Ejercicios de Cálculo Diferencial

Ejercicios Resueltos de Calculo Diferencial

Primer Parcial

Jorge Elas Chamba Briones

Ayudante Academico

FCNM - ESPOL

2015

1

Contents

1 Coordenadas Polares 3

2 Espacios metricos 7

3 Topologa de la recta 8

4 Lmites 11

4.1 Demostracion formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Calculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Continuidad de funciones 23

6 Teorema de Bolzano 27

2

1 Coordenadas Polares

1) Graficar y calcular los puntos de interseccion de las siguientes curvas polares:

r1() = cos()

r2() = sen(2)

Solucion:

Puntos de interseccion:

cos() = sen(2)

cos() = 2sen()cos()

cos()(1 2sen()) = 0cos() = 0 1 2sen() = 0 = pi2 sen() = 12 = pi6 , 5pi61 =

pi2 r1 = 0

2 =pi6 r1 =

32

3 =5pi6 r1 =

32

P1(pi2 , 0), P2

(pi6 ,32

), P3

(5pi6 ,

32

)

2) Graficar la curva dada en coordenadas polares:

r =32

3 + 5sen()

3

Solucion:

r =32

3(1 + 53sen())=

32

3(1 + 53sen())=

32553

1 + 53cos( pi2 )

e =5

3(Hiperbola)

d =32

5 =

pi

2

3) Bosquejar las curvas r = 6sen(), r = 61+2sen() y determinar sus puntos de interseccion.

Solucion:

r =6

1 + 2sen()=

6

1 + 2cos( pi2 )

Excentricidad e = 2 Hiperbolaed = 6 d = 3

4

Puntos de interseccion:

61+2sen() = 6sen()

1 = sen()(1 + 2sen())

2sen2() + sen() 1 = 0(sen() + 1)(2sen() 1) = 0sen() = 1 2sen() = 1 = 3pi2 sen() = 12 = 3pi2 = pi6 , 5pi6 = 3pi2 r = 6 = pi6 ,

5pi6 r = 3

P1(6, 3pi2 ), P2(3, pi6 ), P2(3, 5pi6 )

4) Considere las ecuaciones polares r =

2 y r2 = 4cos(2)

a) Grafique las ecuaciones dadas

Solucion:

5

b) Sean P y Q los puntos de interseccion de las ecuaciones polares dadas considerando (0, pi).Determine las coordenadas en polares de P y Q.

Solucion:

2 = 4cos(2)cos(2) = 122 = 2pi3 ,

4pi3

= pi3 ,2pi3

P = (

2, pi3 )

Q = (

2, 2pi3 )

c) Determine la ecuacion polar de la recta l tal que P l y Q l.Solucion:

P (

2, pi3 ) x =

2cos(pi3 ) =

22

y =

2sen(pi3 ) =62

Q(

2, 2pi3 ) x =

2cos( 2pi3 ) =

22

y =

2sen( 2pi3 ) =62

La recta que pasa por ambos puntos es horizontal ya que la ordenada es igual en los dos puntos.

Ecuacion de la recta en coord. rectangulares y =62

rsen() =62

Ecuacion de la recta en coord. polares r =6

2sen()

6

2 Espacios metricos

1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique

su respuesta.

a) Sea X = R. Si d : R R R es una funcion definida tal que

x, y R, d(x, y) = (x2 y2)2

entonces d es una metrica definida en X

Solucion:

Se puede observar que no se cumple el primer axioma de espacios metricos, ya que si tenemos:

x = a y = a, a Rd(x, y) = (a2 (a)2)2 = 0Pero x 6= yLa proposicion es FALSA.

b) Sea X = R un conjunto sobre el cual se dene una funcion d : X X R, tal que d(x, y) = x2 y2 ;x, y X. Entonces la funcion d cumple que:i)x, y X : d(x, y) = 0 x = y, yii)x, y X : d(x, y) = d(y, x)

Solucion:

Se puede observar que no se cumple el primer axioma, ya que si tomamos:

x = a y y = a, a Rd(x, y) = 0

pero x 6= yLa proposicion es FALSA

7

3 Topologa de la recta


su respuesta.

a) Si S ={

2n5n+1 , n N

}, entonces x = 25 es un punto de acumulacion de S

Solucion:

Tomando limn

2n5n+1 =

25

Por lo tanto, en la vecindad del punto x = 25 existen elementos que son parte del conjunto S, entonces dicho

punto es de acumulacion.

