Ejercicios de Alg Resueltos

Teora de Cuerpos

CAPITULO 13

13.1. TEORIA BASICA Y EXTENSIONES DE CUERPOS

1. Demuestre que p(x) = x3 + 9x+ 6 es irreducible en Q[x]. Sea una razde p(x). Hallar el inverso de 1 + en Q().

Solucion. Por el criterio de Eisenstein para p = 3 se tiene que p(x)es irreducible en Q[x]. Sea una raz de p(x) entonces 3 = 9 6,luego

1 = (1 + )( + + 2)

= + (+ ) + ( + )2 + 3

= ( 6) + ( + 9) + ( + )2

obteniendo el siguiente sistema

6 = 1 + 9 = 0

+ = 0 = 10

4, = 1

4, =

1

4.

Por lo tanto, (1 + )1 =1

4(10 + 2).

2. Demuestre que x32x2 es irreducible sobre Q y sea una raz. Calcule(1 + )(1 + + 2) y

1 +

1 + + 2en Q().

Solucion. Por el criteio de Eisenstein para p = 2 se tiene que p(x) esirreducible en Q[x]. Si es raz de p(x) entonces 3 = 2+2 y obtenemos

(1 + )(1 + + 2) = 1 + 2 + 22 + 3 = 3 + 4 + 22 .

1

2 Algebra Abstracta - Rodrigo Vargas

Buscamos el inverso de (1 + + 2) el cual debe satisfacer

1 = (1 + + 2)( + + 2)

= + ( + ) + ( + + )2 + ( + )3 + 4

= ( + 2) + (+ 3 + 4) + ( + + 3)2

obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones

+ 2 = 1 + 3 + 4 = 0 + + 3 = 0

= 57, =

1

7, = 2

7

entonces (1 + + 2)1 =1

7(5 + 22) por lo tanto,

1 +

1 + + 2= (1 + )(1 + + 2)1

=1

7(5 + 6 2 23)

=1

7(1 + 2 2) .

3. Demuestre que x3+x+1 es irreducible sobre F2 y sea una raz. Calculelas potencias de en F2().

Solucion. Supongamos que r(x) = x3 + x + 1 = p(x)q(x) para cier-tos p(x), q(x) polinomios no constantes en F2[x]. Entonces deg(p(x)) = 1o deg(q(x)) = 1. Sea F2 una raz del polinomio de grado 1 entonces divide a 1 lo que implica que {1,1} = {1}, pero r(1) = 1, lo cuales una contradiccion. Luego, x3 + x+ 1 es irreducible en F2. Ahora bien,si es raz de x3 + x+ 1 entonces 3 = 1 y obtenemos las potencias

4 = 2 ,5 = 3 2 = 1 + 2 ,6 = + 2 3 = 1 + 2 ,7 = + 3 = 1 + = 1 = 1 ,8 = ,

9 = 2 .

4. Pruebe directamente que la funcion a+b2 7 ab2 es un isomorfismo

de Q(2) consigo mismo.

Teora de Cuerpos - Dummit and Foote 3

Solucion. Denotemos por : Q(2) Q(2) la transformacion dada

por (a+ b2) = a b2 entonces

(x+ y) = ((a+ b2) + (c+ d

2))

= ((a+ c) + (b+ d)2)

= (a+ c) (b+ d)2

= (a b2) + (c d

2)

= (x) + (y)

Ademas, se tiene que

(x y) = ((ac+ 2bd) + (ad+ bc)2)

= (ac+ 2bd) (ad+ bc)2

= (a b2)(c d

2)

= (x)(y)

esto prueba que es un homomorfismo. Es claro que es sobreyectiva ycomo

ker = {x Q(2) : (x) = 0} = {a, b Q : a b

2 = 0} = {0}

entonces es un isomorfismo.

5. Supongase que es una raz racional de un polinomio monico en Z[x].Pruebe que es un entero.

Solucion. Sea p(x) = xn + an1xn1 + + a1x + a0 con ai Z para

cada i = 0, 1, 2, . . . , n 1. Sea = rs Q una raz de p(x) entonces r | a0

y s | 1 lo que implica que = r = ma0 Z, para algun m Z.6. Demuestre que si es una raz de anx

n+an1xn1+ +a1x+a0 entonces

an es una raz del polinomio monico xn+ an1x

n1+ anan2xn2 + +

an2n a1x+ an1n a0.

