Ejercicios calculo diferencial de variasvariables

Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo

Instituto de Ciencias Basicas e IngenierıaAcademia de Matematicas y Fısica

Calculo Diferencial De Varias Variables

Palomares Maldonado Hector Miguel

Contents

1 Geometria del Espacio Euclidiano 41.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Producto Por Escalar, Producto Vectorial, Coordenadas cilidricas y Rectangulares, Ecuacion

Parametrica de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Cordenadas Esfericas, Planos (angulos, distancia, ecuaciones parametricas ) . . . . . . . . . . 131.4 Dominio e Imagen de una Funcion, Curvas de Nivel, Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . 20

2 Topologıa 222.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Diferenciacion 243.1 Limites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Derivadas Parciales, Planos tangente, Composiocion de Funciones, Matriz, Gradiente . . . . . 283.3 Conjuntos (abiertos, cerrados, acotados, compatos), Funciones Con Valores Vectoriales (Ve-

locidad y Trayectorias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Trayectorias, Campos Escalares, Composicion de Funciones, Regla de la Cadena . . . . . . . 363.5 Derivadas Direccionales, Planos Tangentes en el espacio, Ecuacion del Plano Tangente, Direc-

ciones de Rapido Crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Segundas Derivadas Parciales, Derivadas Parciales Mixtas, Series de Tylor, Extremos y Ex-

tremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Maximos y Minimos 524.1 Maximos y Minimos Locales, Maximos y Minimos Absolutos (Hessiano) . . . . . . . . . . . . 524.2 Maximos y minimos en la Frontera, Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Trayectorias, vectores (velocidad y aceleracion) Producto Por Escalar, Producto Vectorial,

Divergiencia, y Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3

1 Geometria del Espacio Euclidiano

1.1 Vectores

1. Hallar los vectores u y v cuyos puntos iniciales y finales se dan. Mostrar que u y v son equivalentes

a) u : (3, 2), (5, 6) v : (−1, 4), (1, 8)u = (5, 6)− (3, 2) = 〈2, 4〉 v = (1, 8)− (−1, 4) = 〈2, 4〉Podemos observar que u = v

b) u : (0, 3), (6,−2) v : (3, 10), (9, 5)u = (6,−2)− (0, 3) = 〈6,−5〉 v = (9, 5)− (3, 10) = 〈6,−5〉Vemos que u = v

En los ejercicios del 2 − 5 se dan los puntos inicial y final de un vector v Dibujar el segmento de la rectadirigido dado, expresar el vector mediante sus componentes y dibujar al vector con su punto inicial en elorigen

2. v = (1, 2) (5, 5)v = (5, 5)− (1, 2) = 〈4, 3〉

3. v = (2,−6) (3, 6)v = (3, 6)− (2,−6) = 〈1, 12〉

4. v = (10, 2) (6,−1)v = (6,−1)− (10, 2) = 〈4,−3〉

5. v = (0,−4)(−5,−1)v = (−5,−1)− (0,−4) = 〈−5, 3〉

6. hallar el vector v donde u = 〈2,−1〉 y w = 〈1, 2〉 ilustrar las operaciones vectoriales

a) v =3

2u

v =3

2〈2,−1〉 =

⟨3,−3

2

⟩b) v = u+ w

v = 〈2,−1〉+ 〈1, 2〉 = 〈3, 1〉c) v = u+ 2w

v = 〈2,−1〉+ 〈2, 4〉 = 〈4, 3〉d) v = 5u− 3w

v = 5 〈2,−1〉 − 3 〈1, 2〉 = 〈10,−5〉 − 〈3, 6〉 = 〈7,−11〉

En los ejercicios 7 y 8 completar los calculos

7. (−21, 23)− ( , 6) = (−25, )?(−21, 23)− (4, 6) = (−25, 17)

8. (2, 3, 5)− 4ı + 3 = ( , , )(2, 3, 5)− 4ı+ 3 = (−2, 6, 5)

9. ¿Que restricciones se deben tener para x, y y z de modo que la terna (x, y, z) represente un puntosobre los ejes coordenados x, y y z y sobre los planos coordenados xy, yz y xz ?

tenemos que para el plano xy la condicion es z = 0 de tal modo (x, y, 0) para todo x y ytenemos que para el plano yz la condicion es x = 0 de tal modo (0, y, z) para todo z y ytenemos que para el plano xz la condicion es y = 0 de tal modo (x, 0, z) para todo x y z

En los ejercicios 10 y 11, hallar la ecuacion de la recta con las condiciones que se dan y graficar.

10. Pasa por el punto (−1,−1,−1) en la direccion de la ecuacion de la recta es:l(t) = (−1,−1,−1) + t(0, 1, 0) donde t ∈ IR

4

11. Pasa por los puntos (−5, 0, 4) y (6,−3, 2) El vector director es (6− 3, 2)− (−5, 0, 4) = 〈1,−3,−2〉la ecuacion de la recta es:l(t) = (−5, 0, 4) + t(1,−3,−2)

12. Hallar los puntos de interseccion de la recta l(t) = (3 + 2t, 7 + 8t,−2 + t) con los ejes y los planoscoordenados.interseccion con los ejes3 + 2t = 07 + 8t = 0−2 + t = 0

no exiten intesecciones

intersecciones con los planos

1.2 Producto Por Escalar, Producto Vectorial, Coordenadas cilidricas yRectangulares, Ecuacion Parametrica de la Recta

1. Calcular el angulo θ entre los vectores y graficar.

a) u = 3ı + 2 + k, v = 2ı− 3u · v = 〈3, 2, 1〉 · 〈1,−3, 0〉 = 3− 6 = −3|u| =

√(3)2 + (2)2 + (1)2 =

√14

|v| =√

(1)2 + (3)2 =√

10

θ = cos

(−3√

14√

10

)θ = 104◦68′

b) u = 2ı− 3 + k, v = ı− 2 + k

u · v = 〈2,−3, 1〉 · 〈1,−2, 1〉 = 2 + 6 + 1 = 9|u| =

√(2)2 + (−3)2 + (1)2 =

√14

|v| =√

(1)2 + (−2)2 + (1)2 =√

6

θ = cos

(9√

14√

6

)θ = 10◦89′

2. Determinar si los vectores son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas y graficar

a) u = −2ı + 3− k, v = 2ı + − ku · v = 〈−2, 3,−1〉〈2, 1,−1〉 = −4, 3, 1 = 0|u| =

√(−2)2 + (3)2 + (−1)2 =

√14

|v| =√

(2)2 + (1)2 + (−1)2 =√

6

θ = cos−1(

0√14√

6

)θ = 90◦ los vectores son Ortogonales

b) u = (cos θ, sen θ,−1), v = (sen θ,− cos θ, 0)

u · v = 〈cos θ, sen θ,−1〉〈sen θ,− cos θ, 0〉 = cos θ sen θ − sen θ cos θ = 0|u| =

√(cos θ)2 + (sen θ)2 + (−1)2 =

√2

|v| =√

(sen θ)2 + (cos θ)2 + (1)2 =√

2

θ = cos−1(

0√2√

2

)θ = 90◦

5

3 Se dan los vertices de un triangulo. Determinar si el triangulo es agudo, obtuso o rectangulo.

a) (1, 2, 0), (0, 0, 0), (−2, 1, 0)

(1, 2, 0)− (0, 0, 0) = 〈1, 2, 0〉 |A| =√

(1)2 + (2)2 =√

5

(−2, 1, 0)− (0, 0, 0) = 〈−2, 1, 0〉 |B| =√

(−2)2 + (1)2 =√

5

(1, 2, 0)− (−2, 1, 0) = 〈3, 1, 0〉 |C| =√

(3)2 + (1)2 =√

10

A · B = 〈1, 2, 0〉 · 〈−2, 2, 0〉

Observemos que estos vectores son perpendiculares por lo que θ = cos−1(

0√5√

5

)θ = 90◦

por lo que podemos decir que es un triangulo rectangulo

b) (2,−3, 4), (0, 1, 2), (−1, 2, 0)(2,−3, 4)− (0, 1, 2) = 〈2,−4, 2〉 |A| =

√(2)2 + (−4)2 + (2)2 =

√24

(2,−3, 4)− (−1, 2, 0) = 〈3,−5, 4〉 |B| =√

(3)2 + (−5)2 + (4)2 =√

50

(−1, 2, 0)− (0, 1, 2) = 〈−1, 1,−2〉 |C|√

(−1)2 + (1)2 + (−2)2 =√

4

A · B = 〈2,−4, 2〉 · 〈3,−5, 4〉 = 6 + 20 + 8 = 34

A · C = 〈2,−4, 2〉 · 〈−1, 1,−2〉 = 2− 4− 4 = −10

B · C = 〈3,−5, 4〉 · 〈−1, 1,−2〉 = −3,−5,−8 = −16

θ = cos−1(−10√24√

4

)≈ 146◦ 180◦ − 144◦ = 34◦

θ = cos−1(

34√24√

50

)≈ 11.04◦ θ = cos−1

(−16√4√

50

)≈ 9.1◦

4. Encontrar los cosenos directores del vector u y demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenosdirectores es 1.

a) u = 5ı + 3− k cosα =5√

(5)2 + (3)2 + (−1)2=

5√35

cosβ =3√

(5)2 + (3)2 + (−1)2=

3√35

cos γ =−1√

(5)2 + (3)2 + (−1)2=−1√

35

cos2 α+ cosβ + cos2 γ = 1(5√35

)2

+

(3√35

)2

+

(−1√35

)2

=25 + 9 + 1

35= 1

b) u = (0, 6,−4) cosα =5√

(0)2 + (6)2 + (−4)2=

0√52

cosβ =6√

(0)2 + (6)2 + (−4)2=

6√52

cos γ =4√

(0)2 + (6)2 + (−4)2=−4√

52

cos2 α+ cosβ + cos2 γ = 1(0√52

)2

+

(6√52

)2

+

(−4√52

)2

=0 + 36 + 16

52= 1

6

5. Encontrar los angulos de direccion del vector.

a) u = 3ı + 2− 2k

α = cos−1(

3

(3)2 + (2)2 + (−2)2

)= 43◦31′

β = cos−1(

2

(3)2 + (2)2 + (−2)2

)= 60◦98′

θ = cos−1(

−2

(3)2 + (2)2 + (−2)2

)= 119◦′

b) u = (−1, 5, 2)

α = cos−1(

−1

(−1)2 + (5)2 + (2)2

)= 100◦51′

β = cos−1(

5

(−1)2 + (5)2 + (2)2

)= 24◦09′

θ = cos−1(

2

(−1)2 + (5)2 + (2)2

)= 68◦52′

6. Calcular la proyeccion de u sobre v y graficar.

a) u = (2,−3), v = (3, 2)u · v|v|

=6− 6√32 + 22

= 0

b) u = (1, 0, 4), v = (3, 0, 2)u · v|v|

=3 + 0 + 8√

32 + 22=

11√13

7. Calcular u× v y probar que es ortogonal tanto a u como a v, y graficar.

a) u = 3ı + 5k, v = 2ı + 3− 2k∣∣∣∣ 0 53 −2

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 3 −22 5

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 3 02 −2

∣∣∣∣ k = 〈−15, 16, 9〉

(u× v) · u = 〈−15, 16, 9〉 · 〈3, 0, 5〉 = −45 + 45 = 0(u× v) · v = 〈−15, 16, 9〉 · 〈2, 3,−2〉 = −30 + 48− 18 = 0θ = cos−1(0)θ = 90◦ son Ortogonales

b) u = (3,−2,−2), v = (1, 5, 1)∣∣∣∣ −2 −25 1

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 3 11 1

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 3 −21 5

∣∣∣∣ k = 〈8,−5, 17〉

(u× v) · u = 〈8,−5, 17〉 · 〈3,−2,−2〉 = 24 + 10− 34 = 0(u× v) · u = 〈8,−5, 17〉 · 〈1, 5, 1〉 = 8− 25 + 17 = 0

θ = cos−1(0)

θ = 90◦ son Ortogonales

c) u = (−1, 1, 2), v = (0, 1, 0)∣∣∣∣ 1 21 0

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ −1 20 0

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ −1 10 1

∣∣∣∣ k = 〈−2, 0,−1〉

(u× v) · u = 〈−2, 0,−1〉 · 〈−1, 1, 2〉 = 2− 2 = 0(u× v) · u = 〈−2, 0,−1〉 · 〈0, 1, 0〉 = 0θ = cos−1(0)θ = 90◦ son Ortogonales

7

d) u = (−10, 0, 6), v = (7, 0, 0)∣∣∣∣ 0 60 0

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ −10 67 0

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ −10 07 0

∣∣∣∣ k = 〈0, 42, 0〉

(u× v) · u = 〈0, 42, 0〉 · 〈−10, 0, 6〉 = 0(u× v) · u = 〈0, 42, 0〉 · 〈7, 0, 0〉 = 0θ = cos−1(0)θ = 90◦ son Ortogonales

8. Calcular el area del paralelogramo que tiene los vectores dados como lados adyacentes.

a) u = , v = + k∣∣∣∣ 1 01 1

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 0 00 1

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 0 10 1

∣∣∣∣ k = 〈1, 0, 0〉

|u× v| =√

12 + 02 + 02 = 1El area del paralelogramo es : 1u2

b) u = (3, 2,−1), v = (1, 2, 3)∣∣∣∣ 2 −12 3

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 3 −11 3

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 3 21 2

∣∣∣∣ k = 〈8,−10, 4〉

|u× v| =√

82 + (−10)2 + 42 = 6√

5

El area del paralelogramo es : 6√

5u2

9. Verificar que los puntos dados son los vertices de un paralelogramo y calcular su area.

a) (1, 1, 1), (2, 3, 4), (6, 5, 2), (7, 7, 5)

b− a = 〈1, 2, 3〉 → Ad− c = 〈1, 2, 3〉 → Bd− b = 〈5, 4, 1〉 → Cc− a = 〈5, 4, 1〉 → D

A× C =

∣∣∣∣ 2 34 1

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 1 35 1

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 1 25 4

∣∣∣∣ = 〈−10, 14,−6〉

|A× C| =√

(18)2 + (14)2 + (−6)2 = 2√

83

el area del paralelogramo es: 2√

83u2

b) (2,−3, 1), (6, 5,−1), (3,−6, 4), (7, 2, 2)

b− a = 〈4, 8,−2〉 → Ad− c = 〈4, 8,−2〉 → Bd− b = 〈1,−3, 3〉 → Cc− a = 〈1,−3, 3〉 → D

A× C =

∣∣∣∣ 8 −2−3 3

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 4 −21 3

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 4 81 −3

∣∣∣∣ = 〈18, 14,−20〉

|A× C| =√

(18)2 + (14)2 + (−20)2 = 2√

83

el area del paralelogramo es: 2√

230u2

10. Calcular el area del triangulo con los vertices dados. Sugerencia1

2‖ u × v ‖ es el area del triangulo

que tiene a u y v como lados adyacentes.

a) (0, 0, 0), (, 1, 2, 3), (−3, 0, 0)

b− a = 〈1, 2, 3〉 → Ac− a = 〈−3, 0, 0〉 → B

A× B =

∣∣∣∣ 2 30 0

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 1 3−3 0

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 1 2−3 0

∣∣∣∣ k = 〈0, 9, 6〉

sea A y B los lados del rectangulo entonces1

2||A× B||

1

2

(√92 + 62

)=

3

2

√13

el area del triangulo es:3

2

√13

8

b) (2,−7, 3), (−1, 5, 8), (4, 6,−1)

b− a = 〈−3, 12, 5〉 → Ac− a = 〈2, 13,−4〉 → B

A× B =

∣∣∣∣ 12 513 −4

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ −3 52 −4

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ −3 122 13

∣∣∣∣ k = 〈−133, 2, 57〉

sea A y B los lados del rectangulo entonces1

2||A× B||

1

2

(√(−113)2 + (2)2 + (−57)2

)=

1

2

√16022

el area del triangulo es:1

2

√16022

11. Calcular u · (v × w)

a) u = ı, v = , w = k

u · (v × w) =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1

b) u = (2, 0, 1), v = (0, 3, 0), w = (0, 0, 1)

u · (v × w) =

∣∣∣∣∣∣2 0 10 3 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 3(2)− 0 + 0(1) = 6

12. Usar el triple porducto escalar para encontrar el volumen del paralelepıpedo que tiene comoaristas adyacentes u, v y w

a) u = ı + , v = + k, w = ı + k

u · (v × w) =

∣∣∣∣∣∣1 1 00 1 11 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1− 1 + 0 = 0

u · (v × w) = 0

b) u = (1, 3, 1), v = (0, 6, 6), w = (−4, 0,−4)

u · (v × w) =

∣∣∣∣∣∣1 3 10 6 6−4 0 −4

∣∣∣∣∣∣ = −24 + 72 + 24 = 72

u · (v × w) = 72u3

13. Encontrar el volumen del paralelepıpedo que tiene como vertices dados los siguientes puntos.

a) (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 5, 1), (3, 5, 1), (2, 0, 5), (5, 0, 5), (2, 5, 6), (5, 5, 6)

b) (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (2, 2, 3)

14 Demostrar que (u× v)× w = (u · w)v − (v · w)u

Calculemos primero u× v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)

y tenemos

w × (u× v) =

∣∣∣∣∣∣i j kw1 w2 w3

u2v3 − u3v2 u3v1 − u1v3 u1v2 − u2v1

∣∣∣∣∣∣= w2(u1v2 − u2v1) − w3(u3v1 − v3u1), w3(u2v3 − u3v2) − w1(u1v2 − v1u2), w1(u3v1 − v1u3) −w2(u2v3 − u3v2)= u1(w2v2 + w3v3) − v1(u2w2 + u3w3), u2(w1v1 + w3v3) − v2(u1w1 + u3w3), u3(w1v1 + w2v2) −v3(u1w1 + u2w2)= u1(w1v1 + w2v2 + w3u3)v1(w1u1 + w2u2 + w3u3), u2(w2v2 + w1v1 + w3v3)v2(w2u2 + w1u1 +

9

w3u3), u3(w3v3 + w1v1 + w2v2)

= u1(w · v)− v1(w · u), u2(w · v)− v2(w · u), u3(w · v)− v3(w · u)

= (u1, u2, u3)(w · v)− (v1, v2, v2)(w · u)

(u · w)v − (v · w)u

En los ejercicios 15− 20, hallar las ecuaciones parametricas de la recta indicada y graficar.

15. Que contenga a los puntos (2, 1, 3) y (1, 2,−1)v = (1, 2− 1)− (2, 1, 3)v = 〈−1, 1,−4〉(x, y) = (p1, p2, p3) + t(vx, vy, vz)(x, y) = (2, 1, 3) + t(−1, 1,−4)= 2− t, 1 + t, 3− 4t Forma parametricax = 2− t y = t z = 3− 4tforma simetrica

−x+ 2 = y =z − 3

4

16. Que contenga a los puntos (−4, 1, 3) y (−4, 0, 1)

v = 〈0,−1,−2〉(x, y) = (−4, 1, 3) + t(0,−1,−2)= 4, 1− t, 3− 2t forma parametrica

17. Que contenga a los puntos (1, 2, 3) y (3, 2, 1)v = 〈2, 0,−2〉(x, y) = (1, 2, 3) + t(2, 0,−2)= 1 + 2t, 0, 3− 2t forma parametrica

18. Que contenga al punto (2, 2, 1) y sea paralela a 2ı− − k

(x, y) = (2, 2, 1) + t(2,−|1,−1) = 2 + 2t, 2− t, 1− t forma parametricax = 2 + 2t y = 2− t z = 1− tx− 2

2= 2− y = 1− z forma simetrica

19. Que contenga al punto (−1,−2, 5) y sea paralela a −3 + 7k

(x, y) = (−1,−2, 5) + t(0,−3, 7)(x, y) = 1−,−2− 3t, 5 + 7t forma parametrica

20. Que contenga al punto (0, 0, 0) y sea paralela a

(−2,

5

2, 1

)forma parametrica

−2t,5

2t, t

forma simetrica

x = −2t y =5

2t z = t

−x2

=2

5y = z

En los ejercicios 21− 27, hallar la ecuacion del plano indicado y graficar.