La proposicion es VERDADERA.

b) Si A ={

(1)n + 1n ; n N}

entonces el conjunto derivado A = {1, 1}

Solucion:

Observamos que si n es par la sucesion sera de la forma: A ={

1 + 1n}

n impar: A ={1 + 1n}

Para valores de n muy grandes:

limn1 +

1n = 1

limn 1 +

1n = 1

Entonces en la vecindad de los puntos -1 y 1 existen elementos que forman parte del conjunto A, por lo tanto

son puntos de acumulacion y forman parte del conjunto derivado.

La proposicion es VERDADERA

2) Dado el conjunto A ={x R/ x+1x24 < 0

} {6} . Determine A, int(A) y A.Solucion:

Obtenemos los puntos crticos de x+1x24

x+ 1 = 0 x = 1x2 4 = 0 x = 2Evaluamos y obtenemos el signo de cada intervalo:

(-,2) (-2,-1] [-1,2) (2,+)- + - +

int(A) = (,2)[1, 2) A = (,2][1, 2]

8

A = A A = (,2][1, 2]{6} 3) Sea A =

{2+nn /n N

}y f : A R

f(x) = 2x+ 1

a) Determine el int(A), A, A

Solucion:

A =

{3, 2,

5

3,

6

4,

7

5, ....

}

limn

2 + n

n= 1

int(A) =

A = {1}

A = A A ={

3, 2,5

3,

6

4,

7

5, ....

} {1}

b) Califique como verdadero o falso las siguientes proposiciones y justifique formalmente su

respuesta

b1) limx2

f(x) = 5

Solucion:

(Ver continuidad)

limx2

f(x) = f(2)

x = 2 es un punto aislado, y toda funcion es continua en un punto aislado (postulado).


b2) f es continua en x = 3

Solucion:

(Ver continuidad)

9

x = 3 es un punto aislado, y toda funcion es continua en un punto aislado (postulado).


b3) limx1

f(x) = 3

Solucion:

x = 1 es un punto de acumulacion

limx1

2x+ 1 = 2 + 1 = 3


b4) Rgf (3, 7]

Solucion:

Domf [3, 1)f(3) = 2(3) + 1 = 7

f(1) = 2 + 1 = 3

Rgf (3, 7]La proposicion es VERDADERA

10

4 Lmites

4.1 Demostracion formal

1) Demostrar formalmente que:

limx

2x+ 1

x+ 1= 2

Analisis preliminar:

> 0,N > 0,x R : x > N 2x+1x+1 2 < 1x+1 <

|x+ 1| > 11 < x+ 1 < 11 1 < x < 1 1Tomamos N = 1 1Demostracion formal:

> 0,N > 0,x R : x > 1 1 2x+1x+1 2 <

x > 1 1 1 1 > x > 1 1 1 > x+ 1 > 1|x+ 1| > 1 1x+1 < 2x+12x2x+1 < 2x+1x+1 2 < 2) Demostrar que:

limx2

(2x2 + x 4) = 6


> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2x2 + x 4 6 < 2x2 + x 10 < |(x 2)(2x+ 5)| < |x 2| < 2x+5Acotando con < 1

1 < x < 3

Tomamos la cota superior de x

11

= 11

Demostracion formal:

> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 11 2x2 + x 4 6 <

|x 2| < 11|x 2| |2x+ 5| < 11 |2x+ 5|x=32x2 + x 10 < 2x2 + x 4 6 < 3) Demostrar utilizando la definicion que:

limx3

(x2 + 3x 1) = 1


> 0, > 0,x R : 0 < |x+ 3| < x2 + 3x 1 + 1 < x2 + 3x < |x(x+ 3)| < |x+ 3| < |x|Acotando con < 1