Solucion. Considere los polinomios

p(x) = anxn + an1x

n1 + + a1x+ a0 ,q(x) = xn + an1x

n1 + anan2xn2 + + an2n a1x+ an1n a0 .

Si es raz de p(x) entonces

p() = ann + an1

n1 + + a1 + a0 = 0 ,


entonces

q(an) = (an)n + an1(an)

n1 + anan2(an)n2 +

+an2n a1(an) + an1n a0

= annn + an1n an1 + a

n1n an2

n2 + + an1n a1+ an1n a0= an1n (an

n + an1n1 + + a1+ a0)

= an1n p() = 0 .

Por lo tanto, an es raz de q(x).

7. Pruebe que x3 nx+ 2 es irreducible para n 6= 1, 3, 5.

Solucion. Sea p(x) = x3 nx + 2 y supongamos que p(x) = q(x)r(x)para ciertos q(x) y r(x) no constantes. Luego, uno de ellos tiene grado1, digamos que q(x) tiene grado 1, entonces existe a

b Q raz de q(x).

Luego, abes raz de p(x), entonces a | 2 y b | 1 lo que implica que a

b= 1

o 2.

Sia

b=

1122

p(ab

)=

3 n1 + n10 2n6 + 2n

= 0 si n =

3153

Entonces p(x) es irreducible para n 6= 1, 3, 5.

8. Pruebe que x5 ax 1 Z[x] es irreducible a menos que a = 0, 2 o 1.Los dos primeros corresponden a factores lineales, el tercero correspondea la factorizacion (x2 x+ 1)(x3 + x2 1).

Solucion. Sea p(x) = x5 ax 1 y supongamos que p(x) = a(x)b(x)para ciertos polinomios no constantes con a(x), b(x) Z[x].Caso 1: deg(a(x)) = 1 y deg(b(x)) = 4.

Luego existe Z tal que a() = 0 entonces es raz de p(x) lo queimplica que | 1 = 1.Si = 1 p(1) = 1 a 1 = a si a 6= 0 tenemos contradiccion y p(x)es irreducible.

Si = 1 p(1) = 2 + a si a 6= 2 tenemos contradiccion y p(x) esirreducible.

Caso 2: deg(a(x)) = 2 y deg(b(x)) = 3.


Sean a(x) = a0 + a1x+ x2 y b(x) = b0 + b1x+ b2x

2 + x3 como a0b0 = 1tenemos dos casos:

Caso 2a: a0 = 1 y b0 = 1.Luego

a(x)b(x) = 1+(baa1)x+(b2+a1b11)x2+(1+a1b2+b1)x3+(a1+b2)x4+x5

Entoncesa1 b1 = a

b2 + a1b1 1 = 01 + a1b2 + b1 = 0

a1 + b2 = 0

a1 = b2

y se obtiene la ecuacion

1 b22 + b1 = 0 b2 + (b2)(b22 1) 1 = 0 b2 b32 + b2 1 = 0 (b2)3 2b2 + 1 = 0 b2 | 1 b2 = 1

Caso 2a.1: Si b2 = 1 a1 = 1 y b1 = 0 entonces a(x) = 1 x + x2 yb(x) = 1 + x2 + x3 y se obtiene que

a(x)b(x) = 1 x+ 2x2 + x5 6= p(x) .

De manera similar si b2 = 1 entonces a(x)b(x) 6= p(x) entonces el caso(2a) no puede suceder.

Caso 2b: a0 = 1 y b0 = 1.Entonces a(x) = 1 + a1x+ x2, b(x) = 1 + bax+ b2x2 + x3 ya(x)b(x) = 1+(a1b1)x+(a1b1+1b2)x2+(1+a1b2+b1)x3+(a1+b2)x4+x5

y obtenemos el sistema de ecuaciones

a1b1 = aa1b1 + 1 b2 = 0

1 + a1b2 + b1 = 0a1 + b2 = 0

de donde se obtiene que b32 + 2b2 1 = 0 b2 | 1 b2 = 1 lo cual esuna contradiccion pues 1 no es raz de x3 + 2x 1 = 0.


13.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

2. Sean g(x) = x2+x1 y h(x) = x3x+1. Obtener cuerpos de 4, 8, 9 y 27elementos adjuntando una raz de f(x) al cuerpo F donde f(x) = g(x) oh(x) y F = F2 o F3. Escribir abajo la multiplicacion para los cuerpos con4 y 9 elementos y demostrar que los elementos no cero forman un grupocclico.

