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Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1

ESPACIOS VECTORIALES


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Formas reducidas y escalonada de una matriz 1) Encuentre una sucesión de matrices elementales E1, E2,..., Ek tal que Ek ... E2 E1 A sea una matriz escalonada, donde:

a) A=

1 1 0

0 2 1

-1 0 1 b) A=

1 -1

-2 2

3 -3 c) A=

1 -1 1 2 1

3 -3 8 10 3

-2 2 -1 -3 -4

2) Halle el rango, mediante la reducción de matrices, de las matrices

An=

n+1 1 1

1 n+1 1

1 1 n+1 y Bn=

n+1 1 n

1 n+1 1

0 0 n

según los valores del parámetro real n.

Estudio y resolución de sistemas lineales 3) Estudie, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, la compatibilidad de los siguientes sistemas según los distintos valores de los parámetros reales. Resuelva, cuando sea posible, los que dependan de un único parámetro: x − 3y + 5z = 2 x + y + az = 1 a2 x + ay + z = 1 a) 2x − 4y + 2z = 1 b) x + ay + z = 1 c) x + ay + z = a 5x − 11y + 9z = k ax + y + z = 1 x + ay + a2 z = 1 ax + by + z = 1 ax + by + 2z = 1 d) ax + y + bz = 1 e) ax + (2b−1) y + z = 1 ax + y + z = b ax + by + (b+3) z = 2b−1 4) Resuelva, por el método de eliminación de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones: x − 3y + z = −2 2x + 3y − z = 0 x + y + z + t = −2 3x + y − z = 10 a) 2x + y − z = 6 b) x − y + z = 0 c) x − y − z + t = −4 d) x − 2y − z = −2 x + 2y + 2z = 2 x + 9y − 5z = 0 x − y + z + t = −6 − x + y + z = 0 x + y − z + t = 0 2x − y − 3z = 7 5) Elimine los parámetros en las siguientes ecuaciones paramétricas: x1 = 1 + a x1 =1 − 3a + b x1= a + 2 b x1= a + 2b − c x1= a + b + 2c

a) x2 = 2 + a b) x2 = a − 2b c) x2= b + c d) x2= a − b e) x2= a + 2b + 3c x3 = 1 − 3a x3 = 2 + b x3= a + 3 c x3= 3b x3= a + c x4= b + c x4= 0 x5= a − b + 2c x5= a − b Cálculo de la inversa de una matriz 6) Halle, por el procedimiento de Gauss-Jordan, la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices:

a)

1 -1 1

2 1 2

0 0 1

b)

1 -1 2

2 1 1

3 0 3

c)

1 0 0

a 1 0

b c 1

d)

1000100

210

321

aaaaaa

e)

1444013300120001

f)

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

g)

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1


Ecuaciones matriciales

7) Sea A=

1 2

3 m ; halle el subconjunto S={ B∈M2x2 / AB=0 }, según el valor del parámetro real m.

8) Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

a)

−−201112 X =

− 0110

1210 ; b) X

1 -2 2

0 1 0

1 -1 1 =

1 0 1

-2 1 0

1 3 -2; c)

1 2 -1 -1

-1 -1 -2 0

1 1 1 0

0 1 1 -1

X =

-4 6 2 2

-2 -2 1 4

0 3 0 -2

2 0 -1 -2

Aplicaciones 9) Determine la ecuación de la parábola, con eje vertical y en el plano XY, que pasa por los puntos P = (1, 4), Q = (−1, 6) y R = (2, 9) 10) Encuentre la ecuación del plano, en el espacio XYZ, que pasa por los puntos P = (1, 1, 2), Q = (1, 2, 0) y R = (2, 1, 5) 11) Encuentre todos los polinomios p(x) = ax2 + bx + c con coeficientes reales tales que: a) p(1) = 2, p(−1) = 4, p(3) = 16 b) p(1) = 0, p(−1) = 0.


ESPACIOS VECTORIALES Espacios vectoriales 1) En el conjunto ℜ2 se definen las operaciones siguientes: (α1, α2) + (β1, β2) = (α1 + β1, α2 + β2) α ∗ (α1, α2) = (α ∗ α1, 0)

¿Es ℜ2 un espacio vectorial sobre ℜ respecto de las citadas operaciones? Subespacios vectoriales 2) Averigüe si los vectores a = (1, −1, 0) y b = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial generado por el

conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}. 3) Demuestre que los conjuntos A = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} y B = {(2, 1, −1), (1, 2, 1)} de vectores de ℜ 3

generan el mismo subespacio vectorial de ℜ 3. Demuestre que el conjunto C = {(2, 1, −1), (1, −1, 0)} no genera dicho subespacio.