4 < x < 2Tomamos la cota inferior de x (en valor absoluto es mayor que la cota superior)

= 4


> 0, > 0,x R : 0 < |x+ 3| < 4 x2 + 3x 1 + 1 <

|x+ 3| < 4|x+ 3| |x| < 4 |x|x=4x2 + 3x < x2 + 3x 1 + 1 < 4) Demuestre formalmente que:

limx2

2x+ 1

x+ 3= 1


> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2x+1x+3 1 < 2x+1x3x+3 < x2x+3 <

12

|x 2| < |x 3|Acotando con < 1

1 < x < 3

Tomamos la cota inferior de x

= 2


> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2 2x+1x+3 1 <

|x 2| < 2x2x+3 < 2|x3|x=1 2xx+13x+3 < 22 2x+1x+3 1 < 5) En el diagrama mostrado a continuacion, grafique una funcion de variable real f, que satisfaga

cada una de las siguientes condiciones:

> 0, > 0,x R : 0 < 2 x < |f(x) 1| < > 0, > 0,x R : 0 < x+ 2 < |f(x) + 1| < M > 0,N > 0,x R : x < N f(x) > M > 0, > 0,x R : 0 < |x| < |f(x) 1| < M > 0, > 0,x R : 0 < 2 x < f(x) < MM > 0, > 0,x R : 0 < x 2 < f(x) > M > 0,N > 0,x R : x > N |f(x) + 1| < f es decreciente en (,2); (0, 2); (2,)f es creciente en (2, 0)f( 34 ) = f( 74 ) = f(0) = f(2) = 0; f(2) = -1

Solucion:

Se debe transformar cada una de las condiciones de definicion formal a lmite:

limx2

f(x) = 1

limx2+

f(x) = 1

limxf(x) = +

limx0

f(x) = 1

limx2

f(x) =

limx2+

f(x) = +

limx+f(x) = 1

13

6) Bosquejar el grafico de una funcion f que cumpla con las siguientes condiciones:

f(0) = 0

f(x) < 0, x (, 0)f(x) > 0, x (0,)M > 0, > 0,x R : < x < 0 f(x) < M > 0,N > 0,x R : x > N |f(x) 1| < > 0,N > 0,x R : x < N |f(x) + 1| < > 0, > 0,x R : 0 < x < |f(x)| <

Solucion:

Se debe transformar cada una de las condiciones de definicion formal a lmite:

limx0

f(x) =

limx+f(x) = 1

limxf(x) = 1

limx0+

f(x) = 0

14

7) Califique la siguiente proposicion como VERDADERA o FALSA. Justifique su respuesta.

a) Sean f y g funciones tales que g(x) f(x) para toda x cercana a c, excepto probablemente enx = c, si lim

xcg(x) = +, entonces limxcf(x) = +

Solucion:

limxcg(x) = + M > 0, > 0,x R : 0 < |x c| < g(x) > Mg(x) f(x)M < g(x) f(x) M < f(x)Dado un entorno alrededor del punto c se puede concluir que M < f(x), o lo que es lo mismo:

M > 0, > 0,x R : 0 < |x c| < f(x) > M limxcf(x) = +


4.2 Calculo de lmites

1) Calcule, sin aplicar la Regla de Lhopital, cada uno de los siguientes lmites:

a) limx

(x+ax1

)x

limx

(x+ a

x 1)x

= limx

(x 1 + 1 + a

x 1)x

= limx

(1 +

1 + a

x 1) x1

1+a1+ax1x

=

(limx

(1 +

1 + a

x 1) x1

1+a

) limx

x(1+a)x1

=

15

elimx

x(1+a)

