Ejercicios de Algebra Lineal

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Ingeniería Industrial 1 ejercicios de espacios vectoriales reales 1) Sea V el conjunto de todos los números reales; definimos como: - ; y ʘ por c ʘ Solución: Si es un espacio vectorial tiene que cumplir las propiedades. I. ...... (No es conmutativa) II. ) ) …….. No es asociatia III. ; pero como no es conmutativa, entonces no cumple la propiedad. IV. - Por otro lado; donde c y d son escalares: I. c ʘ ) = ( c ʘ ) ( c ʘ ) c ʘ c. c. ) c. c. – c. c. – c. c. – c. II. (c.d) ʘ = c ʘ (d ʘ ) c.. c.. III. ʘ . IV. ʘ c ʘ c ʘ d) c. . c. …… No cmple con la propiedad) Por lo tanto, con las propiedades de definición para un espacio vectorial aplicados al problema, concluimos que: V no es un espacio vectorial.

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Ejercicios resueltos de algebra lineal... ejercicios de espacio vecorialen este laboratorio de ALGEBRA podras encontrar una devercidad de ejercicos d nivel univercitarios.

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  • Ingeniera Industrial

    1

    ejercicios de espacios

    vectoriales reales

    1) Sea V el conjunto de todos los nmeros reales; definimos como:

    - ; y por c

    Solucin:

    Si es un espacio vectorial tiene que cumplir las propiedades.

    I.

    ...... (No es conmutativa)

    II. )

    )

    .. No es asociati a

    III. ; pero como no es conmutativa, entonces no

    cumple la propiedad.

    IV. -

    Por otro lado; donde c y d son escalares:

    I. c ) = ( c ) ( c )

    c c. c. )

    c. c. c.

    c. c. c. c.

    II. (c.d) = c (d )

    c. . c. .

    III.

    .

    IV. c c d)

    c. .

    c. No c mple con la

    propiedad)

    Por lo tanto, con las propiedades de definicin para un

    espacio vectorial aplicados al problema, concluimos que: V

    no es un espacio vectorial.

  • Ingeniera Industrial

    2

    2) Cules de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios de R3?

    el conjunto de todos los vectores de la forma:

    a. (a, b, 2)

    b. (a, b, c), donde c= a + b.

    c. (a, b, c), donde c>0

    a. Consideremos que W es un subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la

    forma (a, b, 2). Para verificar que W es un subespacio de R3, establecemos si se

    cumplen las propiedades de los espacios vectoriales.

    Analizamos si cumple la propiedad de CERRADURA:

    Sean u = (a1, b1, 2) y v= (a2, b2, 2) vectores en W entonces:

    u + v = (a1, b1, 2) + (a2, b2, 2)

    = (a1 + a2, b1 + b2, 2 + 2)

    = (a1 + a2, b1 + b2, 4)

    Ahora si c es un escalar que pertenece a los nmeros reales:

    I) Como la tercera componente

    es igual a cuatro entonces el

    vector no est en W

    . = . 1,1, 2

    = . 1, .1, . 2

    II) Como la tercera componente

    es c.a y solo tomara valor de 2

    para un c=1 en los dems casos

    ser diferente de 2, entonces el

    vector no est en W

    Por I y II se puede concluir que W NO cumple la

    propiedad de cerradura entonces W formado

    por vectores de la forma (a, b, 2), NO es un

    subespacion de R3

  • Ingeniera Industrial

    3

    3) Determine si el sistema lineal tiene una solucin usando el teorema 6.14

    [

    ] [

    ] =[

    ]

    Teorema 6.14

    El sistema lineal = tiene solucin si y slo si = [ ]; esto es si y slo si

    el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada.

    [ 2 22 2 2

    ] [

    1

    ] = [

    ] ; = Donde = [ 2 22 2 2

    ]; = [

    ]

    1. Segn en teorema 6.14 encontramos el rango de :

    Debemos tener en cuenta que: si de A tomamos matrices cuadradas de ; donde

    entonces = .

    De La matriz tomamos =[ 2 2 2

    ] y calculamos su determinante, asi:

    = * 2

    + 2 *2 2

    + *2

    +

    = [ 2 ] 2[2 2 ] [2 ]

    = Entonces cumple que el = en este caso = , = ,

    2. Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada [ ] y si cumple la condicin de =

    [ ], entonces podemos decir que este sistema lineal tiene una solucin.

    Matriz ampliada:

    [ ] = [ 2 22 2 2

    ] Calculando el rango el rango de la matriz ampliada y tomando en

    cuenta que si de [ ] tomamos matrices cuadradas de[ ] ; donde

    entonces [ ] = .

