1. Distribución de probabilidad. Considere el ensayo de lanzar un dado, con los resultados 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Construya la tabla que represente la distribución de probabilidad.

P (1 )=16=0.166

P (2 )=16=0.166

P (3 )=16=0.166

P (4 )=16=0.166

P (5 )=16=0.166

P (6 )=16=0.166

x P(x)

1 0.166

2 0.166

3 0.1664 0.166

5 0.166

6 0.166

2. Distribución de probabilidad. Uno de los requisitos de una distribución de probabilidad es que la suma de las probabilidades debe ser 1 (se permite una pequeña cantidad de variación por errores de redondeo). ¿Cuál es la justificación de este requisito?

Esto se debe a que estamos utilizando una variable aleatoria discreta que tiene un número finito de valores o un número de valores contable, donde esto se refiere al hecho de que podría haber un número infinito de valores, pero que pueden asociarse con un proceso de conteo y trabajar con decimales.

3. Distribución de probabilidad. Un jugador profesional afirma que cargó un dado para que los resultados de 1, 2, 3, 4, 5, 6 tengan probabilidades correspondientes de 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 y 0.6. ¿Realmente será cierto lo que dice? ¿Una distribución de probabilidad se describe haciendo una lista de los resultados junto con sus probabilidades correspondientes?

Si puede ser cierto ya que cargando un dado se puede obtener un resultado probable por cada una de las caras del dado, y la distribución de la probabilidad se describe con los resultados que se obtienen.

4. Valor esperado. Un investigador calcula el valor esperado del número de niñas en cinco nacimientos y obtiene un resultado de 2.5. Luego, redondea los resultados a 3, al afirmar que no es posible que nazcan 2.5 niñas en cinco nacimientos. ¿Es correcto este razonamiento?

El razonamiento si es correcto ya que no puede existir 2.5 niñas y al realizar la aproximación a 3 el valor esperado de tener 3 niñas en 5 nacimientos.

Identificación de variables aleatorias discretas y continuas.

En los ejercicios 5 y 6, identifique si la variable aleatoria dada es discreta o continua.

5.

a. La estatura de una jirafa que vive en Kenia, elegida al azar

Discreta

b. El número de águilas calvas que habitan en el estado de Nueva York

Discreta

c. El tiempo exacto que se requiere para sumar 27 _ 72

Continua

d. El número de autores de libros de texto que ahora están sentados ante una computadora

Continua

e. El número de estudiantes de estadística que ahora están leyendo un libro

Discreta

6.

a. El costo de realizar un experimento de genética

Continua

b. El número de supermodelos que ayer comieron pizza

Discreta

c. El tiempo de vida exacto de un gato

Continua

d. El número de profesores de estadística que leen un periódico cada día

Discreta

e. El peso de una pluma

Continua

7. Trastorno genético. Cada uno de tres hombres que tienen un trastorno genético relacionado con el cromosoma X tiene un hijo. La variable aleatoria x es el número de hijos de los tres hombres que heredan el trastorno genético relacionado con el cromosoma X.

x P(x) [ x . P (X )] [ x2 . P ( x ) ]0 0,4219 0 01 0,4219 0,4219 0,49382 0,1406 0,2812 0,69523 0,0156 0,0468 0,3717

Total 1 ∑ [ x . P (X )]0,7499

∑ [x2 .P ( x ) ]1,5607

μ=∑ [ x . P (X )] Ɵ=√∑ [ x2 .P ( x ) ]−u2

μ=0+0,4219+0,2812+0,0468 Ɵ=√(0,49+0,69+0,37)−0,56

μ=0,7499 Ɵ=0,9543

La suma de las P(x) = 1, por tanto es una distribución de probabilidad.

