Ejercicios: Bases Numéricas y Álgebra de...

Ejercicios:Bases Numéricas yÁlgebra de Boole

Dr. Andrés David García García

Departamento de Mecatrónica

Escuela de Ingeniería y Ciencias

Recordatorio: Relación entre bases

• Las bases 4, 8 y 16 emanan de la base 2.

• El equivalente en decimal se obtiene utilizando la función:

2 4 8 16

0000 0 0 0

0001 1 1 1

0010 2 2 2

0011 3 3 3

0100 10 4 4

0101 11 5 5

0110 12 6 6

0111 13 7 7

1000 20 10 8

1001 21 11 9

1010 22 12 A

1011 23 13 B

1100 30 14 C

1101 31 15 D

1110 32 16 E

1111 33 20 F

𝑁10 =0

𝑖

𝑆𝑦𝑚𝑖 ∗ 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑖

▪ N10 es el número convertido a decimal▪ Symi es cada uno de los símbolos del número a convertir

a decimal y su posición.▪ Base es la base de origen del número a convertir a

decimal▪ El subíndice i es la posición de cada símbolo

▪ Positivo: de derecha a izquierda (parte entera)▪ Negativo: de izquierda a derecha (fracción) 2

Relación entre las bases

• La base 4, 8 y 16, al ser potencias de 2, tienen una relación directa con la base 2.

• Observando la tabla de la página anterior podemos percatarnos de esta relación:• Base 4: vectores de 2 bits. Universo de valores {“00”, “01”, “01”, “11”}

• Base 8: vectores de 3 bits. Universo de valores {“000”, “001”, “001”, “011”, “100”, “101”, “101”, “111”}

• Base 16: vectores de 4 bits. Universo de valores {“0000”, “0001”, “0001”, “0011”, “0100”, “0101”, “0101”, “0111”, “1000”, “1001”, “1001”, “1011”, “1100”, “1101”, “1101”, “1111”}

3

Ejemplo: Binario - Base 4

“110110”b = ?4 “11” “01” “10” “3”, “1”, “2” 3124

“10010”b = ?4 “01” “00” “10” “1”, “0”, “2” 1024

“110.10”b = ?4 “01” “10”. “10” “1”, “2”, “2” 12.24

312 4 = ? b “3” “1” “2” “11”, “01”, “10” 110110b

21.3 4 = ? b “2” “1”. “3” “10”, “01”, “11” 1001.11b

4


“101110”b = ?4 “101” “110” “5”, “6” 56O

“1110010”b = ?O “001” “110” “010” “1”, “6”, “2” 162O

“11010.10”b = ?O “011” “010”. “100” “3”, “2”, “4” 32.4O

714 O = ? b “7” “1” “4” 111001100b

261.6 O = ? b “2” “6” “1”. “6” “010”, “110”, “001”.”110” 10110001.11b

“111” “001” “100”

5


“11011001”b = ?h “1101” “1001” “D”, “9” D9h

“1011010”b = ?h “0101” “1010” “5”, “A” 5Ah

“110110.101”b = ?h “0011” “0110”. “1010” “3”, “6”, “A” 36.Ah

C14 h = ? b “C” “1” “4” 110000010100b

3B.C h = ? b “3” “B” . “C” “0011”, “1011” . ”1100” 111011.11b

“1100” “0001” “0100”

6

Conversión entre bases

• ¿Cómo convertir entre distintas bases?

• Ejemplo: Convertir “C43.B”h a Octal

• Solución más simple: Convertir primero a Binario.

