Ejemplo 1. Diseño de una losa plana sin vigas.

Un edificio de tres pisos en tienen las plantas formadas por cuatro tableros por lado. La altura libre entre las losas es de 12 ft y el sistema piso está formado por los losas planas de concreto, sin vigas de borde con todo. Las dimensiones de los tableros exteriores, así como el tamaño y de las columnas se muestran en la figura 11.10. Dados:

Carga viva= 50 psf (2.39 kPa).f ´ c=4000 psi (27.6Mpa ), concreto de peso normal.f y=60000 psi ( 414Mpa ).

El edificio no está sujeto a la acción de los sismos, por lo que se consideraran cargas gravitacionales. Diseñe el tablero exterior y el tamaño y la separación de refuerzo necesario. Considere que la carga del piso es de 10 psf, adicionalmente al peso propio de la losa.

Solución.

Verificación de la geometría para utilizar el método de diseño directo. (Operación 1).

(a) Relación ClarolargoClaro corto

=2418

=1.33<2.0 , por lo tantohay acciónendos direcciones.

(b) Hay más de tres claros en cada dirección, los claros sucesivos en cada dirección son iguales y las columnas no están de desalineados.

(c) Se supone uno espesor mínimo de 9 in y una carga de piso de 10 psf.

wd=10+ 912

×150=122.5 psf .

3wd=367.5 psf .

w l=50 psf <3wd

BIEN.

Por lo tanto es aplicable el método de diseño directo.

Espesor mínimo de losa por requerimientos de deflexión. (Operación 2).

Dirección E-W ln1=24×12–182–

202

=269∈(6.83m ).

Dirección N-S ln2=18×12 –202–

202

=196∈(4.98m ).

Relación del claro largo al claro corto β=269196

=1.37

βs=24+18+242 (24+18 )

=0.79

αm=0 ya que no hay vigas de borde.

En los cálculos del espesor de la loza se debe utilizar el claro más largo para el control de deflexión es, utilizando las siguientes ecuaciones:

h=ln ( 800+0.005 f y )

36000+5000β [αm−0.5 (1−βs ) (1+1/ β ) ] (Ecuación 1)

h=ln ( 800+0.005 f y )

36000+5000β (1+βs ) (Ecuación 2)

h=ln (800+0.005 f y )

36000 (Ecuación 3)

Como αm Vale cero en este caso, el denominador de la ecuación 1 se hace más pequeño a medida que la expresión entre paréntesis de la rigidez se vuelve negativa. En consecuencia, la ecuación 1 no regirá puesto que el espesor h de la losa no puede acceder el Valor determinado por la ecuación 3. Se deben notar que la ecuación 3 rigidez siempre para losas sin vidas. Por lo tanto:

h=ln (800+0.005 f y )

36000=8.22∈¿

Ya que no hay vigas de borde, h se debe incrementar por lo menos en 10 %, lo cual resulta igual a

8.22×1.10≃9.1∈¿. Sea una losa de 912∈(241.3mm) de espesor. Este espesor es mayor que el

espesor mínimo absoluto de 5 in que requiere el reglamento para losas planas y por lo tanto se acepta. Su pongas end=h−l ´ ´=8.5∈¿.

wd Nueva=10+ 9.512

×150=128.75 psf .

3wd=386.25 psf .

w l=50 psf <3wd

BIEN.