x(11x ) = e1+a

b) limx0

e4xexx

limx0

e4x exx

= limx0

e4x 1 (ex 1)x

= limx0

e4x 1x

limx0

ex 1x

= 4 + 1 = 5

c) limx3

(x2+9)x2+2x3

limx3

(x2 + 9)x2 + 2x 3 =

(0)0+

= 0

d) limxx

(x2 + 1 x)

limxx

(x2 + 1 x

)= limxx

(x2 + 1 x

) x2 + 1 + xx2 + 1 + x

= limx

xx2 + 1 + x

1x1x

= limx

11 + 1x2 + 1

=1

2

e) limxpi

1sen( x2 )(pix)2

Sea u = pi x x pi u 0

limu0

1 cos(u2 )u2

= limu0

1 cos(u2 )u2

1 + cos(u2 )

1 + cos(u2 )= limu0

sen2(u2 )

u2(1 + cos(u2 ))= limu0

1

4

(sen(u2 )

u2

)2 limu0

1

1 + cos(u2 )=

1

8

f) limx2

x32x24x+8x48x2+16

limx2

x3 2x2 4x+ 8x4 8x2 + 16 = limx2

(x+ 2)(x 2)2

(x+ 2)2(x 2)2

= limx2

1

x+ 2=

1

4

g) limx+

cos(3x2)x2

1 cos(3x2) 1

1x2 cos(3x

2)

x2 1x2

limx+

1

x2= 0

16

limx+

1

x2= 0

Por Teorema del Emparedado se puede concluir que:

limx+

cos(3x2)

x2= 0

h) limh0

f(x+h)f(x)h

, si f(x) = ln(2x 1)

limh0

ln(2(x+ h) 1) ln(2x 1)h

= limh0

ln(2x+2h12x1

)h

= limh0

1

hln

(1 +

2h

2x 1)

= limh0

ln

(1 +

2h

2x 1) 1h

= ln

(limh0

(1 +

2h

2x 1) 1h

)= ln

limh0

(1 +

2h

2x 1) 2x1

2h2h2x1 1

h = ln(e 22x1) = 2

2x 1

i) limx0

3xarcsen(x)3x+arctan(x)

limx0

3x arcsen(x)3x+ arctan(x)

= limx0

x(3 arcsen(x)x )x(3 +

arctan(x)x )

=3 lim

x0arcsen(x)

x

3 + limx0

arctan(x)x

limx0

arcsen(x)

xSea : u = arcsen(x) sen(u) = x x 0 u 0

limu0

u/u

sen(u)/u=

1

limu0

sen(u)u

= 1

limx0

arctan(x)

xSea : v = arctan(x) tan(v) = x x 0 v 0

limv0

v/v

tan(v)/v=

1

limv0

sen(v)v

1cos(v)

=1

limv0

sen(v)v

= 1

limx0

3x arcsen(x)3x+ arctan(x)

=3 13 + 1

=2

4=

1

2

j) limx2+

sgn(

1ln(x2)

)

limx2+

sgn

(1

ln(x 2))

= sgn

(1

ln(2+ 2))

= sgn

(1

ln(0+)

)= sgn

(0)

= 1

k) limx

(x2+1x21

) 2x3+3x2

17

limx

(x2 + 1

x2 1

) 2x3+3x2

= limx

(x2 + 1

x2 1) 2x3+3

2(x2)= limx

(x2 1 + 1 + 1

x2 1) 2x3+3

2(x2)= limx

(1 +

2

x2 1) x21

22

x212x3+32(x2)