21. Que contenga al punto (0, 0, 0) y con vector normal n = 〈x− 0, y − 0, z − 0〉 · (0, 1, 0) = 0y = 0entonces el plano es xy

10

22. Que contenga al punto (1, 2, 3) y con vector normal n = ı +

〈x− 1, y − 2, z − 3〉 · 〈1, 1, 0〉 = 0x− 1 + y − 2 = 0x+ y − 3 = 0

por lo que el plano esta formado por x− y − 3 = 0

23. Que contenga al punto (1, 2, 3) y con vector normal n = + k〈x− 1, y − 2, z − 3〉 · 〈0, 1, 1〉y + z − 5 = 0El plano es: y + z − 5 = 0

24. Que contenga al punto (−4,−7, 5) y con vector normal n = −3ı− 4 + k〈x+ 4, y + 7, z − 5〉 · 〈−3,−4, 1〉 = 0−3x− 12− 4y − 28 + z − 5 = 0El plano es : −3x− 4y − z = 45

25. Que contenga al punto (3,−2, 5) y con vector normal n = 2ı− 7− 8k−3, y + 2, z − 5〉 · 〈2− 7,−8〉 = 02x− 6− 7y − 14− 8z + 40 = 0Podemos determinar que el plano esta dado 2x− 7y − 8z = 26

26. Que contenga a los puntos (−7, 1, 0), (2,−1, 3), (4,−1, 3)

a = (2, 3,−2)b = (4,−1,−1)c = (3, 2, 1)

u = b− au = 〈2,−4, 1〉v = c− av = 〈1,−2, 4〉

u× v =

∣∣∣∣ −4 1−2 4

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 2 11 4

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 2 −41 −2

∣∣∣∣ k = 〈−14, 9, 0〉

27. Que contenga a los puntos (2, 3,−2), (4,−1,−1), (3, 1, 2)

a = (2, 3,−2)b = (4,−1,−1)c = (3, 2, 1)

u = b− au = 〈2,−4, 1〉v = c− av = 〈1,−2, 4〉

u× v =

∣∣∣∣ −4 1−2 4

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ 2 11 4

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ 2 −41 −2

∣∣∣∣ k = 14i− 7j

28. Convertir el punto dado en coordenadas cilındricas a rectangulares.

a) (5, 0, 2)x = 5 cos 0x = 5y = 5 sen 0y = 0(x, y, z)→ (5, 0, 2)

b) (2, π/3, 2)

x = 2 cos(π

3

)x = 1y = 2 sen

(π3

)y =√

3(x, y, z)→ (1,

√3, 2)

c) (4, 7π/6, 3)

x = 4 cos(π

6

)x = 2

√3

y = 4 sen(π

6

)y = 2(x, y, z)→ (2

√3, 2, 3)

11

29 Convertir el punto dado en coordenadas rectangulares a cilındricas.

a) (0, 5, 1)ρ =√

52 + 02

ρ = 5 θ = tan−1(

5

0

)z = 1

b) (1,√

3, 4)

ρ =

√12 +

√32

ρ = 4 θ = tan−1(√

3)

θ =π

3z = 4

(ρ, θ, z) =(

4,π

3, 4)

c) (2,−2,−4)

ρ =√

22 + (−2)2

ρ = 2√

2θ = tan−1 (−1)

θ =3π

4z = −4

(ρ, θ, z) =

(2√

2,3π

4,−4

)30. Investigar en que consiste el grupo lineal general GL(n) y mostrar que es un grupo.

Sea F un cuerpo de dimension n, para n natural positivo. Llamamos grupo lineal general GLn(F) algrupo de matrices invertibles de n× n con entradas en F y la multiplicacion matricial usual

Demostracion: La multiplicacion entre matrices usual es asociativa. El elemento unidad es In, lamatriz de n× n que tiene 1 en su diagonal y ceros en las demas entradas. Finalmente, las matrices soninversibles por eleccion, es decir si la Matriz es llamada A existe A−1

31. Investigar en que consiste un Algebra de Lie y mostrar que (IR3,×) es un algebra de Lie.

Llamaremos grupo de Lie a una variedad diferenciable L, con una estructura de grupo, para la que lasaplicaciones de la estructura(a, b) ∈ L× L→ ab ∈ La ∈ L→ a−1 ∈ L

32. Mostrar que no existen puntos que satisfagan 2x − 3y + z − 2 = 0 y que esten sobre la recta l(t) =(2,−2,−1) + t(1, 1, 1)x = 2 + t y = −2 + t z = −1 + t4 + t+ 6− 3t+ t− 1− 2 = 07 = 0 !!! Contradiccion por lo tanto no existen puntos que satisfagan

33. Mostrar que todo punto sobre la recta l(t) = (1,−1, 2) + t(2, 3, 1) satisface 5x− 3y − z − 6 = 0

x = 1 + 2t y = −1 + 3t z = 2 + t

5 + 10t+ 3− 9t− 2− t = 66 = 6

34 Hallar una recta que este contenida en el conjunto de puntos en el espacio definido por la ecuacionx2 + y2 − z2 = 1

12

35. Hallar la recta que pasa por (3, 1,−2), que intersecta y es perpendicular a la recta x = −1 + t, y =−2 + t, z = 1 + t. Sugerencia Si (x0, y0, z0) es el punto de interseccion, hallar sus coordenadas.L1(t) = (−1,−2, 1) + t(1, 1, 1) L2(t) = (3, 1,−2) + s(w1, w2, w3)L1(t) = L2(t)(−1 + t,−2 + t,−1 + t) = (3 + sw1, 1 + sw2,−2 + sw3)

−1 + t = 3 + sw1 w1 =t− 4

s

−2 + t = 1 + sw2 w2 =t− 3

s

1 + t = −2 + sw3 w3 =t− 3

s

ademas(1, 1, 1) · (w1, w2, w3) = 0t− 2

s+t− 3

s+t− 3

s3t = 10

t =10

3

w =

(−2

3,

1

3,

1

3

)(1, 1, 1) ·

(−2

3,

1

3,

1

3

)= 0

la recta es:

l2(t) = (3, 1,−2) + t

(−2

3,

1

3,

1

3

)

1.3 Cordenadas Esfericas, Planos (angulos, distancia, ecuaciones parametricas)

1. Convertir el punto dado en coordenadas rectangulares a esfericas

a) (4, 0, 0)(0, 0, 0)

b) (−2, 2√

3, 4)

r =√

(−2)2 + (2√

3)2 + (4)2

r =√

32θ = tan−1

(√3)

θ =π

3

φ = tan−1

√

(−2)2 + (2√

3)2

4

φ =

π

4(π3,π

4,√

32)

c) (√

3, 1, 2√

3)

r =√

(√

3)2 + (2√

3)2 + (1)2

r =√

16 = 4

θ = tan−1(

1√3

)θ =

π

3

φ = tan−1(

2√3

)φ =

π

6

13

2. Convertir el punto dado en coordenadas esfericas a rectangulares

a) (4, π/6, π/4)

x = 4 sen(π

4

)cos(π

6

)x = 4

(1√2

)(√3

2

)=

2√

3√2

y = 4 sen(π

4

)sen(π

6

)y = 4

(1√2

)(1

2

)=

2√2

z = 4 cos(π

4

)z =

4√2(

2√

3√2,

2√2,

4√2

)b) (12,−π/4, 0)

x = 12 sen (0) cos(−π

4

)x = 0y = 12 sen (0) sen

(−π

4

)y = 0z = 12 cos (0)z = 12(0, 0, 12)

c) (5, π/4, 3π/4)

x = 5 sen

(3π

4

)cos(π

4

)x =

5

2

y = 5 sen

(3π

4

)sen(π

4

)y =

5

2

z = 5 cos

(3π

4

)z = 5

1√2(

5

2,

5

2,

1√2

)3. Convertir el punto dado en coordenadas cilındricas a esfericas

a) (4, π/4, 0)

x = 4 cos(π

4

)x =

4√2

y = 4 sen(π

4

)y =

4√2

φ = tan−1(yx

)φ =

π

3ρ =

√(x)2 + (y)2

ρ = 4(π4,π

3, 4)

14

b) (4, π/2, 4)

x = 4 cos(π

2

)x = 0y = 4 sen

(π2

)y = 4φ = tan−1 (1)φ = no esta definido

ρ =

√(02 + 42

ρ = 4

c) (4,−π/6, 6)

x = 4 cos(π

6

)x = 2

√3

y = 4 sen(π

6

)y = 2

φ = tan−1(

1√3

)φ =

π

3

ρ =√

(2√

3)2 + (2)2

ρ = 4(−π

6,π

3, 4)

d) (12, π, 5)

x = 12 cos (π)x = −12y = 12 sen (π)y = 0

φ = tan−1(

0

−1

)φ = 0ρ =

√(−12)2 + (0)2

ρ = 12(π, 0, 12)

4. Convertir el punto dado en coordenadas esfericas a cilındricas

a) (10, π/6, π/2)

x = 10 sen(π

2

)cos(π

6

)x = 5

√3

y = 10 sen(π

2

)sen(π

6

)y = 5

z = 10 cos(π

4

)z = 0

ρ =√

(5√

3)2 + (5)2

ρ =√

150(√150,

π

6, 0)

15

b) (36, π, π/2)

x = 36 sen(π

2

)cos (π)

x = 36y = 36 sen

(π2

)sen (π)

y = 0z = 36 cos (π)z = −36ρ =

√(36)2

ρ = 36(36, π,−36)

c) (6,−π/6, π/3)

x = 6 sen(π

3

)cos(−π

6

)x = 9y = 6 sen

(π3

)sen(−π

6

)y =

6√

3

4

z = 6 cos(π

3

)z = 18

ρ =√

(9)2 + (3√

3/2)2

ρ =√

297(√297,−π

6, 18

d) (8, 7π/6, π/6)

x = 8 sen(π

6

)cos

(7π

6

)x = −2

√3

y = 8 sen(π

6

)sen

(7π

6

)y = −2

z = 8 cos(π

6

)z = 4

√3

ρ =√

(−2√

3)2 + (−2)2

ρ = 4(4,π

6, 4√

3)

En los ejercicios 5 − 10, determinar si los planos son paralelos, ortogonales, o ninguna de las dos cosas.Si no son paralelos ni ortogonales, hallar el angulo entre ellos (θ ∈ [0, π/2]).

5. 5x− 3y + z = 4, x+ 4y + 7z = 1

n1 · n2 = 〈5,−3, 1〉 · 〈1, 4, 7〉 = 5− 12 + 7 = 0 Los planos son ortogonales

6. 3x+ y − 4z = 3, −9x− 3y + 12z = 4n1 · n2 = 〈3, 1,−4〉 · 〈−9,−3, 12〉 = 27− 3− 48 = −70El angulo entre los planos es:

θ = cos1 =

(1 · n2|n1||n2|

)θ = cos1 =

(−70√

28√

234

)θ = 170◦

16

7. x− 3y + 6z = 4, 5x+ y − z = 4

n1 · n2 = 〈1,−3, 6〉 · 〈5,−1, 1〉 = 5− 3− 6 = −4El angulo entre los planos es:

θ = cos1 =

(1 · n2|n1||n2|

)θ = cos1 =

(−4√

27√

46

)θ = 96◦31′

8. 3x+ 2y − z = 7, x− 4y + 2z = 0n1 · n2 = 〈3, 2,−1〉 · 〈1,−4, 2〉 = 3− 8− 2 = −7El angulo entre los planos es:

θ = cos1 =

(1 · n2|n1||n2|

)θ = cos1 =

(−7√

14√

21

)θ = 144◦09

9. x− 5y − z = 1, 5x− 25y − 5z = −3n1 · n2 = 〈1,−5,−1〉 · 〈5,−25,−5〉 = 5 + 125 + 5 = 130El angulo entre los planos es:

θ = cos1 =

(1 · n2|n1||n2|

)θ = cos1 =

(130√

27√

675

)θ = 87◦79′

10 2x− z = 1, 4x+ y + 8z = 10n1 · n2 = 〈2, 0,−1〉 · 〈4, 1, 8〉 = 8− 8 = 0los planos son ortogonales

En los ejercicios 11− 14, hallar la distancia del punto al plano.

11. (0, 0, 0), 2x+ 3y + z = 12n = 〈2, 3, 1〉 h(6, 0, 0) p(0, 0, 0)ph = (0, 0, 0)− (6, 0, 0) = 〈−6, 0, 0〉ph · n = 〈−6, 0, 0〉 · 〈2, 3, 1〉 = −12

la distancia es:

D =ph · n|n|

D =12√14

12. (0, 0, 0), 8x− 4y + z = 8

n = 〈8,−4, 1〉 h(1, 0, 0) p(0, 0, 0)ph = (0, 0, 0)− (1, 0, 0) = 〈−1, 0, 0〉ph · n = 〈−1, 0, 0〉 · 〈8,−4, 1〉 = −8|n| =

√(8)2 + (−4)2 + (1)2 = 9 la distancia es:

D =ph · n|n|

D =8

9

13. (2, 8, 4), 2x+ y + z = 5

n = 〈2, 1, 1〉 h(0, 0, 5) p(2, 8, 4)ph = (2, 8, 4)− (0, 0, 5) = 〈2, 8,−1〉ph · n = 〈2.8,−1〉 · 〈2, 1, 1〉 = 4 + 8− 1 = 11|n| =

√(2)2 + (1)2 + (1)2 =

√6 la distancia es:

D =ph · n|n|

D =11√

6

17

14. (3, 2, 1), x− y + 2z = 4

n = 〈1,−1, 2〉 h(0, 0, 2) p(3, 2, 1)ph = (3, 2, 1)− (0, 0, 2) = 〈3, 2,−1〉ph · n = 〈3, 2,−1〉 · 〈1,−1, 2〉 = 3− 2− 2 = −1|n| =

√(1)2 + (−1)2 + (2)2 = 9 la distancia es:

D =ph · n|n|

D =−1√

6

En los ejercicios 15− 18, verificar que los dos planos son paralelos y hallar la distancia entre ellos.

15. x− 3y + 4z = 10, x− 3y + 4z = 6n1 = 〈1,−3, 4〉 n2 = 〈1,−3, 4〉como n1 = n2 podemos decir que son perpendiculares

puntos en los planosa = (10, 0, 0) b = (0,−2, 0)La distancia esta dada de la siguiente forma

D =ab · n||n||

D =|(10,−2, 0) · 〈1,−3, 4〉|√

(1)2 + (−3)2 + (4)2=

16√26

16. 4x− 4y + 9z = 7, 4x− 4y + 9z = 18

n1 = 〈4,−4, 9〉 n2 = 〈4,−4, 9〉como n1 = n2 podemos decir que son perpendiculares

puntos en los planosa = (0, 0, 1) b = (5, 0, 0)La distancia esta dada de la siguiente forma

D =ab · n||n||

D =|(5, 0, 1) · 〈2, 0,−4〉|√(2)2 + (0)2 + (−4)2

=6√20

17. −3x+ 6y + 7z = 1, 6x− 12y − 14z = 25

n1 = 〈−3, 6, 7〉 n2 = 〈6,−12, 14〉como 2n1 = n2 podemos decir que son perpendiculares

puntos en los planos

a =

(−1

3, 0, 0

)b =

(0, 0,−25

14

)La distancia esta dada de la siguiente forma

D =ab · n||n||

D =

∣∣∣∣(−1

3, 0,−25

14

)· 〈−3, 6, 7〉

∣∣∣∣√(−3)2 + (6)2 + (7)2

=27

2√

94

18

18. 2x− 4z = 4, 2x− 4z = 10

n1 = 〈2, 0,−4〉 n2 = 〈2, 0,−4〉como n1 = n2 podemos decir que son perpendiculares

puntos en los planosa = (0, 0,−1) b = (5, 0, 0)La distancia esta dada de la siguiente forma

D =ab · n||n||

D =|(5, 0,−1) · 〈4,−4, 9〉|√

(4)2 + (−4)2 + (9)2=

11√13

En los ejercicios 19−22, hallar la distancia del punto a la recta dada por medio del conjunto de ecuacionesparametricas.

19. p = (1, 5,−2), x = 4t− 2, y = 3, z = −t+ 1punto 1 cuando t = 1 p1 = (2, 3, 0)punto 2 cuando t = 2 p2 = (6, 3,−1)

¯p2p1 = (6, 3,−1)− (2, 3, 0) = 〈4, 0,−1〉¯p1p = (2, 3, 0)− (1, 5,−2) = 〈1,−2,−2〉

¯p1p× ¯p2p1 =

∣∣∣∣∣∣i j k1 −2 −24 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = 〈−2,−7, 8〉

|| ¯p1p× ¯p2p1|| = 3√

3

20. (1,−2, 4), x = 2t, y = t− 3, z = 2t+ 2 punto 1 cuando t = 1 p1 = (2,−2, 4)punto 2 cuando t = 2 p2 = (4,−1, 6)

¯p2p1 = (4,−1, 6)− (2,−2, 4) = 〈2, 1, 2〉¯p1p = (2,−2, 4)− (1,−2, 4) = 〈1, 0, 0〉

¯p1p× ¯p2p1 =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 02 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 〈0,−2, 1〉

|| ¯p1p× ¯p2p1|| =√

5

21. (−2, 1, 3), x = 1− t, y = 2 + t, z = −2t

punto 1 cuando t = 1 p1 = (0, 3,−2)punto 2 cuando t = 2 p2 = (−1, 4,−4)

¯p2p1 = (−1, 4,−4)− (0, 3,−2) = 〈−1, 1,−2〉¯p1p = (0, 3,−2)− (−2, 1, 3) = 〈2, 2,−5〉

¯p1p× ¯p2p1 =

∣∣∣∣∣∣i j k2 2 −5−1 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 〈1,−9, 4〉

|| ¯p1p× ¯p2p1|| =√

98

22. (4,−1, 5), x = 3, y = 1 + 3t, z = 1 + t

punto 1 cuando t = 1 p1 = (3, 4, 2)punto 2 cuando t = 2 p2 = (3, 7, 3)

¯p2p1 = (3, 7, 3)− (3, 4, 2) = 〈0, 3, 1〉¯p1p = (3, 4, 2)− (4,−1, 5) = 〈−1, 5,−3〉

¯p1p× ¯p2p1 =

∣∣∣∣∣∣i j k0 3 1−1 5 −3

∣∣∣∣∣∣ = 〈−14,−1, 3〉

|| ¯p1p× ¯p2p1|| =√

206

23. En IR2, en coordenadas rectangulares describir los conjuntos x = c y y = c, y en coordenadas polaresdescribir los conjuntos r = c y θ = c, con c constante

24. En IR3, en coordenadas rectangulares describir los conjuntos x = c, y = c, z = c, en coordenadascilındricas describir los conjuntos r = c, θ = c, z = c, en coordenadas esfericas describir los conjuntosρ = c, θ = c, φ = c.