Requerimientos espesor por cortante (Operación 3)

wu=1.6 L+1.2D=1.6×50+1.2×128.75

wd=234.5 psf sean235 psf (11.25 kPa )

Colón interior: el aire crítica perimetral de un esfuerzo cortante máximo se encuentra una distancia d/2 a partir de los paños de la columna; por lo tanto, la fuerza cortante perimetral neta factorizada es:

V u= [ (l1×l2 ) – (c1– d ) (c2−d ) ]wu

V u=[ (18×24 )– ( 20+8.512 )( 20+8.5

12 )]235=100,403.75 lb

De la figura dos, el perímetro de la superficie de la falla por cortante crítico es:

b0=2 (c1+d+c2+d )=2 (c1+c2+2d )

Superficie cortante perimetral Ac=b0d=2 (c1+c2+2d )=2×8.5 (20+20+17 )

Ac=969¿2=625,000mm2

Puesto que en esta etapa se desconocen los momentos, sólo se puede hacer una revisión preliminar por contante. Si:

βc=¿relación entre lado largo bien lado corto de las

columnas

βc=2020

=1.0

Para

βc≤2.0 V c ≤4√ f ´c A c

βc>2.0 V c ≤(2+4βc )√ f ´c Ac

V n=V u

ϕ=100,403.75

0.85=118,122.06 (525.43kN )

V c=4√4000×969=245,140 lb>133,425 lb; bien para cálculos preliminares.

Columna exterior: incluir el peso del muro exterior, suponiendo que en condiciones de servicios sera de 270 plf. La fuerza cortante perimetral neta es de:

V u=[(18×( 242

+ 182×12 )− (18+4.25 ) (20+8.5 )

144 )]235+(18−2012 )×270×1.2=58,189.64 lb

V n=58189.64

0.85=68,458.40lb

Considérese que la línea de acción V u Se encuentra en el paño LM de la columna la figura 3 para la transmisión del momento por cortante al plano centroidal c-c. Esta aproximación es adecuada puesto que V u Actúa perimetralmente alrededor de las caras de la columna y no únicamente a lo largo de la línea AB. De la figura 3,

Ac=d (2c1+c2+2d )=8.5 (2×18+20×17 )

Ac=621¿2 ( 400,322mm2 )

V c=4√4000×621=157,102>68,458.40 lb; Bien

para revisión preliminar.

Cálculo del momento estático (operaciones 4 a 6).

E−W n1: l=269∈¿22.42 f t

N−Sn2=l=196∈¿16.33 ft

0.65 l1=0.65×24=15.6 ft Usar

ln1=22.4 ft

0.65 l2=0.65×18=11.7 ft

Usar ln2=16.33 ft

(a) Dirección E-W

M o=W u l2ln1

2

8=

235×18 (22.42 )2

8

M o=265,780 ft−lb (360kN−m)

Los factores de distribución del momento indicados en la tabla 1 (anexos), para el tablero exterior de una losa plana sin vigas de borde, son:

–Mu en el primer apoyo interior = 0.70 Mo

+Mu al centro del claro del tablero = 0.52 Mo

–Mu en la cara exterior =0.26 Mo

Momento de diseño negativo –Mu = 0.70 x 265,780

–Mu = 186,046 ft-lb (252 kN-m)

Momento diseño positivo +Mu = 0.52 x 265,780

+Mu =138,206 ft-lb (187 kN-m)

Momento negativo exterior –Mu = 0.26 x 265,780

–Mu = 69,103 ft-lb (93 kN-m)

(b) Dirección N – S:

M o=W u l1ln2

2

8=

235×24 (16.33 )2

8

M o=188,002 ft−lb (255kN−m)

Momento de diseño negativo –Mu = 0.70 x 188,002

–Mu = 131,601 ft-lb (178 kN-m)

Momento diseño positivo +Mu = 0.52 x 188,002

+Mu =97,761 ft-lb (132 kN-m)

Momento negativo en la cara exterior –Mu = 0.26 x 188,002

–Mu = 48,881 ft-lb (66 kN-m)

Hay que notar que en este ejemplo, se podría utilizar el factor del momento más pequeño de 0.35 para los momentos factorizado positivos en la dirección N – S si el borde exterior fuera totalmente restringido.

