Ejercicios de fotometríaProblemas resueltos1. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd de intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular la iluminancia horizontal y vertical para los siguientes valores del ángulo alfa: 0, 30°, 45°, 60°, 75° y 80°.

Solución

Como vimos al hablar de magnitudes fotométricas, las componentes de la iluminancia, se pueden calcular empleando las fórmulas:

Y dado que conocemos todos los datos (h = 2 m, I = 80 cd y los diferentes valores de alfa) solo queda sustituir y calcular:

α = 0°

α = 30°

Como podemos ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma. Así pues, los resultados finales son:

α R (m) EH (lux) EV (lux) E (lux)0° 0 20 0 2030° 1.15 12.99 7.5 1545° 2 7.07 7.07 1060° 3.46 2.5 4.33 575° 7.45 0.35 1.29 1.3480° 11 0.10 0.59 0.60

Si representamos el diagrama isolux de la superficie podemos observar que las curvas son circunferencias, debido a que la intensidad es constante en todas direcciones, que la iluminancia disminuye a medida que los puntos se alejan del foco y que la máxima iluminancia se encuentra en la proyección de la fuente sobre la superficie (0°).

2. Una superficie circular de 3 m de radio está iluminada por una bombilla de 50 cd de intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura sobre el centro de la plataforma. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre la superficie.

Solución

En este caso nos piden la iluminancia sobre la superficie, es decir, la iluminancia horizontal. Como la intensidad es constante en todas direcciones y la altura también el valor de la iluminancia dependerá únicamente de la distancia de los puntos al foco. En nuestro caso el punto más próximo es la proyección de la bombilla sobre la superficie ( α = 0°) y los más alejados son aquellos que están en los bordes (R = 3 m).

Iluminancia máxima:

Iluminancia mínima (R = 3 m):

3. Tenemos un proyector situado en el techo de 0.04 m2 de superficie que ilumina con una intensidad de 100 cd en cualquier dirección una mesa de 0.5 m2 de superficie. La mesa se puede considerar una superficie especular de factor de reflexión de 0.8. Calcular la luminancia de la fuente y la luminancia de la mesa para el observador de la figura.

Solución

Luminancia de la fuente:

Luminancia de la mesa:

Como la mesa no es una superficie reflectante perfecta, una parte de la intensidad luminosa que le llega es absorvida por esta. Esto quiere decir que en la fórmula de la luminancia el valor de I estará afectado por el factor de reflexión.

4. Tenemos una luminaria simétrica situada en el centro de una habitación de 5 x 2 m a 3 m de altura del suelo. Calcular la iluminancia sobre los puntos marcados en el dibujo a partir del diagrama polar de la luminaria. El flujo luminoso de la lámpara es de 500 lm.

Solución

En este caso la intensidad no es uniforme ni constante en cualquier dirección y por ello tenemos que trabajar con gráficos. Esto no supone ninguna complicación adicional respecto a lo visto anteriormente y la mecánica y las fórmulas empleadas siguen siendo las mismas. La única diferencia estriba en que los valores de la intensidad los tomaremos de un gráfico polar, que en este caso depende sólo del ángulo alfa debido a que la luminaria es simétrica.

Los pasos a seguir son:

Calcular α

Leer I(α) relativo del gráfico

Calcular la iluminancia

Iluminancia en a:

α = 0 °

Para α = 0 ° el valor de I relativo es:

Ir = 150 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener el valor I real

Finalmente:

Iluminancia en b:

Para α = 26.57 ° el valor de I relativo es:

Ir = 140 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener el valor I real

Finalmente:

Iluminancia en c:

Para α = 18.43 ° el valor de I relativo es:

Ir = 140 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener el valor I real

Finalmente:

Iluminancia en d:

Para α = 41.91 ° el valor de I relativo es:

Ir = 100 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener el valor I real

Finalmente:

5. Un tramo de calle está iluminado por una farola de 10 m de altura y 10000 lm de flujo luminoso cuyo diagrama isolux se adjunta.

Calcular la iluminancia en los siguientes puntos de la calzada:

Solución

Resolver este problema es muy sencillo, pues sólo hay que trasladar los puntos de la calle al diagrama isolux dividiendo sus coordenadas por la altura de la luminaria, leer los valores del gráfico y calcular la iluminancia con la fórmula.