    Como no podemos tomar matrices cuadradas de 4x4 por que la matriz ampliada solo contiene 3

    filas, entonces tomamos nuevamente matrices cuadradas de 3x3 , convenientemente tomamos la

    matriz tomada anteriormente, y decimos que la matriz ampliada tambin es de rango 3 ,

    Entonces de (1) y (2) y del teorema presentado al inicio podemos concluir

    que el sistema Si tiene una solucin.

  • Ingeniera Industrial

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    b. Consideremos que S es un subconjunto de R3 que consta de todos los

    vectores de la forma (a, b, c), donde c = a + b. Para verificar que S es un

    subespacio de R3, establecemos si se cumplen las propiedades de los

    espacios vectoriales.

    Analizamos si cumple la propiedad de CERRADURA:

    Sean u = (a1, b1, c1) y v= (a2, b2, c2) vectores en S entonces:

    Analizamos si cumple la propiedad distributiva:

    Sean u = (a1, b1, c1) y v= (a2, b2, c2) vectores en S entonces:

    u v =

    a1, b1, 1 a , b , = a , b , a1, b1, 1

    a1 a , b1 b , 1 = a a1 , b b1 , 1

    u v = a , b , a1, b1, 1

    = a a1 , b b1 , 1

    1 = a a1 b b1

    = a b a1 b1

    = 1

    Revisamos si cumple que la tercera componente

    es igual a las sumas de las dos primeras: I)Entonces SI cumple la

    propiedad de cerradura

    II) Cumple la propiedad distributiva

    En este caso todas las propiedades de espacios vectoriales se cumplen.

    Por lo que podemos decir que es un subespacion de R3

  • Ingeniera Industrial

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    c. Consideremos que T es un subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la

    forma (a, b, c) donde c>0. Para verificar que T es un subespacio de R3, establecemos

    si se cumplen las propiedades de los espacios vectoriales.

    Analizamos si cumple la propiedad de CERRADURA:

    Sean u = (a1, b1, c1) y v= (a2, b2, c2) vectores en T entonces:

    Ahora si c es un escalar que pertenece a los nmeros reales:

    u v = a , b , a1, b1, 1

    = a a1 , b b1 , 1

    > 1 >

    1 >

    Revisamos si cumple que la tercera componente

    es mayor a cero

    . = . 1,1, 2

    = .1, . 1, . 2

    II) Como la tercera componente

    es c.a y solo tomara valor

    positivos para c>0; pero para

    c0, NO es un subespacion de R3

  • Ingeniera Industrial

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    4) Determinar cules de los subconjuntos dados forman una base para . Exprese

    el vector (2, 1, 3) como una C.L de los vectores en cada subconjunto que sea una

    base.

    a) [(2, 1, 3) , (1, 2, 1) , (1, 1, 4) , (1, 5, 1)] b) [(1, 1, 2), (2, 2, 0), (3, 4, -1)]

    SOLUCIN:

    a) * Sea = (2, 1, 3) ^ S = [(2, 1, 3) , (1, 2, 1) , (1, 1, 4) , (1, 5, 1)]

    => 1 1 + + + =

    1(2, 1, 3) + (1, 2, 1) + (1, 1, 4) + (1, 5, 1) = (2, 1, 3)

    Obtenemos las siguientes ecuaciones:

    2 1 + + + = 2

    1 + 2 + + = 1

    3 1 + + + = 3

    ** Formar la ecuacin homognea

    => 1 1 + + + = 0

    1(2, 1, 3) + (1, 2, 1) + (1, 1, 4) + (1, 5, 1) = 0

    b) * Sea = (2, 1, 3) ^ S = [(1, 1, 2), (2, 2, 0), (3, 4, -1)]

    => 1 1 + + =

    1(1, 1, 2) + (2, 2, 0) + (3, 4, -1) = (2, 1, 3)

    Obtenemos las siguientes ecuaciones:

    1 + 2 + = 2

    1 + 2 + 4 = 1

    2 1 - = 3

    ** Formar la ecuacin homognea

    => 1 1 + + = 0

    1(1, 1, 2) + (2, 2, 0) + (3, 4, -1) = 0

    1 = = 1, , son L.I.

    1 = 1 = 2 = -1

    1 Por lo

    tanto S no es base de .

    Por lo tanto S es base de .

  • Ingeniera Industrial

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    5) Considere el espacio vectorial . Siga las indicaciones del ejercicio

    10.