Distribución de los momentos en las franjas de columna y mitades de centrales. (Operaciones 7 y 8)

En la columna E no existen viga de borde que resista a la torsión, por lo tanto, la relación de rigidez torsional β t de la viga de borde a la columna es cero; por lo que α❑=0. De las tablas para las franjas de columna (Tablas 2-3-4) se tiene, de los momentos factorizados exteriores, que el factor de distribución para el momento negativo en el apoyo exterior es de 100 %, el factor de momento positivo al centro del claro desde 60 % y del momento negativo interior es de 75%.

Verificar la capacidad de transferencia de cortante por momento en los apoyos de las columnas exteriores.

–Mc en la columna interior 2-B = 186,046 ft-lb.

–Me en la columna exterior 2-A = 69,103 ft-lb.

V u=58,189.64 lb Actuando en el paño de la columna.

El reglamento ACI establece que se utilice la resistencia nominal a la flexión evaluar el momento de desbalanceo que se transmiten a cada exterior de la columna, esto es, utilizar Mn basado en –Me=69,103 ft-lb.

La fuerza cortante factorizada en la cara exterior de la columna y ajustada para el momento interior:

V u=58,189.64−186,046−69,103

24−9+10

12

=52,972.85 lb

TABLA 5. TABLA DE OPERACIÓNES DE LA DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS.

l2/l1 :α1 (l2/l1) :

Dirección E – W18/24=0.75

0

Dirección N-S24/18=1.33

0Franja de columna Momento

negativo interiorMomento positivo al

centro del claroMomento

negativo exteriorMomento

negativo interiorMomento positivo al

centro del claroMomento

negativo exteriorMu ft-lb 186046 138,206 69,103 131,061 97,761 48,881

Factor de distribución (%) 75 60 100 75 60 100Momentos de diseño en la

franja de columna (ft-lb)0.75 X

186,046139,535

0.60 X138,20682,924

1.0 X69,10369,103

0.75 X131,06198,296

0.60 X97,76158,657

1.0 X48,88148,881

Momentos de diseño en la franja central (ft-lb)

186,046– 139,535

46,511

138,206 – 82,92455,282

69,103 – 69,103

0

131,061 – 98,29632,765

97,761– 58,65739,104

48,881 – 48,881

0

V n=52,972.85 /0.85=62,321 lb, suponiendo que Mu tiene el mismo valor que Mu factorizada.

Ac de lo anterior = 621 in2.

De la figuras 4 y 5 (anexo), tomando momentos de área del plano crítico alrededor del plano crítico alrededor del Eje AB.

(2c1+c2+2d ) x=(c1+d2 )

2

En la que x Es la distancia al centroide de la sección crítica, o sea:

(2×18+20+17 ) x=(18+ 8.52 )

2

x=495.0673

=6.78∈¿

g=6.78−8.52

=2.53∈¿ En la que g es la distancia desde la cara de la columna al eje centroidal

de la sección.

La transmisión del cortante V u desde el año de la columna hasta el centroide de la sección crítica,

implica un aumento adicional al valor de M u=69,103 ft−lb. Por lo tanto, el momento factorizada

total externo M ue=69,103+52,972.85 (2.53/12 )=80,271.44 ft−lb. La resistencia mínima total requerida por momento de desbalanceo será:

M u=M ue

ϕ=80,821.44

0.90=89,190.5 ft−lb

La cantidad de la resistencia nominal por flexión M n que se debe transmitir por cortante es:

γ c=1− 1

1+23 √ c1+d

c2+d

= 11+0.59

=0.37

Se debe notar que la dimensión c1+d para la columna exterior en la expresión anterior se

convierte en c1+d /2. Luego, M nv=0.37M n. El momento de inercia alrededor del eje y-y de los lados paralelos a la dirección de la flexion es:

I 1=( bh3

12+Ad2+ hb

3

12 )2; para ambas caras.

