Ejercicios de Campo Magnetico

yO a

aI

IxD

23

1LL

1.- Hallar el campo magnético vectorial en el origen del sistema de coordenadas,

producido por un alambre con corriente formado por segmentos rectos de largo ,

y un segmento vertical de largo que está separado del origen una distancia .

SOLUCIÓN:

Los alambres horizontales los numeramos 1 y 2 y el alambre vertical lo numeramos 3.

Alambre 1:

Por simetría el

Alambre 3:

El campo resultante viene dado por

RR

I

IP xy

dl

1

2

3

2.- Hallar el campo magnético en el punto P para la distribución de corriente formada por dos alambres semi-infinitos y un alambre semicircular que se muestra en la figura:

Solución:

Consideremos un sistema de referencia con origen en el punto como se muestra en la figura, donde el eje sale de la página. El problema puede ser separado en tres partes como se muestra en la figura. Por la simetría del problema, la contribución de los alambres semi-infinitos es la misma, por ello sólo calcularemos el alambre 1 y

consideraremos que y el campo resultante vendrá dado por:

Aplicaremos la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético en cada sección del alambre

Cálculo de

En este caso los vectores son:

Por lo tanto:

y

Reemplazando en la ley de Biot-Savart, tenemos:

IRP x

y

dl

2

Cálculo de

Mirando la figura adjunta, vemos que en este caso los vectores son:

Por lo tanto:

y

desarrollando el producto cruz por medio del determinante, tenemos

Reemplazando en la ley de Biot-Savart, tenemos:

1I2I ba

L

z

y

x

El campo magnético resultante en el punto está dado por

3.- Dos espiras de radios respectivamente, con , están colocadas en forma

perpendicular a un eje común. Las espiras portan corrientes estables en direcciones

opuestas y sus centros están separados una distancia , tal como se muestra en la figura.

I

x

z

y

dl

a) Encuentre una expresión para el campo magnético resultante a lo largo del eje . (2.3 ptos. total)

b) Suponga que es posible regular la corriente en la espira de radio . Encuentre el valor

de para que , en , sea igual a cero. (0.7 ptos. total)

Solución:

3a_1) Cálculo del campo creado por una espira de radio R a una altura z sobre su plano (1.3 ptos. total)

El origen del sistema de referencia lo ponemos justo en el centro de la espira de radio R. De la figura vemos que

(posición del punto donde queremos medir el campo magnético) y que

(posición de la fuente que crea el campo).

Mirando la figura, vemos que

donde .

La diferencial de campo magnético viene dado por la ley de Biot-Savart:

Calculemos y su módulo:

Usemos la forma del determinante para calcular el producto cruz:

Reemplazando en Biot-Savart:

Al integrar se eliminan las componentes x e y del campo magnético, ya que

, luego el campo magnético resultante apunta sólo a lo largo del eje

1I2I ba

L

z

y

xz

z L

P

Al variar el ángulo entre recorremos toda la espira. Sin embargo, cuando esto ocurre no

varía ni , por lo tanto, el campo magnético a lo largo del eje viene dado por:

3a_2) Cálculo del campo creado por las dos espiras (1.0 ptos.)

Ahora aplicamos este resultado general a cada una de las dos espiras, suponiendo que el punto de observación del campo magnético se encuentra a la derecha de las dos espiras y a una

distancia del origen que ubicaremos justo en el centro de la espira de radio con corriente .

Campo magnético creado por la espira con corriente ubicada en el origen

Campo magnético creado por la espira con corriente ubicada a una distancia del origen

Nótese que los campos apuntan en distintos sentidos sobre el eje . El campo resultante de las dos espiras viene dado por la suma vectorial de los campos:

Explícitamente:

3b) Cálculo de la corriente para lograr que en se anule el campo resultante. (0.7 ptos. total)

Evaluando el resultado general en se tiene

Exigimos que se cumpla la condición , es decir,

Despejando, obtenemos finalmente:

P x

y

l

R R

4.- Hallar el vector campo magnético en el punto , creado por un

alambre muy largo de radio que lleva una densidad de corriente que sale de la página. Dicho alambre tiene un agujero cilíndrico muy largo de

radio en la posición que se indica en la figura a través de la distancia y el

ángulo

Solución:

Este problema puede ser resuelto usando el principio de superposición, es decir, el

campo magnético resultante en el punto viene dado por la superposición del

campo producido por el alambre grande , que es función de la densidad de

corriente , y del campo magnético producido por el agujero cilíndrico como si fuera un alambre con densidad de corriente contraria a la densidad de corriente del alambre grande, es decir,

Como el punto de observación del campo está fuera del alambre con corriente y fuera del agujero cilíndrico, entonces usando la ley de Ampere podemos calcular el campo magnético a una distancia del centro de cada alambre.