8. Números de niñas. Un investigador reporta que, cuando se seleccionan al azar grupos de cuatro niños de una población de parejas que cumplen ciertos criterios, la distribución de probabilidad del número de niñas es como la que se presenta en la siguiente tabla.

x P(x) [ x . P (X )] [ x2 . P ( x ) ]0 0,502 0 01 0,365 0,365 0,3652 0,098 0,196 0,3923 0,0011 0,0033 0,00994 0,001 0,003 0,016

Total 0,9671 ∑ [ x . P (X )]0,5673

∑ [x2 .P ( x ) ]0,7829

μ=∑ [ x . P (X )] Ɵ=√∑ [ x2 .P ( x ) ]−u2

μ=0+0,365+0,196+0,0033+0,003 Ɵ=√0,7829−0,3218

μ=0,5673 Ɵ=0,6790

La suma de las P(x) ≠ 1, por tanto no es una distribución de probabilidad.

9. Experimento de genética. Un experimento de genética incluye vástagos de guisantes en grupos de cuatro. Un investigador reporta que, para un grupo, el número de plantas de guisantes con flores blancas tiene una distribución de probabilidad como la que se presenta en la siguiente tabla.

x P(x) [ x . P (X )] [ x2 . P ( x ) ]0 0,04 0 01 0,16 0,16 0,162 0,80 1,6 3,23 0,16 0,48 1,444 0,04 0,16 0,64

Total 1,2 ∑ [ x . P (X )]2,4

∑ [x2 .P ( x ) ]5,44

μ=∑ [ x . P (X )] Ɵ=√∑ [ x2 .P ( x ) ]−u2

μ=0+0,16+1,6+0,48+0,16 Ɵ=√5,44−5,76

μ=2,4

La suma de las P(x) ≠ 1, por tanto no es una distribución de probabilidad.

10. Estudio de mortalidad. Para un grupo de cuatro hombres, la distribución de probabilidad del número x que sobreviven al año siguiente es como la que se presenta la siguiente tabla.

x P(x) μ σ

0 0 0 0

1 0,0001 0,0001 0,0001

2 0,0006 0,0012 0,0024

3 0,0387 0,1161 0,3483

4 0,9606 3,8424 15,3696

SUMA 1 3,9598 0,2010

Si es una distribución de probabilidad por que la suma de las P(x)= 1. Y tiene una µ= 3.9598 y σ=0.2010

11. Número de juegos en una Serie Mundial de béisbol. Con base en resultados pasados encontrados en el Information Please Almanac, existe una probabilidad del 0.1818 de que la Serie Mundial de béisbol dure cuatro juegos, una probabilidad del 0.2121 de que dure cinco juegos, una probabilidad de 0.2323 de que dure seis juegos y una probabilidad del 0.3737 de que dure siete juegos. ¿Será infrecuente que un equipo “arrase” al ganar cuatro juegos?

x P(x) μ σ

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

4 0,1818 0,7272 2,9088

5 0,2121 1,0605 5,3025

6 0,2323 1,3938 8,3628

7 0,3737 2,6159 18,3113

SUMA 0,9999 5,7974 1,1294

Distribución de probabilidad con µ = 5.7974 y σ= 1.1294. No es infrecuente que un equipo gane cuatro juegos, ya que la probabilidad es alta (0.1818).

12. Reconocimiento de marca. En un estudio de reconocimiento de la marca Sony se entrevistaron grupos de cuatro consumidores. Si x es el número de personas en el grupo que reconocen la marca Sony, entonces x puede ser 0, 1, 2, 3 o 4, y las probabilidades correspondientes son 0.0016, 0.0250, 0.1432, 0.3892 y 0.4096. ¿Será infrecuente seleccionar al azar a cuatro consumidores y descubrir que ninguno de ellos reconoce la marca Sony?

x P(x) μ σ

0 0,0016 0 0

1 0,0251 0,0251 0,0251

2 0,1432 0,2864 0,5728

3 0,3892 1,1676 3,5028

4 0,4096 1,6384 6,5536

SUMA 0,9687 3,1175 0,9672

No es una distribución de probabilidad por que la suma de P(x) ≠ 1.Si es infrecuente ya q hay una mayor probabilidad de que la mayoría de consumidores en el grupo reconozcan la marca Sony.