19

1.4 Dominio e Imagen de una Funcion, Curvas de Nivel, Espacios Vectoriales

En los ejercicios del 1− 10, dada la funcion f : IR2 → IR, trazar la grafica, trazar las curvas de nivel delplano xy, Hallar el dominio (D(f) ⊂ IR2) y la imagen (Im(f) ⊂ IR) de la funcion

1. f(x, y) = x− y + 2

2. f(x, y) = x2 + 4y2 D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR} Im(f)

3. f(x, y) = x2 + y2 + 1 D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR} Im(f) = z ∈ [0,∞)

4. f(x, y) = 1− x2 − y2 D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR} Im(f) = z ∈ [0,∞)

5. f(x, y) = x3 − x D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR, y = 0} Im(f) = y ∈ IR

6. f(x, y) = (100− x2 − y2)1/2 D(f){

(x, y)|x2 + y2 ≤ 100}

Im(f) = z ∈ [0, 10]

7. f(x, y) = (x2 + y2)1/2 D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR} Im(f) = z ∈ [0,∞)

8. f(x, y) = x2 + xy D(f) {(x, y)|x, y ∈ IR} Im(f) = z ∈ IR

9. f(x, y) =x

yD(f) {(x, y)|x ∈ IR, y ∈ IR/ {0}} Im(f) = z ∈ IR/ {0}

10. f(x, y) = sen(x) D(f) {(x, y)|x ∈ IR, y = 0} Im(f) = y ∈ IR

En los ejercicios 11 − 14 dada la funcion f : IR3 → IR, trazar la grafica, trazar las curvas de nivel en elespacio xyz, Hallar el dominio (D(f) ⊂ IR3) y la imagen (Im(f) ⊂ IR) de la funcion

11. f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 D(f) ={

(x, y, z)|x, y, z ∈ IR3}

Im(f) = x, y, z ∈ IR

12. f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2 D(f) ={

(x, y, z)|x, y, z ∈ IR3}

Im(f) = [0,∞)

13. f(x, y, z) = xy + yz D(f) ={

(x, y, z)|x, y, z ∈ IR3}


14. f(x, y, z) = xy + z2 D(f) ={

(x, y, z)|x, y, z ∈ IR3}


En los ejercicios del 15− 20, trazar las superficies en IR3 de las ecuaciones

15. 4x2 + y2 = 16

16. x+ 2z = 4

17. z2 = y2 + 4

18.x2

4=y2

12+z2

9

19. 4x2 − 3y2 + 2z2 = 0

20.x2

9+y2

12+z2

9= 1

21. Considere la funcion

f : IR2 → IR, f(x, y) =2xy

x2 + y2

Costruya su grafica, encuentre su dominio y trace algunas curvas de nivel, Ahora use coordenadaspolares para graficar y trazar curvas de nivel

22. considere la funcion en coordenadas polares

f : IR2/(0, 0)→ IR, f(r, θ) =cos 2θ

r2

Costruya la grafica y trace algunas curvas de nivel

23. Considere el conjunto de funciones continuas con dominio el intervalo [0, 1] y de valores reales (f :[0, 1] → IR) denotadas como C ([0, 1]). Demuestre que este conjunto con sus operaciones de suma yproducto por escalar tiene estructura de espacio vectorial, donde el campo son los numeros reales.Definimos el producto interno de dos funciones en este espacio como

f · g =

∫ 1

0

f(x)g(x)dx

verifique que este producto interno cumple con ∀f, g, h ∈ C [(0, 1)], α, β ∈ IR

20

1. (αf + βg) · h = α(f · h) + β(g · h)[∫ 1

0

αf(x) +

∫ 1

0

βg(x)

] ∫ 1

0

h(x)∫ 1

0

αf(x)

∫ 1

0

h(x) +

∫ 1

0

βg(x)

∫ 1

0

h(x)

α

∫ 1

0

f(x)

∫ 1

0

h(x) + β

∫ 1

0

g(x)

∫ 1

0

h(x)

α

∫ 1

0

f(x)h(x) + β

∫ 1

0

g(x)h(x)

2. f · g = g · f∫ 1

0

[f(x)g(x)]dx =

∫ 1

0

f(x)dx

∫ 1

0

g(x)dx =

∫ 1

0

g(x)dx

∫ 1

0

f(x) =

∫ 1

0

(g(x)f(x))dx

3. f · f ≤ 0 y f · f = 0⇔ f = 0

∫ 1

0

(f(x) · f(x))dx

si f = f podemos reescribirlo∫ 1

0

f2(x)dx

si algun f(x) = 0 tenemos∫ 1

0

(f(x) · 0)dx = 0

Establezca la siguiente desigualdad∣∣∣∣∫ 1

0

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤√∫ 1

0

[f(x)]2dx

√∫ 1

0

[g(x)]2dx

Consideremos la desigualdad 0 ≤ (f − λg)2 con λ ∈ IR la cual es valida siempre que :

0 ≤ f2 − 2fg + λg2

al integrar tenemos que

0 ≤ λ2∫ 1

0

g2 − 2λ

∫ 1

0

fg

∫ 1

0

f2

Veamos como un polinomio de segundo grado, y consideremos b2 − 4ac ≤ 0

∣∣∣∣−2

∫ 1

0

fg

∣∣∣∣2 − 4

∣∣∣∣∫ 1

0

f2∣∣∣∣ ∣∣∣∣∫ 1

0

g2∣∣∣∣ ≤ 0

4

∣∣∣∣∫ 1

0

fg

∣∣∣∣2 ≤ 4

∣∣∣∣∫ 1

0

f2∣∣∣∣ ∣∣∣∣∫ 1

0

g2∣∣∣∣

∣∣∣∣∫ 1

0

fg

∣∣∣∣2 ≤ ∣∣∣∣∫ 1

0

f2∣∣∣∣ ∣∣∣∣∫ 1

0

g2∣∣∣∣

21

2 Topologıa

2.1 Conjuntos

En los ejercicios del 1− 4, demostrar las leyes de DeMorgan

1. (A ∪B)c = Ac ∪BcDemostracion:(A ∪ B)c ⇐⇒ x 6∈ (A ∪ B) entonces x ∩ (A ∪ B) no esta definido por lo que x ∈ A o x ∈ B No estanque lo mismo decir x 6∈ A y x 6∈ B por lo tanto x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇐⇒ x ⊂ (Ac ∩Bc)

2. (A ∩B)c = Ac ∩BcDemostracion:(A∩B)c ⇐⇒ x 6∈ (A∩B) implica x no esta ⊂ (A∩B) en consecuencia x no esta en A y en B x 6=∈ Ay x 6=∈ B por lo que x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇐⇒ x ⊂ (Ac ∩Bc) llegando a lo que deseamos demostrar

3. (∪α∈IAα)c

= ∩α∈IAcαDemostracion:suponga x ∈ (∪α∈IAα∈I)c⇐⇒x 6∪α∈Ix 6∈ Aα∈I∀α∈Ipor definicion de complemetarios⇐⇒ x ∈ Acα∈I∀α∈I⇐⇒ x ∈ ∩α∈IAα∈I

4. (∩α∈IAα)c = ∪α∈IAcαDemostracion:x ∈ (∩α∈IAα∈I)⇐⇒ x 6∈ ∩α∈IAα∈I∃ix 6∈ Aα∈I⇐⇒ ∃ix 6∈ Acα∈I⇐⇒ x ∈ ∪α∈IAcα∈I

En los ejercicios 5 y 6, demostrar las identidades de teoria de conjuntos para uniones e intersecciones

5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)Demostracion:Sea x cualquier elemento en el conjuntoA ∩ (B ∪ C)⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)

⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)⇐⇒ x ∈ (A ∩B) ∧ x ∈ (A ∪ C)⇐⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

6. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)Demostracion:Sea x cualquier elemento en el conjuntoA ∪ (B ∩ C)⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)

⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)⇐⇒ x ∈ (A ∪B) ∧ x ∈ (A ∪ C)⇐⇒ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Para los ejercicios 7− 10, Sea f : S → T , una funcion. Si A,B ⊂ S y C,D ⊂ T demostrar que

7. f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B)Demostracion:∀yy ∈ f(A ∪B) esto es ∃x ∈ A ∪Bf(x) = y ya que x ∈ (A ∪B)s por lo que x ∈ A o x ∈ B, Tambien y = f(x) ∈ f(A) o y = f(x) ∈ f(B)llegando a lo que se queria demostrar y ∈ f(A) ∪ f(B)

8. f(A ∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B)Demostracion:

∀y y ∈ f(A) ∪ f(B) por lo tanto y ∈ f(A) o y ∈ f(B), Ahora suponga que y ∈ f(A). lo que significaque ∃x ∈ A

22

y = f(x) tenemos ahora A ⊆ A∪B, entonces x ∈ (A∪B) al igual y = f(x) ∈ f(A∪B) esto demuestraf(A) ∪ f(B) ⊆ f(A ∪B)

9. f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D)Demostracion:si f(x) ∈ (C ∪ D) esta en T , por lo tanto T ∈ C y T ∈ D tambien esta en T para x ∈ f−1(C), yx ∈ f−1(D) entonces f−1(C) ∪ f−1

x ∈ f−1(C) ∪ f−1(D) estan en T , por lo que si x ∈ f−1(C) y x ∈ f−1(D) implica que tambien estanen T , f(x) ∈ C y f(x) ∈ D, rescribiendolo de otra manera f(x) ∈ (C ∪D)x ∈ f−1(C ∪D)

10. f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D)Demostracion:si f(x) ∈ (C ∩ D) esta en T , por lo tanto T ∈ C y T ∈ D tambien esta en T para x ∈ f−1(C), yx ∈ f−1(D) entonces f−1(C) ∩ f−1

x ∈ f−1(C) ∩ f−1(D) estan en T , por lo que si x ∈ f−1(C) y x ∈ f−1(D) implica que tambien estanen T , f(x) ∈ C y f(x) ∈ D, rescribiendolo de otra manera f(x) ∈ (C ∩D)x ∈ f−1(C ∩D)

11. Generalizar los ejercicios 7− 10 a uniones e intersecciones arbitrarias Demostrar las proposiciones

12. La union infinita de conjuntos cerrados es cerrada.Demostracion:Sean E un conjunto y C1, C2, C3 · C3 conjuntos cerradosSe tiene

E

∪nα=1

= ∩nα=1

E

Cα

peroE

Cαes abierto, por ser Ck cerrado y la interseccion finita es un abierto, asi que

E

∪nα=1

, por lo tanto

∪nα=1Cα es cerrado

13. La interseccion arbitraria de conjuntos cerrados es cerradaDemostracion:Sea F una familia de conjuntos cerrados Tenemos

E

∩C∈FC= ∪C∈F

E

C

peroE

Ces abierto ya que C cerrado, Asi que

E

∩C∈Fes abierto debido a la union de abiertos y, por lo

tanto ∩C∈F es cerrado

14. El producto de los intervalos abiertos (0, 1)× (0, 1) es un conjunto abierto.

15. El producto de n intervalos abiertos (0, 1)× (0, 1)× . . .× (0, 1) es abierto.

23

16. Investigar que es una relacion de equivalenciaLas relaciones de equivalencia son un concepto matematico definido sobre un conjunto dado cualquiera.Comotantos otros conceptos matematicos, esta basado en una idea intuitiva, la representacion de relacionesdel tipo: ciudades en una misma region, alumnos de la misma clase, instrucciones dentro del mismobloque de odigo, enteros con el mismo valor de modulo P , etcDefinicion:Una relacion de equivalencia sobre un con conjunto C es una relacion R que cumple las siguientespropiedades:

1. reflexiva ∀a ∈ C; aRa

2. simetrica ∀a, b ∈ C; aRb⇐⇒ bRa

3. Trasitiva ∀a, b ∈ C; (aRb) ∧ (bRc)⇒⇒ (aRc)

Es facil comprobar estas propiedades para los ejemplos anteriores. Por ejemplo, la propiedad reflexivasignifica que una ciudad esta en la misma region que ella misma, ¡obviamente!; la simetrica diria quesi la ciudad a esta en la misma region que b, entonces b esta en la misma region que a; y la transitiva,que si a esta en misma region que b, y esta en la misma que c, entonces a y c estan en la misma region.Las tres se cumplen de manera trivial. En la figura 1. se muestra un ejemplo particular de relacion deequivalencia, definida sobre un conjunto de nueve elementos

Figura 1.

3 Diferenciacion

3.1 Limites y Continuidad

En los ejercicios 1− 8, se da una funcion f : IR2 → IR, Hallar el dominio, construir su grafica y calcular loslimites indicados (Si existen)

1. lim(x,y)→(0,1)

x3y

Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2}

y = x+ 1limx→0

x3(x+ 1) = 0

y = x2 + 1limx→0

x3(x2 + 1) = 0

y = x3 + 1limx→0

x3(x3 + 1) = 0

2. lim(x,y)→(0,1)

exy

Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2}

y = x+ 1limx→0

ex(x+ 1) = 1

y = x2 + 1limx→0

ex(x2 + 1) = 1

y = x3 + 1limx→0

ex(x3 + 1) = 1

24

3. lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2 + 3 Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2}

y = xlimx→0

2x2 + 3 = 3

y = x2

limx→0

x2 + x4 + 3 = 3y = senxlimx→0

x2 + sen2 x+ 3 = 3

4. lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2Dominio D(f)

{(x, y)|x, y ∈ IR2

}y = x

limx→0

x2

2x2=

1

2

limx→0

1

2=

1

2y = x2

limx→0

x2

x2 + x4= limx→0

x2

x2(1 + x2)= limx→0

1

1 + x2)= 1

y = senx

El limite no Existe

5. lim(x,y)→(0,0)

exy

x+ 1

Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2/ {−1}}y = x

limx→0

ex2

x− 1= 1

y = x2

limx→0

ex3

x− 1= 1

y = senx

limx→0

ex sen x

x− 1= 1

y = tanx

limx→0

ex tan x

x− 1= 1

6. lim(x,y)→(0,0)

cosx− 1− (x2/2)

x4 + y4No exite el limite en (0,0)

7. lim(x,y)→(0,0)

(x− y)2

x2 + y2

Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2}

y = x

limx→0

(x− x)2

2x2= limx→0

0

2x= limx→0

0 = 0y = mx

limx→0

(x−mx)2

x2 + (mx)2= limx→0

x2(1−m)2

x2(1−m2)= limx→0

(1−m)2

1−m2

para cualquier m el limite limx→0

= N , N ∈ IR

8. lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2

Dominio D(f){

(x, y)|x, y ∈ IR2}

y = x

limx→0

x2

2x2= limx→0

1

2=

1

2y = x2

limx→0

x2

x2(1 + x2)limx→0

1

1 + x2= 1 El limite No existe

25

En los ejercicios 9 y 10, demostrar los limites

9. lim(x,y)→(0,0)

2x2y

x2 + y2= 0

si para cada ε > 0, existe un numero correspondiente δ > 0 tal que para todo (x, y) en el dominio f

|f(x, y)− L| < ε siempre que 0 <√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

0 ≤∣∣∣∣ 2x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 2x2|y|x2

0 ≤∣∣∣∣ 2x2y

x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 2|y|

entonces tenemos:2√x2 + y2 = 2δ < ε

δ =ε

2

∣∣∣∣ 2x2y

x2 + y2− 0

∣∣∣∣ ≤ 2√x2 + y2 < 2δ = 2

(ε2

)= ε

10. lim(x,y)→(0,0)

senxy

xy= 1

si para cada ε > 0, existe un numero correspondiente δ > 0 tal que para todo (x, y) en el dominio f

|f(x, y)− L| < ε siempre que 0 <√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

0 ≤∣∣∣∣ senxy

xy− 1

∣∣∣∣ < ε siempre que 0 <√x2 + y2 < δ

para 0 < δ < 1 vemos que δ2 < δObservemos tambien2(xy) < x2 + y2

por lo que tenemos2xy < x2 + y2 < δ2 < δ

xy <δ

2δ

2= ε

δ = 2ε∣∣∣∣ senxy

xy− 1

∣∣∣∣ < δ

2=

1

2(2ε) = ε

por lo que queda demostrado

En los ejercicios 11− 13, calcular limx→x0

f(x), si existe para los siguientes casos

11. f : IR→ IR, f(x) = |x|, x0 = 1limx→1|x|

limx→1

x = 1

podemos observar que si los limites laterales se acercan a 1

12. f : IRn → IR, f(x) = ||x||, x0arbitrario.limx→x0

||x||

limx→1

√x21 + x22 + x23 + · · ·x2n

a) ||x|| > 0 para todo x ∈ IRn

b) ||x|| = 0⇐⇒ x = 0

13. f : IR→ IR, f(x) = (x2, ex), x0 = 1

26

En los ejercicios 14 y 15, Mostrar que las funciones son continuas

14 f : IR→ IR, f(x) =x2ex

2− senx

como f(x) = x2, f(x) = ex y f(x) = senx cumplen

1. f esta definida para todo c

2. limx→c

Existe

3. limx→c

f(x) = f(c)

y como el producto de funciones continuas es una funcion continua f(x)g(x) = h(x) podemos decir que

f(x) =x2ex

2− senxes contitua

15. f : IR2 → IR, f(x, y) = yex + senx+ (xy)4

como yex esta definida, lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) Existe y lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0) y lo mismo sucede

con senx y (xy)4 podemos decir que

f(x, y) = yex + senx+ (xy)4 Es continua

ya que la suma de funciones continuas es continua

16. ¿Se pueden hacer continuas las siguientes funciones definiendolas adecuadamente en (0, 0)

a) f(x, y) =sen(x+ y)

x+ y

f(x, y) =

sen(x+ y)

x+ y(x, y) 6= 0

x+ y (x, y) = 0Definiendola de esta forma la funcion es continua.

b) f(x, y) =xy

x2 + y2

f(x, y) =

xy

x2 + y2(x, y) 6= 0

x2 + y2 (x, y) = 0

17. Investigar que es una particion de un conjuntoUna particion en un conjunto A, es una familia de subconjuntos {Ai} de A, tales que

1. Ai ∩Aj , φ, para i 6= j

2. ∪Ai = A

Se puede probar que toda relacion de equivalencia en A determina una particion

27

3.2 Derivadas Parciales, Planos tangente, Composiocion de Funciones, Matriz,Gradiente

1. Hallar∂f

∂x,∂f

∂y

a) f(x, y) = xy∂f

∂x= y

∂f

∂y= x

b) f(x, y) = exy

∂f

∂x= yexy

∂f

∂y= xexy

c) f(x, y) = x cosx cos y∂f

∂x[cosx− x senx] cos y = cosx cos y − x senx cos y

∂f

∂y− x cosx sen y

d) f(x, y) = (x2 + y2) + ln(x2 + y2)∂f

∂x= (x2 + y2)

(2x

x2 + y2

)+ [ln(x2 + y2)](2x) = 2x[1 + ln(x2 + y2)]

∂f

∂y= (x2 + y2)

(2y

x2 + y2

)+ [ln(x2 + y2)](2y) = 2y[1 + ln(x2 + y2)]

2. Evaluar las derivadas parciales∂z

∂x,∂z

∂ypara las funciones dadas en los puntos indicados

a) z =√a2 − x2 − y2; (0, 0) (a/2, a/2)

∂(√a2 − x2 − y2)

∂x=

−2x

2√a2 − x2 − y2

=−x√

a2 − x2 − y2∂(√a2 − x2 − y2)

∂y=

−2y

2√a2 − x2 − y2

=−y√

a2 − x2 − y2

El valor de∂f

∂xen (0, 0)