    A. [ , , ]

    Escribimos: 1 ( ) + ( 2) + ( ) = (0, 0, 0)

    ( 1) + ( + ) + ( 1 2 ) = (0, 0, 0)

    La matriz: [ 2

    ]; por transformacin de lneas.

    [ 2

    ] ~ [

    ] Por lo tanto: 1 = = =

    Y los vectores son L.I

    B. [ , , ]

    Escribimos: 1 2 = , ,

    (2 1 1 = , ,

    La matriz: [2

    ]; por transformacin de lneas.

    [2

    ] ~ [

    ] Por lo tanto: 1 = = =

    Y los vectores son L.I

    C. [3t + 1, , ]

    Escribimos: 1 2 = , ,

    2 1 1 = , ,

    2 = =

    1 = 1 = 1

    1 =

  • Ingeniera Industrial

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    Entonces:

    1

    = =

    Los vectores son L.D

    Por lo tanto; una combinacin lineal:

    = 1

    2

    D. [ , , 2]

    Escribimos: 1

    2 = , ,

    1 2 1 = , ,

    La matriz: [ 2

    ]; por transformacin de lneas.

    [ 2

    ] ~ [

    ] Por lo tanto: 1 = = =

    Los vectores son L.I

    6) Determine un base para el espacio solucin del sistema homogneo (

    = , para el escalar dado y la matriz A dada. = = *

    +

    Donde n=2 por lo que tenemos: = *

    +

    Aplicando en la frmula:

    ( *

    + * 2

    2+) *

    1 += 0 Operando: *

    2 2

    + * 1 +=0

    Operamos en multiplicacin de fila- columna y tenemos un sistema de dos ecuaciones:

    { 2 1 2 = 1 =

    Dando a 1 = entonces tenemos que = , de lo cual podemos concluir que

    = , , de ah que: = ,

    Entonces = ,

    Dando a = entonces tenemos que = , de lo cual

    podemos concluir que = , , de ah que: = ,

    Entonces = ,

  • Ingeniera Industrial

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    7) Cules de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son

    linealmente dependientes? Para aquellos que lo sean, exprese un

    vector como una combinacin lineal.

    a. ,*

    + , *

    + , *

    + , *

    +-

    b. ,*

    + , *

    + , *

    +-

    c. ,*

    + , *

    + , *

    + , *

    +-

    Para a. ,*

    + , *

    + , *

    + , *

    +-

    1. * 2

    + . * 2

    + . * 2

    + . *2

    + = *

    +

    *1 11 2. 1

    + 2.

    . 2.

    2. . . .

    = *

    +

    1 2. 1 . . 1 . 2. 1 2. 2. .

    = *

    +

    [

    2

    2 2

    2

    ]

    1 ~

    1

    1 2

    [

    2 2

    2

    ] ~

    Inicialmente Formamos la ecuacin

    Por igualdad de matrices decimos que = y nos genera el

    siguiente sistema

    1 2. = 1 . = 1 . . = 2. 1 2. 2. . =

    Resolvemos el sistema por el mtodo de la matriz ampliada

  • Ingeniera Industrial

    10

    Obtenemos como resultado:

    Para b. ,*

    + , *

    + , *

    +-

    [

    2 2

    2

    ]

    1 1

    [

    2

    2 2 8

    ]

    2

    ~

    [

    2

    ]

    2

    ~ [

    2

    8

    ]

    1

    [

    ]

    1

    [

    ]

    1 = = = =

    Esto implica que este el conjunto de

    vectores son L.I

    1. *

    + . * 2

    + . * 2

    + = *

    +

    *1 11 1

    + 2.

    2.

    = *

    +

    1 1 1 1 2. 2.

    = *

    +

    Inicialmente Formamos la ecuacin

  • Ingeniera Industrial

    11

    Para c. ,*

    + , *

    + , *

    + , *

    +-

    1 = 1 =

    1 = 1 2. 2. =

    Por igualdad de matrices decimos que = y nos genera el

    siguiente sistema

    Remplazando 1 = en la

    primera y la tercera ecuacin

    nos resulta que = =

    Esto implica que este el conjunto de

    vectores son L.I

    Inicialmente Formamos la ecuacin

    1. *

    + . *2 2

    + . * 2

    + . *2 2

    + = *

    +

    *1 11 1

    + . 2.

    . 2.

    2. 2.

    = *

    +

    1 . 2. 1 . 2. 1 2. 1 2.