13. Determinar si un proceso de selección de miembros de un jurado es discriminatorio.

Suponga que se seleccionan 12 jueces al azar de una población en la que el 80% de los habitantes son México-estadounidenses. Remítase la tabla 5-1 y calcule las probabilidades indicadas.

a. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 5 México-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado.

b. Calcule la probabilidad de que haya 5 o menos México-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado.

c. ¿Qué probabilidad es relevante para determinar si 5 jueces de un total de 12 son excepcionalmente pocos: el resultado del inciso a) o el del inciso b)?

d. ¿Cinco México-estadounidenses de un total de 12 miembros del jurado sugieren que el proceso de selección discrimina a los México-estadounidenses? ¿Por qué?

X P(x) μ σ

0 0 0 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0,001 0,004 0,0165 0,003 0,015 0,0756 0,016 0,096 0,5767 0,053 0,371 2,5978 0,133 1,064 8,5129 0,236 2,124 19,11610 0,283 2,830 28,30011 0,206 2,266 24,92612 0,069 0,828 9,936

SUMA 1 9,598 1,3901σ ^2 1,9324

a. P (5)=0.003

b. P (5 o menos)=0.003 +0.001 + 0 + 0 +0 + 0

P (5 o menos)= 0.004

c. El resultado del inciso b) es relevante.

d. Sí. Debido a que la probabilidad de seleccionar aleatoriamente a cinco o menos México-estadounidenses es tan baja (0.004), es poco probable que eso ocurra por el azar.

14. Determinar si un proceso de selección de miembros de un jurado es discriminatorio.

Suponga que se seleccionan 12 jueces al azar de una población en la que el 80% de los habitantes son México-estadounidenses. Remítase a la tabla 5-1 y calcule las probabilidades indicadas.

a. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 6 México-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado.

b. Calcule la probabilidad de que haya 6 o menos México-estadounidense en un total de 12 miembros del jurado.

c. ¿Qué probabilidad es relevante para determinar si 6 jueces de un total de 12 son excepcionalmente pocos: el resultado del inciso a) o el del inciso b)?

d. ¿Seis México-estadounidenses de un total de 12 miembros del jurado sugieren que el proceso de selección discrimina a los México-estadounidenses? ¿Por qué?

a. P (6)=0.016

b. P (6 o menos)=0.016+0.003 +0.001 + 0 + 0 +0 + 0

P (6 o menos)= 0.020

c. El resultado del inciso b) es relevante.

d. Si Debido a que la probabilidad de seleccionar aleatoriamente a seis o menos México-estadounidenses es baja (0.020), es poco probable que eso ocurra al azar.

15. Determinar si un proceso de selección de miembros de un jurado es discriminatorio. Suponga que se seleccionan 12 jueces al azar de una población en la que el 80% de los habitantes son México-estadounidenses. Remítase la tabla 5-1 y calcule las probabilidades indicadas.

a. Utilice los valores de probabilidad de la tabla 5-1 para calcular el valor de probabilidad que se debe emplear para determinar si el resultado de 8 México-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado es inusualmente bajo.

b. ¿El resultado de 8 México-estadounidenses sugiere que el proceso de selección discrimina a los México-estadounidenses? ¿Por qué?

P (6)=0.133

Si puesto que 0.133 es un valor mayor a 0,05 lo cual dice que es común que suceda este valor y se escoja al azar a 8 México- estadounidense al azar

16. Determinar si un proceso de selección de miembros de un jurado es discriminatorio. Suponga que se seleccionan 12 jueces al azar de una población en la que el 80 % de los habitantes son México – estadounidenses.

Utilice los valores de probabilidad de la tabla 5-1 para calcular el valor de probabilidad que se debe utilizar para determinar si el resultado de 11 México-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado es inusualmente alto.

¿El resultado de 11 México-estadounidenses sugiere que el proceso de selección favorece a los México-estadounidenses? ¿Por qué?

x P(x) X.P(x) X2 X2.P(x)0 0+ 0.000 0 0.0001 0+ 0.000 1 0.0002 0+ 0.000 4 0.0003 0+ 0.000 9 0.0004 0.001 0.004 16 0.0165 0.003 0.015 25 0.0756 0.016 0.096 36 0.5767 0.053 0.371 49 2.5978 0.133 1.064 64 8.5129 0.236 2.124 81 19.11610 0.283 2.830 100 28.30011 0.206 2.266 121 24.92612 0.069 0.828 144 9.936Total= 9.598 94.054