0

a= 0 El valor de

∂f

∂xen(a

2,a

2

)∂f

∂x

(a2,a

2

)=

−a2√

a2 −(a

2

)2−(a

2

)2 =

a

2a√2

=2√2

b) z = ln√

1 + xy (0, 0)

∂(ln√

1 + xy)

∂x=

y

2√

1 + xy√1 + xy

=y

2(1 + xy)

∂(ln√

1 + xy)

∂y=

x

2√

1 + xy√1 + xy

=x

2(1 + xy)

El valor de∂f

∂xen (0, 0)

0

2= 0

28

c) z = eax cos(bx+ y) (2π/b, 0)∂(eax cos(bx+ y))

∂x= aeax cos(bx+ y) + eax[b sen(bx+ y)]

El valor de∂f

∂xen

(2π

b, 0

)0

a= 0

∂(eax cos(bx+ y))

∂y= eax sen(bx+ y)

El valor de∂f

∂yen

(2π

b, 0

)e

2πab sen

(b2π

b

)e

2πab sen (2π) = 0

3. Hallar las derivadas parciales∂w

∂x,∂w

∂y,

a) w = xex2+y2

∂(xex2+y2)

∂x= ex

2+y2 + x[ex2+y2(2x)] = ex

2+y2(1 + 2x2)

∂(xex2+y2)

∂y= 2yxex

2+y2

b) w =x2 + y2

x2 − y2∂

∂x

(x2 + y2

x2 − y2

)=

(x2 − y2)(2x)− (x2 + y2)(2x)

(x2 − y2)2=

2x[x2 − y2 − x2 − y2]

(x2 − y2)2=

2x(−2y2)

(x2 − y2)2=−4xy2

(x2 − y2)2

∂

∂y

(x2 + y2

x2 − y2

)=

(x2 − y2)(2y) + (x2 + y2)(2y)

(x2 − y2)2=

2y[x2 − y2 + x2 + y2]

(x2 − y2)2=

2y[2x2]

(x2 − y2)2=

4yx2

(x2 − y2)2

c) w =x

y∂(x/y)

∂x=

1

y∂(x/y)

∂y= − x

y2

d) w = cos(yexy) senx

∂(cos(yexy) senx)

∂x= cos(yexy) cosx− senx sen(yexy)yexy

∂(cos(yexy) senx)

∂y= senx sen(yexy)[xyexy + exy]

4. Mostrar que cada una de las funciones es diferenciable en cada punto de su dominio. Indicar cuales delas funciones son de clase C1

a) f(x, y) =2xy

(x2 + y2)2

∂f

∂x=

(x2 + y2)2(2y)− (2xy)(x2 + y2)(2x)

(x2 + y2)4=

2x2y + 2y3 − 4x2y

(x2 + y2)3=−2x2y + 2y3

(x2 + y2)3

∂f

∂y=

(x2 + y2)2(2x)− (2xy)(x2 + y2)(2y)

(x2 + y2)4=

2x3 + 2xy2 − 4xy2

(x2 + y2)3=

2x3 − 2xy2

(x2 + y2)3

b) f(x, y) =x

y+y

x∂f

∂x=

1

y− y

x2

∂f

∂y= − x

y2+

1

x

29

c) f(r, θ) =1

2r sen 2θ, r > 0

∂f

∂r=

1

2sen 2θ

∂f

∂x=

1

2r(2) cos 2θ = r cos 2θ

d) f(x, y) =xy√x2 + y2

∂f

∂x=

(√x2 + y2)(y)− (xy)

(2x√x2 + y2

)x2 + y2

=

(√x2 + y2)(y)−

(2x2y√x2 + y2

)x2 + y2√

x2 + y2[y − 2x2y

x2 + y2

]x2 + y2

=

y − 2x2y

x2 + y2√x2 + y2

∂f

∂y=

(√x2 + y2)(x)− (xy)

(2y√x2 + y2

)x2 + y2

=

(√x2 + y2)(x)−

(2xy2√x2 + y2

)x2 + y2√

x2 + y2[x− 2xy2

x2 + y2

]x2 + y2

=

x− 2xy2

x2 + y2√x2 + y2

e) f(x, y) =x2y

x4 + y2

∂f

∂x=

(x4 + y2)(2xy)− (x2y)(4x3)

(x4 + y2)2=

2x5y + 2xy3 − 4x5y

(x4 + y2)2=

2xy3 − 2x5y

(x4 + y2)2

∂f

∂y=

(x4 + y2)(x2)− x2y(2y)

(x4 + y2)2=

(x6 + y2x2 − 2x2y2

(x4 + y2)2

(x6 − y2x2

(x4 + y2)2

5. Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto dado y graficar conjuntamente lasuperficie y el plano tangente.

a) z = x2 + y2 (3, 1, 10)∂z

∂x= 2x

∂z

∂y= 2y

z = 10 + 6(x− 3) + 2(y − 1)z = 6x+ 2y − 10

b) z = x2 + 2y3 (1, 1, 3)∂z

∂x= 2x

∂z

∂y= 6y2

z = 3 + 2(x− 1) + 6(y − 1)z = 2x+ 6y − 5

6. Usando las funciones respectivas del ejercicio 1, calcular el plano tangente a las graficas en los puntosindicados y graficar conjuntamente la funcion y el plano tangente.

a) f(x, y) = xy (0, 0)∂f

∂x= y

∂f

∂y= x

z − z(x, y) =∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

z = 0

b) f(x, y) = exy (0, 1)∂f

∂x= yexy

∂f

∂y= xexy

z − z(x, y) =∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

z = 1 + x− 1z = x

30

c) f(x, y) = x cosx cos y (0, π)∂f

∂x[cosx− x senx] cos y = cosx cos y − x senx cos y

∂f

∂y− x cosx sen y

z = −1(x− 0)z = −x

d) f(x, y) = (x2 + y2) + ln(x2 + y2) (0, 0)∂f

∂x= (x2 + y2)

(2x

x2 + y2

)+ [ln(x2 + y2)](2x) = 2x[1 + ln(x2 + y2)]

∂f

∂y= (x2 + y2)

(2y

x2 + y2

)+ [ln(x2 + y2)](2y) = 2y[1 + ln(x2 + y2)]

7. Calcular la matriz de las derivadas parciales de las siguientes funciones

a) f : IR2 → IR2, f(x, y) = (x, y)

Df(x, y) =

[1 00 1

]b) f : IR2 → IR3, f(x, y) = (xey + cos y, x, x+ ey)

Df(x, y, z) =

ey xex + sen y1 01 ey

c) f : IR3 → IR2, f(x, y, z) = x+ ez + y, yx2)

Df(x, y, z) =

[1 1 ez

2xy x2 0

]d) f : IR2 → IR3, f(x, y) = (xyexy, x sen y, 5xy2)

Df(x, y) =

yexy(xy + 1) xexy(1 + xy)sen y x cos y5y2 10xy

e) f(x, y) = (ex, senxy)

Df(x, y)

[ex 0

y cosxy x cos y

]f) f(x, y, z) = (x− y, y + z)

Df(x, y, z) =

[1 −1 00 1 1

]g) f(x, y) = (x+ y, x− y, xy)

Df(x, y) =

1 11 −1y x

h) f(x, y, z) = (x+ z, y − 5z, x− y)

Df(x, y, z) =

1 0 10 1 −51 −1 0

31

8. ¿Donde cruza al eje z el plano tangente a z = ex−y en (1, 1, 1)∂z

∂x= ex−y

∂z

∂y= −ex−y

∂z

∂z= 1 ∇f(x, y, z) = 〈ex−y,−ex−y,−1〉

∇f(1, 1, 1) = 〈1,−1,−1〉Este vector forma al planox+ y + z + C = 01− 1− 1 = CC = 1 =x+ y + z = 1Para que cruze al eje z hagamos x = 0 y y = 0z = 1

9. sea f(x, y) = exy. Mostrar que x∂f

∂x= y

∂f

∂y∂f

∂x= yexy

∂f

∂y= xexy

por lo que tenenos

x∂f

∂x= y

∂f

∂yxyexy = xyexy

10. Calcular los gradientes de las siguientes funciones

a) f(x, y, z) = xex2−y2−z2

∇f(x, y, z) =⟨

(2x2 + 1)ex2−y2−z2 ,−2yxex

2−y2−z2 ,−2zxex2−y2−z2

⟩b) f(x, y, z) =

xyz

x2 + y2 + z2

∂f

∂x=

(x2 + y2 + z2)yz + xyz(2x)

(x2 + y2 + z2)2=

(x2 + y2 + z2)yz + 2x2yz

(x2 + y2 + z2)2

∂f

∂y=

(x2 + y2 + z2)xz + xyz(2y)

(x2 + y2 + z2)2=

(x2 + y2 + z2)xz + 2xy2z

(x2 + y2 + z2)2

∂f

∂z=

(x2 + y2 + z2)xy + xyz(2z)

(x2 + y2 + z2)2=

(x2 + y2 + z2)xy + 2xyz2

(x2 + y2 + z2)2

∇f(x, y, z) =

⟨(x2 + y2 + z2)yz + 2x2yz

(x2 + y2 + z2)2,

(x2 + y2 + z2)xz + 2xy2z

(x2 + y2 + z2)2,

(x2 + y2 + z2)xy + 2xyz2

(x2 + y2 + z2)2

⟩c) f(x, y, z) = z2ex cos y

∂f

∂x= z2ex cos y

∂f

∂y= −z2ex sen y

∂f

∂z= 2zex cos y

∇f(x, y, z) =⟨z2ex cos y,−z2ex sen y, 2zex cos y

⟩11. Calcular los gradientes de las siguientes funciones y evaluarlos en los puntos indicados

a) f(x, y, z) = (x+ z)ex−y (1, 1, 1)∂f

∂x= ex−y + (x+ z)ex−y = ex−y(1 + x+ z)

∂f

∂y= −y(x+ z)ex−y

∂f

∂z= ex−y

∇f(x, y, z) = 〈ex−y(1 + x+ z),−y(x+ z)ex−y, ex−y〉∇f(1, 1, 1) = 〈3,−2, 1〉

32

b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 (0, 0, 1)∂f

∂x= 2x

∂f

∂y= 2y

∂f

∂z= −2z

∇f(0, 0, 1) = −2j

c) ln(x2 + y2 + z2) (1, 0, 1)∂f

∂x=

2x

x2 + y2 + z2

∂f

∂y=

2y

x2 + y2 + z2

∂f

∂z=

2z

x2 + y2 + z2

∇f(x, y, z) =

⟨2x

x2 + y2 + z2,

2y

x2 + y2 + z2,

2z

x2 + y2 + z2

⟩∇f(1, 0, 1) = 〈1, 0, 1〉

3.3 Conjuntos (abiertos, cerrados, acotados, compatos), Funciones ConValores Vectoriales (Velocidad y Trayectorias)

En los ejercicios 1 − 8, indicar si el conjunto es o no es abierto, cerrado, acotado, compacto, graficarlo ydescribir su frontera

1. {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 9}El conjunto es abierto y acotado

2. {(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9}El conjunto es cerrado, acotado y compacto

3. {(x, y) | 1 < x2 + y2 ≤ 9}El conjunto es semiabierto y cotado

4. {(x, y) | 1 ≤ x2 + y2} El conjunto es cerrado

5. {(x, y) | x2 + y2 ≤ 9}El conjunto es cerrado, acotado y compacto

6. {(x, y) | y ≤ x2}El conjunto es cerrado

7. {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}El conjunto es cerrado, acotado y compacto

8. [1, 3] ∪ [5, 7] ∪ [9, 11]C = {x|x = {1, 3, 5, 7, 9, 11}} el conjunto es cerrado, acotado y compacto

En los ejercicios 9− 14, hallar el dominio de las funciones y graficarlo

9. f(x, y) =√

4− x2 − y24− x2 − y2 > 0x2 + y2 < 4Df(x, y) =

{(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < 4

}10. f(x, y) = (x+ y)

Df(x, y) ={

(x, y) ∈ IR2 : x ∈ IR, y ∈ IR}

11. f(x, y) =x+ y

xyDf(x, y) =

{(x, y) ∈ IR2 : xy 6= 0

}12. f(x, y) =

xy

x− yDf(x, y) =

{(x, y) ∈ IR2 : x 6= y

}

33

13. f(x, y, z) =√

36− 4x2 − 9y2 − 18z2

Df(x, y) ={

(x, y) ∈ IR2 : 4x2 − 9y2 − 182 < 36}

14 f(x, y, z) =z

x2 − y2Df(x, y) =

{(x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 > 0

}x2 > y2

|x| > |y|asumimos que x > 0|x| = x, |y| < x, −x < y < xasumimos que x < 0|x| = −x, |y| < −x, x < y < −x

En los ejercicios 15− 18, trazar las curvas

15. x = sen t, y = cos t, t ∈ [0, 3π/2]

16. x = 2 sen t, y = 4 cos t, 0 ≤ t ≤ 2π

17. f(t) = (2t− 1, t+ 2, t)

18. f(t) = (−t, 2t, 1/t), 1 ≤ t ≤ 3

En los ejercicios 19− 22, determinar la velocidad

19. f(t) = 6t ı + 3t2 + t3 k

f′(t) = 6 i+ 6t j + 3t2 k

20. f(t) = sen 3t ı + cos 3t + 2t3/2 k

f′(t) = 3 cos 3t i− 3 sen 3t j + 3t−1/2 k

21. f(t) = (2t− 1, t+ 2, t)f′(t) = (2, 1, 1)

22. f = (−t, 2t, 1/t), 1 ≤ t ≤ 3f′(t) = (−1, 2, 1/t2)

En los ejercicios 23 − 28, dada la trayectoria y un punto, hallar el vector tangente y la ecuacion de larecta tangente en el punto, graficar la curva, el vector tangente y la recta tangente en el mismo sistema decoordenadas.

23. f(t) = (et, cos t), t = π/2f(π/2) = (e(π/2), 0)f′(t) = (et,− sen t)f′(π/2) = (eπ/2, 1) Vector Tangente a t = πRecta Tangentert = (eπ/2(1 + t), t)

24. f(t) = (3t2, t3), t = 2f(t) = (12, 8)f′(t) = (6t, 3t2)

f′(2) = (12, 12) m =20− 8

24− 12= 1

Recta Tangentey − 8 = 1(x− 12)y = x− 4

25. f(t) = (t, sen t, cos t), t = πf(π) = (π, 0,−1)f′(t) = (1, cos t,− sen t)f′(π) = (1,−1, 0) Vector Tangente en t = πRecta Tangentert = (π + t,−t,−1)

34

26. f(t) = (t sen t, 4t), t = π/2f(π/2) = (π/2, 2π)f′(t) = (t cos t+ sen t, 4)f′(π/2) = (1, 4) Vector Tangente en t = π/2Recta Tangentert = (π/2 + t, 2π + 4t)y = 4(x− π/2) + 2πy = 4x

27. f(t) = (sen 3t, cos 3t, 2t5/2), t = 1f(1) = (sen 3, cos 3, 2)f′(t) = (3 cos 3t,−3 sen(3t), 5t3/2)f′(1) = (3 cos 3,−3 sen 3, 5) vector tangenteRecta Tangentert = (sen 3 + 3t cos 3, cos 3− 3t sen 3, 2 + 5t)

28. f(t) = (cos2 t, 3t− t3, t), t = 0f(0) = (1, 0, 0)f′(t) = (−2 cos t, 3− 3t2, 1)f′(0) = (0, 3, 1) Vector tangenteRecta Tangentert = (1, 3t, t)

En los ejercicios 29 y 30, supongamos que una partıcula que sigue la trayectoria f(t) sale por una tangenteen t = t0, calcular la posicion de la partıcula en t1

29. f(t) = (t2, t3 − 4tet, 0), t0 = 2, t1 = 3f(2) = (4, 8(1− e2), 0)f ′(t) = (2t, 3t2 − 4(et + te), 0)f ′(2) = (4, 12− 4(e2 + 2e2), 0) = (4, 12− 4e2 − 8e2, 0)l(t) = (4, 8(1− e2), 0) + t(4, 12− 4e2 − 8e2, 0)l(t) = (4− 4t, 8− 8e2 + (12− 12e2)t, 0)l(0) = (4, 8− 8e2, 0) = f(2)l(1) = (4(2), 8− 8e2 + 12− 12e2, 0)l(1) = (8, 20(1− e2), 0) Es la posicion en t = 3

30 f(t) = (4et, 6t4, cos t), t0 = 0, t1 = 1f(0) = (4, 0, 1)f ′(t) = (4et, 243,− sen t)f ′(0) = (4, 0, 0)l(t) = (4(1 + t), 0, 1)l(0) = (4, 0, 1) = f(0)l(1) = (8, 0, 1) posicion de la particula en t1 = 1

35

3.4 Trayectorias, Campos Escalares, Composicion de Funciones, Regla de laCadena

En los ejercicios 1 − 4 se da una trayectoria g(t) y un campo escalar o superficie f , hallar reglas decorrespondencia para f ◦ g y g ◦ f , hallar Df Dg. verificar que D(f ◦ g) = Df(g)Dg y D(g ◦ f) = Dg(f)Df

1. f(x, y) = xy g(t) = (et, cos t)f(g(t)) = et cos tf ′(t) = et(cos t− sen t)por regla de la cadena∂f

∂t=∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

∂f

∂t= yet − x sen t

∂f

dt= cos tet − et sen t = et(cos t− sen t)

2. f(x, y) = exy g(t) = (3t2, t3)

f(g(t)) = e3t5

f ′(t) = 15t4e3t5

Por regla de la cadena∂f

∂t=∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

∂f

∂t= yexy(6t) + 3t2xexy

∂f

dt= t4e3t

5

6t+ 3t2(3t2)e3t5

= 6t4e3t5

+ 9t4e3t5

= 15t4e3t5

3. f(x, y) = (x2 + y2) ln√x2 + y2 g(t) = (et, e−t)

e2t + e−2t ln√e2t + e−2t

(e2t + e−2t)

2e2t − 2e−2t

2√e2t + e−2t√e2t + e−2t

+ ln√e2t + e−2t(2e2t − 2e−2t)

(e2t + e−2t)e2t − e−2t

e2t + e−2t+ ln

√e2t + e−2t(2e2t − 2e−2t)

e2t − e−2t(1 + 2 ln√e2t + e−2t)

∂f

∂x= 2x ln

√x2 + y2 + (x2 + y2)

2x

2√x2 + y2

x2 + y2

= 2x ln√x2 + y2 + (x2 + y2)

x

x2 + y2

= 2x ln√x2 + y2 + x

∂f

∂y= 2y ln

√x2 + y2 + (x2 + y2)

2y

2√x2 + y2

x2 + y2

= 2y ln√x2 + y2 + (x2 + y2)

y

x2 + y2

= 2y ln√x2 + y2 + y[

2x ln√x2 + y2 + x

]et +

[2y ln

√x2 + y2 + y

]et

2e2t ln√e2t + e−2t + e2t + 2e−2t ln

√e2t + e−2t + e−2t

e2t(1 + 2 ln

√e2t + e−2t

)+ e−2t

(1 + 2 ln

√e2t + e−2t

)(e2t − e2t)

(1 + 2 ln

√e2t + e−2t

)4. f(x, y) = xex

2+y2 g(t) = (t,−t)f(g(t)) = tet−t = tf ′(t) = 1∂f

∂t= [ex+y(1 + x)] + xex+y(−t)

