos son F’(0,-4) y F(0,4). Y el eje x corta a la elipse en B’(-3,0) y B(3,0)
La ecuación que representa esta elipse es: (x2/b2)+(y2/a2)=1(x2/9)+(y2/25)=1. Simplificando la ecuación:
(x2/9)+(y2/25)=1(25x2/9)+y2=2525x2+9y=225
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
Solución:
El centro de la elipse se encuentra en C (4,-2), un vértice en V (9,-2) y un foco en F (0,-2).
Al tener la elipse un centro que no coincide con el origen, tiene las coordenadas C (h,k), por comparación h=4 y
k=-2. Por otro lado las coordenadas de uno de los vértices de la elipse viene determinada por V(h+a,k), de este
modo tenemos que h+a=9a=9-ha=9-4a=5. De igual manera las coordenadas de uno de los focos de la
elipse viene dada por F’(h-c,k), así tenemos F (0,-2), por comparación h-c=0c=0+hc=4 Con esto usamos la
ecuación c2=a2-b2b2=a2-c2
b2=(25)2-(4)2b2=25-16b2=9b=±3
De este modo el otro vértice es: V’(h-a. k)V’(4-5,-2)V’(-1,-2). El otro foco es: F(h+c,k)F (4+4,-2)F (8,-2). El
eje menor (y’) toca a la elipse en los puntos B’(h,k-b)B’(4,(-2-3)B’(4,-5) y en el punto B(h,k+b)
B(4,(-2+3))B(4,1)
Luego tenemos que la ecuación canónica de la elipse con centro en C (h, k) y con eje principal paralelo al eje x,
es: ((x-h)2/a2)+((y-k)2/b2)=1. De esta manera la ecuación que define la elipse que se analiza en este problema es:
((x-h)2/a2)+((y-k)2/b2)=1((x-4)2/(5)2)+((y+2)2/(3)2)=1((x-4)2/25)+((y+2)2/9)=1
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
y y’
x’
x
Solución:
Un foco se encuentra en F (2,-3), un vértice en V (2,4) y centro en el eje x. Nota, al poner atención a la indicación
que se da de que el centro se encuentra en el eje x, esto indica que k=0. Las coordenadas del foco para una
elipse viene determinada por F(h,k+c), de este modo por comparación h=2, y k+c=-3c=-3-kc=-3-0c=-3.
El vértice se define por la ecuación: V (h, k+a), de este modo por comparación k+a=4a=4-ka=4-0a=4.
Usando la ecuación:b2=a2-c2b2=(4)2-(-3)2
b2=16-9b2=7b=(7)1/2b=±2.65.
Con lo anterior determinamos el otro vértice V’(h,k-a)V’(2,(0-4))V’(2,-4). De forma semejante, el foco es:
F’(h,k-c)F’(2,(0-(-3))F’(2,3). Los puntos en el que el eje menor ( x ) toca a la elipse son B’(h-b,k)
B’((2-2.65),0)B’(-0.65,0), el otro punto es B((2+2.65),0)B(4.65,0).
La ecuación canónica de la elipse con centro en C (h,k) y con eje mayor paralelo al eje y, tiene la forma:
((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x-2)2/((7)1/2)2+((y-0)2/(4)2)=1((x-2)2/7)+((y2)/16)=1
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
y’
Solución:
Los focos son localizados en F’(-1,-1) y F(-1,-7), y el semieje mayor con longitud de 8 unidades. De las ecuaciones
que definen las pociones de los focos, tenemos: F’(h,k-c)F’(-1,-1), por comparación tenemos h=-1, y ,
k-c=-1c=k+1. El otro foco se determina por F(-1,7), por comparación k+c=7k+(k+1)=72k=6k=3,
sustituyendo en c=k+1c=3+1c=4.
Al hablar de la longitud del semieje eje mayor que es de es 8 unidades, inferimos que a=8. Al aplicar la ecuación:
b2=a2-c2b2=(8)2-(4)2
b2=64-16b2=48b=((12)(4))1/2b=((4)(3)(4))1/2
b=±(4)(3)1/2b=±6.93.
De este modo podemos calcular los vértices V’(h,k-a) y V (h,k+a)V’(-1,(3-8))V’(-1-5), luego V(h,k+a)
V(-1,(3+8))V(-1,11). Los puntos en donde el eje menor (x’) corta la elipse son B’((h-b),k)B’((-1-6.93),3)
B’(-7.93,3) y el otro punto es B((h+b),k)B((-1+6.93),3)B(5.93,3). El centro de la elipse se localiza en
C(h,k)C(-1,3).
La ecuación que define la elipse que se analiza, de deduce usando la forma canónica de la elipse con el eje mayor
paralelo al eje y: ((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x+1)2/48)+((y-3)2/64)=1
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
x
y y’
x’
Solución: Los focos son localizados en F(2,3) y F’(2,-7), y el semieje menor con longitud de (2/3) unidades de la
longitud del semieje mayor. De las ecuaciones que definen las pociones de los focos, tenemos: F(h,k+c)F’(2,3),
por comparación tenemos h=2, y ,k+c=3c=3-k. El otro foco se determina por F’(2,-7), por comparación
k-c=-7k-(3-k)=-72k+3=-72k=-10k=-2, sustituyendo en c=3-k.c=3-(-2)c=5. Al hablar de la longitud del
semieje menor (b) que es (2/3) de la longitud del semieje mayor, entendemos que b=(2/3)a. Ahora tenemos la
ecuación: b2=a2-c2. Sustituyendo la igualdad vista, tenemos:( (2/3)a)2=a2-(5)2(4/9)a2=a2-25
a2-(4/9)a2=25(5/9)a2=25a2=(9)(25)/5a2=45a=±(3)(5)1/2a=±6.71, Usando la ecuación b2=a2-c2
b2=(45)-
(25)b2=20b=±(2)(5)1/2b=±4.47 Comprobando que b=(2/3)ab=(2/3)(3)(5)1/2
b=±4.47.
De este modo podemos calcular los vértices V’(h,k-a) y V (h,k+a)V’(2,(-2-6.71))V’(2,-8.71), luego V(h,k+a)
V(2,(-2+6.71))V(2,4.71). Los puntos en donde el eje menor (x’) corta la elipse son B’((h-b),k)B’((2-4.47,-2)
B’(-2.47,-2) y el otro punto es B((h+b),k)B((2+4.47),-2)B(6.47,-2). El centro de la elipse se localiza en
C(h,k)C(2,-2).
La ecuación que define la elipse que se analiza, de deduce usando la forma canónica de la elipse con el eje mayor
paralelo al eje y: ((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x-2)2/20)+((y+2)2/45)=1
La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:
x
y
x’
y’