μ=9.6

σ 2=∑ [ x2 . P ( x ) ]−μ2=94.054−1.9323962=1.9

σ 2=1.9

σ=√1.9=1.4

Valor máximo común ¿ μ+2σ=9.6+2 (1.4 )=12.4

Valor mínimo común ¿ μ−2σ=9.6−2 (1.4 )=6.8

P (11 miembros del jurado)=

P(11)+P(10)+P(9)+P(8)+P(7)+P(6)+P(5)+P(4)+P(3)+P(2)+P(1)+P(0)

P (11)= 0.283+0.236+0.133+0.053+0.016+0.003+0.001+0+0+0+0

P (11)=0.725

Interpretación:

Con base a los resultados, concluimos que el número del jurado de México estadounidenses debe caer entre los valores de 6.8 y 12.4. Si un jurado consta de 11 miembros México estadounidenses no es un proceso inusualmente alto, debido a que P(x) no oscila en valores de 0.05, sino más bien tiene un valor de 0.725 mayor que el rango esperado para que sea un valor inusualmente alto.

b.- El proceso de selección favorece a los México estadounidense debido que de un total de 12 jurados el 92% es México estadounidenses, por lo tanto no se está discriminando al acusado con la selección del jurado.

17. Cálculo de valor esperado en la ruleta. Cuando Ud. Apuesta $5 al número 7 en la ruleta en el casino Venetian de Las Vegas, tiene una probabilidad de 37/38 de perder $5, y la probabilidad de 1/38 de obtener la ganancia neta de $175. (El premio es de $180, incluyendo el valor de la apuesta de $5, de manera que la ganancia neta es de $175). Si apuesta $5 a que el resultado es un número impar, la probabilidad de perder $5 es de 20/38, y la probabilidad de obtener una ganancia neta de $5 es de 18/38. (Si apuesta $5 a que un número impar y gana recibe $10 incluyendo su apuesta, de manera que la ganancia neta es de $5).

Si apuesta $5 al número 7 ¿cuál es su valor esperado?

Suceso x P(x) x.P(x)

Pérdida -5 0.973 -4.865

Ganancia 175 0.026 4.55

Total 170 -0.315-0.32

El valor esperado indica que por cada $5 que apueste usted va a perder $0.32.

Si apuesta $5 a que el resultado es un número impar ¿cuál es su valor esperado?

Suceso x P(x) x.P(x)

Pérdida -5 0.526 -2.63

Ganancia 5 0.474 2.37

Total -0.26

El valor esperado indica que por cada $5 que se apueste a un número impar se va a perder $0.26.

¿Cuál de estas opciones es mejor apostar, apostar al 7, a un número impar o no apostar? ¿Por qué?

En cada caso el valor esperado indica que a largo plazo usted va a perder $0.32 en el primer caso y $0.26 en el segundo caso. Por lo tanto representa una inversión inadecuada.

18. Cálculo del valor esperado en los dados del casino. Cuando Ud. Apuesta $5 en un casino en la línea de pase en el juego de dados, existe una probabilidad de 251/495 de que pierda $5 y una probabilidad de 244/495 de que obtenga una ganancia neta de $5. (si Ud. Gana el casino le da $5 y conserva su apuesta de $5, de manera que la ganancia neta es $5). ¿Cuál es su valor esperado? A la larga, ¿cuánto pierde por cada dólar que apueste?

Suceso x P(x) x.P(x)Pérdida -5 0.507 -2.54Ganancia 5 0.493 2.47Total -0.10

El valor esperado indica que a largo plazo si usted apuesta $5 al juego de los dados va a perder $0.10 por cada $5 dólares.

Suceso x P(x) x.P(x)Pérdida -1 0.507 -0.507Ganancia 1 0.493 0.493Total -0.014

El valor esperado nos indica que por cada $1 que se apueste va a perder a largo plazo $0.014.