Solucion. Primero probemos que g(x) y h(x) son irreducibles en F2 y F3.Supongamos que g(x) = a(x)b(x) entonces deg(a(x)) = deg(b(x))) = 1,luego existe F2 o F3 una raiz de a(x) entonces /1 = 1, perog(1) = 1 6= 0, lo cual es una contradiccion entonces g(x) es irreducibleen F2 o F3. De forma similar se prueba la irreduciblidad de h(x) en F2 yF3. Ahora bien, sea una raz de g(x) entonces

[F2() : F2] = deg(m,F2(x)) = deg(g(x)) = 2 .

Entonces

F2() = {a+ b : a, b F2} = {0, 1, , 1 + } |F2()| = 4 .

Tomamos raz de h(x) entonces

[F2() : F2] = deg(m,F2(x)) = deg(h(x)) = 3

entonces

F2() = {a+ b + c2 : a, b, c F2}= {0, , 2, b+ 2, 1, 1 + 2, 1 + , 1 + + 2}

luego, |F2()| = 8, de la misma manera se obtiene

F3() = {a+ b : a, b F3}= {0, 1, , 1 + , 2, 2 + , 1 + 2, 2 + 2, 2}

F3() = {a+ b + c2 : a, b, c F3}= {0, 2, , 1, . . .} |F3()| = 27

Las Tablas

1 1 + 1 1 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1

(F2()) = = 1 +


1 2 2 1 + 2 + 1 + 2 2 + 21 1 2 2 1 + 2 + 1 + 2 2 + 22 2 1 2 2 + 2 1 + 2 2 + 1 + 2 1 + 2 + 2 1 + 2 1 2 2 + 2 2 2 + 2 1 + 2 + 2 1 1 + 2

1 + 1 + 2 + 2 1 + 2 2 + 2 2 12 + 2 + 1 + 2 1 2 2 + 2 1 + 21 + 2 1 + 2 2 + 2 1 2 1 + 2 + 2 2 + 2 2 + 2 1 + 2 + 1 + 2 1 2 2

(F3()) = = 2 = 2 + = 1 + 2.

3. Determine el polinomio minimal sobre Q para el elemento 1 + i.

Solucion. Como Q(1 + i) = Q(i) y [Q(i) : Q] = 2 entonces conside-remos el polinomio de grado 2: p(x) = x2 + bx + c con p(1 + i) = 0entonces

(1 + i)2 + b(1 + i)c = 0 1 + 2i 1 + b+ ib+ c = 0 (b+ c) + i(b+ 2) = 0 b = 2, c = 2

entonces p(x) = x2 2x + 2 tiene a 1 + i como raz, por el criterio deEisenstein para p = 2, p(x) es irreducible sobre Q entonces

m(1+i),Q(x) = x2 2x+ 2 .

4. Determine el grado sobre Q de 2 +3 y 1 + 3

2 + 3

2.

Solucion. Como Q(2 +3) = Q(

3) y [Q(

3) : Q] = deg(x3 2) = 2

entonces

m(2+3),Q(x) = x

2 + bx + c

luego

(2 +3)2 + b(2 +

3) + c = 0 (7 + 2b+ c) + (4 + b)

3 = 0

7 + 2b+ c = 04 + b = 0

m(2+3),Q(x) = x2 4x+ 1


el grado de 2 +3 sobre Q es 2. Por otro lado, sea = 1 + 3

2 + 3

4

entonces

(32 +

34)3 = ( 1)3

2 + 334

34 + 3

32

38 + 4 = ( 1)3

6 + 632 + 6

34 = ( 1)3

6(1 +32 +

34) = 3 32 + 3 16 = 3 32 + 3 1

3 32 3 1 = 0 .

Consideremos f(x) = x3 3x2 3x 1 y supongamos que f(x) =a(x)b(x) para ciertos polinomios no constantes entonces podemos suponerdeg(a(x)) = 1, luego existe Z raz de a(x) y por lo tanto raz def(x) = 0 lo cual implica que | 1 entonces {1}, pero f(1) 6= 0 locual es una contradiccion. Por lo tanto,

m,Q(x) = x3 3x2 3x 1

y el grado de sobre Q es 3.