I 1=[ 8.5 (22.25 )3

12+ (8.5×22.25 )( 22.25

2−6.78)

2

+22.25 ( 8.5 )3

12 ]2I 1=(7,802+3,571+1,139 ) 2=25,024¿4

El momento de inercia con respecto al eje y-y de los lados perpendiculares a la dirección de la flexión es:

I 2=[ (20+8.5 )8.5 ] (6.78 )2=11,136¿4

Por lo tanto, el momento de inercia torsional Jc=25,024+11,136=36,160¿4

Los esfuerzos cortantes cortantes producidos por el cortante perimetral, el efecto de M n y el peso del muro serán:

vn=V u

ϕ+γ vC ABM n

J c

Donde M nv=γ v×M n

vn=62,321

0.85×621+ 0.37×6.78×89,190.5×12

36,160

vn=118.07+74.25=192.32 psi

Máxima admisible vc=4 √ f ´ c=4 √4000=253.00 psi

vn≤vc

Por lo tanto, se acepta el espesor de losa. Para la columna del tablero de esquina, se podría necesitar un refuerzo especial por cortante o aumentar la columna o el capitel para resistir los esfuerzos grandes de cortante en la zona.

Diseño del refuerzo en la zona de la losa en el paño de la columna para el momento de desbalanceo transmitido por flexión a la columna:

De la ecuación:

γ f=1

1+23 √ c1+d

c2+d

oγ f=1−γc

γ f=1−γc=1−0.37=0.63

M nf=γ f M n=0.63×89,190.5×12=674,280.18∈−lb

Este momento se debe transmitir dentro de una franja de 1.5h a cada lado de la columna, como se muestra en la figura 4.

Anchode transmision=(1.5×9.5 )2+20=48.5∈¿

M nf=ϕ A s f y (d−a2 ); suponer (d−a

2 )≃0.9d

ó 674,280.18=A s×60,000 (8.5×0.90 ) que da:

A s=1.47¿2 en una franja de ancho de ¿48.5∈¿

Revisando A s:

a= 1.47×60,0000.85×4,000×48.5

=0.53∈¿

Por lo tanto,

674,280.18=A s×60,000 (8.5−0.532 )

A s=1.36¿2≅ 5¿5varillas@4 centro a centr

Se usaran en la franja de 20 in de ancho en la columna y se anclaran en esta según se requiera para desarrollar la longitud de adherencia.

Este acero adicional se deberá emplear para efectuar la transmisión de la flexión. En la siguiente sección del ejercicio se proporcionara el refuerzo necesario para resistir el momento total de la cara exterior en la franja de columna M e=69,103 ft−lb, esto es, M ne=76,781.11 ft−lb.

De manera semejante, se debe revisar la transmisión del momento por cortante en la cara de la columna interior C. Como se describe en el tema “Momentos factorizados distribuidos y refuerzos de la losa, en el que algunas veces es necesario revisar para condiciones de cargas alternadas y para los casos en que los claros sucesivos no son iguales o no están cargados de la misma forma.

Proporcionamiento del refuerzo de la losa (Operaciones 9 y 10).

(a) Dirección E-W (claro largo).

1. Resumen de los momentos en la franja de columna (ft-lb):

Mn negativo en columna interior = ( 139,535ϕ=0.90 )=155,038.89

Mn positivo al centro del claro = ( 82,924ϕ=0.90 )=92,137.78

Mne negativo en columna exterior = ( 69,103ϕ=0.90 )=76,781.11

2. Resumen de los momentos en las mitades de franjas centrales (ft-lb):

Mn negativo en columna interior = ( 46,511ϕ=0.90 )=51,678.89

Mn positivo al centro del claro = ( 55,282ϕ=0.90 )=61,424.44

Mne negativo en columna exterior = 0

3. Diseño del esfuerzo para la franja de columna:

- Mn = 139,535 ft-lb actúa en una franja con ancho de 2 (0.25×18 )=9 ft .