=

limx

(1 + 2x2 1

) x212

2

x212x3+3

2(x2)= e

limx

2x3+3

(x21)(x2) = elimx

2x3+3/x3

x3x2x2+2/x3 = elimx

2+ 3x3

1 1x2 2x+ 2x3 = e2

l) limx2+

x2+x2

x24

Primer metodo:

limx2+

x2 +x 2

x2 4 = limx2+x2x2 4 +

x 2x2 4 = limx2+

x2x2 4

x+

2x+

2+

x 2

(x+ 2)(x 2)

limx2+

x 2(x+

2)x+ 2

x 2 +

1

x+ 2= limx2+

x 2

(x+

2)x+ 2

+

1

x+ 2= 0 +

1

2=

1

2

Segundo metodo:

limx2+

x2 +x 2

x2 4 = limx2+x2 +x 2

x2 4

x+

2 +x 2

x+

2 +x 2 = limx2+

2x+ 2xx 2 4

x2 4(x+2 +x 2)

limx2+

2(x 2) + 2xx 2x2 4(x+2 +x 2) = limx2+

x 2(2x 2 + 2x)

x+ 2x 2(x+2 +x 2) =

2

2

2(2

2)=

1

2

m) limx0

x4sen(1x

)1 sen

(1

x

) 1

x4 x4sen(

1

x

) x4

limx0 x4 = 0

limx0

x4 = 0

Por teorema del emparedado se concluye:

limx0

x4sen

(1

x

)= 0

18

n) limx0

1+xsen(x)1

x2

limx0

1 + xsen(x) 1

x2= limx0

1 + xsen(x) 1

x2

1 + xsen(x) + 11 + xsen(x) + 1

= limx0

1 + xsen(x) 1x2(

1 + xsen(x) + 1)=

limx0

sen(x)

x limx0

11 + xsen(x) + 1

=1

2

o) limx0

ln(x+2)ln(2)x

limx0

ln(x+ 2) ln(2)x

= limx0

ln(x+22

)x

= limx0

1

xln(

1 +x

2

)= limx0

ln(

1 +x

2

) 1x

ln

(limx0

(1 +

x

2

) 1x

)= ln

( limx0

(1 +

x

2

) 2x

) x2 1x = ln(e 12) = 1

2

p) limxpi2

cos(x)xpi2

limxpi2

cos(x)

x pi2Sea u = x pi

2x pi

2u 0

limu0

cos(u+ pi2

)u

= limu0sen (u)

u= 1

q) limx

(3x+43x2

)x

limx

(3x+ 4

3x 2)x

= limx

(3x 2 + 2 + 4

3x 2)x

= limx

(1 +

6

3x 2)x

= limx

((1 +

6

3x 2) 3x2

6

) 63x2x

= elimx

6x3x2 = e

limx

6

3 2x = e2

r) limx1

(3x1

x2+x2)x

Sea u = 3x x = u3 x 1 u 1

limu1

(u 1

u6 + u3 2)u3

= limu1

(u 1

(u 1)(u5 + u4 + u3 + 2u2 + 2u+ 2))u3

= limu1

(1

u5 + u4 + u3 + 2u2 + 2u+ 2

)u3=

1

9

19

s) limx0

arcsen(10x)5x

Sea u = arcsen(10x) x =sen(u)

10x 0 u 0

limu0

u

5(sen(u)10

) = limu0

2sen(u)u

=2

limu0

sen(u)u

= 2

t) El valor de k , si limx

(k2+9)x35x8kx34x = 6

limx

(k2 + 9)x3 5x 8/x3kx3 4x/x3 = limx

(k2 + 9) 5x2 8x3k 4x2

=k2 + 9

k= 6

k2 + 9 = 6k k2 6k + 9 = 0

(k 3)2 = 0 k = 3


su respuesta.

a) Si limxc(f + g)(x) existe, entonces limxcf(x) y limxcg(x) existen

Solucion:

Sea f(x) = (x) y g(x) = (x)(f + g)(x) = 1 lim

x0(f + g)(x) = 1

Pero limx0

f(x) y limx0

g(x) no existen.