• C => “1100”

• 4 => “0100”

• 3 => “0011”

• B => “1011”

“110001000011.1011”

“110 001 000 011.101 100”

6 1 0 3 5 4

“6103.54”O

7

Convertir a Decimal

• Pasar de cualquiera de las bases en potencia de 2, a base decimal, se tiene que hacer utilizando la función genérica:

• Por ejemplo, para la base 4:

• Para la base 16:

𝑁10 =0

𝑖


𝑁10 = 𝐶𝑁 ∗ 4𝑛 +⋯+ 𝐶3 ∗ 4

3 + 𝐶2 ∗ 42 + 𝐶1 ∗ 4

1 + 𝐶0 ∗ 40

𝑁10 = 𝐶𝑁 ∗ 16𝑛 +⋯+ 𝐶3 ∗ 16

3 + 𝐶2 ∗ 162 + 𝐶1 ∗ 16

1 + 𝐶0 ∗ 160

8

Convertir a Decimal

• Considerando la función genérica:

• Para la base 2:

• Los coeficientes son conocidos:

• Y recordemos que los valores de cada elemento “C” del número en binario solo pueden tomar 2 valores {‘0’, ‘1’}

𝑁10 =0

𝑖


𝑁10 = 𝐶𝑁 ∗ 2𝑛 +⋯+ 𝐶3 ∗ 2

3 + 𝐶2 ∗ 22 + 𝐶1 ∗ 2

1 + 𝐶0 ∗ 20

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

9

Convertir a Decimal

• Entonces, para convertir un número de Binario a Decimal:

• Ejemplo:”11011101”b

• Colocaremos los valores ‘0’ y ‘1’ en la casilla que corresponda:

• Y sumamos:

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1286416

841

+ 221d

Podremos entonces utilizar la base 2 para convertir números en base 4, 8 y 16 a decimal.

10

Convertir de Octal a Decimal

• Ejemplo: “261”O

• Primero convertimos a binario:

• Posteriormente convertimos a decimal:

• Y sumamos:

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

0 1 0 1 1 0 0 0 1

“010 110 001” “010110001”

1283216

1

+ 177d

11

Convertir de Hexadecimal a Decimal

• Ejemplo: “B1C”h



• Y sumamos:

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

“1011 0001 1100” “101100011100”

2048512256

1684

+ 2844d

12

Convertir cifras con punto decimal

• Considerando la función genérica:

• Para la base 2 (de izquierda a derecha):

• Los coeficientes son conocidos:

• Y recordemos que los valores de cada elemento “C” del número en binario solo pueden tomar 2 valores {‘0’, ‘1’}

𝑁10 =0

𝑖


𝑁10 = 𝐶−1 ∗ 2−1 + 𝐶−2 ∗ 2

−2 + 𝐶−3 ∗ 2−3 + 𝐶−4 ∗ 2

−4 +⋯+ 𝐶−𝑁 ∗ 2−𝑁

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8

0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625

13

Convertir de Binario con punto a Decimal

• Ejemplo: “0.1011”b

• Revisamos las casillas con un ‘1’:

• Y sumamos:

0.50.1250.0625

+ 0.6875d

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8

0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625

1 0 1 1

14

Convertir de Octal a Decimal con punto

• Ejemplo: “26.3”O



• Y sumamos:

27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

0 1 0 1 1 0 0 1 1

“010 110 . 011” “010110.011”

1642

+ 22d0.250.125+ 0.375d

22.375d

15

Convertir de HEX a Decimal con punto

• Ejemplo: “2A.B”O



• Y sumamos:

27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

“0010 1010 . 1011” “00101010.1011”

3282

+ 42d

0.50.1250.0625+

0.6875d 42.6875d

16

Convertir de decimal a binario

• El método de divisiones sucesivas:• Convertir 284d a Binario

17

𝑋𝑏 = 2 284

2 284142

0142

71

20

71

35

21

35

17

21

17

8

21

8

4

20

2

2

20

2

1

20

𝑋𝑏 = 100011100

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Convertir de decimal a Octal

• El método de divisiones sucesivas:• Convertir 381d a Octal

18

𝑋𝑂 = 8 381

8 38147

547

5

87

𝑋𝑂 = 57580

8182

Axiomas del Álgebra de Boole1a: ‘0’ • ‘0’ = ‘0’