19. Cálculo del valor esperado para una póliza de seguro de vida. La compañía de seguros CNA le cobra a un hombre de 21 años $250 por un año de una póliza de seguro de vida de $100,000. Un hombre de 21 años tiene una probabilidad del 0.9985 de sobrevivir durante un año (según datos del U.S. National Center for Health Statistics).

a. Desde la perspectiva del hombre de 21 años (o de su estado), ¿cuáles son los valores de los dos resultados diferentes?

Si la probabilidad de sobrevivir durante un año es de 0.9985 con un costo de $250 por la póliza, si se incrementa dicho valor la posibilidad de vida tendría a un valor de casi 1 para poder ser adquirir la póliza de seguro.

b. ¿Cuál es el valor esperado para un hombre de 21 años que compra el seguro?

Suceso x P(x) x.P(x)Pérdida 1 0.9985 0.9985

El valor esperado en este caso nos indica que por cada año que transcurra el número de veces que compre el seguro pierda su vida en $0.9985 en un año.

c. ¿Cuál sería el costo de la póliza del seguro si la compañía sale a mano (a la larga eso sucede con muchas pólizas), en vez de obtener una ganancia?

El costo sería el mismo ya que la compañía tendrá que asumir el cargo de asegurar a cada una de las personas que tenga una póliza de seguro

d. Dado que el valor esperado es negativo (de manera que la compañía obtiene una ganancia), ¿por qué debería un hombre de 21 años o cualquier otra persona adquirir seguros de vida?

Porque la compañía podría disminuir el precio de la póliza y así las personas obtuvieran una póliza mucho más cómoda y hasta que su nivel de confianza y eficiencia sea la mejor.

20. Cálculo del valor esperado de la rifa organizada por una revista. La revista Reader’s Digest realizó una rifa en la que los premios se listaron junto con las probabilidades de ganar: $1,000,000 (1 posibilidad en 90,000,000), $100,000 (1 posibilidad en 110,000,000), $25,000 (1 posibilidad en 110,000,000), $5000 (1 posibilidad en 36,667,000) y $2500 (1 posibilidad en 27,500,000).

a. Suponiendo que no hay un costo por participar en la rifa, calcule el valor esperado de la cantidad a ganar con un boleto.

X P(X) “GANAR” X.P(X) PREMIO1 0.011*10-6 0.011*10-6 $1,000,0001 0.0090*10-6 0.0090*10-6 $100,0001 0.0090*10-6 0.0090*10-6 $100,0001 0.0272*10-6 0.0272*10-6 $50001 0.0363*10-6 0.0363*10-6 $2500

TOTAL 0.0922*10-6

El valor esperado indica que por ganar con un boleto la ganancia de cada uno de los premios es de 0.0922*10-6.

b. Calcule el valor esperado si el costo de un boleto en esta rifa equivale al de una estampilla postal. ¿Vale la pena participar en esta rifa?

Si valdría la pena ya que el costo del boleto seria mucho menos, pero por el lado contrario la posibilidad de ganar seria mucho menos que la del valor esperado.

21. Cálculo de la media y la desviación estándar. Sea x la variable aleatoria que represente el número de niñas en una familia de tres hijos. Construya una tabla que describa la distribución de probabilidad, después calcule la media y la desviación estándar. (Sugerencia: Liste los distintos resultados posibles). ¿Es poco común que una familia de tres hijos incluya tres niñas?

niño niño niñoniño niño niñaniño niña niñoniño niña niña

niña niño niñoniña niño niñaniña niña niñoniña niña niña

X P(x)1 0+2 0.333 0.334 0.665 0.336 0.337 0.668 1

Si es poco común que una familia de tres hijos incluya tres niñas debido a que su probabilidad de que nazca tres niñas es muy poco probable (p(x)=1).

Media de una distribución de probabilidad

x P(x) x.P(x)1 0+ 0+2 0.33 0.333 0.33 0.334 0.66 0.665 0.33 0.336 0.33 0.337 0.66 0.668 1 1

Total 3.64

Desviación estándar de una distribución de probabilidad

U2 P(x) X2.P(x)0+ 0+ 0+0.33 0.33 1.320.33 0.33 0.990.66 0.66 10.560.33 0.33 8.250.33 0.33 11.880.66 0.66 32.3413.24 65.39

σ=√∑ [ x2. P (x ) ]−μ2

σ=√∑ [65.39 ]−(3.64)2

σ=√∑ [65.39 ]−(13.24)

σ=7.22

22. Cálculo de la media y la desviación estándar. Sea x la variable aleatoria que represente el número de niñas en una familia de cuatro hijos. Construya una tabla que describa la distribución de probabilidad, después calcule la media y la desviación estándar. (Sugerencia: Liste los distintos resultados posibles). ¿Es poco común que una familia de cuatro hijos incluya cuatro niñas?