Apliquemos la ley de Ampere a un alambre muy largo:

Dado que y son paralelos a lo largo de la curva Amperiana , y dado que sobre la Amperiana de radio fijo no varía el módulo del campo magnético, podemos escribir:

Por lo tanto, el campo magnético fuera del alambre muy largo con corriente viene dado por:

Este mismo resultado lo aplicaremos al alambre con corriente de radio y al agujero

cilíndrico de radio .

Campo magnético creado por cilindro grande:

Donde y donde es un vector unitario en la dirección del campo magnético

creado por el alambre grande en el punto . En este caso, dado que la corriente sale

del cilindro grande, el vector unitario apunta justo hacia arriba en el eje , es decir,

. La corriente neta viene dada por , por lo tanto, el campo creado por el cilindro grande viene dado por:

Campo magnético creado por el agujero cilíndrico de radio

P x

yl 2R

chr

xlyl

B

Donde y es un vector unitario en la dirección que apunta el campo magnético considerando que la corriente entra en la página. De la geometría

que se muestra en la figura se obtiene como

donde y .

El campo magnético producido por el agujero cilíndrico que lleva una corriente que entra en la página (porque estamos considerando que la densidad de corriente es negativa), apunta hacia abajo como lo muestra la figura.

De la figura se ve que el vector campo magnético se desvía de la vertical hacia abajo

justo en el ángulo . A partir de esa información podemos obtener el vector unitario

en la siguiente forma:

NOTA: También podemos obtener el vector unitario en la siguiente forma alternativa.

Consideremos un sistema de referencia justo en el centro del agujero cilíndrico. Entonces el vector se escribe

La diferencial de este vector es un vector tangente a la curva

El vector unitario tangente a la curva, en el sentido de crecimiento del ángulo , puede ser obtenido simplemente como

Resultado idéntico al anterior.

Con todos los datos anteriores podemos escribir el campo magnético creado por el agujero cilíndrico:

Donde

Pero la corriente vale: , luego

Reemplazando los valores encontrados de y en la relación

se tiene:

Reordenando, tenemos finalmente:

reemplazando los valores de y

2

3

1

I I

II

RRP

/ 2L

L

1

IP

/ 2L

x

y

dl

5.- Calcular el campo magnético (en magnitud y dirección) en el punto

creado por un alambre vertical de largo , un alambre horizontal de largo

y una semicircunferencia de radio , que llevan una corriente constante como se muestra en la figura.

Solución:

El campo magnético en el punto es la suma de los campos magnéticos creados por

el alambre vertical de largo (rotulado 1), más el alambre semi circunferencial de

radio (rotulado 2), más el alambre horizontal de largo (rotulado 3)

Campo creado por un alambre finito:

Consideremos que el origen del sistema de referencia está justo en el punto .

Para el alambre 1, se tiene

.

Ix

y

dlR

3

Para el alambre 3, se tiene:

I2 x

y

dl

Rr

Para el alambre 2 se tiene:

donde es un vector tangente a la circunferencia y que es obviamente perpendicular

al vector . El campo magnético viene dado por

Reemplazando los vectores y recordando que por ser perpendiculares, se tiene

luego

pero

Finalmente el campo de la semi circunferencia viene dado por:

Por lo tanto, el campo resultante en el punto viene dado por:

Reemplazando los valores obtenidos

El campo resultante viene dado por

z

y

RI P

h

xIR

z

y

RI Ph

dl

r x

7.- Calcular el campo magnético en el punto ubicado a una distancia

sobre el eje , producido por un alambre semi circular de radio que lleva

una corriente constante y que se encuentra en el plano , tal como se muestra en la figura.