La proposicion es FALSA.

b) La ecuacion de la asntota oblicua de f(x) = 4x2+2x23x1 ; x R

{13

}es y = 4

3x + 1

Solucion:

La ecuacion de la asntota es de la forma y = mx+ b

Donde:

m = limx

f(x)

x= limx

4x2 + 2x 23x2 x = limx

4 + 2x 2x23 1x

=4

3

20

b = limx(f(x)mx) = limx

4x2 + 2x 23x 1

4x

3= limx

10x 69x 3 = limx

10 6x9 3x

=10

9

y =4x

3+

10

9

4x

3+

10

96= 4x

3+ 1

La proposicion es FALSA

c) Sea f una funcion de variable real tal que limxaf(x) no existe, entonces lim[xa

f(x)]2 no existe

Solucion:

Sea f(x) = sgn(x)

limx0

sgn(x) 6= limx0+

sgn(x)

limxaf(x) no existe, pero:

f2(x) = sgn2(x) =

1 x 6= 00 x = 0El lim

x0sgn2(x) existe y es igual a 1.


d) La ecuacion de asntota oblicua de f con regla de correspondencia f(x) = x31x21 ; x R es y = x+ 1

Solucion:

La ecuacion de la asntota es de la forma y = mx+ b

Donde:

m = limx

f(x)

x= limx

x3 1/x3x3 x/x3 = limx

1 1x31 1x2

= 1

b = limx(f(x)mx) = limx

(x3 1x2 1 x

)= limx

1

x+ 1= 0

La ecuacion de la asntota oblicua de f es la recta y = x


e) Sean f y g dos funciones definidas en I R tal que a I y x I {a}, f(x) > g(x). Si limxaf(x) = L y

limxag(x) = M , entonces L > M

21

Solucion:

Sea f(x) = x2 y g(x) = x2 , donde f(x) > g(x) x I {0}limx0

f(x) = limx0

x2 = 0 = L

limx0

g(x) = limx0 x2 = 0 = M

No se cumple que L > M ya que L = M


22

5 Continuidad de funciones


su respuesta.

a) Sea f una funcion denida x R. Si g es continua y f(x) = |g(x)|, x R; entonces f(x) tambien escontinua x R.

Solucion:

Primer metodo:

Se utilizaran las propiedades de lmites:

Ya que g es continua en x = a, a R: limxag(x) = g(a)

limxaf(x) = limxa |g(x)| =

limxag(x)

= |g(a)|f(a) = |g(a)|limxaf(x) = f(a)

Por lo tanto, la funcion f(x) tambien es continua en x = a, a R.Segundo metodo:

Utilizaremos la definicion formal:

Si g es continua en x = a, a R: > 0, > 0,x R : |x a| < |g(x) g(a)| < Utilizando la desigualdad triangular:

|g(x) g(a) + g(a)| |g(x) g(a)|+ |g(a)||g(x)| |g(x) g(a)|+ |g(a)||g(x)| |g(a)| |g(x) g(a)| |g(x) g(a)| |g(x)| |g(a)| |g(x) g(a)|||g(x)| |g(a)|| |g(x) g(a)| < ||g(x)| |g(a)|| < f(x) = |g(x)||f(x) f(a)| < > 0, > 0,x R : |x a| < |f(x) f(a)| < Por lo tanto, f(x) tambien es continua en x = a, a R.La proposicion es VERDADERA

b) Si f es una funcion de una variable real tal que toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b),

entonces la funcion f es continua en el intervalo [a, b]

23

Solucion:

Sea f(x) = tan(x) en el intervalo [0, 2pi3 ]

La funcion toma todos los valores comprendidos entre f(0) = 0 y f( 2pi3 ) =

3 pero tiene una asntota vertical

en x = pi2 , es decir, no es continua en dicho intervalo.


c) f(x) =

3x+|x|7x5|x| x 6= 00 x = 0

es continua en x = 0

Solucion:

Para que f sea continua en x = 0 se debe cumplir que:

limx0

f(x) = limx0+

f(x) = f(0)

limx0

3x+ |x|7x 5 |x| = limx0

3x x7x+ 5x

= limx0

2x12x

=1

6

limx0+

3x+ |x|7x 5 |x| = limx0+

3x+ x

7x 5x = limx0+4x2x

= 2

1

66= 2 6= 0

f no es continua en x = 0


d) Sea f(x) =

1cos(2x)

x 0 < x 1A x = 0

, si A = 1 entonces f es continua en [0,1]