- Mn unitario por 12 in de ancho ¿139,535×12

9=186,046.67∈−lb

+ Mn unitario por 12 in de ancho ¿92,137.78×12

9=122,850.4∈−lb

Acero negativo:

M nf=ϕ A s f y (d−a2 ) ó 186,046.67=A s×60,000 (8.5×0.90 )

Suponiendo que el brazo de palanca (d−a2 )≃0.9d para el primer intento y que d = h – ¾ in – ½

veces el diámetro de las varillas ≃ 8.5 in para propósitos prácticos. Luego,

A s=186,046.67

60,000×0.90×8.5=0.41¿2

a=A s f y

0.85 f ´ c b= 0.41×60,000

0.85×4,000×12=0.60∈¿

Para el segundo ciclo de prueba y ajuste,

186,046.67=A s×60,000 (8.5−0.602 )

Por lo tanto,−A s que se requiere por cada franja de 12 in de ancho = 0.37 in2. Probar con varillas del No. 5 (área de cada varilla = 0.305 in2).

Separacion s= area deunavarillaA s requerida por cada franjade 12∈¿¿

De donde resulta:

s pormomento negativo=0.3050.3712

=9.90∈c−c (251mm )

s pormomento positivo=9.90×186,046.67122,850.4

=15∈c−c (381mm )

La separación masxima permisible es = 2h = 2 x 9.5 = 19 in (483 mm). Probar con 4 varillas para el

momento positivo (A s=0.20¿2).

A s=122,850.4186,046.67

×0.37=0.24¿2 por franjade12∈¿

A s=0.200.2412

=10∈c−c (254mm )

Para el momento negativo exterior, utilizar varillas del No. 4,

s=10×92,137.7876,781.11

=12∈c−c (305mm )

4. Diseño del refuerzo de las mitades de franja centrales:

- Mn = 46,511

0.90=51,678.89 ft-lb actúa en una franja con ancho de 18−9=9 ft .

- Mn unitario por 12 in de ancho ¿51,678.89×12

9=68,905.20∈−lb

68,905.20=A s×60,000 (8.5×0.90 )

A s=68,905.20

60,000×0.90×8.5=0.15¿2

a=A s f y

0.85 f ´ c b= 0.15×60,000

0.85×4,000×12=0.22 i n

Para el segundo ciclo de prueba y ajuste,

68,905.20=A s×60,000 (8.5−0.222 )

A s=0.14 ¿2

franja de12ancho

Probando con varillas del No. 3 (A s=0.11¿2 por varilla):

s pormomento negativo= 0.110.1412

=9.5∈c−c (241mm )

s pormomento positivo=9.5×51,678.8961,424.44

=8∈c−c (203mm )

Para el momento negativo, se usara varillas del No. 3 a cada 9.5 in centro a centro y para el momento positivo varillas del No.3 a cada 8 in centro a centro.

Ejemplo 2. Diseño de una losa perimetralmente apoyada en dos direcciones.

Un edificio de dos niveles de una fábrica tiene una planta tres tableros por tres tableros, apoyados monolíticamente sobre vigas. Cada tablero tiene 18 ft (5.49 m) centro a centro, en la dirección N-S y 24 ft (7.32 m) centro a centro en la dirección E-W, como se muestra en la figura. La altura libre de entrepiso es de 16 ft. Las dimensiones de las columnas y vigas de apoyo también se muestran en la figura y el edificio solamente soporta las cargas gravitacionales. Dados:

Carga viva= 115 psf (5.45 kPa).f ´ c=4000 psi (27.6Mpa ), concreto de peso normal.f y=60000 psi ( 414Mpa ).

Diseñar el tablero interior, el tamaño y la separación del refuerzo necesario. Considerar que la carga de piso será de 14 psf adicional al peso propio de losa.

Solución.

Verificación de la geometría para aplicar el método de diseño directo. (Operación 1).

(a) Relación Clarola rgoClaro corto

=2418

=1.33<2.0 , por lo tantohay acciónendos direcciones.

(b) Hay tres tableros en cada dirección.