1b: ‘1’ + ‘1’ = ‘1’

2a: ‘1’ • ‘1’ = ‘1’

2b: ‘0’ + ‘0’ = ‘0’

3a: ‘0’ • ‘1’ = ‘1’ • ‘0’ = ‘0’

3b: ‘1’ + ‘0’ = ‘0’ + ‘1’ = ‘1’

4a: si X = ‘0’, entonces /X = ‘1’

4b: si X = ‘1’, entonces /X = ‘0’

19

5a: X • ‘0’ = ‘0’

5b: X + ‘1’ = ‘1’

6a: X • ‘1’ = X

6b: X + ‘0’ = X

7a: X • X = X

7b: X + X = X

8a: X • /X = ‘0’

8b: X + /X = ‘1’

9 : //X = X

➢ Propiedad conmutativa:

10a: X • Y = Y • X

10b: X + Y = Y + X

➢ Propiedad asociativa:

11a: X • (Y • Z) = (Y • X) • Z

11b: X + (Y + Z) = (Y + X) + Z➢ Propiedad distributiva:

12a: X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 12b: X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)

➢ Propiedad de absorción: 13a: X + (X • Y) = X 13b: X • (X + Y) = X

➢ Propiedad de combinación: 14a: (X • Y) + (X • /Y) = X 14b: (X + Y) • (X + /Y) = X

➢ Teorema de Morgan:

15a: /(X • Y) = /X + /Y

15b: /(X + Y) = /X • /Y

16a: X + (/X • Y) = X + Y

16b: X • (/X + Y) = X • Y

Compuertas lógicas

• Relaciones entre compuertas lógicas y sus negados:

20

A B Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

AB

ZAB

Z

A B Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

AB

Z

A B Z

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

AB

Z

A B Z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Compuertas lógicas

• Relaciones entre compuertas lógicas y sus negados:

21

A B Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B Z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

AB

ZAB

Z

Principio de Dualidad y Teorema de Morgan

• Justificación:

22

A B Z

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B Z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

AB

Z

A B Z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

AB

Z

A B Z

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

AB

ZAB

Z

Las compuertas lógicas como Switches

23

Sel A Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Sel A Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Sel A Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

AZ

Sel

ZA

Sel

ZA

Sel

Si Sel = ‘0’; Z = ‘0’Si Sel = ‘1’; Z = A

Si Sel = ‘0’; Z = ASi Sel = ‘1’; Z = ‘1’

Si Sel = ‘0’; Z = ASi Sel = ‘1’; Z = /A

Nota: Al comparar el funcionamiento de la AND con el de la OR, se puede comprobar el principio de dualidad.

Selecciona entre A, o /A

Ejercicios

• Simplificación de funciones:

24

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐷 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐷

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ (𝐷 + 𝐷) Teorema 8b

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ (′1′)

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵

Tocci/Widmer/Moss. Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. 10ª Edición.

Ejercicios


25

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷

𝑍 = 𝐶 ∙ 𝐷 ∙ (𝐴 + 𝐴 ∙ 𝐵) Teorema 16a

𝑍 = 𝐶 ∙ 𝐷 ∙ (𝐴 + 𝐵)

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷 + 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷


Ejercicios


26

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ (𝐴 + 𝐴) + 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ (𝐵 + 𝐵) Factorizar

Teorema 8b𝑍 = 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ (′1′) + 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ (′1′)

𝑍 = 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐶


Ejercicios


27

𝑍 = 𝐴 + ത𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 ∙ 𝐹 ∙ [𝐴 + ത𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 ∙ 𝐹 ]

Sustituir

Teorema 14b

𝑍 = 𝑋 + 𝑌 ∙ [ 𝑋 + ത𝑌 ]

𝑍 = 𝑋

𝑍 = 𝐴 + ത𝐵 ∙ 𝐶

Charles Roth Jr. Fundamentals of Logic Design. 2ª Edición.