    = *

    +

    1 . 2. = 1 2. = 1 . 2. = 1 2. =

    Por igualdad de matrices decimos que = y nos genera el

    siguiente sistema

  • Ingeniera Industrial

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    Obtenemos como resultado:

    [

    2

    2 2

    2

    2

    ]

    1 ~

    1

    1

    [

    2

    2

    2 2

    ]

    ~

    [

    2

    2

    2 2

    ]1 2

    ~ [

    2

    ]

    ~

    [

    2

    ]

    1 2

    2

    ~

    [

    ]

    Resolvemos el sistema por el mtodo de la matriz

    ampliada

    1 = = = =

    Esto implica que este el conjunto de

    vectores son L.I

  • Ingeniera Industrial

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    8) Determine una base y la dimensin del espacio solucin del sistema

    homogneo dado.

    1 + 2 - + 3 = 0

    2 1 + 2 - + 2 = 0

    1 + 3 + 3 = 0

    SOLUCION:

    Escribimos la matriz generada por las ecuaciones dadas y luego mediante transformacin

    de fila, lo llevamos a una matriz escalonada.

    [ 2 2 2 2

    | ] ~ [

    2 2

    | ]

    M. escalonada

    Observamos que hay 3 filas no nulas, entonces las 3 ecuaciones forman la base del espacio

    vectorial.

    As mismo deducimos que la dim(V) = 3

    9) Si A es una matriz de 3x4, Cul es el mximo valor posible para

    rango A?

    Como la matriz es de orden 3x4, entonces por definicin se tiene que r(A) { , } es

    decir r(A) . Ahora formamos las submatrices cuadradas ms grandes de A, las cuales

    son de orden 3x3

    Y se analiza su determinante si sale diferente de cero entonces el rango de la matriz es 3,

    de lo contrario se sigue formando matrices esta vez de 2x2 y se vuelve analizar su

    determinante si es diferente de cero su orden es 2 en caso fuera cero el orden de la matriz

    es 1

    Si = [

    ]

    [

    ] , [

    ] , [

    ] , [

    ]

    El mximo rango que puede tomar A es 3

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    10) Determine las dimensiones de los subespacios de generados

    por los vectores.

    a. [(1, 2, 0), (0, 1, -1)]

    Primero:

    1 , 2, , , = , ,

    Se deduce: 1 = = , entonces los vectores generan.

    1 , 2, , , = , ,

    Se deduce: 1 = =

    Por lo tanto su base es: [(1, 2, 0), (0, 1, -1)] y su dim (V) = 2

    b. [(1, 1, -1),(2, 3, 4),(4, 1, -1),(0, 1, -1)]

    Primero:

    1 , , 2, , , , , , = , , ,

    Se forma un sistema de tres ecuaciones y cuatro variables;

    Entonces es inconsistente.

    Por lo tanto los vectores no generan al espacio .entonces no es base para .

    c. [(3, 2, 2),(-1, 2, 1),(0, 1, 0)]

    Primero:

    1 , 2, 2 , 2, , , = , ,

    Lo escribimos como matriz: [ 2 2 2

    ]; su det [ 2 2 2

    ] = -5

    Tiene solucin matricial, entonces los vectores generan a .

    Luego:

    1 , 2, 2 , 2, , , = , ,

    [ 2 2 2

    ] ~ [

    ] Nos queda la matriz luego de realizar

    transformacin de lneas.

    Entonces; = = = , los vectores forman una base de .

  • Ingeniera Industrial

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    Por lo tanto, su dimensin es: dim (V) = 3

    d. [(1, 0, 0),(0, 2, -1),(3, 4, 1),(0, 1, 0)]

    Primero:

    1 , , , 2, , , , , = , , ,

    Se forma un sistema de tres ecuaciones con cuatro variables, por lo

    Que el sistema es inconsistente. Entonces los vectores dados no generan

    A . Por lo tanto el conjunto de vectores no es base de .

    11) Determinar si el sistema lineal Ax = b tiene una nica solucin

    para cada matriz b 3 x 1.

    A = [ 2 2 8 2

    ]

    SOLUCIN:

    COROLARIO: Sea A una matriz de n x n. El sistema lineal Ax = b tiene una solucin nica para toda

    la matriz b de n x 1 si y solo si el rango(A) = n

    Sea la matriz A; mediante transformacin de lneas lo llevamos a su forma escalonada

    A = [ 2 2 8 2

    ] [

    2 2 8 8

    ] 1 [

    2 2

    8

    8

    ]

    [

    8

    ]

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    12) Cul de los siguientes son conjuntos ortogonales de vectores? a. [ , , , , , , , , ]

    b. [ , , , , , , , , , , , ]

    c. [ , , , , , , , , , , , ]

    SOLUCION

    Recordemos que para que un conjunto sea ortogonal, el producto escalar de cada uno

    de sus vectores tomados de dos en dos, debe ser cero.

    a) [ , , , , , , , , ]

    Tomamos (1,-1,2).(0,2,-1) y hacemos producto escalar.