5. Sea Q(i) = F . Pruebe que x3 2 y x3 3 son irreducibles sobre F .

Solucion. Supongamos que x32 es reducible sobre F entonces x32 =a(x)b(x) para ciertos polinomios no constantes a(x), b(x) Q(i), luegoneceseriamente deg(a(x)) = 1 entonces existe a+ bi Q(i) raz de a(x) ypor lo tanto raz de x3 2, entonces

(a+ bi)3 2 = 0 a3 + 3a2bi 3ab2 b3i 2 = 0 (a3 3ab2 2) + (3a2b b3)i = 0 3a2b+ b3 = 0 b(3a2 + b2) = 0 b = 0 o b = 3a .

Caso 1: Si b = 0 entonces a + bi = a es raz de x3 2 entonces a | 2luego a = 1 o 2, pero 1 y 2 no son races de x3 2 lo cual es unacontradiccion.

Caso 2: Si b = 3a entonces b / Q lo cual es una contradiccion.Por lo tanto, x32 es irreducible sobre Q(i). De manera similar se pruebapara x3 3.


7. Pruebe que Q(2+

3) = Q(

2,3). Concluya que [Q(

2+

3) : Q] =

4. Hallar un polinomio irreducible satisfecho por2 +

3.

Solucion. Primero probaremos que Q(2 +

3) Q(2,3). Sabe-

mos que

Q(2,3) = {a+ b

2 + c

3 + d

6 : a, b, c, d Q}

entonces2 +

3 Q(2,3) lo que prueba la contencion. Para es-

tablecer la otra contencion, basta probar que2,3 Q(2 +3). En

efecto, si2 +

3 Q(2 +3)

(2 +

3)2 = 5 + 2

23 Q(

2 +

3)

23 Q(

2 +

3)

23(2 +

3) = 2

3 + 3

2 Q(

2 +

3)

(23 + 3

2) 2(

2 +

3) =

2 Q(

2 +

3)

(23 + 3

2) 3(

2 +

3) =

3 Q(

2 +

3)

3 Q(

2 +

3) .

Entonces, Q(2 +

3) Q(2,3) y por lo tanto Q(2 + 3) =

Q(2,3). Por otro lado,

[Q(2 +

3) : Q] = [Q(

2,3) : Q] = 4 .

Ahora bien, sea =2 +

3 entonces

2 = 5 + 223 (2 5)2 = (2

23)2

4 102 + 25 = 24 4 102 + 1 = 0 m,Q(x) = x4 10x2 + 1 .

8. Sea F un cuerpo de caracteristica 6= 2. Sea D1 y D2 elementos de F ,ninguno de los cuales es cuadrado en F . Pruebe que F (

D1,

D2) es de

grado 4 sobre F si D1D2 no es un cuadrado en F y es de grado 2 sobre Fen otro caso.

Solucion. Observe que

F (D1,

D2) = {a + b

D1 + c

D2 + d

D1D2 | a, b, c, d F} .

Pictoricamente tenemos que


F (D1,

D2)

F (D1) F (

D2)

F

2 2

Como [F (D2) : F ] = 2 entonces 2 divide al ndice [F (

D1,

D2) : F ] =

n entonces n = 1, 2, 4. Si [F (D1,

D2) : F ] = 1 es una contradiccion.

Ahora si,D1D2 F entonces n 3 como 2 no divide a 3, entonces

[F (D1,

D2) : F ] = 2. Si

D1D2 / F implica que n = 4.

9. Sea F un cuerpoo de caracteristica 6= 2. Sean a, b F con b no uncuadrado en F . Pruebe que una condicion necesaria y suficiente paraa+

b =

m +

n para algun m y n F es que a2 b es cuadrado

en F . Use esto para determinar cuando el cuerpo Q(a+

b) (a, b Q)

es bicuadratica sobre Q.

Solucion. Sia+

b =

m+

n entonces elevando al cuadrado obte-

nemos a +b = m + n + 2

mn, lo cual ocurre si y solo si

b = 2

mn

obteniendose el siguiente sistema de ecuacionesa+

b =

m+

n (1)

b = 2mn (2)

De (1) tenemos que

m =

a +

bn . (3)

Si (3) en (2) obtenemos que

b = 2

n(a +

b) 2n (2n+

b)2 = 4n(a+

b)

4n2 + 4nb+ b = 4na+ 4n

b

4n2 4na+ b = 0 n = a

a2 b2

.