Ejercicios

• Simplificación a partir de una tabla de verdad:

28

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

Factorizar

Teorema 8b

A B C Z

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑋 = 𝐴

𝑍 = 𝐴 + (𝐵 ∙ 𝐶)𝑋 + 𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 + 𝑌

Factorizar

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ′1′ + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ′1′ + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐵) + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ (′1′) + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 Teorema 8b

𝑍 = 𝐴 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑋 = 𝐴

Teorema 16a

𝑌 = 𝐵 ∙ 𝐶

Entonces

Ejercicios

• Simplificación: (otra forma de ver la solución)

29

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶A B C Z

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 + (𝐵 ∙ 𝐶)

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ′1′ + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ′1′ + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐵) + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ (′1′) + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

Entonces

AZ

Sel

Sel A Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1Si Sel = ‘0’; Z = ‘0’Si Sel = ‘1’; Z = A

Cuando A = ‘0’; sin importar B y C, el 2º minitérmino desaparece.Cuando A = ‘1’; el primer minitérmino desaparece.Entonces => Z = ‘1’ cuando A=‘0’ ó cuando B • C = ‘1’

Ejercicios

• Expansión de funciones:• Suma de Productos a Suma de Productos Estándar:

30

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶

Teorema 8b

Falta la variable B

Falta la variable A

Faltan las variables A y B

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ (𝐵 + 𝐵) + 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ (𝐴 + 𝐴) + 𝐶 ∙ (𝐴 + 𝐴) ∙ (𝐵 + 𝐵)

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐵 + 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶


𝑍 = "0 0 0" "0 0 1" "0 1 0" "1 0 0" "1 0 1" "1 1 0" "1 1 1"

Minitérminos

Ejercicios

• Expansión de funciones:• Suma de Productos a Suma de Productos Estándar:

31

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶


𝑍 = "0 0 0" "0 0 1" "0 1 0" "1 0 0" "1 0 1" "1 1 0" "1 1 1"

Minitérminos 0 0 00 0 10 1 01 0 01 0 11 1 01 1 1

A B C Z

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Combinaciones de las entradas que hacen verdadera a la función

Ejercicios

• Expansión de funciones:• Producto de Sumas a Producto de Sumas Estándar:

𝑍 = 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐵+𝐶

Falta la variable B

Falta la variable A

𝑍 = 𝐴 + 𝐶 + (𝐵 ∙ 𝐵) ∙ 𝐵+𝐶 + (𝐴 ∙ 𝐴)

Teorema 8a

𝑍 = 𝐴 + 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐵+𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵+𝐶 + 𝐴

𝑍 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵+𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵+𝐶

𝑍 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵+𝐶 ∙ 𝐴 + 𝐵+𝐶

𝑍 = "0 0 0" "0 1 0" "0 1 1" "1 1 1"

Maxitérminos

0 0 00 1 00 1 11 1 1

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Combinaciones de las entradas que hacen falsa a la función

Ejercicios

• Teorema de Morgan:

33

𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶

ҧ𝑍 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 Negar toda la función

ҧ𝑍 = (𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶) ∙ (𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶) ∙ (𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶) ∙ (𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶) Cambiar AND OR

ҧ𝑍 = ( Ӗ𝐴 + ധ𝐵 + ҧ𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + ധ𝐵 + Ӗ𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + ധ𝐵 + ҧ𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + ത𝐵 + Ӗ𝐶)

ҧ𝑍 = (𝐴 + 𝐵 + ҧ𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + 𝐵 + 𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + 𝐵 + ҧ𝐶) ∙ ( ҧ𝐴 + ത𝐵 + 𝐶)

Cambiar AND OR

Minitérminos0 0 11 0 01 0 11 1 0

Maxitérminos0 0 11 0 01 0 11 1 0

Ejercicios: Bases Numéricas y Álgebra de...

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