(c) Se supone un espesor de 7 in.

wd=14+ 712

×150=101.5 psf .

3wd=304.5 psf .

w l=115 psf <3wd

BIEN.

Por lo tanto es aplicable el método de diseño directo.

Espesor mínimo de losa por requerimientos de deflexión. (Operación 2).

Dirección E-W ln1=24×12– 2×6=276∈¿

Dirección N-S ln2=18×12 –2×6=204∈¿

Relación del claro largo al claro corto β=276204

=1.35

βs=1; puesto que todos los bordes son continuos.

En los cálculos del espesor de la loza se debe utilizar el claro más largo para el control de deflexiones, utilizando las siguientes ecuaciones:

h=ln ( 800+0.005 f y )

36000+5000β [αm−0.5 (1−βs ) (1+1/ β ) ] (Ecuación 1)

h=ln ( 800+0.005 f y )

36000+5000β (1+βs ) (Ecuación 2)

h=ln (800+0.005 f y )

36000 (Ecuación 3)

De la ecuación 2:

h=ln ( 800+0.005 f y )

36000+5000β (1+βs )

h=276 (800+0.005×60 )

36000+5000×1.35 (1+1 )

h=6.13∈(156mm)

Para verificar h en la ecuación 1, se necesita la relación de rigidez. Puesto que este es un tablero interior, los tableros extremos y de esquina adyacentes requerirán mas espesor. Tratar con h=7 in.

Para localizar el centroide de la sección de la viga en la figura 7,

(38×7 ) ( y+3.5 )+ 12 ( y2 )2

=12 (13− y )2

2

y=0.20∈¿

I b=13×12 (0.20 )3+ 1

12×38 (7 )3+38×7 (0.20+3.5 )2+ 1

3×12 (13−0.20 )2

I b=13,116.4 ¿4

I s=h3/12× el ancho de la losa que limitan lateralmente las líneas centrales de los tableros

adyacentes, a cada lado de la sección de la viga que se muestra en la figura 6.

ls1 (N−S )= (7 )3

12×24×12=8232¿4

ln2 (E−W )= (7 )3

12×18×12=6174¿4

Por lo tanto,

α 1=13,116.4

8232=1.59 α 2=

13,116.46174

=2.12

αm=1.59×2+2.12×2

4=1.86

De la ecuación 1,

h=276 (800+0.005×60,000 )

36000+5000×1.35 [1.86−0 ]=6.25∈¿

Escoger h de la ecuación 1, puesto que h no debe de exceder el espesor que se obtiene con la ecuación 3, la cual resulta:

h=276 ( 800+0.005×60,000 )

36000

h=8.43∈¿

Por lo tanto, por deflexiones, utilice h = 7 in como se supuso al principio (178 mm).

wu=1.6 L+1.2D=1.6( 712

×150+14)+1.2×115

wd=300.4 psf sean301 psf (14.41kPa )

Cálculo del momento estático (operaciones 3 a 5).

E−W ln1=276∈¿23.00 ft

N−S ln2=204∈¿17.00 ft

0.65 l1=0.65×23=14.95 ft Usar ln1=23.00 ft

0.65 l2=0.65×17=11.05 ft Usar ln2=17.00 ft

(a) Dirección E-W

M o=W u l2ln1

2

8=

301×18 (23 )2

8

M o=358,265.25 ft−lb

Aplicando los factores de distribución de los momentos indicados en la tabla 2 (anexos), tenemos:

–Mu = 0.65 Mo = 0.65 x 358,265.25 = 232,872.41 lb - ft

+Mu = 0.35 Mo = 0.35 x 358265.25 = 125,392.84 lb - ft

(b) Dirección N – S:

M o=W u l1ln2

2

8=

301×24 (17 )2

8

M o=206,967 ft−lb

Aplicando los factores de distribución de los momentos indicados en la tabla 2 (anexos), tenemos:

–Mu = 0.65 Mo = 0.65 x 206,967 = 134,528.55 lb - ft

+Mu = 0.35 Mo = 0.35 x 260,967 = 72,438.45 lb – ft

Distribución de momentos en las franjas de columna y mitades de franjas centrales (Operaciones 5 a 7).