∂f

∂t= et−t(1 + t)− tet−t

36

∂f

∂t= 1 + t− t = 1

5. Verificar la regla de la cadena para∂h

∂xdonde h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) y

f(u, v) =u2 + v2

u2 − v2, u(x, y) = e−x−y v(x, y) = exy

∂h

∂x=∂f

∂u

∂u

∂x+∂f

∂v

∂v

∂x∂h

∂x=

[2u(u2 − v2)− 2u[u2 + v2]

(u2 − v2)2

][−e−x−y] +

[2v(u2 − v2) + 2v[u2 + v2]

(u2 − v2)2

][yexy]

∂h

∂x=

[−4v2

(u2 − v2)2

][−e−x−y] +

[4u2

(u2 − v2)2

][yexy]

∂h

∂x=

[4

(u2 − v2)2

] [v2e−x−y + u2yexy

]6. Supongamos que f : IR3 → IR, f(x, y, z) es una funcion diferenciable, considere las coordenadas esferi-

cas x = ρ cos θ senφ, y = ρ sen θ senφ, z = ρ cosφ, Calcular las derivadas parciales∂f

∂ρ,∂f

∂θ,∂f

∂φ

Sabemos que :∂ψ

∂s=∂f

∂x

∂x

∂s+∂f

∂y

∂y

∂s

ψ(ρ, θ, φ) = f(ρ cos θ senφ, ρ sen θ senφ, ρ cosφ)∂x

∂ρ= cos θ senφ

∂y

∂ρ= sen θ senφ

∂z

∂ρcosφ

∂x

∂θ= −ρ sen θ senφ

∂y

∂θ= ρ cos θ senφ

∂z

∂θ= 0

∂x

∂φ= ρ cos θ cosφ

∂y

∂φ= ρ sen θ cosφ

∂z

∂φ= −ρ senφ

∂ψ

∂=∂f

∂xcos θ senφ+

∂f

∂ysen θ senφ+

∂f

∂zcosφ

∂ψ

∂θ= −ρ senφ

∂f

∂xsen θ + ρ senφ

∂f

∂ycos θ

∂ψ

∂φ= ρ cos θ

∂f

∂xcosφ+ ρ sen θ

∂f

∂ycosφ− ρ∂f

∂zsenφ

7. Sean f(u, v) = (tan(u − 1) − ev, u2 − v2) y g(x, y) = (ex−y, x − y) De ser posible calcular f ◦ g, g ◦ f ,D(f ◦ g)(1, 1) y D(g ◦ f)

f ◦ g = (tan(ex−y − 1)− ex−y, (ex−y)2 − (x− y)2)D(f ◦ g)(x, y) = Df(u, v) ·Dg(x, y)

Df(u, v) =

(sec2(u− 1) −ev

2u −2v

)g(1, 1) = e1−1, 1− 1) = (1, 0)nota (x, y) = (1, 1) y (u, v) = (1, 0)

Df(1, 0) =

(1 −12 0

)Dg(x, y) =

(ex−y ex−y

1 −1

)D(1, 1) =

(1 −11 −1

)D(f ◦ g)(1, 1) =

(1 −12 0

)(1 −11 −1

)=

(0 02 −2

)D(g ◦ f)(x, y) = Dg(x, y) ·Df(u, v)

37

D(g◦f) =

(ex−y ex−y

1 −1

)(sec2(u− 1) −ev

2u −2v

)=

(ex−y sec2(u− 1) + 2uex−y −ex−yev − 2veu−v

sec2(u− 1)− 2u −ex−y + 2v

)8. Sean f(u, v, w) = (eu−w, cos(v + u) + sen(u + v + w)) y g(x, y) = (ex, cos(y − x), e−y) De ser posible

calcular f ◦ g, g ◦ f , D(f ◦ g)(0, 0) y D(g ◦ f)

f ◦ g = (eex−e−y , cos(cos(x− y) + ex) + sen(ex + cos(y − x) + e−y)

g ◦ f = (eeu−w,cos(cos(v+u)+sen(u+v+w)eu−w),e− cos(v+u)−sen(u+v+w))

Df(u, v, w)

(eu−w 0 −eu−w

sen(v + u) + cos(u+ v + w) sen(v + u) + cos(u+ v + w) cos(u+ v + w)

)g(0, 0) = (e0, cos(0), e0) = (1, 1, 1)

Df(1, 1, 1) =

(1 0 −1

sen 2 + cos 3 sen 2 + cos 3 cos 3

)

Dg(x, y) =

ex 0 0sen(y − x) − sen(y − x) 0

0 −e−y 0

Dg(1, 1) =

1 0 00 0 00 −1 0

D(f◦g)(0, 0) =

(1 0 −1

sen 2 + cos 3 sen 2 + cos 3 cos 3

) 1 0 00 0 00 −1 0

=

(1 1 0

sen 2 + cos 3 − cos 3 0

)9. Supongamos que un pato esta nadando en el circulo x = cos t, y = sen t y que la temperatura del agua

esta dada por T = x2ey − xy3. HallardT

dt, la razon de cambio de temperatura que puede sertir el pato

(a) mediante la regla de la cadena (b) expresando T en terminos de t y derivando

∇(cos t, sen t) · (− sen t, cos t)

∇T (x, y) =∂T

∂x,∂T

∂y∇T (x, y) = (2xey − y3, x2ey − 3xy2)∇(2 cos tesen t − sen3 t, cos2 tesen t − 3 cos t sen2 t) · (− sen t, cos t)dT

dt= −2 cos t sen tesen t + sen4 t+ cos3 tesen t − 3 cos2 t sen2 t

T (t) = cos2 tesen t − cos t sen3 tdT

dt= −2 cos t sen tesen t + sen4 t+ cos3 tesen t − 3 cos2 t sen2 t

38

En los ejercicios 10 y 11, hallar todos los valores de x y y tales que fx(x, y) = 0 y fy(x, y) = 0 simultanea-

mente. Notacion fx =∂f

∂x, fy =

∂f

∂y

10. f(x, y) = x2 + 4xy + y2 − 4x+ 16y + 3∂f

∂x= 2x+ 4y − 4

∂f

∂y= 2y − 4x+ 16

11. f(x, y) =1

x+

1

y+ xy

∂f

∂x=

1

x2+ y

∂f

∂y=

1

y2+ x

1

x2+ y = 0

1

y2+ x = 0

12. La Ley de los gases ideales establece que PV = nRT , donde P es la presion, V es el volumen, n es el

numero de moles, R es la constante de los gases y T la temperatura absoluta. Mostrar∂T

∂P

∂P

∂V

∂V

∂T= −1

sea x = f(y, z), y = g(x, z) y z = h(x, y)P (f(y, z), y, z) = 0, V (x, g(x, z), z) = 0 y T (x, y, h(x, z)) = 0Derivando∂P

∂x

∂x

∂z+∂T

∂z= 0

∂P

∂x

∂x

∂y+∂V

∂y= 0

∂V

∂y+∂T

∂z

∂z

∂y= 0

∂P

∂x+∂T

∂z

∂z

∂x= 0

∂P

∂x+∂V

∂y

∂y

∂x= 0

∂T

∂z+∂V

∂y

∂y

∂z= 0

∂x

∂z= −Tz

Px

∂y

∂x= −Pz

Vx

∂z

∂y= −Vy

Tz

suponiendo que estas parciales son distintas de cero

∂T

∂P

∂P

∂V

∂V

∂T= −1

39

3.5 Derivadas Direccionales, Planos Tangentes en el espacio, Ecuacion delPlano Tangente, Direcciones de Rapido Crecimiento

1. Calcular las derivadas direccionales de las funciones en los puntos indicados en las direcciones dadas

a) f(x, y) = x+ 2xy − 3y2 (x0, y0) = (1, 2) v =3

5i+

4

5j

f · v = (1 + 2y, 2x− 6y) ·(

3

5,

4

5

)en (1, 2)

(5,−10, ) ·(

3

5,

4

5

)= 5− 8 = −3

b) f(x, y) = ln√x2 + y2 (x0, y0) = (1, 0) v = (1/

√5)(2i, j)

f · v =

(2x

x2 + y2,

2y

x2 + y2

)·(

2√5,

1√5

)en (1, 0)

= (2, 0) ·(

2√5,

1√5

)=

4√5

c) f(x, y) = ex cos(πx) (x0, y0) = (0,−1) v =−1√

5i+

2√5j

f · v = (ex(cosπx− π senπx), 0) ·(−1√

5,

2√5

)en (x0, y0) = (0− 1)

f · v = (1, 0) ·(−1√

5,

2√5

)=−1√

5

d) f(x, y) = xy2 + x3y (x0, y0) = (4,−2) v =1√10i+

3√10j

·v = (y2 + 3x2y, 2xy + x3) ·(

1√10,

3√10

)En (x0, y0) = (4,−2)

·v = (−92, 48) ·(

1√10,

3√10

)= −−92√

10+

144√10

=52√10

2. Calcular las derivadas direccionales de las funciones en los puntos indicados en las direcciones paralelasal vector dado

a) f(x, y) = xy (x0, y0) = (e, e) u = 5i+ 12jf(x, y, z) =

b) f(x, y) = ex + yz (x0, y0, z0) = (1, 1, 1) d = (1,−1, 1)

f(x, y, z) = exi+ zj + yk

f(1, 1, 1) = ei+ j + k

Vector unitario paralelo a (1,−1, 1) es1√3i− 1√

3j +

1√3k

Derivada Direccional

f(1, 1, 1) · d = (e, 1, 1) ·(

1√3− 1√

3+

1√3

)f(1, 1, 1) =

e√3

c) f(x, y, z) = xyz (x0, y0, z0) = (1, 0, 1) d = (1, 0,−1)

f(x, y, z) · d = yzi+ xzjxykf(1, 0, 1) = jVector Unitario paralelo a (1, 0,−1) es jDerivada direccionalf(1, 0, 1) · d = (j) · (i− k) =

3. Hallar los planos tangentes a las superficies en los puntos indicados y graficar simultaneamente lasuperficie y el plano tangente. Obs. Todas son superficies en IR3

a) x2 + 2y2 + 3xz = 10 (1, 1, 1/3)f(x, y, z) = (2x+ 3z, 2y, 3x)

40

f(1, 1, 1/3) = (3, 2, 3)Entonces el plano tangente esf(x0, y0, z0) · (x− x0, y − y0, z − z0)(3, 2, 3) · (x− 3, y − 2, z − 3) = 0x+ y + z = 8

b) y2 − x2 = 3 (1, 2, 8)f(x, y, z) = (−2x, 2y, 0)f(1, 2, 8) = (−2, 4, 0)Entonces el plano tangente esf(x0, y0, z0) · (x− x0, y − y0, z − z0)(−2, 4, 0) · (x+ 2, y − 4, 0) = 0x+ y = 2

c) xyz = 1 (1, 1, 1)f(x, y, z) = (yz, xz, xy)f(1, 1, 1) = (1, 1, 1)Entonces el plano tangente esf(x0, y0, z0) · (x− x0, y − y0, z − z0)(1, 1, 1) · (x− 1, y − 1, z − 1) = 0x+ y + z = 3

4. Hallar la ecuacion del plano tangente a cada superficie z = f(x, y) en el punto indicado y graficarsimultaneamente la superficie y el plano tangente.

a) z = x3 + y3 − 6xy (1, 2,−3)∂z(x0, y0)

∂x= 3x2 − 6y

∂z(1, 2)

∂x= 3− 12 = −9

∂z(x0, y0)

∂y= 3y2 − 6x

∂z(1, 2)

∂x= 12− 6 = 6

La ecuacion del Plano Tangente

z = z0 +

[∂z

∂x(x− x0)

]+

[∂z

∂y(y − y0)

]z = −3− 9(x− 1) + 6(y − 2)z = 6y − 9x− 6

b) z = cosx cos y (0, π/2, 0)∂z(x0, y0)

∂x= − senx cos y = 0

∂z(x0, y0)

∂x= − sen y cosx = −1

la ecuacion del plano tangente

z = z0 +

[∂z

∂x(x− x0)

]+

[∂z

∂y(y − y0)

]z + y =

π

2c) z = cosx sen y (0, π/2, 1)

∂z(x0, y0)

∂x= − senx sen y

∂z(0, π/2)

∂x= 0

∂z(x0, y0)

∂y= cosx cos y

∂z(0, π/2)

∂x= 0

La ecuacion del Plano Tangente

z = z0 +

[∂z

∂x(x− x0)

]+

[∂z

∂y(y − y0)

]z = 1

41

5. Para las siguientes funciones hallar las direcciones de mas rapido crecimiento en el punto (1, 1, 1)

a) f(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2

f =2x

(x2 + y2 + z2)3/2i+

2y

(x2 + y2 + z2)3/2j +

2z

(x2 + y2 + z2)3/2k

De modo que en (1, 1, 1)

f |(1,1,1) =2√3i+

2√3j +

2√3k

b) f(x, y, z) = xy + yz + xz

f = (x+ z)i+ (x+ z)j + (y + x)kDe modo que en (1, 1, 1)

f |(1,1,1) = 2i+ 2j + 2k

c) f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

f =2x

(x2 + y2 + z2)2i+

2y

(x2 + y2 + z2)2j +

2z

(x2 + y2 + z2)2k

De modo que en (1, 1, 1)

f |(1,1,1) =2

9i+

2

9j +

2

9k

6. Hallar vectores unitarios normales a las superficies en los puntos indicados y graficar conjuntamente lasuperficie y el vector normal

a) x3y3 + y − z + 2 = 0 (0, 0, 2)

f(x, y, z) = 3x2y3i+ (3x3y2 + 1)j − kf(0, 0, 2) = j − kVector Unitario

n =1√2

(i− j)

b) cosxy = ex − 2 (1, π, 0)f(x, y) = cosxy − ex + 2 = 0f(x, y) = (− senxy − ex)i− (senxy)jf(1, π) = −eiNormal Unitaria− e√

πi

7. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metalica esta dada por

T =x

x2 + y2

a) Graficar la superficie

b) Graficar algunas curvas de nivel

c) ¿Que representa cada curva de nivel?

d) Hallar la direccion de mayor incremento de calor en el punto (3, 4)

c)

d)∂f

∂x=x2 + y2 − 2x2

(x2 + y2)2=

y2 − x2

(x2 + y2)2

∂f

∂y=

2xy

(x2 + y2)2

f(x, y) =

(y2 − x2

(x2 + y2)2,

2xy

(x2 + y2)2

)f(3, 4) =

((4)2 − (3)2

((3)2 + (4)2)2,

2(3)(4)

((3)2 + (4)2)2

)f(3, 4) =

(7

225,

24

225

)

42

8. La superficie de una montana se modela mediante la ecuacion

h(x, y) = 5000− 0.001x2 − 0.004y2

Un montanista se encuentra en el punto (500, 300, 4390). ¿En que direccion debe moverse para ascendercon la mayor rapidez?∂h

∂x= −2(0.001)x

∂h

∂y= −2(0.004)y

9. Investigue en que consiste la Ley de Coulomb y encuentre una funcion potencial para la fuerza.

La ley de Coulomb expresa cuatro hechos

(a) Las cargas semejantes se repele, cargas opuestas se atraen

(b) La fuerza actua a lo largo de la linea que une las dos particulas

(c) La fuerza es proporcional a la magnitud de cada carga

(d) La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

U(x, y, z) =kq1q2√

x2 + y2 + z2=Kq1q2||r||

donde U : IR3 → IRentonces F = U

U =

(∂U

∂x, b∂U

∂y,∂U

∂z

)= −kq1q2

2

(x2 + y2 + z2

)−3/2(2x, 2y, 2z)

U = −(kq1q2||r||3

x,kq1q2||r||3

y,kq1q2||r||3

z

)U = −k q1q2r

||r||3

U = −k q1q2||r||2

r

||r||

3.6 Segundas Derivadas Parciales, Derivadas Parciales Mixtas, Series de Tylor,Extremos y Extremos Relativos

1. Hallar el dominio y calcular las segundas derivadas parciales para cada una de las siguientes funciones

a) f(x, y) =2xy

(x2 + y2)2

∂f

∂x=

(x2 + y2)2(2y)− 2xy(x2 + y2)(2x)

(x2 + y2)4=

2x2y + 2y3 − 4x2y

(x2 + y2)3=

2y3 − 2x2y

(x2 + y2)3

∂2f

∂x2=

(x2 + y2)3(−4xy)− (2y3 − 2x2y)(6x(x2 + y2)2)

(x2 + y2)5=−4x3y − 4xy3 − 12xy3 + 12x3y

(x2 + y2)3

∂2f

∂x2=

8x3y − 16xy3

(x2 + y2)3

∂f

∂y=

(x2 + y2)2(2x)− 2xy(x2 + y2)(2y)

(x2 + y2)4=

2x3 + 2xy2 − 4xy2

(x2 + y2)3=

2x3 − 2xy2

(x2 + y2)3

∂2f

∂y2=

(x2 + y2)3(−4xy)− (2x3 − 2xy2)(6y(x2 + y2)2)

(x2 + y2)5=−4x3y − 4xy3 − 12x3y + 12xy3

(x2 + y2)3

∂2f

∂y2=

8xy3 − 16x3y

(x2 + y2)3

b) f(x, y) = (1/x) + xe−y

∂f

∂x=|x2

+ e−y∂2f

∂x2=

1

x3∂f

∂x= −xe−y ∂2f

∂y2= xe−y

c) f(x, y) = cos(xy2)∂f

∂x= −y2 sen(xy2)

∂2f

∂x2= −y4 cos(xy2)

∂f

∂y= −2xy sen(xy2)

∂2f

∂y2= −[4x2y2 cos(xy2) + 2x sen(xy2)]

43

d) f(x, y) = e−xy2

+ y3x4

∂f

∂x= −y2e−xy2 + 4y3x3

∂2f

∂x2= y4e−xy

2

+ 12y3x2

∂f

∂y= −2xye−xy

2

+ 3y2x4

∂2f

∂y2= −[2xe−xy

2

+ 4x2y2e−xy2

] + 6yx4

e) f(x, y) =1

cos2 x+ e−y∂f

∂x=−2 cosx senx

(cos2 x+ e−y)2= − sen 2x

(cos2 x+ e−y)2

∂2f

∂x2= − (cos2 x+ e−y)2(2 cosx)− sen 2x(2 cosx senx)

(cos2 x+ e−y)4=

(cos2 x+ e−y)2(2 cosx)− sen2 2x

(cos2 x+ e−y)4

∂f

∂y= − e−y

(cos2 x+ e−y)2

∂2f

∂y2= −−(cos2 x+ e−y)2e−y + (cos2 x+ e−y)e−y

(cos2 x+ e−y)4=

(cos2 x+ e−y)e−y − e−y

(cos2 x+ e−y)3=e−y((cos2 x+ e−y)− 1)

(cos2 x+ e−y)3

f) z = 3x2 + 2y2

∂z

∂x= 6x

∂2z

∂x2= 6

∂z

∂y= 4y

∂2f

∂y2= 4

g) z = x2y2e2xy

∂z

∂x= 2y2xe2xy + 2x2y3e2xy

∂2z

∂x2= 2y2e2xy + 4y3e2xy + 4xy3e2xy + 4x2y4e2xy

2. En las siguientes funciones f : IR3 → IR, hallar el dominio, calcular las terceras derivadas parcialesfxyz, fxzy, fzxy, fzyx, fyxz, fyzx y observar cuales son iguales.