    (1,-1,2).(0,2,-1) = 1(0)+ (-1)(2)+ (2)(-1) = -4 entonces ya no puede cumplir que sea

    conjunto ortonormal.

    b) [ , , , , , , , , , , , ]

    Tomamos ,2, , . , , 2, y hacemos producto escalar

    1(0)+2(-1) + (-1)(-2)+1(0) =0

    Entonces seguimos analizando para comprobar que los dems productos escalares tambin

    cumplan con ser cero.

    Tomamos: , , 2, . , , , hacemos producto escalar

    0(1)+ (-1)(0)+ (-2)(0)+ 0(-1)= 0

    Nos damos cuenta que tambin cumple con que su producto escalar es igual a cero

    Tomamos: , , 2, . . , , ace duc e ca a

    0(1)+(-1)(0)+ -2(0)+0(-1) =0 nos damos cuenta que tambin cumple con que su producto escalar

    es igual a cero

    Entonces tenemos que b) es un conjunto ortogonal de vectores

    c) [ , , , , , , , , , , , ]

    Tomamos: , , , . , , , hacemos producto escalar

    0(1)+1(0)+0(1)+(-1)(1) = -

    Entonces como el producto escalar no es igual a cero, podemos decir que c) no es un conjunto

    ortogonal de vectores.

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    13) Sean = { , } = { , } bases

    para P1. Si V est en P1 y [ ] = * +

    Expresamos V como combinacin lineal de los subconjuntos de T

    Nos piden hallar [ ] (vector coordenado en la base S)

    Hallamos 1 y tales que

    Nos genera el siguiente sistema:

    1. . 2 =

    2 =

    =

    2 =

    1. . 2 =

    1. . 2 = 2

    1 . 1 2. = 2

    { 1 = 2

    1 2. = {

    1 = =

    = * +

    Adems se sabe

    que [] = *1 +

  • Ingeniera Industrial

    18

    14) S = {*

    + , *

    + , *

    + , *

    +}; [ ] = [ , , , ] ;

    hallar el vector .

    Solucin:

    = * 2

    + *

    + *

    + 2 *

    +

    = *

    + * 22

    + = * 2

    + .

    15) Utilice el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base {(1, 2), (-3, 4)} de

    en (a) una base ortogonal; (b) una base ortonormal.

    Solucin:

    (a) Hallamos n T { 1, } ; T = {( 1, )}

    1 = , 2

    = , ( , 1,

    1, 1, ) ,2 = , 2

    Una base ortogonal: 1 = 1 = , 2 y = = , 2

    (b) Hallamos n T { 1, } ; T = {( 1, }

    1 = , 2

    = , ( , 1,

    1, 1, ) , 2 = ,

    Una base ortonormal:

    1 = 1,

    1, =

    1

    ,

    = ,

    , =

    ,

    T = {(1

    ,

    ,

    ,

    }

  • Ingeniera Industrial

    19

    16) Determine el polinomio caracterstico, los valores propios y los

    vectores propios de la matriz.

    A = [2 2 2 2

    ]

    SOLUCIN:

    Det(A-I

    [2 2 2 2

    ]

    Reemplazando en la frmula:

    [2 2 2 2

    ] = (2- [ 3- - -2] (-2)(0-0) + 3(0-0)

    = - 12 = 0

    17) Sea D = *

    + , .

    = *2 2

    + *2 2

    + = *

    +

    = *

    + *2 2

    + = *8 8

    +

    Deducimos que:

    = 2 2

    , entonces:

    = 2 2

    = * 2 2

    + .

  • Ingeniera Industrial

    20

    18) Considere el siguiente subconjunto del espacio vectorial de

    todas las funciones con valores reales

    = { , , }

    Determine una base para el subespacio = Cul es la dimensin de W?

    SOLUCION

    Tomamos alores arbitrarios para t

    t=0, t= /4, t= /2, t= .

    1 = , 2, ,

    = , 2, ,

    = , , ,

    1 1 =

    1 , 2, , , 2, , , , , =0

    ( 1 ,,

    , , 1 =(0,0,0,0)

    {

    1 =

    =

    = 1 =

    1 =

    =

    =

    La dimensin de w es 3

    1 = 1 =