Ejercicios de Calculo Unidad 4

8/11/2019 Ejercicios de Calculo Unidad 4

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Actividad 2.

Razn de cambio y tangente de unacurva

Ingeniera en Tecnologa Ambiental

Asignatura

Calculo

Unidad 4

Aplicaciones de la Derivada

AlumnoRicardo Alberto Aguilln Lazos

Matricula

AL12521023


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R i c a r d o A l b e r t o A g u i l l n L a z o s Pgina 2

Resuelve los siguientes problema sobre razn de cambio y tangente de una curva.

1.

Un recipiente en forma de cono invertido de10 m

de altura y2 m

de radio estlleno con un lquido, este sufre una avera y el lquido comienza a fluir con una

velocidad de3

0.8 m /s . Con qu velocidad baja el lquido cuando ha descendido

4 m de altura?

El volumen de un cono es

Inicialmente hay

En el instante el volumen del cubo ser

Luego para averiguar la altura del lquido en funcin del tiempo

Para poder realizarlo consideremos que la altura del lquido, el radio a esa altura y el

segmento de pared que los une forman un tringulo rectngulo el cual tiene siempre los

mismos ngulos, son tringulos semejantes y por lo tanto los lados son proporcionales,

de forma que


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Sustituyendo este valor queda

()

Cuando ha descendido 4m tiene 6m de altura, calculamos t

Elevamos al cubo

Y la derivada de la altura respecto del tiempo es

()

( )

Luego


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( ) ( ) ( )

( )

Comprobando que est bien hecho podemos ver si es una velocidad lgica.

Cuando la altura es 6m el radio es y la superficie del agua es

La altura de un cilindro que tuviera

seria

Tiene signo ya que la altura decrece

2. Se infla un globo en forma esfrica de modo que su volumen se incrementa con

una velocidad de33 /m min . A qu razn aumenta el dimetro cuando ste es de


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10 m?

Consideraremos el volumen como funcin del dimetro y el dimetro como funcin del

tiempo.

Primero se calcula el volumen como funcin de t que es sencillo

Con t en minutos y V en

Y la derivada es Ahora ponemos el volumen como funcin del dimetro aplicando la frmula del volumen

de la esfera

() Ahora derivamos esto respecto a t teniendo en cuenta que d es una funcin del tiempo. () Luego

Como Entonces

Y la derivada cuando

ser

3. Un nio juega con un papalote a que est a una altura de 25 m corriendo

horizontalmente con una velocidad de 0.75 m/s . Si hilo que sujeta el papalote esta

tenso, a qu razn se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de60 m

?


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Consideremos x(t) a la distancia que ha recorrido el nio en el suelo.

Expresemos tambin x como una funcin del hilo que se ha soltado h(t), eso se obtienepor el teorema de Pitgoras

Ahora calculamos de derivada de x respecto de t por la regla de la cadena siendo x

funcin de h y h funcin de t.

Entonces Por tanto

4. Un helicptero vuela hacia el norte con una velocidad de 50 m/s a una altura de

70 m , en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra seala la parte

inferior del helicptero. Si la luz de mantiene sealando al helicptero, con qu

velocidad gira el rayo de luz cuando el avin se encuentra a una distancia

horizontal de 1500 m al sur del faro?


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Considerando que nos dice que el helicptero vuela hacia el norte y nos piden algo

cuando el helicptero est al sur del faro, eso es imposible, luego tomando en cuenta

cuando el helicptero este 1500 m al norte del faro y considerando el dibujo siguiente para

dar una idea a lo que nos solicitan

Ho es el helicptero al principio y

en el instante t y F es el foco. El ngulo ser el

dado por estos tres puntos El ngulo alfa se puede calcular como aquelcuya tangente es:

( )Tomando en cuenta calcular de forma indirecta la derivada haciendo derivacin en cadena

de H como funcin de alfa.

Luego

Entonces


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Cuando el helicptero est a 1500 m la tangente es Por tanto

5. Dada la funcin2( ) 2f x x x , hallar la ecuacin de la recta tangente a dicha

funcin que es paralela a la recta normal que pasa por el punto 3,3 .

La ecuacin de la recta normal en un punto es [ ] Para la recta normal que es

En este queda

Una recta paralela a esta tendr la misma pendiente, luego su derivada ser -1/4. Ya que

la pendiente de la recta tangente es la derivada en el punto de tangencia.


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() () El punto es

Y la recta tangente en l es:

()

6. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la funcin

2 32 04x y

xxy

y

en el

punto 1,1 .

Para calcular la recta tangente necesitamos el punto de contacto y un vector de esa recta

tangente. Lo mismo que el vector nos sirve con conocer la tangente del ngulo forma la

recta tangente con el semieje OX+. Esto segundo es el valor de la derivada en ese punto,

Usaremos derivacin implcita. Derivaremos respecto a x, pero teniendo en cuenta que y

es una funcin de x cuya derivada es y'

Derivando

Ahora despejaremos y' en esa expresin

( )


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Con x=1 no es necesario, ya sabemos que lo cumple porque la recta es tangente a la

curva

Con

-1 +3+2 = 4

Con x=2

8 - 6 + 2 = 4

Con -8 + 6 + 2 = 0

Este s lo cumple, el punto de interseccin tiene coordenada Luego el otro punto de interseccin es Considerando que la derivada era

La recta tangente en (-2,4) ser

Y la recta normal tiene ecuacin

[ ]

( )


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8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcin

1( )

1

xf x

x

que sean

que formen un ngulo de 4

con respecto a la horizontal.

La derivada de una fusin en un punto es la tangente del ngulo que forma la recta

tangente con el semieje OX+.

Luego considerando que ese ngulo esla tangente ser

ya que sabemos que el seno y coseno de 45 son iguales

Luego la derivada es 1 en esos puntos, vamos a averiguar cules son

Entonces

Entonces

La ecuacin de la recta tangente en un punto Luego en es


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