Iluminancia en c:

Las coordenadas absolutas de c son: x = 15 m e y = 12.5 m

Ahora las dividimos por la altura (10 m) para convertirlas en valores relativos que situaremos sobre el gráfico:

xr = 1.5; yr = 1.25

A continuación leemos los valores relativos de la iluminancia del diagrama:

Coordenadas relativas Er (lx/1000 lm)(1.5,1.25) 5 lx

Finalmente aplicamos la fómula y ya está.

Como se puede ver el proceso a seguir es siempre igual y los resultados finales son:

Punto Coordenadas absolutas Coordenadas

relativas Er (lx/1000 lm) E (lx)

a (20,0) (2,0) 100 10b (0,5) (0,0.5) 25 2.5c (15,12.5) (1.5,1.25) 5 0.5d (0,10) (0,1) 25 2.5e (25,5) (2.5,0.5) 1 0.1f (30,15) (3,1.5) 1 0.1

Problemas propuestos1. Tenemos una fuente luminosa puntual de 100 cd de intensidad constante en todas direcciones situada sobre una plataforma rectangular de 20x10 m como la de la figura. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre la superficie y la iluminancia en los puntos (3, 10), (0, 15), (7, 20) y (10, 15).

Ver resultados

Coordenadas (15,4) (10,0) (3,10

) (0,15) (7,20) (10,15)

E (lux) 11.10 0.06761.45 2.40 1.06 0.99

Ver solución

Solución

Como la intensidad es constante en todas direcciones y la altura también el valor de la iluminancia depende sólo de la distancia de los puntos al foco. El punto más próximo es la proyección de la fuente sobre la superficie (15,4) y el más alejado es (10,0).

Conocidas la altura del foco y la distancia horizontal de este a los distintos puntos saber el valor de alfa es un problema de trigonometría. Entonces sólo queda aplicar la fórmula y resolver el problema.

Ver más

Iluminancia en (15,4) (máxima):

Iluminancia en (10,0) (mínima):

Iluminancia en (3,10):

Iluminancia en (0,15):

Como podemos ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma. Así pues, los resultados finales son:

Coordenadas d (m) α E (lux)

(15,4) 0 0° 11.10(10,0) 16.16 79.48° 0.0676(3,10) 5.1 59.53° 1.45(0,15) 4 53.13° 2.40(7,20) 5.83 62.77° 1.06(10,15) 6 63.43° 0.99

2. Para la disposición de luminarias de la figura, calcular la iluminancia en el centro de la placa (a) y en el punto b.

Ver resultados

Punto E (lux)a 2.84b 1.19

Ver solución

Solución

En este caso la diferencia radica en que hay más de una fuente de luz, pero esto no ha de suponer una mayor dificultad. Como las iluminancias sobre un punto son aditivas, lo que hay qye hacer es calcular la contribución de cada foco sobre dicho punto y sumarlas.

donde

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Iluminancia en a:

Como a está situada en el centro de simetrías de la placa d1, d2 y d3 son iguales.

Conocidos d y h, sabemos el ángulo alfa.

Por fin, ya sólo queda calcular las iluminancias producidas por cada foco sobre el puntoa:

Finalmente sumamos E1, E2 y E3 y ya está:

Ea = E1 + E2 + E3 = 1.19 + 1.17 + 5.54 = 7.90 lx

Para el punto b el proceso a seguir es el mismo de antes. Así pues, los resultados finales son:

Punto a 1 2 3

d 5.59 5.59 5.59

α 48.19° 61.78° 40.31°

E (lux) 1.19 1.17 5.54 Ea = 7.90

Punto b 1 2 3

d 10 11.18 5α 63.43° 74.98° 68.20°

E (lux) 0.36 0.19 0.64 Eb = 1.19

3. Para el tramo de calle de la figura, calcular la iluminancia en los puntos a, b, c, d, e y f. La farola mide 8 m de altura y la lámpara tiene un flujo de 15000 lm. Asimismo, se suministran los diagramas polares de las luminarias referenciadas a 1000 lm.

Diagramas polares disponibles: Ambos

Ver resultados

Punto a b c d e f

E(lux) 21.09 19.0615.0815.7

2 6.1511.17

Ver solución

Solución

En este caso la intensidad no es uniforme ni constante en cualquier dirección y por ello tenemos que trabajar con gráficos. Esto no supone ninguna complicación adicional respecto a lo visto anteriormente y la mecánica y las fórmulas empleadas siguen siendo las mismas. La única diferencia estriba en que los valores de la intensidad, que ahora depende de los ángulos alfa y C, los tomaremos de un gráfico polar.