a) f(x, y, z) = x4y3z2 − x8 + y4 + z5

∂f

∂z= 2x4y3z + 5z4

∂f

∂y= 6x4y2z

∂f

∂x= 24x3y2z

∂f

∂y= 3x4y2z2 + 4y3

∂f

∂z= 6x4y2z

∂f

∂x= 24x3y2z

∂f

∂y= 3x4y2z2 + 4y3

∂f

∂x= 12x3y2z2

∂f

∂z= 24x3y2z

∂f

∂x= 4x3y3z2 − 8x7

∂f

∂y= 12x3y2z2

∂f

∂z= 24x3y2z

∂f

∂z= 2x4y3z + 5y4

∂f

∂x= 8x3y3z

∂f

∂y= 24x3y2z

∂f

∂x= 4x3y3z2 − 8x7

∂f

∂z= 8x3y3z

∂f

∂y= 24x3y2z

b) f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2

∂f

∂z= 2yz

∂f

∂y= 2z

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= x2 + 2xy + z2

∂f

∂z= 2z

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= x2 + 2xy + z2

∂f

∂x= 2x+ 2y

∂f

∂z= 0

∂f

∂x= 2xy + y2

∂f

∂y= 2x+ 2y

∂f

∂z= 0

∂f

∂z= 2yz

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

∂f

∂x= 2xy + y2

∂f

∂z= 0

∂f

∂y= 0

44

c) f(x, y, z) = zexy + yz3x2

∂f

∂z= exy + 3yz2x2

∂f

∂y= xexy + 3z2x2

∂f

∂x= exy(xy + 1) + 6z2x

∂f

∂y= zxexy + z3x2

∂f

∂z= xexy + 3z2x2

∂f

∂x= exy(xy + 1) + 6z2x

∂f

∂y= zxexy + z3x2

∂f

∂x= z[exy(xy + 1] + 2z3x

∂f

∂z= exy(xy + 1) + 6z2x

∂f

∂x= zyexy + 2yz3x

∂f

∂y= z[exy(xy + 1)] + 2z3x

∂f

∂z= exy(xy + 1) + 6z2x

∂f

∂z= exy + 3yz2x2

∂f

∂x= yexy + 6yz2x

∂f

∂y= exy(xy + 1) + 6z2x

∂f

∂x= zyexy + 2yz3x

∂f

∂z= yexy + 2z3x

∂f

∂y= exy(xy + 1) + 6z2x

3. Con base en sus observaciones, escribir un teorema para una funcion f : IR3 → IR, f(x, y, z), donde seespecifique de que clase debe ser f y que igualdades de las terceras derivadas parciales se satisfacen.Despues dar un bosquejo de la demostracion.Tenemos que

∂3f

∂x∂y∂z=

∂

∂x

(∂

∂y

(∂f

∂z

))sea g =

∂f

∂z

∂3f

∂x∂y∂z=

∂

∂x

(∂h

∂y

)por el teorema visto en clase∂

∂y

(∂h

∂x

)y Tambien

∂h

∂x=

∂

∂x

(∂f

∂z

)=

∂

∂z

(∂f

∂x

)por lo tanto

∂3f

∂x∂y∂z=

∂

∂x

(∂

∂y

(∂f

∂z

))=

∂3f

∂y∂z∂x

4. Considere la funcion

f(x, y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0);

0, (x, y) = (0, 0).

a) Hallar el dominio y graficar la funcion

b) Si (x, y) 6= (0, 0) calcular fx, fy y verificar que fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0)

c) Mostrar que fyx(0, 0) = 1, fxy(0, 0) = −1, ¿Por que no son iguales las parciales cruzadas?

a) Df : {(x, y)|x ∈ IR, y ∈ IR}

b) f(x, y) =x3y − xy3)

x2 + y2

∂f

∂x=

(x2 + y2)(3x2y − y3)− (x3y − xy3)(2x)

(x2 + y2)2=

3x4y − x2y3 + 3x2y3 − y5 − 2x4y + 2x2y3

(x2 + y2)2

x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2

∂f

∂y=

(x2 + y2)(x3 − 3xy2)− (x3y − xy3)(2y)

(x2 + y2)2=x5 − 3x3y2 + x3y2 − 3xy4 − 2x3y2 + 2xy4

(x2 + y2)2

=x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2

45

Derivadas en (0, 0) por definicion y manteniendo constante y

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(0 + h, 0)− f(0, 0)

h= limh→0

h(0)(h2 − 02)

h2 + 02− 0

h= limh→0

0

h= 0

En (0, 0) mantiendo costante x

∂f

∂y(0, 0) = lim

h→0

f(0, 0 + h)− f(0, 0)

h= limh→0

(0)(h)(02 − h2)

02 + h2− 0

h= limh→0

0

h= 0

c)∂f

∂y∂x=

(x2 + y2)2(x4 + 12x2y2 − 5y4)− (x4y + 4x2y3 − y5)[4y(x2 + y2)]

(x2 + y2)4

∂f

∂y∂x=

(x2 + y2)(x4 + 12x2y2 − 5y4)− 4y(x4y + 4x2y3 − y5)

(x2 + y2)3

∂f

∂y∂x=x6 + 12x4y2 − 5x2y4 + x4y2 + 12x2y4 − 5y6 − 4x4y2 − 16x2y4 + 4y6

(x2 + y2)3

∂f

∂y∂x=x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6

(x2 + y2)3

por Definicion

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂y(0 + h, 0)− ∂f

∂y(0, 0)

h= limh→0

h5 − 4h3(0)2 − h(0)4

(h2 + 02)2

h= limh→0

h5

h4

h

= limh→0

h5

h5= 1

∂2f

∂y∂x(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂x(0, 0 + h)− ∂f

∂x(0, 0)

h= limh→0

h(0)2 − h5 + 4h3(0)2

(02 + h2)2

h= limh→0

−h5

h4

h

= limh→0− h5

h5= −1

5. Una funcion con segundas derivadas parciales continuas que satisfaga la ecuacion de Laplace fxx+fyy =0 es armonica. ¿Cuales de las siguientes funciones son armonicas?

a) f(x, y) = x2 − y2∂f

∂x= 2x

∂2f

∂x2= 2

∂f

∂y= −2x

∂2f

∂y2= −2

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= 2− 2 = 0 Es una Funcion Armonica

b) f(x, y) = x2 + y2

∂f

∂x= 2x

∂2f

∂x2= 2

∂f

∂y= 2x

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= 2 + 2 = 4

c) f(x, y) = xy∂f

∂x= y

∂2f

∂x2= 0

∂f

∂y= x

∂2f

∂y2= 0

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= 0 Es una Funcion Armonica

d) f(x, y) = y3 + 3x2y∂f

∂x= 6xy

∂2f

∂x2= 6y

∂f

∂y= 3y2 + 3x2

∂2f

∂y2= 6y

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= 6y + 6y = 12y

e) f(x, y) = senx cosh y∂f

∂x= cosx cosh y

∂2f

∂x2= − senx cosh y

∂f

∂y= senx senhy

∂2f

∂y2= senx cosh y

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= − senx cosh y + senx cosh y = 0 Es una Funcion Armonica

46

f) f(x, y) = ex sen y∂f

∂x= ex sen y

∂2f

∂x2= ex sen y

∂f

∂y= ex cos y

∂2f

∂y2= −ex sen y

∂2f

∂x2+∂2f

∂x2= ex sen y − ex sen y = 0 Es una Funcion Armonica

6. Obtener los primeros terminos de los desarrollos de Taylor de las funciones siguientes en una vecindaddel origen (0, 0).

a) z = arctany

x2 + 1

∂z

∂x=

1

1 +y

x2 + 1

(2x

(x2 + 1)2

)=

2x

(x2 + 1)2

x2 + 1 + y

x2 + 1

=2x

x4 + 2x2 + x2y + 1 + y

∂z

∂y=

1

1 +y

x+ 1

(1

1 + x

)=

1

x+ 1x+ 1 + y

x+ 1

=1

x+ 1 + y

∂2z

∂x2=

2x4 + 8x2y + 2 + 2y − 2x(4x3 + 4x+ 2xy)

(x4 + 2x2 + x2y + 1 + y)2=

2x4 + 8x2y + 2 + 2y − 8x4 − 8x2 − 4x2y

(x4 + 2x2 + x2y + 1 + y)2=

4x2y − 6x4 − 8x2 + 2y + 2

(x4 + 2x2 + x2y + 1 + y)2

∂2z

∂x∂y=

x2 + 1

(x4 + 2x2 + x2y + 1 + y)2

∂2z

∂y2=

1

(x+ 1 + y)2

∂2z

∂y∂x=

1

(x+ 1 + y)2

P (x, y) = 0 +(0x+ y)

1!+

2x2 + xy + yx+ y2

2!

P (x, y) = y +2x2 + 2xy + y2

2!+ . . .

b) z = coshx senhy

∂z

∂x= senhx senhy

∂z

∂y= coshx cosh y

∂2z

∂x2= coshx senhy

∂2z

∂x∂y= senhx cosh y

∂2z

∂y∂x= coshx senhy

∂2z

∂y2= coshx senhy

∂3z

∂x3senhx senhy

∂3z

∂x2∂ycoshx cosh y

∂3z

∂x∂y∂x= coshx cosh y

∂3z

∂x∂y2= senhx senhy

∂3z

∂y∂x2= x senhy

∂3z

∂y∂x∂ycoshx cosh y

∂3z

∂y2∂x= senhx senhy

∂3z

∂y3coshx cosh y

P (x, y) = 0+0x+0y+0x2 + 0xy + 0xy + 0y2

2!+

0x3 + x2y + x2y + 0xy2 + 0x2y + xy2 + 0xy2 + y3

3!

P (x, y) =2x2 + xy2 + y3

3!c) z = cosx cosh(x+ y)

∂z

∂x= senx cosh(x+ y) + cosx senh(x+ y)

∂z

∂y= cosx senh(x+ y)

∂2z

∂x2= cosx cosh(x+y)+senx senh(x+y)−senx senh(x+y)+cosx cosh(x+y) = 2 cosx cosh(x+y)

∂2z

∂x∂y= senx senh(x+y)+cosx cosh(x+y)

∂2z

∂y∂x= − senx senh(x+y)+cosx cosh(x+y)

47

∂2z

∂y2= cosx cosh(x+ y)

∂3z

∂x3= 2[−senx cosh(x+ y) + cosx senh(x+ y)]

∂3z

∂x2∂y= 2 cosx senh(x+ y)

∂3z

∂x∂y∂xsenx cosh(x+y)+cosx sen(x+y)+cosx senh(x+y)−senx cosh(x+y) = 2 cosx senh(x+y)

∂3z

∂x∂y2senx cosh(x+ y) + cosx senh(x+ y)

∂3z

∂y∂x2−senx cosh(x+y)−cosx sen(x+y)+cosx senh(x+y)−senx cosh(x+y) = −2 senx cosh(x+y)

∂3z

∂y∂x∂y= − senx cosh(x+ y) + cosx senh(x+ y)

∂3z

∂y2x= cosx senh(x+ y)− senx cosh(x+ y)

∂3z

∂y3= cosx senh(x+ y)

P (x, y) = 1 + (0x+ 0y) +2x2 + xy + yx+ y2

2!+

0

3!

P (x, y) = 1 + x2 + xy +y2

2!d) z = ex cos y

∂z

∂x= ex cos y

∂z

∂y= −ex sen y

∂2z

∂x2= ex cos y

∂2z

∂x∂y= ex sen y

∂2z

∂y∂x= −ex sen y

∂2z

∂y2= −ex cos y

∂3z

∂x3= ex cos y

∂3z

∂x2y= −ex senx

∂3z

∂x∂y∂x= ex sen y

∂3z

∂x∂y2= ex cos y

∂3z

∂y∂x2= −ex sen y

∂3z

∂y∂x∂y= −ex cos y

∂3z

∂y2x= −ex cos y

∂3z

∂y3= ex senx

P (x, y) = P (0, 0) = 1 + x+x2 − y2

2!+x3 + xy2 − xy2 − xy2

3!

P (0, 0) = 1 + x+x2 − y2

2!+x3 − xy2

3!

e) z =senx

cos y∂z

∂x=

cosx

cos y

∂z

∂y= − senx sen y

cos2 y

∂2z

∂x2= − senx

cos y

∂2z

∂x∂y= −cosx sen y

cos2 y∂2z

∂y∂x= −cosx sen y

cos2 y

∂2z

∂y2= − senx

(cos y

cos4 y

)= −

(senx

cos3 y

)

∂3z

∂x3= −cosx

cos y

∂3z

∂x2∂y=

senx sen y

cos2 y

∂3z

∂x∂y∂x=

senx sen y

cos2 y∂3z

∂x∂y2= cosx

(cos2 y cos y + sen2 cos y

cos4 y

)=

(cosx

cos3 y

∂3z

∂y∂x2=

senx sen y

cos2 y∂3z

∂y∂x∂y= − cosx

(cos y cos2 y + sen2 y cos y

cos4 y=

cosx

cos3 y

∂2z

∂y2∂x= − cosx

cos3 y∂2z

∂y3=

senx sen y

cos4 y

P = f(x, y) +∂f(x, y)

∂x+∂f(x, y)

∂y+

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂x∂y+∂2f(x, y)

∂y∂x+∂2f(x, y)

∂y2

2!+ . . .

48

P (x, y) = x− x3 − xy2 + xy2

3!= x− x3

3!f) z = ln(1− x) ln(1− y)

∂z

∂x= − ln(1− y)

1− x∂z

∂y= − ln(1− x)

1− y

∂2z

∂x2=

ln(1− y)

(1− x)2∂2z

∂x∂y=

1

(1− y)(1− x)∂2z

∂y∂x=

1

(1− y)(1− x)

∂2z

∂y2=

ln(1− x)

(1− y)2

∂3z

∂x3= − ln(1− y)

(1− x)3∂3z

∂x2∂y= − 1

(1− y)(1− x)2∂3z

∂x∂y∂x= − 1

(1− y)(1− x)2

∂3z

∂x∂y2= − 1

(1− y)2(1− x)

∂3z

∂y∂x2= − 1

(1− y)(1− x)2

∂3z

∂y∂x∂y= − 1

(1− y)2(1− x)

∂2z

∂y2∂x= − 1

(1− y)2(1− x)∂2z

∂y3= − ln(1− x)

(1− y)3

P = f(x, y) +∂f(x, y)

∂x+∂f(x, y)

∂y+

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂x∂y+∂2f(x, y)

∂y∂x+∂2f(x, y)

∂y2

2!+ . . .

P (x, y) =xy + xy

2!− x2y + x2 + y + xy2 + yx2 + xy2 + xy2

3!=

2xy

3+x2y

2+xy2

2

g) z = ex2−y2

∂z

∂x= 2xex

2−y2 ∂z

∂y= −2yex

2−y2

∂2z

∂x2= 4x2ex

2−y2 ∂2z

∂x∂y= −2x2yex

2−y2

∂2z

∂y∂x= −2x2yex

2−y2 ∂2z

∂y2= 4y2ex

2−y2

∂3z

∂x3= 8x3ex

2−y2 ∂3z

∂x2y= −4x22yex

2−y2

∂3z

∂x∂y∂x= −4x22yex

2−y2 − 4yex2−y2 = −2yex

2−y2(4x2 + 2y)

∂3z

∂x∂y2= −2x4y2ex

2−y2 − 4xex2−y2 = −2xex

2−y2(4y2 + 2x)

∂3z

∂y∂x2= −4x22yex

2−y2 − 4yex2−y2 = −2yex

2−y2(4x2 + 2y)

∂3z

∂y∂x∂y= −2x4y2ex

2−y2 − 4xex2−y2 = −2xex

2−y2(4y2 + 2x)

∂3z

∂y2x= 4y22xex

2−y2 ∂3z

∂y3= −8y3ex

2−y2

h) z = cos(x+ y)e−x2

∂z

∂x= [− sen(x+ y)− 2x cos(x+ y)]e−x

2 ∂z

∂y= − sen(x+ y)e−x

∂2z

∂x2= [− cos(x+ y) + 2x sen(x+ y)− 2 cos(x+ y)]e−x

2

+ 2xe−x[sen(x+ y) + 2x cos(x+ y)]

= [2x sen(x+ y)− 3 cos(x+ y)]e−x2

+ 2xe−x2

[sen(x+ y) + 2x cos(x+ y)]∂2z

∂x∂y= [− cos(x+ y) + 2x sen(x+ y)]e−x

2

∂2z

∂y∂x= −e−x2

[cos(x+ y)− sen(x+ y)]∂2z

∂y2= − cos(x+ y)e−x

2

49

∂3z

∂x3= [2x cos(x + y) + 2 sen(x + y) − 3 sen(x + y)]e−x

2 − 2x[2x sen(x + y) − 3 cos(x + y)]e−x2

+

2e−x2

[sen(x+ y) + 2x cos(x+ y)] + 2x(e−x

2

[cos(x+ y) + 2 cos(x+ y)− 2x sen(x+ y)]

−2xe−x2


∂x2y= [2x cos(x+ y) + 3 sen(x+ y)]e−x

2

+ 2xe−x2

[cos(x+ y) + 2x sen(x+ y)]

∂3z

∂x∂y∂x= [sen(x+ y) + 2x cos(x+ y) + 2 sen(x+ y)]e−x

2

+ [cos(x+ y)− 2x sen(x+ y)]2xe−x2

∂3z

∂x∂y2= e−x

2

sen(x+ y) + 2xe−x2

cos(x+ y)

∂3z

∂y∂x2= −2xe−x

2

[sen(x+ y)− cos(x+ y)] + e−x2

[cos(x+ y) + sen(x+ y)]

∂3z

∂y∂x∂y= e−x

2

[cos(x+ y) + sen(x+ y)]

∂3z

∂y2x= e−x

2


∂y3= e−x

2

sen(x+ y)

P = f(x, y) +∂f(x, y)

∂x+∂f(x, y)

∂y+

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂x∂y+∂2f(x, y)

∂y∂x+∂2f(x, y)

∂y2

2!+ . . .

P (x, y) = −3x2 + 2xyy2

2!+

2x3 + xy2

3!i) z = cos(x cos y)

j) z = sen(x2 + y2)

∂z

∂x= 2x cos(x2 + y2)

∂z

∂y= 2y cos(x2 + y2)

∂2z

∂x2= −4x2 sen(x2 + y2) + 2 cos(x2 + y2)

∂2z

∂x∂y= −4xy sen(x2 + y2)

∂2z

∂y∂x= −4xy sen(x2 + y2)

∂2z

∂y2= −4y2 sen(x2 + y2) + 2 cos(x2 + y2)

∂3z

∂x3= −8x sen(x2 + y2)− 8x3 cos(x2 + y2)− 4x sen(x2 + y2) = −8x3 cos(2+y2)− 12x sen(x2 + y2)

∂3z

∂x2y= −8x2y cos(x2 + y2)− 4y sen(x2 + y2)

∂3z

∂x∂y∂x= −8x2y cos(x2 + y2)

∂3z

∂x∂y2= −8xy2 cos(x2 + y2)

∂3z

∂y∂x2= −8x2y sen(x2 + y2)

∂3z

∂y∂x∂y= −8xy2 sen(x2 + y2)

∂3z

∂y2x= −8xy2 cos(x2 + y2) + 4x sen(x2 + y2)

∂3z

∂y3= −8y3 cos(x2 + y2)− 8y sen(x2 + y2)− 4y sen(x2 + y2) = −8x3 cos(2+y2)− 12x sen(x2 + y2)

P = f(x, y) +∂f(x, y)

∂x+∂f(x, y)

∂y+

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂x∂y+∂2f(x, y)

∂y∂x+∂2f(x, y)

∂y2

2!+ . . .