Niña, niña, niña, niña

Niña, niña, niña, niño

Niña, niña, niño, niño

Niña, niño, niña, niño

Niña, niño, niño, niño

Niña, niño, niño, niña

Niña, niña, niño, niña

Niña, niño, niña, niña

Niño, niño, niño, niño

Niño, niño, niño, niña

Niño, niño, niña, niña

Niño, niña, niño, niña

Niño, niña, niña, niña

Niño, niña, niña, niño

Niño, niño, niña, niño

Niño, niña, niño, niño

X P(X) XP(X) X2 X2 P(X )

0 0 0 0 01 1/4 1/4 1 1/42 3/8 6/8 4 12/83 1/4 3/4 9 9/44 1/16 1/4 16 1

∑ P (X )=0.94 ∑ XP ( X )=2 ∑ X2P (X )=5

Media: u=2

σ=√∑ X2 P ( X )−u2

σ=√5−4

Desviación estándar: σ=1

23. Encuestas telefónicas. Con frecuencia se utilizan computadoras para generar dígitos aleatorios de números telefónicos y realizar encuestas. Cada dígito tiene la misma probabilidad de resultar seleccionado. Construya una tabla que represente la distribución de probabilidad de los dígitos seleccionados, calcule la media y la desviación estándar, y describa la forma del histograma de probabilidad.

0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9

X P(X) XP(X) X2 X2 P(X )0 1/10 0 0 01 1/10 1/10 1 1/102 1/10 1/5 4 2/53 1/10 3/10 9 9/104 1/10 2/5 16 8/55 1/10 1/2 25 5/26 1/10 3/5 36 18/57 1/10 7/10 49 49/108 1/10 4/5 64 32/59 1/10 9/10 81 81/10

∑ P (X )=1∑ XP ( X )=4.5 ∑ X2P (X )=28.5

Media: u=4.5

σ=√∑ X2 P ( X )−u2

σ=√28.5−20.25

Desviación estándar: σ=2 ,87

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

Histograma de ProbabilidadENCUENTAS TELEFÓNICAS

X= número de dígitos de teléfono

Prob

abili

dad

de X

24. Ventas de casas. Remítase al número de recámaras en casas vendidas, tal como aparecen en el conjunto de datos 18 del apéndice B. Utilice la distribución de frecuencias para construir una tabla que represente la distribución de probabilidad; luego, calcule la media y la desviación estándar. Además, describa la forma del histograma de probabilidad.

N .recámaras Tabulación Frecuencia(X ) P(X) XP(X) X2 X2 P(X )0 2 0 0 0 01 0 0 0 0 02 0 0 0 0 03 0 0 0 0 04 I 1 1/40 1/40 1 1/405 I 1 1/40 1/40 1 1/406 IIIIIIII

II10 1/4 5/2 100 25

7 IIIIII 6 3/20 9/10 36 27/58 IIIIIIII

II10 1/4 5/2 100 25

9 IIIIII 6 3/20 9/10 36 27/510 IIII 4 1/10 2/5 16 8/511 II 2 1/20 1/10 4 1/5

∑ x=40 ∑ P (X )=1∑ XP ( X )=7.35 ∑ X2P (X )=62.65

Media: u=7.35

σ=√∑ X2 P ( X )−u2

σ=√62.65−54.0225

Desviación estándar: σ=2 ,94

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2.08166817117217E-17

0.0250.05

0.0750.1

0.1250.15

0.1750.2

0.2250.25

0.2750.3

HISTOGRAMA DE PROBABILIDADVENTA DE CASAS

X= Numero de recámaras vendidas

Prob

abili

dad

de X