Como a F y n F si y solo si a2 b F .Recprocamente, por problema anterior, tenemos que si

a2 b F im-

plica que Q(a +

b) = Q(

m +

n) y Q(

m +

n) es cuadratico si

mn / F .

10. Determine el grado de la extension Q(3 + 2

2) sobre Q.

Solucion. Notemos que

=

3 + 2

2 2 = 3 + 2

2

(2 3)2 = 8 4 + 62 + 9 = 8 4 + 62 + 1 = 0 .

Sea p(x) = x4 6x2 + 1 y observe que

p(x) = (x2 2x 1)(x2 + 2x 1) = q(x)r(x) .

Como q() = 0 entonces m,Q(x) = x2 2x 1, por lo que

[Q(

3 + 2

2) : Q] = 2 .

11. (a) Sea3 + 4i denota la raz cuadrada del numero complejo 3 + 4i que

esta en el primer cuadrante y sea3 4i denota la raz cuadrada

de 3 4i que esta en el cuarto cuadrante. Pruebe que [Q(3 + 4i+3 4i) : Q] = 1.

(b) Determine el grado de la extension Q(1 +

3+13) sobre

Q.

Solucion.

(a) Notemos que

=3 + 4i+

3 4i 2 = 3 + 4i+ 3 4i+ 2

(3 + 4i)(3 4i)

2 = 6 + 29 + 16 2 = 16 ( + 4)( 4) = 0 .

Entonces, m,Q(x) = deg( 4) = 1 se sigue que [Q() : Q] = 1 .


(b) Tenemos que

=

1 +

3 +13 2 = 2 + 2

(1 + i

3)(1 i

3)

2 = 2 + 21 + 3 2 = 6 2 6 = 0

se sigue que m,Q(x) = x26, por el criterio de Eisenstein para p = 2

es irreducible sobre Q.

12. Supongase que el grado de la extension K/F es un primo p. Demuestreque cualquier subcuerpo E de K conteniendo a F es K o F .

Solucion. Sabemos que [E : F ] | [K : F ] = p entonces [E : F ] = 1o p se sigue que E = F o E = K.

13. Suponga Q(1, . . . , n) = F donde 2i Q para i = 1, 2 . . . , n. Pruebe

que 32 / F .

Solucion. Como 2i Q entonces existe ai Q tal que 2i ai = 0.Luego, pi(x) = x

2 ai es irreducible sobre Q. Ahora bien, si ai no escuadrado en Q entonces [Q(i) : Q] = 1 o 2, por lo que

[Q(i) : Q] | [Q(i, j) : Q]entonces [Q(i, j) : Q] = 2 o 4. Procediendo inductivamente, se tieneque

[F : Q] = 2m , para algun m N .Como el grado 3

2 es 3 sobre Q y 3 no divide a 2m implica que 3

2 / F .

14. Pruebe que si [F () : F ] es impar entonces F () = F (2).

Solucion. Tenemos el siguiente esquema

F

F ()

F (2)2n 1


Observe que p(x) = x2 2 es tal que p() = 0.Si p(x) es irreducible en F (2) entonces [F () : F (2)] = 2 y tenemos que

[F () : F ] = [F () : F (2)][F (2) : F ] = 2 [F (2) : F ]

entonces [F () : F ] es par, lo cual es una contradiccion. Por lo que, p(x)es reducible entonces [F () : F (2)] = 1, esto es, F () = F (2).

16. Sea K/F extension algebraica y sea R un anillo contenido en K y conte-niendo a F . Demuestre que R es un subcuerpo de K conteniendo a F .

Solucion. Sean r, s R entonces rs K. Luego, rs = sr lo que implicaque R es conmutativo. Como F R y 1 F entonces 1 R. Luego, Rtiene unidad. Sea r R con r 6= 0 entonces r K y como K es algebraicosobre F , entonces existe

mr,F (x) = xn + an1x

n1 + + a1x+ a0tal que mr,F (r) = 0, entonces

rn + an1rn1 + + rx+ a0 = 0 rn + an1rn1 + + a1r = a0 r

( 1a0rn1 an1

a0rn2 a2

a0r1 a1

a0

)= 1

Se sigue que r1 =

( 1a0rn1 an1

a0rn2 a2

a0r1 a1

a0

).


