583pág.

6.1 Números complejos

8. Calcule los números m y n que verifiquen la igualdad: - 4 + mi

2 - 3i = n - 2i.

2. (√1 - √3 )2 = √(1 - √3)2 .

a) Verdadero b) Falso

3. Sean a1, a2, a3, a4 ∈ . Si f (x) = x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4, f (i) = 0 y f (1 + i) = 0, al sumar los coeficientes a1, a2, a3, a4, se obtiene:

a) 2 b) 1 c) - 2 d) 4 e) - 4

7. Sea A = 1 0

1 - i00

2i11- i

, calcule det(A - A).

5. Determine los valores de x e y que satisfagan la igualdad: 2ix + yi - 2 = 3i - 3

x + y.

a) Verdadero b) Falso

1. Si z, w ∈ , entonces z w = z w .

4. Sean Re = y p(x) : 4 32 1 + 8x 2

-1 x - 4 12 x = 0. La suma de los elementos

de Ap(x) es:

6.2 Operaciones

9. Si z1 = 1 + √3i y z2 = -1 + √3i, el número 2 (z2z1

)2es:

a) 1 + √3i b) 1 - √3i c) -1 + √3i d) -1 - √3i e) - 12 + 2

√3 i

6. Determine los números reales x e y que satisfagan las siguientes ecuaciones.

CAPÍTULO SEIS6 Ejercicios propuestos

a) 12

b) 34

c) 78

d) 58

e) 38

(i) 3 + 2i + 3iy = 8i + x - 2y.

(ii) (1 - i)x + (2 + i)y = 4 + 2i.

(iii) 8ix + iy - 2 = 7i - 10

x + y .

584pág.

11. Determine las raíces de la ecuación: x3 - 5x2 + 7x + 13 = 0.

12. Demuestre algebraicamente que si √a + bi = u + vi, entonces

u = √12 (a + √a2 + b2) y v = √1

2 (- a + √a2 + b2)

15. Calcule la inversa de la matriz 20 1

1 + i 2 + i 4 + i

- i 0 i

.

13. Exprese en forma rectangular los siguientes números complejos:

14. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

16. Halle el valor de los siguientes determinantes:

10. Determine el valor real de k para que z = 4 + ki2 + i sea o real puro o imaginario

puro.

c) [ 2i1 + i]

4

a) (1 - 4i)(3 + 11i) - (1 + i)-1 d) i1 + i + 1 + i

i

b) (1 - i)3 (1 + i) e) [1 + √3i + (1 - √3i)]3

a)(2 + 3i)x - (1 + i)y = 3 + 4i (1 - 3i)x - (1 - 2i)y = -2 - 6i

b)(2 + i)x + 2y = 1 + 7i

(1 - i) + yi = 0

a) 20 11 + i 2 + i 4 + i

- i 0 ib) 01

1 - i2 - i4 - i 2

i0

- i

585pág.

6.3 Representación geométrica

17. Exprese los siguientes números complejos en la forma rectangular:

c) 12(1 + i)(1 + i -8)

a) (3 + 5i)(2 - i)3

- 1 + 4i d)

(1 + i)(2 + i)(3 + i)1 - i

b) (2 + 3i)(3 - 4i)2 e) (2 + 5i)3

18. Si (z1 + z2) ≠ (0, 0), demuestre que: Re z1

z1 + z2 + Re

z2z1 + z2

=1.

19. Si z satisface la ecuación √z= 21 - i + 1 - 4i, exprese z en forma

rectangular.

20. ¿Cuál debe ser la relación entre x e y para que el producto (x + yi)(2 + 3i) sea un número real?

21. Exprese en forma polar los siguientes números complejos:

a) - √3 + i b) 3 - 3i c) 1+ i√3

22. Calcule el módulo, la parte real e imaginaria de: 1 + cos(β) + i sen(β)1 + cos(β) - i sen(β)

.

24. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:

a) i25 = i

b) ∀z1, z2 ∈ , |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

c) ∀(x, y) ∈ , [(x, y) (0, 1) = (x, y)]

d) ∀z ∈ , z z = z2

23. Demuestre que para todo entero positivo “n”

sen(α) + i cos(α)sen(α) - i cos(α)

n

= cos 2n �2 - α + i sen 2n �

2 - α

586pág.

28. Sea z = 2 + 2i, halle e interprete geométricamente el producto zi.

29. Si z - 1z es real, demuestre que z es real.

30. Realice las operaciones y reduzca a una forma más simple:

(i) [1 + √3i + (1 - √3)i]3

(ii) 1 + i1 - i

2 - 1 - i

1 + i3

(iii) [sen(α) - sen(β) + i(cos(α) - cos(β))]n

27. Exprese en forma polar:

25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 1 + i √3-1 + i √3

10?

6.4 Notación de Euler

26. Sea z ∈ tal que |z| = 1, determine el desarrollo de (z + z-1)5 según el

teorema del binomio. A partir de ello, demuestre que:

cos5(θ) = 116 (ncos(5θ) + mcos(3θ) + λcos(θ)) donde m, n, λ son enteros

positivos.

a) - 12 + 2√3 i b) - 12 - 2

√3 i c) 12 + 2√3 i

d) 12 - 2√3 i e) - 14 + 4

√3 i

a) √2 cos �4 + i sen �

4 4

b) 3 cos �5 + i sen �

5 -3

587pág.

32. Si z1 = 7 - i y z2 = 3 + i, entonces el módulo del número complejo e z1z2 es:

a) e b) e-1 c) 2e d) 10 e) e2

31. Determine el módulo, la parte real e imaginaria de:

36. Verifique que:

a) (cos (30º) + i sen (30º))2 = cos �3 + i sen �

3

b) cos �6 + i sen �

6 3 = i

33. Sea z , tal que z = 1 1 + i + 1

(1 + i)2 + 1 (1 + i)3 + 1

(1 + i)4 + ..., encuentre

el valor que más se aproxima a z2.

37. Encuentre las cuartas potencias de:

(i) 2 cis �4 (ii) √3 cis 225º (iii) 12 ei15º

38. Halle las raíces indicadas y grafíquelas en el plano complejo.

(i) Raíces cúbicas de 27 cis 3�2 . (iii) Raíces cuartas de i.

(ii) Raíces cuartas de -1. (iv) Raíces cúbicas de 64 cos �.

a) e-i� b) e1- i�6 c) e1+ i

34. Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular:

a) ei� b) -2e-i� c) i + ei3�2 d) ei�

4 - e-i�4 e) ei�

3 + e-i5�6

35. Exprese en forma polar los siguientes números complejos:

a) 2ei�8 b) e2+ i c) 2e1- i�

4 d) 23i e) 3- 12 f) 51+ i g) 101- i

588pág.

6.5 Aplicaciones

39. Un vértice de un hexágono regular centrado en el origen es (0,2), determine el resto de sus vértices.

40. Calcule √8 + 8√3i4.

41. Determine el número complejo z, igual al cuadrado de su conjugado.

43. Demuestre que si z y z es un par de números complejos conjugados, entonces z3 y (z)3 son también conjugados.

44. Explique cómo están distribuidos en el plano los puntos complejos, que satisfacen la desigualdad:

45. Resuelva la desigualdad: - 2 < 2log13 | x + 1 - √5i | < - log3 2 - 1.

46. Descomponga en un par de factores lineales complejos el trinomio a2 + ab + b2.

42. Determine las raíces de las siguientes ecuaciones. Considere Re = .

a) x2 - 6x + 13 = 0b) 2x2 + 5x + 6 = 0c) x2 - 2(1 + i)x + (2i - 1) = 0d) x3 - 2x + 4 = 0e) x2 - 3x + (3 - i) = 0f) x3 + 3x2- 3x - 14 = 0

log12 | z | + log1

2 (| z | + 1) < log1

2 (| z | + 5)