Los pasos a seguir son:

Calcular α

Leer I(α) relativo del gráfico según el valor de C (si no disponemos del gráfico hay que interpolar) y calcular I real

Calcular la iluminancia

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Iluminancia en a:

α = 0°

Gráfico C = 0° o 180°

Para α = 0° y C= 0° el valor de Irelativo leído en el gráfico es

Ir = 90 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Iluminancia en b:

Gráfico transversal C = 90° - 270°

Para α = 45° y C= 90° el valor de Irelativo leído en el gráfico es

Ir = 230 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Iluminancia en f:

A este punto le correspondería una curva de C = 135°, pero como no disponemos de esta hemos de interpolar la intensidad luminosa a partir de los valores de las curvas de C = 90° y C = 180° para un valor de alfa de 51.3°.

C = 90° I90= 210 cd / 1000 lm

C = 180° I180= 180 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Como se puede ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma y los resultados finales son:

Datos: h = 8 m; ΦL = 15000 lm

Punto d (m) tan α α C Ir (cd/1000 lm) I (lm) E (lx)

a 0 0 0° 0° 90 1350 21.09b 8 1 45° 90° 230 3450 19.06c 4 0.5 26.6° 270° 90 1350 15.08d 5 0.62532° 180° 110 1650 15.72e 14 1.75 60.3° 0° 210 3150 6.15f 10 1.25 51.3° 45° 195 2925 11.17

4. Para el tramo de calle de la figura calcular las iluminancias de los puntos a, b, c y d a partir de la matriz de intensidades luminosas de la luminaria.

Otros datos:

h = 10 m ΦL = 20000 lm

cd / 1000 lmγ \ C 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270°

0° 140 140 140 140 140 140 140

10° 120 130 130 135 160 200 230

20° 110 120 120 125 210 290 310

30° 100 110 115 160 300 320 330

40° 90 100 110 180 400 330 26050° 70 80 100 200 450 190 11060° 60 70 120 280 470 90 6070° 30 20 60 230 300 60 2080° 5 8 10 15 35 40 1590° 0 0 0 0 0 0 0

Ver resultados

Punto a b c dE(lux) 2813.44134.78

Ver solución

Solución

El problema es idéntico al anterior con la salvedad de que ahora nos dan una tabla en lugar de un gráfico.

Iluminancia en a:

Para γ = 0° y C= 0° el valor de Irelativo leído en la tabla es

Ir = 140 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Iluminancia en b:

Como no disponemos de valores de gamma para 45° tendremos que interpolar a partir de los valores de gamma de 40° y 50° para C = 180° (como la luminaria es simétrica los valores para C =180° y 0° son iguales).

γ = 40° I40= 180 cd / 1000 lm

γ = 50° I50= 200 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Iluminancia en c:

C = 90°

Para γ = 30° y C= 90° el valor de Irelativo leído en la tabla es

Ir = 100 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

Iluminancia en d:

C = 135°

Como no disponemos de valores de C para 135° tendremos que interpolar a partir de los valores de C igual a 120° y 150° para un valor de gamma de 50°.

C = 120° I120= 80 cd / 1000 lm

C = 150° I150= 100 cd / 1000 lm

Aplicamos la fórmula para obtener Ireal

Finalmente:

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Aviso Legal | Información del proyecto© Javier Garcia Fernandez, Oriol Boix

InterpolaciónLa interpolación consiste en aproximar los valores de una función f(x), normalmente desconocida, por otra conocida f '(x). Aunque como f '(x) pueden utilizarse muchos tipos de funciones, lo más usual es usar funciones polinomiales de primer grado o lo que es lo mismo: aproximar curvas por rectas.

Normalmente si el intervalo en que aplicamos esta aproximación es lo suficientemente pequeño, el valor interpolado se aproximará bastante al real.

Interpolación lineal

En este caso se cumple que:

Tomando la primera igualdad y despejando queda:

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Luminotecnia. Iluminación de interiores y exteriores© Javier Garcia Fernandez, Oriol Boixhttp://edison.upc.edu/curs/llum | edison.ee@upc.edu