13.4. CUERPOS DE DESCOMPOSICION Y CLAUSURAS

ALGEBRAICAS

1. Determine el cuerpo de descomposicion y el grado de este sobre Q parax4 2.

Solucion. Notemos que el polinomio

x4 2 = (x2 +2)(x2

2)

= (x i 42)(x+ i

42)(x 4

2)(x+

42)

tiene races: 42, i 42. Luego, el cuerpo de descomposicion de x4 2es

Q( 42,i 4

2) = Q(

42, i

42) = Q(

42, i)

Pictoricamente, se tiene

Q(i, 42)

Q

Q(i) Q( 42) 8

42

2 4

Supongamos que m 42,Q(i)(x) = x2 + (a+ bi)x+ (c+ di) con a, b, c, d Q,

entonces ( 42)2 + (a+ bi) 4

2+ c+ di = 0 lo que implica en particular que

b 42+ d = 0 entonces b, d / Q, lo cual es una contradiccion. Se sigue que,

[Q( 42, i) : Q(i)] = 4 y por lo tanto, [Q( 4

2, i) : Q] = 8.

2. Determine el cuerpo de descomposicion y el grado de este sobre Q parax4 + 2.

Solucion. Las races de x4 + 2 son:

42, 4 4

2, 24 42, 34 4

2 ,

donde 4 = i. Notemos que41 = (1)1/2 = i1/2, luego las races

queda:

i1/242, i3/2

42, i1/2 4

2, i3/2 4

2 .


El cuerpo de descomposicion es

Q(i1/2 42,i3/2 4

2) = Q(i1/2

42, i3/2

42)

= Q(i1/242, i) (4)

= Q(42, i) (5)

y tenemos el siguiente esquema

Q( 42, i)

Q

Q( 42) Q(i) 8

24

4 2

Supongamos que m 42,Q(i)(x) = x2 + (a + bi)x+ (c+ di) entonces

(42)2 + (a+ bi)

42 + (c+ di) = 0

lo cual implica en particular que a, b, c, d / Q, lo cual es una contradiccion,luego necesariamente [Q( 4

2, i) : Q(i)] = 4. Por lo tanto,

[Q(42, i) : Q] = 8 .

Demostracion de (4):Por demostrar que i Q(i1/2 42, i3/2 42) = K.Como i3/2 4

2 K entonces (i3/2 42)1 K lo cual implica que

i = (i3/242)1(i1/2

42) K .

Por demostrar que i3/2 42 Q(i1/2 42, i) = L.

Como i1/2 42, i L entonces i1/2 42 i L, luego i3/2 42 L.

Por lo tanto, Q(i1/2 42, i3/2 4

2) = Q(i1/2 4

2, i).

Demostracion de (5):Por demostrar que i1/2 Q( 42, i) = R.

42 R ( 4

2)1 R

( 42)2 R

i( 42)2 R

(1 + i)( 42)2 R .


Observe que (1 + i)( 42)2 = (1 + i) 1

2=

22(1 + i) = i1/2 R.

Por demostrar que 42 Q(i1/2 42, i) = M .

Como2 =

( 42i1/2)2

iM entonces

i1/2 = (1 + i)12M 4

2 =

42i1/2

i1/2M .

Por lo tanto, Q( 42, i) = Q(i1/2 4

2, i).

3. Determine el cuerpo de descomposicion y el grado de este sobre Q parax4 + x2 + 1.


x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 x2= (x2 + 1)2 x2= (x2 + x+ 1)(x2 x+ 1)

que tiene races1 i3

2,1 i3

2. El cuerpo de descomposicion es

Q

(1 i3

2,1 i3

2

)= Q

(1 + i3

2,1 i3

2

)

= Q(i3,i

3) = Q(i

3)

Pictoricamente se tiene que

Q(i3)

Q

Q(3) Q(i)2

22

11

y tenemos que [Q(i3) : Q] = deg(x2 + 3) = 2 .

4. Determine el cuerpo de descomposicion y el grado de este sobre Q parax6 4.


Solucion. Las races de x6 4 son k 64 con k = 1, . . . , 5 donde

=1 + i

3

2.

El cuerpo de descomposicion es:

Q(64,

64, 2

64, 3

64, 4

64, 5

64) = Q(

64,

64) = Q(

64, ) .

Tenemos el siguiente esquema

Q( 64, )

Q

Q( 64) Q()12

(6) = 26

6 2

por lo que [Q( 64, ) : Q( 6

4)] = 1 o 2, pero no puede ser 1 pues /

Q( 64). Por lo tanto, [Q( 6

4, ) : Q] = 12.