(a) Relacion de rigidez E – W (claro largo):

α=Ecb I b2

Ecs I s2

=13,116.46,174

=2.12

l2l1=18

24=0.75 α

l2l1

=1.59>1.0

A partir de los coeficientes de momentos factorizados para la franja de columna de un tablero interior (anexos), los factores para los momentos de la franja de columna en este tablero se interpolan linealmente, con el resultado siguiente:

−M :0.75+ 0.90−0.752

=0.83

+M :0.75+ 0.90−0.752

=0.83

(b) Relacion de rigidez N – S:

α=Ecb I b2

Ecs I s2

=13,116.48,232

=1.59

l2l1=24

18=1.33 α

l2l1

=2.12>1.0

Por lo tanto, los factores que se usan son lo mismo de las tablas de interpolación lineal:

−M :0.75−(0.75−0.45 ) 13=0.65

+M :0.75− (0.75−0.45 ) 13=0.65

En seguida se calculan los momentos distribuidos, utilizando los factores que se interpolan anteriormente para producir la tabla de operaciones de la distribución de momentos (tabla 6).

Se debe notar en esta tabla que la relación de rigidez de la losa con relación a las vigas de apoyo para la relación de claros en este ejemplo, ha producido momentos en las mitades de franjas centrales de la dirección N – S, que son mayores que los momentos en la dirección E – W.

Revision del espesor de la losa por capacidad al cortante:

αl2l1

=1.59>1.0

El cortante se transmitirá a las vigas perimetrales de la losa, de acuerdo con un área tributaria limitada por líneas a 45° que parten de las esquinas del tablero y se unen en la línea central paralela al lado largo del tablero.

TABLA 6. TABLA DE OPERACIÓNES DE LA DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS.

l2/l1 :α1 (l2/l1) :

Dirección E – W18/24=0.75

2.12 x 0.75 = 1.59

Dirección N - S24/18=1.33

1.59 x 1.33 = 2.12Franja de columna Momento

negativoMomento positivo Momento negativo Momento positivo al

Mu ft-lb 232,872.41 125,392 134,528.55 72,438.45Factor de distribución (%) 83 83 65 65

Momento total de diseño en la franja de columna (ft-lb) 193,284.10 104,075.36 87,443.56 47,085Momento en la viga 85 % 164,291.49 88,464.06 74,327.02 40,022.25

Momento en la losa. (ft – lb) 28,992.61 15,611.3 13,116.54 7062.75Momentos de diseño en la franja central (ft-lb) 232,872.41

x 0.17 125,392 x 0.17

134,528.55 x 0.35

72,438.45 x 0.35

39,588.31 21,316.64 47,085 25,353.46

La mayor parte de las cargas se debe transportar en la dirección corta, con el valor mas grande en el paño del primer apoyo interior. El cortante factorizado que cubre el claro en la dirección corta, en una franja de 12 in de ancho, se puede tomar aproximadamente como:

V u=1.15wuln2

2=

1.15×301 (17×12 )2×12

=2,942.28 lb / ft de ancho

En la que el valor 1.15 es el factor de continuidad.

Peralte efectivo de losa d = 7 – 0.75 - 0.25= 6.0 in (152.4 mm).

ϕ V c=ϕ (2√ f ´c bd )

ϕ V c=0.85×2√4000×12×6=7,741 lb

V u<ϕV c Por eso es segura.

Proporcionamiento del refuerzo de la losa (Operaciones 7 y 8).

Como se hizo en el ejemplo numero 1, se deben evaluar los momentos por franjas de 12 in de ancho.