50

7. Dada la funcion, graficarla, identificar los extremos reconociendo su forma o manipular algebraicamentepara reconocer su forma. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntoscrıticos y probar si son extremos relativos.

a) g(x, y) = (x− 1)2 + (y − 3)2

los valores extremos pueden presentarse solo cuando∂g(x, y)

∂x= 2(x− 1) = 0

∂g(x, y)

∂x= 2(y − 3) = 0

La unica posibilidad es el punto (1, 3)f(x, 0) = (x− 1)2 > 0 f(0, y) = (y − 3)2 > 0

b) g(x, y) = 9− (x− 3)2 − (y + 2)2

los valores extremos pueden presentarse solo cuando∂g(x, y)

∂x= 2(x− 3) = 0

∂g(x, y)

∂x= 2(y + 2) = 0

La unica posibilidad es el punto (3,−2)

c) f(x, y) =√

25− (x− 2)2 − y2los valores extremos pueden presentarse solo cuando∂f(x, y)

∂x=

2− x√25− (x− 2)2 − y2

∂f(x, y)

∂y=

−2y√25− (x− 2)2 − y2

La unica posibilidad es el punto (2, 0)

d) f(x, y) = x2 + y2 + 2x− 6y + 6los valores extremos pueden presentarse solo cuando∂f(x, y)

∂x= 2x+ 2

∂f(x, y)

∂y= 2y − 6{

2x+ 2 = 02y − 6 = 0

La unica posibilidad es el punto (−1, 3)

8. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metalica esta dada por

T =x

x2 + y2

Encuentre las temperaturas mas alta y mas baja que puede alcanzar la placa.

∂T

∂x=x2 + y2 − 2x2

(x2 + y2)2=

y2 − x2

(x2 + y2)2

∂T

∂y= − 2xy

(x2 + y2)2

y2 − x2

(x2 + y2)2= 0 − 2xy

(x2 + y2)2= 0

La unica posibilidad de punto critico es: (0, 0)∂2T

∂x2=

(x2 + y2)2(−2x)− (y2 − x2)(x2 + y2)(4x)

(x2 + y2)4=−2x3 − 2xy2 − 4xy2 + 4x3

(x2 + y2)3= −2x3 + 2xy2

(x2 + y2)3

∂2T

∂xy=

(x2 + y2)2(2y)− (y2 − x2)(x2 + y2)(4y)

(x2 + y2)4=

2x2y + 2y3 − 4y3 + 4x2y

(x2 + y2)3= −2x2y − 6x2y

(x2 + y2)3

∂2T

∂y2=

(x2 + y2)2(2x)− (2xy)(2)(x2 + y2)(2y)

(x2 + y2)4=

2x3 + 2xy2 − 8xy2

(x2 + y2)3=

2x3 − 6xy2

(x2 + y2)3

51

9. La superficie de una montana se modela mediante la ecuacion

h(x, y) = 5000− 0.001x2 − 0.004y2.

Construya la grafica y encuentre la altura maxima de la montana.∂h

∂x= −2(0.001x)

∂h

∂y= −2(0.004y)

∂2h

∂x2= −2(0.001)

∂2h

∂y2= −2(0.004)

La Altura Maxima es 5000

4 Maximos y Minimos

4.1 Maximos y Minimos Locales, Maximos y Minimos Absolutos (Hessiano)

En los ejercicios 1− 17, dada la funcion f : IRn → IR, con ayuda de un dispositivo electronico, construir sugrafica (de ser posible), hallar los puntos crıticos y determinar cuales son maximos locales, mınimos localeso puntos silla.

1. f(x, y) = x2 − y2 + xy∂f

∂x= 2x+ y

∂f

∂y= x− 2y{

2x+ y = 0x− 2y = 0

punto critico en (x0, y0) = (0, 0)∂2f

∂x2= 2

∂2f

∂y2= −2

D =∂2f

∂x2∂2f

∂y2−(∂2f

∂x∂y

)2

= −4

En el punto (0, 0) tiene un punto silla

2. f(x, y) = x2 + y2 − xy∂f

∂x= 2x− y ∂f

∂y= 2y − x{

2x− y = 0−x+ 2y = 0


∂x2= 2

∂2f

∂y2= 2

D =∂2f

∂x2∂2f

∂y2−(∂2f

∂x∂y

)2

= 4

En el punto (0, 0) tiene un minimo

3. f(x, y) = e1+x2−y2

∂f

∂x= 2xe1+x

2−y2 ∂f

∂y= −2ye1+x

2−y2{2xe1+x

2−y2 = 0

−2ye1+x2−y2 = 0


∂x2= 2e1+x

2−y2(1 + 2x2)∂2f

∂y2= −2e1+x

2−y2(1− 2y2)∂2f

∂x∂y= −4xye1+x

2−y2

D =∂2f

∂x2∂2f

∂y2−(∂2f

∂x∂y

)2

D = (2e)(−2e)− 0 = −4e2 En el punto (0, 0) tiene un punto silla

52

4. f(x, y) = cos(x2 + y2)como sabemos el cos va de 1 a −1Un punto critico es (x0, y0) = (0, 0), y en ese punto alcanza un Maximo

Otro punto critico es

(√π

2,

√π

2

), el cos

(π2

+π

2

)= cos(π) = −1 en este punto alcanza un minimo,

en consecuencia en los puntos (0,√nπ) y (

√nπ, 0) existen minimo

5. f(x, y) = 3x2 + 2xy + 2x+ y2 + y + 4

∂f

∂x= 6x+ 2y + 2

∂f

∂y= 2y + 2x+ 1{

6x+ 2y = −22x+ 2y = −1

→{

6x+ 2y = −2−2x− 2y = 1

→ 4x = −1 x = −1

4

−2

(−1

4

)− 2y = 1 y = −1

4

punto critico en (x0, y0) =

(−1

4,−1

4

)∂2f

∂x2= 6

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y= 2

D =∂2f

∂x2∂2f

∂y2−(∂2f

∂x∂y

)2

D = (6)(2)− (2) = 10

En el punto

(−1

4,−1

4

)existe un minimo

6. f(x, y) = ex cos y∂f

∂x= ex cos y

∂f

∂y= −ex sen y

7. f(x, y) = senx+ y3 + 3xy + 2x− 3y∂f

∂x= cosx+ 3y + 2

∂f

∂y= 3y2 + 3x− 3{

cosx+ 3y + 2 = 03y2 + 3x− 3 = 0

punto critico (2nπ,−1), n ∈ Z∂2f

∂x2= − senx

∂2f

∂y2= 6y

∂2f

∂x∂y= 3

D = 0(−6)− 3 = −3(2nπ,−1), n ∈ Z Es un punto silla

8. f(.x, y) =x3

3− y3

3+ 3xy + 2x− 2y

∂f

∂x= x2 + 3y + 2

∂f

∂y= −y2 + 3x− 2{

x2 + 3y + 2 = 0−y2 + 3x− 2 = 0

con ayuda de la grafica tenemos que existe un punto critico en (1,−1)∂2f

∂x2= 2x

∂2f

∂y2= −2y

∂2f

∂y= 3

|H − λI| =∣∣∣∣ 2− λ 3

3 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 9 = 0 λ1 = −1 λ2 = −1

en (1,−1) existe un maximo

53

9. f(x, y) = xy +1

x+

1

y∂f

∂x= y − 1

x2∂f

∂y= x− 1

y2

y − 1

x2= 0 y =

1

x2

x− 1

y2= 0 x =

1

y2

y =1(1

y2

)2

y = y4

y4 − y = 0punto critico en (1, 1)∂2f

∂x2=

1

x3∂2f

∂y2=

1

y3∂2f

∂x∂y= 1

Hf(1, 1) =

∣∣∣∣ 1− λ 11 1− λ

∣∣∣∣ = (1− λ)2 − 1 = 0

λ2 − 2λ+ 1− 2 = 0(λ− 1)2 = 2λ1 = −1 λ2 = −1en (1, 1) existe un maximo

10. f(x, y) = x sen y∂f

∂x= sen y

∂f

∂y= x cos y{

sen y = 0x cos y = 0

puntos criticos (0, nπ) n ∈∂2f

∂x2= 0

∂2f

∂y2= −x sen y

∂2f

∂x∂y= cos y

H =

∣∣∣∣ 0 cos(nπ)cos(pi) x sen(nπ)

∣∣∣∣ = − cos2(nπ) = −1

los puntos criticos son puntos de silla.

11. f(x, y) = (x2 + 3y2)e1−x2−y2

∂f

∂x= 2xe1−x

2−y2(1− (x2 + 3y2))∂f

∂y= 2ye1−x

2−y2(3− (x2 + 3y2))

12. f(x, y, z) = x3 + xyz + y2 − 3x∂f

∂x= 3x2 + yz − 3

∂f

∂y= xz + 2y

∂f

∂z= xy 3x2 + xy − 3 = 0

xz + 2y = 0xy = 0

punto critrico en (1, 0, 0)∂2f

∂x2= 6x

∂2f

∂y2= 2

∂f

∂z= 0

∂2f

∂x∂y= z

∂2f

∂x∂z= y

∂2f

∂y∂x= z

∂2f

∂y∂z= x

∂2f

∂z∂x= y

∂2f

∂z∂y= x

|H − λI| =

∣∣∣∣∣∣6− λ 0 0

0 2− λ 10 0 1− λ

= [(2− λ)(1− λ)− 0](6− λ) = (2− λ)(1− λ)(6− λ) = 0

λ1 = 2 λ = 2 λ = 6en el punto (1, 0, 0) Existe un Minimo

54

13. f(x, y, z) = −1

4(x−4 + y−4 + z−4) + yz − x− 2y − 2z

∂f

∂x= x−5 − 1

∂f

∂y= y−5 + z − 2

∂f

∂z= z−5 + y − 2 x−5 − 1 = 0

y−5 + z − 2 = 0z−5 + y − 2 = 0

z = 2− 1

y5

Observemos que x = 1sustituyendo z en la tercera ec. del sistema

1

2− 1

y5

+ y = 2

y5

2y5 − 1= 2− y

y5 = (2− y)(2y5 − 1)y5 = 4y5 − 2− 2y6 + yy(3y4 − 2y5 + 1) = 2Observemos que solo y = 1 es solucion, entonces z = 1

|H − λI| =

∣∣∣∣∣∣−5− λ 0 0

0 −5− λ 10 1 −5− λ

∣∣∣∣∣∣ = [(−5− λ)2 − 1](−5− λ) = 0

λ1 = −6, λ2 = −6, λ = −5podemos decir que (1, 1, 1) hay un punto silla

14. f(x, y) = (y − 3x2)(y − x2)∂f

∂x= 12x3 − 6xy − 2xy = 12x3 − 8xy

∂f

∂y= 2y − 4x2{

12x3 − 8xy = 02y − 4x2 = 0

y = 2x2

sustituimos en la ec 112x3 − 8x(2x2) = 012x3 − 16x3 = 0−4x3 = 0 la unica solucion es x = 0 por lo tanto y = 0 el punto critico es (0, 0)∂2f

∂x2= 36x2 − 8y

∂2f

∂y2= 2

|H − λI| =∣∣∣∣ −λ 0

0 −2− λ

∣∣∣∣ = λ(λ+ 2) = 0

15. f(x, y) = x2 − 2xy + y2

∂f

∂x= 2x− 2y

∂f

∂y= 2y − 2x

∂2f

∂x2= 2

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y= −2 . cm

∂2f

∂y∂x= 2∣∣∣∣ 2 −2

2 2

∣∣∣∣ = 4 + 4 = 8

existe un minimo

55

16. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy∂f

∂x= 2x+ y

∂f

∂y= 2y + x

∂f

∂z= 2z 2x+ y = 0

x+ 2y = 02z = 0

Punto critrico en (0, 0, 0)

|H − λI| =

∣∣∣∣∣∣2− λ 1 0

1 2− λ 00 0 2− λ

∣∣∣∣∣∣|H − λI| =

∣∣∣∣∣∣0 0 2− λ

2− λ 1 01 2− λ 0

∣∣∣∣∣∣ = [(2− λ)2 − 1](2− λ) = 0

λ1 = 1 λ2 = 1 λ3 = 2en (0, 0, 0) existe un minimo

17. f(x, y) = x3 + y2 − 6xy + 6x+ 3y∂f

∂x= 3x2 − 6y + 6

∂f

∂y= 2y − 6x+ 3{

3x2 − 6y − 6 = 02y − 6x+ 3

punto critico

(1,

3

2

)∂2f

∂x2= 6x

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y= −6

|H − λI| =∣∣∣∣ 6− λ −6−6 2− λ

∣∣∣∣ = (6− λ)(2− λ)− 12 = 0

12− 8λ+ λ− 12 = 0λ(λ− 8) = 0

18. Hallar el punto en el plano 2x− y + 2z = 20 mas cercano al origen. z =20− 2x+ y

2

d = x2 + y2 + z2 d = x2 + y2 +

(20− 2x+ y

2

)2

∂d

∂x= 2x− 2

(20− 2x+ y

2

)= 2x+ 2x− y − 20 = 4x− y − 20

∂d

∂y= 2y + 2

(20− 2x+ y

2

)(1

2

)= 10 +

5

2y − x{

4x− y − 2 = 0

10 +5

2y − x = 0

10 +5

2(4x− 20)− x = 0 10 + 10− 50− x = 0 x =

40

9

y = 4

(40

9

)− 20 y =

160

9− 180

9y = −20

9|H| =

∣∣∣∣∣ 4 −1

−15

2

∣∣∣∣∣ = 4

(5

2

)− 1 > 0

y como H > 0 y∂2f

∂x2> 0 podemos asegurar que existe un minimo

sustituyendo los puntos criticos

d =

√x2 + y2 +

(20− 2x+ y

2

)2

d =

√√√√√√√(40

9

)2

+

(−20

9

)2

+

20−(

80

9

)−(

20

9

)2

2

=

√400

9=

20

9

el punto mas cercano es

(40

9,−20

9

)

56

19. Hallar la caja rectangular de area mınima si el volumen es fijo.Supogamos Que el volumen esta dado por V = xyz y el Area A = 2xy + 2yz + 2xzArea en terminos de x, y

A = 2xy + 2y

(V

xy

)+ 2x

(V

xy

)A = 2xy + 2

(V

x

)+ 2

(V

y

)∂A

∂x= 2y − 2

(V

x2

)= 0

∂A

∂y= 2x− 2

(V

y2

)= 0

y =V

x2

2x− 2

(x4

V

)= 0

x =x4

Vx = V 1/3

susttuyendo

y =V

V 3/2= V 1/3

sustuyendo

z =V

V 1/3V 1/3= V 1/3

20. Hallar el paralelepıpedo de volumen maximo si el area esta fijaEl Area esta descrita por: A = 2x+ 2y + 2z y el Volumen V = xyz

V (y, z) = yz

(A

2− y − z

)=Ayz

2− y2z − yz2

∂V

∂y=Az

2− 2yz − z2 = 0

∂V

∂y=Ay

2− y2 − 2yz = 0

Az

2− z2 = 2yz

y =A

4− z

2A

2

(A

4− z

2

)−(A

4− z

2

)2

− 2z

(A

4− z

2

)= 0

A2

8− Az

4− A2

16+Az

4− z2

4− 2Az

4+ z2 = 0

1

16A2 − 1

2Az +

3

4z2 = 0

21. Escribir el numero 120 como suma de tres numeros, de modo que la suma de los productos tomados dedos en dos sea maxima.x+ y + z = 120 P = xyzx = 120− y − zP = 120yz − y2z − yz2∂P

∂y= 120z − 2yz − z2 = (120− 2y − z)z = 0

∂P

∂z= 120y − 2yz − y2) = (120− y − 2z)y = 0

punto critico (0, 0)120− 2y − z = 0120− 2y = zsustituimos en la otra ecuacion120− 2(120− 2y)− y = 0120− 240 + 4y − y = 03y = 120 y = 40120− 2(40)− z = 0 40 = zpuntos criticos (0, 0), (0, 120), (120, 0), (40, 40)

57

∂2P

∂y2= −2z

∂2P

∂z2= −2y

∂2P

∂y∂z= 120− 2y − 2z

∂2P

∂z∂y= 120− 2z − 2y

H =

∣∣∣∣ −80 −40−40 −80

∣∣∣∣ = (−80)(−80) − (−40)(−40) = 4800 como H > 0 y∂2P

∂y2< 0 podemos decir que

en (40, 40) la funcion es Maximapor lo tanto el producto maximo es:(40)3 = 64′000

22. Hallar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = (x2 + y2)4 en el disco x2 + y2 ≤ 1

23. Hallar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = x2+xy+y2 en el disco x2+y2 ≤ 1∂f

∂x= 2x+ y = 0

∂f

∂y= 2y + x = 0

punto critico (0, 0) parametricaf(t) = (cos2 tt+ cos t sen t+ sen2 t) = (1 + cos t sen t)

f ′(t) = (cos2 t − sen2 t) = 0 esto implica que cos2 t = sen2 t esto sucede para t =π

4, t =

3π

4, t =

5π

4,

t =7π

4en 0 ≤ t ≤ 2π

f(π/4) = f(t) = (cos(π/4), sen(π/4)) = (1/√

2, 1/√

2)

f(x, y) =1

2+

1

2+

1

2=

3

2f(3π/4) = f(t) = (cos(3π/4), sen(3π/4)) = (−1/

√2, 1/√

2)

f(x, y) =1

2− 1

2+

1

2=

1

2

f(5π/4) = f(t) = (cos(5π/4), sen(5π/4)) = (−1/√

2,−1/√

2)

f(x, y) =1

2+

1

2+

1

2=

3

2

f(7π/4) = f(t) = (cos(7π/4), sen(7π/4)) = (1/√

2,−1/√

2)

f(x, y) =1

2+

1

2− 1

2=

Observemos que los maximos Absolutos se dan en

(1√2,

1√2

)y

(− 1√

2,− 1√

2

)con un valor maximo

3

2y

em minimo absoluto esta en (0, 0) con valor de 0

24. Hallar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = senx+ cos y en el rectangulo 0 ≤ x ≤2π, 0 ≤ y ≤ 2π∂f

∂x= cosx

∂f

∂y= − sen y

cosx = − sen y → πn− π

4pero para 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π(

3

4π,

3

4π

),

(7

4π,

7

4π

)

58

4.2 Maximos y minimos en la Frontera, Multiplicadores de Lagrange

En los ejercicios 1−4, hallar los valores extremos absolutos alcanzados por la funcion en el conjunto compactoD y graficar en un mismo sistema de coordenadas la funcion y la region (En esta parte es necesario hallaruna parametrizacion para la frontera y hacer la composicion, NO usar multiplicadores de Lagrange)

1. f(x, y) =1√

x2 + y2D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4}

U = {(x, y) | 1 < x < 3, 1 < y < 4}l1(t) = (t, 0) t ∈ [1, 3] l2(t) = (3, t) t ∈ [1, 4]

∇f =

(− 2x

2(x2 + y2)3/2,− 2y

2(x2 + y2)3/2

)= 0

x

(x2 + y2)3/2= 0

y

(x2 + y2)3/2= 0

h1(t) = (f · l1)(t) = (f(l1(t)) = f(t, 0) =1

th1 = (1) = 1, h1(3) =

1

3

h2(t) = (f · l2)(t) = (f(l2(t)) = f(3, t) =1√

9 + t2h2 = (1) =

1√10

, h2(4) =1

5

dh1dt

=1

t21

t2= 0

t = ±√

1 Punto Silla

dh2dt

= − t

(9 + t2)3/2

− t

(9 + t2)3/2= 0 t = 0

2. f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4}U = {(x, y) | x2 + y2 < 4}∇f(2(x− 1), 2(y − 1)) = (0, 0)puntos critico (1, 1) en el disco abierto U =