Solución:

Campo producido por el alambre semi circular

Eligiendo el origen del sistema de referencia en el centro de la semi-circunferencia, se tiene,

11\

* MERGEFORMAT ()

y

z

xRRI

I

IIPh

1

2

3

22\*

MERGEFORMAT ()

33\*

MERGEFORMAT ()

44\*

MERGEFORMAT ()

Insertando el resultado parcial 3 en la relación 4, se obtiene,

55\*

MERGEFORMAT ()

dado que y que , el campo magnético resultante

viene dado por,

8.- a) Hallar el campo magnético en el punto , producido por el alambre

que lleva una corriente constante . El alambre está formado por dos

alambres rectos semi infinitos y una semi circunferencia de radio . b)

Encuentre el valor del campo magnético si .

y

zRIPh

3

xdl

Solución:

Hemos marcado cada trozo de alambre con un número. Calcularemos primero el campo magnético producido por los alambres semi infinitos 1 y 3. Por simetría, los campos de cada

alambre son los mismos , así que basta calcular uno sólo de ellos.

Campo producido por el alambre 3.

Considerando el origen del sistema de coordenadas en el medio de la figura, los vectores que definen al problema vienen dados por,

66\* MERGEFORMAT()

77\*MERGEFORMAT ()

El campo magnético , viene dado por la ley de Biot-Savart

88\* MERGEFORMAT()

Reemplazando los valores conocidos en 6 y 7, se tiene,

y

zR

RI Ph

2

dl

r

99\* MERGEFORMAT()

1010\*MERGEFORMAT ()

Integrando, se tiene


El campo del alambre 3 apunta en dirección negativa del eje .


Por simetría, se tiene que


Campo producido por el alambre semi circular 2.

Los otros vectores que definen al problema vienen dados por,


El vector es tangente al alambre en la dirección de la corriente , y se construye a

partir del vector , usando la matriz de rotación en , ,

1515\* MERGEFORMAT ()

El vector unitario que está dirigido en la dirección del vector , se escribe en forma matricial:


Cuando actúa sobre el vector unitario en la dirección de , lo hace rotar en a la

derecha, con lo cual se obtiene un vector perpendicular a ,


Luego el vector unitario tangente al alambre en la dirección de la corriente, viene dado por

1818\* MERGEFORMAT()

De este modo, el vector queda


Nota: el vector unitario tangente también se puede obtener a partir de la diferencial del vector

, esto es


Tomando la diferencial de , se tiene


Luego, viene dado por

2222\* MERGEFORMAT()

resultado idéntico al encontrado en 18.

Usando la relación 14, se tiene que


Reemplazando los vectores conocidos en la expresión del campo magnético, se tiene


El producto cruz viene dado por


Insertando este resultado en la relación 4, se escribe,


Realizando cada una de las integrales, usando la relación , nos queda,



En consecuencia, el campo magnético resultante , viene dado por:


Dado que , como se indicó en la relación 13. Reemplazando los resultados obtenidos en 12 y 28, se tiene


Para obtener el caso límite , debemos calcular primero el límite del término . Primero reescribamos este término en la forma


Para pequeño, en primera aproximación se cumple que,


Reemplazando este resultado en la relación 30, se tiene


Simplificando,


vista lateral vista frontal

IJ J

z

r

2J1J

Si ahora hacemos tender , se tiene,

9.- En un alambre cilíndrico muy largo se tiene una distribución de corrientes

que se expresa en función de la densidad de corriente en la siguiente

forma:

Esto significa que la corriente sube por el cilindro central y baja por el cascarón externo. Hallar el campo

magnético en función del radio , creado por esta distribución de corriente, en cada una de las tres

regiones indicadas en figura. Recuerde que la corriente viene dada por .

Solución:

Región I

Usando ley de Ampere, , se tiene

3535\* MERGEFORMAT

()

y son paralelos sobre la curva Amperiana , además el módulo del campo magnético es

constante, aunque desconocido, sobre la curva Amperiana. Por lo tanto, se puede sacar del signo integral.