13.5. EXTENSIONES SEPARABLES

2. Hallar todos los polinomios irreducibles de grados 1,2 y 4 sobre F2 y pruebeque el producto entre ellos es x16 x.

Solucion. Los polinomios en cuestion son

x+1; x; x2+x+1; x4+x+1; x4+x3+1; x4+x3+x2+x+1 .

Es sencillo verificar que el producto es x16 x.3. Pruebe que d divide a n si, y solo si, xd 1 divide a xn 1.

Solucion. Si d | n entonces n = qd. Sabemos que

xn 1 =n1k=0

(x kn) .

Consideremos una d-esima raz de la unidad kd con k = 1, . . . , d1. Como(kd )

n = (kd )qd = (kd )

kq = (1)kq = 1 .

Entonces, kd es tambien una n-esima raz de la unidad, entonces

(xd 1) | (xn 1) .Recprocamente, supongamos que d no divide a n entonces n = qd + r ytenemos que

xn 1 = xqd+1 xr + xr + 1 = xr(xqd 1) + (xr + 1) .Como (xd 1) | (xqd 1) y por hipotesis (xd 1) | (xn 1) lo que implicaque (xd 1) | (xr 1) lo cual es una contradiccion pues r < d.

4. Sea a > 1 un entero. Prube que para cualesquieras enteros positivos n, dtal que d divide a n si, y solo si, ad 1 divide a an 1. Conclutya enparticular que Fpd Fpn si, y solo si, d divide a n.

Solucion. Pictoricamente se tiene que

Fpn

Fp

Fpd n

d


Tenemos que

d | n pd 1 | pn 1 xpd1 1 | xpn1 1 xpd x | xpn x Fdp Fnp

5. Para cualquier primo p y caulquier elemento no cero a Fp pruebe quexp x+ a es irreducible y separable sobre Fp.

Solucion. Sean f(x) = xp x + a y una raz de f(x) entonces sat-isface que p + a = 0. Entonces, + 1 tambien es raz. En efecto,

f( + 1) = ( + 1)p + (+ 1) + a

= p + 1 1 + a= p + a = 0 .

Entonces, las p-races de f(x) son { + i | 0 i p 1} y como + i 6= + j para i 6= j. Entonces f(x) tiene p-races distintas, por loque f(x) es separable.Supongamos que Fp y como el conjunto de races es { + i | 0 i p1} y |Fp| = p entonces existe i tal que +i = 0, pero 0 = f(0) = a 6= 0,lo cual es absurdo. Luego, Fp se sigue que

{i | 0 i p 1} Fp = .

Ahora supongamos que f(x) es reducible, esto es, f(x) = r(x)s(x) paraciertos polinomios donde deg(r(x)) = d con 1 < d p 1 y

r(x) = xd + ad1xd1 + + a1x+ a0 =

dk=1

(x ( + ik)) ,

con ik {0, 1, . . . , p 1} entonces

d

k=1

( + ik) = ad1 dFp

= ad1Fp

d

k=1

ik Fp

Fp

lo cual es una contradiccion, por lo que f(x) es irreducible.


6. Pruebe que xpn1 1 =

Fpn

(x ). Deduzca que

Fpn

= (1)pn.

Obtenga de esto el teorema de Wilson: para p primo impar (p 1) 1(mod p)

Solucion. Sea f(x) = xpn1 1, derivando f(x) obtenemos

f (x) = (pn 1)xpn2 = xpn2 .que tiene a cero como raz y cero no es raz de f(x), entonces f(x) esseparable en Fpn. Luego

xpn1 1 =

F

pn

(x ) .

En particular, si x = 0 entonces

1 =

Fpn

() = (1)pn1

Fpn

Fpn

= (1)pn .

Si n = 1, Fpn = Fp = {0, 1, . . . , p 1} entonces(p 1)! = (1)p 1 (mod p) ,

como p es impar.

7. Sea K un cuerpo de caracteristica p no perfecto: K 6= Kp. Pruebe queexisten polinomios irreducibles e inseparables en K[x]. Concluya que ex-ten extensiones finitas e inseparables sobre K.