Solucion:

Para que f sea continua en [0,1], la funcion debe ser continua en x = 0 (por la derecha)

limx0+

f(x) = f(0)

limx0+

1 cos(2x)x

= A

limx0+

1 cos(2x)x

1 + cos(2x)

1 + cos(2x)= limx0+

1 cos2(2x)x(1 + cos(2x))

= limx0+

4xsen2(2x)

4x2(1 + cos(2x))

limx0+

(sen(2x)

2x

)2(4x

1 + cos(2x)

)=

(limx0+

sen(2x)

2x

)2(limx0+

4x

1 + cos(2x)

)= 0

24

A = 0


2) Determine los valores de las constantes a y b, de ser posible, de modo que la funcion de variable

real

f(x) =

ax+ b ; x > 2

9 ; x = 2

b ax2 ; x < 2, sea continua en R.

Solucion:

La funcion debe ser continua en x = 2 para que sea continua en R:

limx2+

f(x) = limx2

f(x) = f(2)

limx2+

ax+ b = limx2

b ax2 = 92a+ b = b 4a = 92a = 4a a = 0, b = 9

3) f(x) =

3a3+xa

x x 6= 0112 x = 0

Determine a tal que f(x) sea continua en el punto x = 0.

Solucion:

Para que f sea continua en x = 0, se debe cumplir que:

limx0

f(x) = f(0)

limx0

3a3 + x a

xu =

3a3 + x x = u3 a3 x 0 u a

limua

u au3 a3 = limua

u a(u a)(u2 + ax+ a2) =

1

3a2

1

3a2=

1

12 a = 2

4) Encuentre los valores de a y b para que la funcion sea continua en todo reales.

f(x) =

2x 1 x < 1ax b 1x < 23 2x x2

25

Solucion:

Para que f sea continua en R se debe cumplir que:

limx1

f(x) = limx1+

f(x) = f(1) (1)

limx1

2x 1 = limx1+

ax b = a b

3 = a b

limx2

f(x) = limx2+

f(x) = f(2) (2)

limx2

ax b = limx2+

3 2x = f(2)

2a b = 1

De (1) y (2):

3a = 2 a = 23

b = 3 a b = 73

26

6 Teorema de Bolzano


su respuesta.

a) La ecuacion: 3x2 + ln(x) 2 = 0 tiene al menos una solucion en [ 12 , 32]

Solucion:

Sea f(x) = 3x2 + ln(x) 2f(x) es una funcion continua ya que es la suma de tres funciones continuas, por lo tanto podemos utilizar el

Teorema de Bolzano (valor intermedio) para lo cual se debe cumplir que f(12

)sea de signo opuesto a f

(32

).

f(12

)= 34 + ln

(12

) 2 = 54 + ln ( 12)f(32

)= 274 + ln

(32

) 2 = 194 + ln ( 32)ln(12

)< 0

54 + ln(12

)< 54

ln(32

)> 0

ln(32

)+ 194 >

194

f(12

)es negativo, mientras que f

(32

)es positivo, por lo tanto f tiene al menos una solucion en el intervalo[

12 ,

32

]La proposicion es VERDADERA

2) Sea P (x) = x2 ( 1)x, donde < 1. Demostrar que P (x) tiene una raz en el intervalo [1,2]

Solucion:

Ya que P (x) es un polinomio, es una funcion continua, por lo tanto podemos utilizar el Teorema de Bolzano

(valor intermedio) para lo cual se debe cumplir que P (1)P (2) < 0, es decir, P (1) debe de ser de signo opuesto

a P (2) para que P (x) tenga al menos una cero en dicho intervalo.

P (1) = ( 1) = 1P (2) = 4 2+ 2 = 2+ 2 < 12 < 22+ 2 < 0

P (1)P (2) = (1)(2+ 2) < 0

Por lo tanto P (x) tiene al menos una raz en el intervalo [1,2]

27

Ejercicios de Cálculo Diferencial

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