Por otra parte, en la integral de la derecha reemplazamos la densidad de corriente correspondiente, y

además consideraremos que y son paralelos, luego se tiene,

3636\*

MERGEFORMAT ()

donde se ha puesto . La integral cerrada sobre es justo el perímetro de la Amperiana ,

luego,

3737\*

MERGEFORMAT ()

simplificando, se obtiene el campo magnético en la región I


Región II

Procediendo de la misma manera anterior, escribimos

3939\*

MERGEFORMAT ()

Reemplazando las densidades de corriente se tiene

4040\*

MERGEFORMAT ()

simplificando, escribimos


integrando, se obtiene el campo magnético en la región II,


Región III

Procediendo de la misma manera anterior, escribimos

4343\*

MERGEFORMAT ()

pero , por lo tanto, viene dado

4444\* MERGEFORMAT

()

usando los valores de la densidad de corriente, escribimos

4545\*

MERGEFORMAT ()

simplificando e integrando, obtenemos


a

11.- UNA LÁMINA NO CONDUCTORA CIRCULAR DE RADIO TIENE UNA

DENSIDAD SUPERCIAL DE CARGA . CALCULAR EL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE EL EJE SI LA LÁMINA ROTA EN TORNO A SU EJE DE SIMETRÍA CON VELOCIDAD

ANGULAR

Método: Calcularemos el campo magnético usando la ley de Biot-Savart, ya que no existe suficiente simetría para usar la ley de Ampere. Subdividiremos la lámina en

infinitas espiras circunferenciales de radio variable, cada una de las cuales lleva una

corriente diferencial . Usamos el resultado conocido del campo magnético sobre el

eje de una espira circular de radio y luego usaremos la expresión resultante para obtener el campo creado por toda la lámina rotante en un punto sobre su eje.

R

dIz

El tiempo que demora la lámina en dar una vuelta entera, se define como el periodo

del movimiento, el cual se relaciona con la velocidad angular en la forma .

Una espira de espesor tiene una carga diferencial . Cuando la

lámina rota, se genera una corriente diferencial que viene dada por:

.

Por el problema resuelto en el ejemplo 4, sabemos que el campo magnético a una

altura sobre el eje de un alambre de radio con corriente , apunta en dirección y su módulo viene dado por:

En nuestro caso de un alambre de radio y corriente , el campo es un campo diferencial y viene dado por:

Reemplazando se tiene la siguiente expresión

ab

r

1J 2J

2J

Integrando desde hasta para considerar toda la lámina que rota, se tiene:

La integral vale

Por lo tanto, el campo creado por toda la lámina vale:

12.- Cuál es el campo magnético creado por un cable coaxial cilíndrico muy

largo, con densidad de corriente variable en direcciones opuestas. La corriente sale del cilindro interior y entra en el cilindro exterior.

La densidad de corriente viene dada por

Método: Usaremos la ley de Ampere porque se trata de cilindros muy largos y los campos magnéticos generados presentan simetría alrededor del eje de los cilindros.

Dividimos el problema en tres regiones: Región I: , Región II: y Región III:

.

La ley de Ampere viene dada por:

donde indica la curva cerrada que encierra a la distribución de corriente. Esta curva cerrada se llama Amperiana. En forma similar a la ley de Gauss de la electrostática, la

corriente neta que se considera es solo la que está encerrada dentro de la

Amperiana .

Región I:

Consideremos una curva Amperiana circunferencial de radio concéntrica con el

eje del cilindro. Sobre esta curva, son paralelos y además . En esta

región la densidad de corriente viene dada por .

Aplicando la ley de Ampere escribimos

porque .

Usando el valor de , escribimos

Finalmente, el campo en la Región I viene dado por

Región II:

Repetimos el procedimiento anterior y consideramos los mismos argumentos de

simetría, pero esta vez usamos una Amperiana de radio . Ahora la corriente

total viene dada por:

hemos escrito una resta de corrientes porque, a la derecha del cilindro, el campo

magnético generado por apunta hacia arriba y el campo magnético generado por

apunta hacia abajo. También podemos considerar positiva la corriente que sale de la página y negativa la corriente que entra a la página.

Integrando, tenemos:

Aplicando la ley de Ampere a este caso, se tiene

Finalmente, el campo magnético en la Región II viene dado por:

Nótese que para se cumple que , es decir, el campo magnético es continuo.