(a). Dirección E – W:

Franja de columna

−M n=28,992.61ϕ=0.90

=32,214.01 ft−lb

0.25 l2=0.25×18 ft=4.5 ft<0.25×24 ft

Por eso la mitad de la franja de columna = 4.5 ft rige. El ancho neto de la losa en la franja de columna donde actúa el momento es = 2 x 4.5 = 38 in/12= 5.83 ft.

−M unitario por cada franjade 12∈deancho=32,214.01×125.83

=66,306.71∈−lb

+M unitario por cada franja de12∈deancho=15,611.3×120.90×5.83

=35,703.37∈−lb

Mitad de franjas intermedias:

Ancho de franja = 18 - 9.0 = 9.0 ft.

−M unitariorequer ido por cada franja de12∈deancho=39,588.31×120.9×9.0

=58,649.35∈−lb

+M unitariorequerido por cada franjade12∈de ancho=21,316.64×120.90×9.0

=31,580.21∈−lb

(b). Dirección N – S (Claro corto): De lo anterior, el ancho máximo permisible de la mitad de la franja de columna = 4.5 ft.

Franja de columna:

Anchonetode lalosa en lafranja decolumnadonde actúanlosmomentos=2×4.5−3812

=5.83 ft

−M unitariorequer ido por cada franja de12∈deancho=13,116.54×120.9×5.83

=29,997.80∈−lb

+M unitariorequerido por cada franjade12∈de ancho=7062.75×120.90×5.83

=16,152.66∈−lb

Mitad de la franja intermedia:

Ancho de la franja = 24 -9 = 15.0 ft

−M unitariorequer ido por cada franja de12∈deancho=47,085×120.9×15

=41,853.33∈−lb

+M unitariorequerido por cada franjade12∈de ancho=25,353.46×120.90×15

=22,536.41∈−lb

Selección del tamaño y separación del esfuerzo (Operación 9)

El momento máximo unitario en la región de momentos negativos de la franja de columna, en la dirección E−W=66,306.71∈−lb por 12 in de ancho es:

M nf=ϕ A s f y (d−a2 )

Suponiendo que el brazo de palanca (d−a2 )≃0.9d

A s=66,306.71

60,000×0.90×6=0.20¿2

a=A s f y

0.85 f ´ c b= 0.20×60,000

0.85×4,000×12=0.30∈¿

Para el segundo ciclo de prueba y ajuste,

66,306.71=A s×60,000(6−0.302 )

Por lo tanto,−A s que se requiere por cada franja de 12 in de ancho = 0.19 in2. Probar con varillas del No. 4 (área de cada varilla = 0.20 in2), (12.7 mm).

Separacion s= area deunavarilla

A s requerida por cada franjade 12∈¿=0.200.2112

=11.43∈c−c (290mm ) ¿

ANEXOS

TABLA 1. FACTORES DE MOMENTO PARA DISTRIBUIR MO EN LOS CLAROS EXTERIORESLosa vigas entre los

apoyo internoBorde

exterior libre

Losa con vigas entre todos los

apoyos

Sin viga de borde

Con viga de bordo

Borde exterior totalmente restringido

Momento interior negativo

factorizado0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momento positivo factorizado

0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Momento exterior negativo

factorizado0 0.16 0.26 0.30 0.65

Tabla 2. Tableros interioresl2/l1 0.5 1.0 2.0

α1 (l2/l1) = 0 75 75 75α1 (l2/l1) ≥ 1 90 75 45

Tabla 3. Tableros exterioresl2/l1 0.5 1.0 2.0

α1 (l2/l1) = 0 Βt = 0 100 100 100Βt ≥ 2.5

75 75 75

α1 (l2/l1) ≥ 1 Βt = 0 100 100 100Βt ≥ 2.5

90 75 45

Tabla 4. Momentos positivosl2/l1 0.5 1.0 2.0

α1 (l2/l1) = 0 60 60 60α1 (l2/l1) ≥ 1 90 75 45