{(x, y)|x2 + y2 < 4}

Ls frontrera ∂U se puede parametrizar por l(t) = (sen t, cos t), 0 ≤ t ≤ 2πf(l(t)) = (sen t− 1)2 + (cos t− 1)2

f(l(t)) = sen2 t− 2 sen t+ 1 + cos2 t− 2 cos t+ 1f(l(t)) = (cos2 t+ sen2 t)− 2 sen t− 2 cos t+ 2g(t) = −2(sen t+ cos t) + 3para hallar el max y min de f en ∂U , g′(t) = −2(cos t− sen t) = 0

cos t = sen t esto sucede en t =π

4,

5π

4

los puntos criticos para max y min de f en ∂U son los puntos l(π

4

),

5π

4, y los extremos t(0) = t(2π)

f

(√2

2,

√2

2

)=

1

2+

1

2− 2√

2 + 2 = −2√

2 + 3

f

(−√

2

2,−√

2

2

)=

1

2+

1

2− 2√

2 + 2 = 2√

2 + 3

Extremosf(t(0)) = f(sen(0), cos(0)) = f(0, 1) = 1

f(t(0)) = f(sen(2π), cos(2π)) = f(0, 1) = 1

Observemos que el maximo Absoluto se alcanza en

(−√

2

2,−√

2

2

)y el minimo absoluto en

(√2

2,

√2

2

)

59

3. f(x, y) = (x− y)2 D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 12− 2x}∇f(x, y) = (2(x− y),−2(x− y))∂2f

∂x2= 2

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y= −2

∂2f

∂y∂x= −2

U = {(x, y) | 0 < x < 6, 0 < y < 12− 2x}

l1(t) = (t, 0) t ∈ [6, 0] l2(t) = (0, t), t ∈ [0, 12] y = −1

2x− 12→ l3(t) =

(t,−1

2t− 12

)h1(t) = (f · l1)(t) = (f(l1(t)) = f(t, 0) = t2 h1 = (0) = 0, h1(6) = 36

h2(t) = (f · l2)(t) = (f(l2(t)) = f(0, t) = t2 h2(0) = 0, h2(6) = 36

h3(t) = (f · l3)(t) = (f(l3(t)) = f

(t,

1

2t− 12

)=

[t−(−1

2t− 12

)]2=

(3

2t+ 12

)2

h1 = (0) = 144, h2(6) = 411

dh1(t)

dt= 2t = 0

d2h1(t)

dt2= 2 En t = 0 Existe un minimo

dh2(t)

dt= 2t = 0

d2h2(t)

dt2= 2 En t = 0 Existe un minimo

dh3(t)

dt= 2

(3

2

)(3

2t+ 12

)=

9

2t+ 36 t = −8

d2h3(t)

dt2=

9

2En t = −8 es un maximo

4. f(x, y) = (x− 4)2 + y2 D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, x3 ≤ y ≤ 4x}∂f

∂x= 2(x− 4)

∂f

∂y= 2y

∂2f

∂x2= 2

∂2f

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y= 0

∂2f

∂y∂x= 0

H =

∣∣∣∣ 2− λ 00 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 = 0 λ = 2

Es un minimo

U ={

(x, y)|0 < x < 2, x2 < y < 4y}

l1(t) = (t, 0) t ∈ [0, 2] l2(t) = (t, 4t) t ∈ [2, 2]

h1(t) = (f · l1)(t) = (f(l1(t)) = f(t, 0) = t2 − 8t+ 16 h1 = (2) = 4, h1(2) = 4

h2(t) = (f · l2)(t) = (f(l2(t)) = f(t, 4t) = 5t2 − 8t+ 16 h2(2) = 20, h2(2) = 20dh1dt

= 2t− 8d2h1dt2

= 2 alcanza un minimo

dh2dt

= 10t− 8d2h2dt2

= 10 Alcanza un minimo

En los ejercicios 5 − 8, utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo indicado, suponerque x y y son positivos.

5. Minimizar f(x, y) = x2 − y2 Restriccion: x− 2y + 6 = 0∇f = λ∇gsea g(x, y) = x− 2y + 6

{2x = λ−2y = 2λ

x =λ

2y = −λ

x = −y2

−y2− 2y = −6 −5

2y = −6 y =

12

5x = −6

5

f

(−5

6,

12

5

)=

36

25− 144

25= −108

25

60

6. Maximizar f(x, y) = 2x+ 2xy + y Restriccion: 2x+ y = 100∇f = λ∇gsea g(x, y) = 2x+ y{

2 + 2y = 2λ2x+ 1 = λ{y = λ− 1

x =λ− 1

2

x =y

2

2y = 100 y = 50 x = 25f(25, 50) = 2(25) + 2(25)(50) + 50 = 2600

7. Maximizar f(x, y) =√

6− x2 − y2 Restriccion: x+ y − 2 = 0sea g = x+ y − 2∇f = λ∇g− 2x√

6− x2 − y2= λ

− 2y√6− x2 − y2

= λ

x+ y − 2 = 0

− 2x√6− x2 − y2

= − 2y√6− x2 − y2

x = y

2x = 2 x = 1 y = 1f(x, y) = f(1, 1) =

√6− 1− 1 = 2

8. Maximizar f(x, y) = exy Restriccion: x2 + y2 = 8sea g = x2 + y2 = 8∇f = λ∇g exy = 2λx

exy = 2λyx2 + y2 = 8

exy

2x= λ

exy

2y= λ

x2 + y2 = 8exy

2x=exy

2y

1

2x=

1

2yx = y

2x2 = 8 x = ±2 y = ±2f(2, 2) = e4 f(−2,−2) = e4

9. Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar todos los extremos de la funcion f(x, y) = x2+3xy+y2,sujetos a la restriccion x2 + y2 ≤ 1.sea g = x2 + y2 ≤ 1∇f = λ∇g 2x+ 3y = 2λx

2y + 3x = 2λyx2 + y2 ≤ 1

1 +

3y

2x= λ

1 +3x

2y= λ

1 +3y

2x= 1 +

3x

2y

3y

2x=

3x

2y

6y2 = 6x2 y = ±|x|x2 + x2 ≤ 1 2x2 ≤ 1 x2 ≤ 1

2− 1√

2≤ x ≤ 1√

2En los ejercicios 10−12, utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos indicados, suponerque x, y y z son positivos.

10. Minimizar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 Restriccion: x+ y + z − 6 = 0sea g = x+ y + z∇f = λ∇g

2x = λ2y = λ2z = λ

x+ y + z − 6 = 0

2x = 2y = 2zx = y = z

sustituimos en la restriccion3x = 6 x = 2 y = 2 z = 2f(x, y, z) = 12

61

11. Maximizar f(x, y, z) = xyz Restriccion: x+ y + z − 6 = 0sea g(x, y, z) = x+ y + z∇f = λ∇g

yz = λxz = λxy = λ

x+ y + z − 6 = 0

y =λ

z

x =λ

zx = y

x = y = zsustituimos en la restriccionx3 = 6 x = 3

√6 y = 3

√6 z = 3

√6

f(x, y, z) = ( 3√

6)( 3√

6)( 3√

6) = 6

12. Minimizar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 Restriccion: x+ y + z = 1 sea g = x+ y + z∇f = λ∇g

2x = λ2y = λ2z = λ

x+ y + z − 6 = 0

2x = 2y = 2zx = y = z

sustituimos en la restriccion

3x = 1 x =1

3y =

1

3z =

1

3

f(x, y, z) =

(1

3

)2

+

(1

3

)2

+

(1

3

)2

=3

9=

1

3

En los ejercicios 13−15, utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos indicados sujetosa las dos restricciones , suponer que x, y y z son no negativos.

13. maximizar f(x, y, z) = xyz Restricciones: x+ y + z = 32, x− y + z = 0sea g(x, y, z) = x+ y + z h(x, y, z) = x− y + z∇f = λ1∇g + λ2∇h

yz = λ1 + λ2xz = λ1 − λ2xy = λ1 + λ2

x+ y + z − 6 = 0x− y + z = 0

yz = λ1 + λ2 = xy

x = yx− y + z = 0x+ z = y

2x = y

x+ y + z = 32x− y + z = 02x+ 2z = 32

x = z = 8 y = 16

f(8, 16, 8) = (8)(16)(8) = 1024 Valor Maximo

14. Minimizar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 Restricciones: x+ 2z = 6, x+ y = 12

15. Maximizar f(x, y, z) = xy + yz Restricciones: x + 2y = 6, x − 3z = 0 sea g(x, y, z) = x + 2yh(x, y, z) = x− 3z

∇f = λ1∇g + λ2∇h

y = λ1 + λ2x+ z = λ1y = −3λ2

x+ 2y = 6 y =6− x

2x− 3z = 0 z =

x

3

y =3

4λ1

x+ z =8

3y

x+x

3=

8

3

(2− x

2

)4

3x = 8− 8

6x

8x+ 8x = 36 x = 3

y = 3− 3

2=

3

2z =

3

3= 1

f

(3,

3

2, 1

)= 3

(3

2

)+

(3

2

)=

12

2= 6

62

16. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones de un paquete rectangular demaximo volumen sujeto a la restriccion que dice que la suma de la longitud y del perımetro no debeexceder 108 pulgadas.Sea V el volumen de la caja V (x, y, z) = xyz y el perimetro l(x, y, z) = x+ 2y + 2x = 108 yz = λ

xz = 2λxy = 2λ

y = z x = 2ysustituyendo en l(x, y, z)2y + 2y + 2y = 1086y = 108y = 18 x = 36 z = 18Estas son las dimenciones que debe tener el paquete para tener el volumen maximo

17. Utilizar multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones de la caja rectangular de volumenmaximo que puede ser inscrita (con los bordes paralelos a los ejes de coordenadas) en el elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

El volumen esta dado por: V (x, y, z) = (2x)(2y)(2z) = 8xyz

sea g(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2

∇f = λ∇g

8yz =2x

a2λ

8xz =2y

b2λ

8xy =2z

c2λ

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

8yza2

2x=

8xyc2

2zza2

x=xc2

zz2

c2=x2

a2x2

a2=y2

b2=z2

c2

sustituyendo en la restriccion

x2

a2+x2

a2+x2

a2= 1

3x2

a2= 1

x =a√3

Similarmente Obtenemos

y =b√3

y z =c√3

estas son las dimenciones de la caja Por lo tanto el volumen es:2a√

3

(2b√

3

)(2c√

3

)

63

18. Cunado las ondas de luz que viajan en un medio transparente atraviesan la superficie de un segundomedio transparente, tienden a desviarse para seguir la trayectoria de un tiempo mınimo. Esta tendenciase llama refraccion y esta descrita por la ley de refraccion de Snell, segun la cual

sen θ1v1

=sen θ2v2

donde θ1 y θ2 son los angulos mostrados en la figura y v1 y v2 son las velocidades de la luz en los dosmedios. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para deducir esta ley usando x+ y = a

v =d

teligamos al tiempo como la funcion por minimizar

t(x, y) =

√d21 + x2

v1=

√d22 + y2

v2y sea g(x, y) = x+ y

∇t = λ∇gx

v1√d21 + x2

= λ

y

v2√d22 + y2

= λ

x+ y = a

x

v1√d21 + x2

=y

v2√d22 + y2

Dada la relacion de algulos podemos

sen θ1 =x√

d21 + x2sen θ2 =

y√d22 + y2

Teniamos:

x

v1√d21 + x2

=y

v2√d22 + y2

=

x√d21 + x2

v1=

y√d22 + y2

v2sustituyendosen θ1v1

=sen θ2v2

64

4.3 Trayectorias, vectores (velocidad y aceleracion) Producto Por Escalar, Pro-ducto Vectorial, Divergiencia, y Rotacional

En los ejercicios 1 y 2, dada la trayectoria hallar los vectores velocidad y aceleracion y la ecuacion de la rectatangente en el valor de t dado. Graficar conjuntanmente

1. r(t) = (cos t, sen t) t = 0Velocidadr′(t) = (− sen t, cos t)r′(0) = (0, 1)Aceleracionr′′(t) = (− cos t, sen t)r′′(0) = (−1, 0)Recta Tangentert = (−t, 1)

2. r(t) = (√

2t, et, e−t) t = 1Velocidadr′(t) = (

√2, et, e−t)

r′(1) = (√

2, e, −e)Aceleracion r′′(t) = (0, et, e−t)r′′(1) = (0, e, e−1) Recta Tangentert = (

√2, e(1 + t),−e(1− e−2)

En los ejercicios 3 − 5, sean f1(t) = (et, sen t, t3), f2(t) = (e−t, cos t, −2t3). Hallar de dos formasdiferentes cada una de las derivadas enunciadas para verificar las reglas de la suma, el producto punto y elproducto cruz.

3.d

dt[f1(t) + f2(t)]

f1(t) + f2(t) = (et, sen t, t3) + (e−t, cos t, −2t3) = (et + e−t, sen t+ cos t, t3)d

dt[f1(t) + f2(t)] = (et − e−t, cos t− sen t,−3t2)

df1(t)

dt= (et, cos t, 3t2)

df2(t)

dt= (−e−t,− sen t,−6t2)

df1(t)

dt+df1(t)

dt= (et − e−t, cos t− sen t,−3t2)

4.d

dt[f1(t) · f2(t)]

f1(t) · f2(t) = (et, sen t, t3) · (e−t, cos t, −2t3) = (1, sen t cos t,−2t6)df1(t) · f2(t)

dt= (0, cos2 t− sen2 t,−12t5)

df1(t)

dt= (et, cos t, 3t2)

df2(t)

dt= (−e−t,− sen t,−6t2)

df1(t)

dt· f2(t) + f1(t) · df2(t)

dt= (1, cos2 t,−6t5) + (−1,− sen2,−6t5) = (0, cos2 t− sen2 t, 12t5)

65

5.d

dt[f1(t)× f2(t)]

df1(t)

dt× f2(t) =

∣∣∣∣∣∣i j ket cos t 3t2

e−t cos t −2t3

∣∣∣∣∣∣ = [cos t(−2t3 − 3t2)]i− [−2t3et − 3t2e−t]j + [cos t(et − e−t]k

df2(t)

dt× f1(t) =

∣∣∣∣∣∣i j k−e−t − sen t −6t2

et sen t t3

∣∣∣∣∣∣ = [− sen t(t3 − 6t2)]i − [−t3e−t + 6t2et]j − [sen t(e−t − et]k

df1(t)

dt×f2(t)+

df2(t)

dt×f1(t) = [−(t3−6t2) sen t−(2t3+3t2) cos t]i− [−2t3et−3t2e−t−t3e−t+6t2et]j+

[cos t(et − e−t)− sen t(e−t − et]k

f1(t)× f2(t) =

∣∣∣∣∣∣i j iet sen t t3

e−t cos t −2t3

∣∣∣∣∣∣ = [−2t3 sen t− t3 cos t]i− [−2t3et − t3e−t]j + [et cos t− e−t sen t]k

d

dt[f1(t)×f2(t)] = −[6t2 sen t+2t3 cos t+3t2 cos t−t3 sen t]i− [−2t3et−6t2et−3t2e−t−t3et]j+[et cos t−

et sen t+ e−t sen−e−t cos t]k

6. Si r(t) = (6t, 3t2, t3) ¿cual es la fuerza que actua sobre una partıcula de masa m que se mueve segun ren t = 0?Velocidadr′(t) = (6, 6t, 3t2)Aceleracionr′′(t) = (0, 6, 6t) La fuerza esta dadaF (t) = mr′′(t)F (t) = m(0, 6, 6t)en t = 0 La Fuerza esF (t) = m(0, 6, 0) = 6m

7. Hallar la trayectoria r tal que r(0) = (0,−5, 1) y r′(t) = (t, et, t2)∫r′(t)dt =

(t2

2+ C1, e

t + C2,t3

3+ C3

)r(0) =

(t2

2, et − 5,

t3

3+ 1

)8. Hallar trayectorias que representen las siguientes curvas o caminos

a) {(x, y)|y = ex}r(t)) = (t, et)

b){

(x, y)|4x2 + y2 = 1}

r(t) =

(sen t

2, cos t

)c) Una linea en IR3 que pasa por el origen en el punto (a, b, c)

v = (a− a1, b− b1, c− c1) donde a1 = 0, b1 = 0 c1 = 0 ya que pasa por el origenr(t) = (a, b, c) + t(a2, b2, c2) = (a+ ta2, b+ tb2, c+ tc2)

En los ejercicios 9 y 10, mostrar que la trayectoria dada r(t) es una lınea de flujo del campo vectorial dadoF (x, y, z), luego graficar en el mismo sistema de coordenadas la lınea de flujo y el campo vectorial. A partirde la lınea de flujo dada ¿puede graficar otras?

9. r(t) = (e2t, ln |t|, 1/t), t 6= 0, F (x, y, z) = (2x, z, −z2)

r′(t) =

(2e2t,

1

t,− 1

t2

)F (r(t)) = F

(e2t, ln |t|, 1

t

)=

(2e2t,

1

t,− 1

t2

)10. r(t) = (sen t, cos t, et), F (x, y, z) = (y,−x, z)

r′(t) = (cos t,− sen t, et)F (r(t)) = (cos t,− sen t, et)

66

En los ejercicios 11− 22, dado el campo vectorial F

a) Con ayuda de un ordenador, bosquejar su grafica

b) Calcular ∇ · F y ∇× Fc) Explicar por que son consistentes los resultados obtenidos en a y b

d) Indicar si el campo vectorial es conservativo

11. F (x, y) = (2, 2)∇ · F = 0 ∇× F = 0

El campo vectorial si es conservativo ya que∂2F

∂x∂y= 0 y

∂2F

∂y∂x= 0

12. F (x, y) = (2y, x)

∇ · F = 0 ∇× F = −kEl campo vectorial si es conservativo ya que

∂2F

∂x∂y= 0 y

∂2F

∂y∂x= 0

13. F (x, y) = (y,−2x)

∇ · F = 0 ∇× F = −3k


∂x∂y= 0 y

∂2F

∂y∂x= 0

14. F (x, y) = (x, x2)

∇ · F = 1 ∇× F = 2k


∂x∂y= 0 y

∂2F

∂y∂x= 0

15. F (x, y) = (y, 0)

∇ · F = 0 ∇× F = −kEl campo vectorial si es conservativo ya que

∂2F

∂x∂y= 0 y

∂2F

∂y∂x= 0

67

(1)(1)

Universidad Autonoma del Estado de HidalgoArea de Matematicas

Licenciatura En Fisica y Tecnologia Avanzada Palomares Maldonado Hector Miguel

Tarea 3

(1)(1)

Universidad Autonoma Estado De HidalgoArea de Matematicas

Licenciatura en Fisica y Tecnologia AvanzadaPalomares Maldonado Hector Miguel

Tarea 4

(1)(1)



Tarea 6

Error, (in plots:-implicitplot3d) invalid input: `plots/iplot3d` expects its 4-th argument, r3, to be of type {range, name = range}, but received numpoints = 6000

(1)(1)



Tarea 7

(1)(1)



Tarea 8

(1)(1)

(2)(2)0

(1)(1)

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE HIDALGOLICENCIATURA EN FISICA Y TECNOLOGIA AVANZADA

Calculo Diferencial de Varias VariablesHéctor Miguel Palomares

Tarea 13

1

Ejercicios calculo diferencial de variasvariables

Science

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