CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

ARLEY ANDRES ROBLES ROJAS

CODIGO: 1.098.612.812

INGENIERIA INDUSTRIAL

GRUPO: 100411_122

TUTOR: EDGAR ORLEY MORENO

BARRANCABERMEJA

26 DE OCTUBRE DE 2014

1. hallar el área situada entre las curvas y=x−1 y y=2x3−1 entre x=1 y x=2

f ( x )=x−1 g(x )=2 x3−1

Vemos que la función f ( x )<g ( x ) , entonces:

A=∫1

2

[g ( x )−f (x )] dx

Reemplazando:

A=∫1

2

[2x3−1−( x−1 ) ]dx

A=∫1

2

[2x3−1−x+1 ]dx

A=∫1

2

2x3−x dx

Integrando:

A=2∫1

2

x3dx−∫1

2

x dx

A=( x4

2 |21)+(−x2

2 |21 )

Desarrollando:

A=( (2 )4

2−

(1 )4

2 )+(−(2 )2

2−(−(1 )2

2 ))A=15

2−3

2

A=6

El área entre las curvas es de 6 unidades cuadradas.

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x )=x3−3x+2 y g ( x )=x+2

Hallamos los límites

x3−3 x+2=x+2

¿ x3−4 x

¿ x (x−2)(x+2)

x=−2 Y x=2

El problema lo debemos resolver en dos partes: la primera será el intervalo de [-2,0], donde la función mayor es f ( x )=x3−3x+2 y la menor g ( x )=x+2. La segunda

parte será el intervalo [0,2], donde la función mayor es g ( x )=x+2 y la menor

f ( x )=x3−3x+2.

Primera parte:

A1=∫−2

0

[ f ( x )−g(x )] dx

Reemplazando:

A1=∫−2

0

[ x3−3 x+2−( x+2 ) ]dx

A1=∫−2

0

[ x3−3 x+2−x−2 ] dx

A1=∫−2

0

x3−4 x dx

Integrando:

A1=∫−2

0

x3dx−4∫−2

0

x dx

A1=( x4

4 | 0−2 )+(−2x2| 0

−2)Desarrollando:

A1=( (0 )4

4−

(−2 )4

4 )+(−2 (0 )2−(−2 (−2 )2 ))

A1=−4+8

A1=4

Segunda parte:

A2=∫0

2

[g ( x )−f (x )]dx

Reemplazando:

A2=∫0

2

[ x+2−(x3−3 x+2 ) ]dx

A2=∫0

2

[x+2−x3+3 x−2 ]dx

A2=∫0

2

−x3+4 x dx

Integrando:

A2=−∫0

2

x3dx+4∫0

2

xdx

A2=(−x4

4 |20)+(2 x2|20 )Desarrollando:

A2=(−(2 )4

4−(−(0 )4

4 ))+(2 (2 )2−2 (0 )2)

A2=−4+8

A2=4

Sumamos las dos áreas para hallar el área total:

A1+A2=4+4=8

El área de la región limitada por las gráficas es de 8 unidades cuadradas.

3. La región limitada por la gráfica de y=x3, el eje X y x=1/2 se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del solido resultante.

A=2π∫b

a

f (x)√1+ [ f ´ (x )]2dx

y=x3 x=[0 , 12 ]f ( x )=x3 f ´ ( x )=3 x2

Reemplazamos:

A=2π∫0

12

x3√1+(3 x2 )2dx

A=2π∫0

12

x3√9 x4+1dx

u=9 x4+1 du=36 x3dx

u=1+9 (0 )4=1 u=1+9( 12 )

4

=2516

A= π18

∫0

2516

√udu

A= 127πu

32|25

16¿0

= 127π ( 25

16 )32 − 1

27π1

32

A= 61π1728

A=0.11090

El área de la superficie lateral del solido resultante es de 0.11090 unidades cuadradas.

4. Halla la longitud de la curva cos (x)=e y para x entre π /6 y π /3.

5. Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y2=8 x y la ordena correspondiente a x=2 con respecto al eje x, como lo muestra la figura.

6. El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y=x2 y y=4, gira alrededor del eje Y, es:

7. Un hombre lleva un costal de 100 Libras de arena, por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto. El costal tiene un agujero por el cual se fuga continuamente la arena a razón de 4 libras por minuto ¿cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?

2. Un hombre lleva un costal de 100lb.de arena por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto.El costal tiene un agujero por el que se fuga continuamente la arena a razón de 4lb. por minuto ¿Cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?

Peso inicial del costal = 100 lbLargo de la escalera = 20 ftPies subidos por minuto = 5 ftCantidad de arena perdida por minuto = 4 lbTrabajo total = ?

Tiempo en subir la escalera = 4 minEn el instante t,el saco tendrá 100 - 4t lb de arenaDel tiempo t al tiempo delta t, el hombre se mueve 5 . delta t pies hacia arriba de la escalera 

Entonces el trabajo será igual a: 

w = F . dW = (100 - 3t)(5 . delta t)

         4

W= ∫0 (100 - 4t)(5 .dt

          4

W = ∫0 (500 - 20t) dt

W = 1840 ft/lb

8. Un objeto se empuja en el plano desde x=0 , hasta x=10 , pero debido al viento la fuerza que debe que debe aplicarse en el punto x es: F ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia?

1. Un objeto se empuja en el plano desde x=0 hasta x=10, pero debido al viento, la fuerza que debe aplicarse en el punto x es F (x) = 3x^2 - x + 10. ¿ Cuánto trabajo se necesita para dicho recorrido?                       10

w(x) = ∫0 (3x^2 - x + 10) dx

w(x) = x^3 (-x^2/2) + 10x evaluado entre 0 y 10w(x) = 1050 J

9. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de

Q artículos, está dado por la expresión EC=∫

0

Q

D (x )dx−QP. El excedente del

consumidor de un producto a un precio de $ 10.000 cuya ecuación de la demanda está

dada por D ( x )=( x+10 )2 , es:

Solución:

EC=∫0

2

D (x )dx−QP

EC=∫0

1

¿¿ u=x+10→dudx

=1

EC=∫0

1

u2du−10000 du=dx

= u3

3¿

¿¿¿

¿−386693

=−12889.66

10. Si la función demanda es D (q )=1000−0. 4 q2 y la función oferta es S (q ) 42q .

Calcule el excedente del productor EP y el excedente del consumidor EC.