Región III: .

Fuera del cilindro la corriente total vale

Aplicando la ley de Ampere, se tiene

Finalmente, el campo magnético en la Región III viene dado por:

N

II

z

L

Nótese que para se cumple que , es decir, el campo magnético es continuo.

En resumen, el campo magnético creado por esta distribución de corriente a través de un cilindro viene dada por:

2.- ESTUDIO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN SOLENOIDE DE RADIO

Y DE LARGO , FORMADO CON VUELTAS Y QUE TRASPORTA UNA

CORRIENTE CONSTANTE .

Método: Calcularemos el campo magnético usando la ley de Biot-Savart, ya que no existe suficiente simetría para usar la ley de Ampere. Primero calcularemos el campo magnético sobre el eje de una espira circular de radio R y luego usaremos la expresión resultante para obtener el campo creado por todo el solenoide en un punto sobre su eje.

R

I

x

z

y

dl

a) Cálculo del campo creado por una espira de radio R a una altura z sobre su plano

El origen del sistema de referencia lo ponemos justo en el centro de la espira de radio R. De la figura vemos que

(posición del punto donde queremos medir el campo magnético) y que

(posición de la fuente que crea el campo).

Mirando la figura, vemos que

donde .

La diferencial de campo magnético viene dado por la ley de Biot-Savart:

Calculemos y su módulo:

Usemos la forma del determinante para calcular el producto cruz:

Reemplazando en Biot-Savart:

Al integrar se eliminan las componentes x e y del campo magnético, ya que

, luego el campo magnético resultante apunta sólo a lo largo del eje z:

Al variar el ángulo entre recorremos toda la espira. Sin embargo, cuando

esto ocurre no varía ni , por lo tanto, el campo magnético a lo largo del eje viene dado por:

( )B zR

I

z

dzz

dI

z z

x

z

b) Cálculo del campo magnético del solenoide, a partir del valor del campo magnético de una sola espira

La figura muestra un esquema del solenoide de la figura inicial, indicando una corriente

diferencial contenida en una espira de espesor diferencial , a una cierta

distancia sobre su eje, que genera un campo magnético diferencial .

Usaremos el resultado obtenido en el punto anterior , pero lo

escribiremos como diferencial , porque es creado por la corriente diferencial . No usaremos el vector unitario, porque ya sabemos que el campo apunta en la dirección :

Nótese que hemos cambiado , porque esa es la distancia de la espira con

corriente hasta el punto de observación del campo magnético.

Ahora debemos escribir la corriente diferencial en función de las magnitudes que caracterizan a la espira. Sabemos que cada espira de todo el solenoide lleva una

corriente . Además sabemos que un solenoide está caracterizado por el número de

espiras por unidad de largo . Por lo tanto, en un largo diferencial la corriente

diferencial que circula viene dada por . Insertando en la expresión para el campo, nos queda:

Integrando

integrando

Finalmente obtenemos:

Si y al mismo tiempo imponemos la condición (condición que caracteriza al solenoide), el campo magnético en el extremo izquierdo del solenoide vale:

Si , el campo magnético en el extremo derecho del solenoide vale:

Si , el campo magnético en el centro del solenoide vale:

A partir de la expresión general obtenida para el campo magnético, podemos

reobtener el campo de una sola espira. Para ello bastaría hacer . Si lo hacemos

así, aparentemente obtenemos , lo cual sería incorrecto. Lo que ocurre es que el

parámetro también existe en el parámetro .

Reescribiendo el campo general, tenemos

.

En este caso, si , ocurre el caso . Por lo tanto, usaremos la regla de L’Hopital para obtener el límite deseado, es decir, derivamos por separado, numerador

y denominador, con respecto a y después aplicamos el límite . En símbolos, se trata de hacer lo siguiente:

La derivada del denominador vale 1 y es independiente de , por lo tanto basta calcular la derivada del numerador:

Entonces L’Hopital queda:

Realizando el límite y considerando una sola espira , reobtenemos finalmente el campo magnético de una sola espira, que habíamos encontrado en a):

Ejercicios de Campo Magnetico

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