Solucion. Consideremos f(x) = xp con = p para todo K, en-tonces f(x) es irreducible. En efecto, supongamos que f es reducible, estoes, f(x) = g(x)h(x) para ciertos polinomios no constantes g(x), h(x) K[x] con 1 < deg(g(x)), deg(h(x)) < p.Sea E el cuerpo de descomposicion de xp entonces existe raz talque p = . Luego,

xp = xp p = (x )p g(x) | (x )p

entonces g(x) = (x )k K[x] para cierto 1 k p lo que implica quek K 2k, 3k, (k)1 K

2k (k)1 = 2 K (2)1 K 3k (k)1 = 3 K 3 (2)1 = K


lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, f(x) es irreducible y como

(xp ) = (xp p) = (x )p

entonces f(x) es inseparable. Se concluye que E es una extension finita einseparable sobre K.

8. Pruebe que f(x)p = f(xp) para cualquier polinomio f(x) Fp[x].

Solucion. Notemos que |Fp | = p1 entonces para cada a Fp , |a| | p1lo que implica que ap = ap1a = a. Entonces,

f(x)p = (xn + an1xn1 + + a1x+ a0)p

= (xn)p + (an1xn1)p + + (a1x)p + ap0

= (xp)n + (an1)p(xp)n1 + + ap1xp + ap0

= (xp)n + an1(xp)n1 + + a1xp + a0 = f(xp) .

9. Demuestre que el coeficiente binomial es el coeficiente de xpi en la ex-pasion (1+x)pn. Trabajando sobre Fp demuestre que este es el coeficiente

de (xp)i en (1 + xp)n y por lo tanto pruebe que

(pn

pi

)(

ni

)(mod p).

Solucion. Por el teorema del binomio

(1 + x)pn =

pni=0

(pn

i

)xpni .

entonces pn i = pi i = p(n i) n i = i n = 2i. Luego, se tieneque (

pn

pi

)xpnpi =

(pn

pi

)x2pipi =

(pn

pi

)xpi .

Por otro lado, tenemos que

((1 + x)p)n = (1 + xp)n =

ni=0

(n

i

)xpnpi .

Si n = 2i entonces (n

i

)x2pipi =

(n

i

)xpi

Por lo tanto, (pn

pi

)(n

i

)(mod p) .


13.6. EXTENSIONES CICLOTOMICAS

1. Suponga m y n son primos relativos positivos. Sea m la m-esima razprimitiva de la unidad y n la n-esima raz primitiva de la unidad. Pruebeque mn es una mn-esima raz primitiva de la unidad.

Solucion. Tenemos que

(m)m = 1 si (m)

k = 1m | k ,(n)

n = 1 si (n)k = 1 n | k .

se sigue que (mn)mn = (nmm )(

mnn ) = (

mm )

n(nn)m = 1. Luego, si (mn)

k =1 y k < mn.

2. Sea n una n-esima raz primitiva de la unidad y sea d un divisor de n.Pruebe que dn s un(n/d)-esima raiz primitiva de la unidad.

Solucion.

3. Pruebe que si un cuerpo continene las n-esimas raices de la unidad para nimpar entonces tambien continene las 2n-esimas raices de la unidad.

Solucion. Como n | 2n entonces n 2n donde n es el grupo de lasn-esimas races de la unidad. Luego, tenemos el siguiente diagrama

Q(2n)

Q

Q(n) (2n) = (2)(n) = (n)

(n)

1

entonces Q(n) = Q(2n). Como Q(n) es el cuerpo mas pequeno quecontiene a las races de la unidad cualquier cuerpo mayor tiene un copiade Q(n).

4. Pruebe que si n = pkm donde p es un primo y m es relativamente primoa p entonces hay precisamente m distintas raices de la unidad sobre uncuerpo de caracteristica p.



xn 1 = xpkm 1 = (xpk1m)p 1p= (xp

k1m 1)p = = (xm 1)pk .

Como (m, p) = 1 y xm 1 posee m races de la unidad distintas entoncesxn 1 posee m distintas races de la unidad.

5. Sea K una extension finita de Q. Pruebe que existe solo un numero finitode raices de la unidad en Q.

Solucion. Sea [K : Q] = n.

K

Q

Q(i)n

(i)

Si n es impar entonces K = {1, 2}, pues (n) es par, para todo n > 2.Si n es par entonces K contiene a las races i tal que (i) | n. Como elnumero de divisores de n es finito entonces hay finitas races de la unidadi que estan contenidas en K

Ejercicios de Alg Resueltos

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