4) En ℜ 4 se considera el subespacio generado por los dos vectores (2, 3, 1, −5), (0, 2, −1, 3). Determine el valor

de los escalares p y q para los que el vector (2, p, 3, −q) pertenece al citado subespacio. 5) ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales?

a) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / y = 0} b) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + y + z = 0} c) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + z = 1} d) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + z = 0} e) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + z ≤ 0} f) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / xy = 0} g) S = {p(x) ∈ P3(ℜ) / p(x) = x3 + ax + b} h) S = {p(x) ∈ P3(ℜ ) / p(x) = ax3 + b}

Dependencia e independencia lineal 6) Estudie si los siguientes conjuntos de vectores de ℜ 3 son linealmente independientes: a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} c) {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)} b) {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)} d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}, a ∈ℜ 7) Estudie si los siguientes conjuntos de polinomios de P2(ℜ) son linealmente independientes: a) {1, 1 + x, 1 + x + x2} b) {x, x2, x + x2} c) {1 − x2, 1 + x, x2 − x, x + x2} d) {1 + x2, 2 + x2}

8) ¿Para qué valores de a el conjunto

00010

,0

010,

01000

aaaa

es linealmente dependiente?

9) Determine si los vectores de los siguientes conjuntos son linealmente dependientes. En caso afirmativo,

determine una relación de dependencia y un subconjunto con un número máximo de vectores l.i. a) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} b) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)} c) {1 + 3x + 4x2, 4 + x2, 3 + x + 2x2} en el espacio de polinomios P2(ℜ).

Base de un espacio vectorial 10) Halle una base del espacio vectorial generado por el siguiente conjunto de vectores {v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)}. 11) ¿Para qué valores del número real a es base de ℜ 3 el conjunto {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}?

Halle las coordenadas del vector (−1, 1, 3) respecto del citado conjunto de vectores para a = 2. 12) En ℜ 4 se consideran los vectores (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1+a, 1) y (1, 1, 1, 1 + a). Determine

según los valores del parámetro a la dimensión y una base del subespacio vectorial que generan.


13) Demuestre que los polinomios {1, (1 − x), (1 − x)2, (1 − x)3 } forman una base del espacio vectorial P3(ℜ). Obtenga las coordenadas del polinomio 2 − 3x + x 2+ 2x3 respecto de la base anterior. Indicación: Divida el polinomio por 1 − x.

14) En P2(ℜ) se considera el conjunto {1, x + 3, (x + 3)2}. Pruebe que es base de P2(ℜ) y calcule las

coordenadas del polinomio a + bx + cx2 respecto de dicha base. 15) Estudie si el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas es un subespacio vectorial de ℜ 4

y en caso afirmativo obtenga una base: a)

x1+x2=0

x3+x4=0 b)

x1+x2=1

x3+x4=-1.

16) Se considera el subespacio vectorial de ℜ 5 de las soluciones del siguiente sistema:

x+2y-3t+w=0

x+2y+z-4t-w=0

y+z-2t-w=0

x+z-2t-3w=0

Obtenga un sistema de generadores, una base y la dimensión del citado subespacio 17) En IR3 se consideran S1 = {(x, y, z) / x = −z} y S2 = {(x, y, z) / x = z − y }.

a) Pruebe que S1 y S2 son subespacios de ℜ 3. b) Encuentre una base B1 de S1. Calcule las coordenadas del vector (x, y, z) ∈ S1 respecto de B1. c) Pruebe que B2 = {(0, 1, 1), (−1, 1, 0)} es base de S2.

Encuentre las coordenadas de (−2, 1, −1) ∈ S2 respecto de B2. 18) Halle una base y la dimensión del subespacio vectorial M definido de la siguiente forma:

M={

++−−−++

cbacabacba

5223

/ a, b, c ∈ ℜ }.

Suma e intersección de subespacios 19) Sean S y T subespacios vectoriales de ℜ 4 definidos por

S = L({(1, 0, 1, 1), (1, −1, −1, 0), (0, 1, 2, 1)}) , T = {(x, y, z, t) / x − z − t = 0 , y + z = 0} Obtenga una base de los subespacios S + T y S ∩ T. Escriba las ecuaciones paramétricas e implícitas para los subespacios citados anteriormente.

20) En P3(ℜ) se consideran los subconjuntos: S = {p(x) / p(−1) = 0} y T = {p(x) / p(x) = ax3 + bx2 + (a + b)x + 2b , a, b ∈ ℜ}

a) Pruebe que S y T son subespacios vectoriales de P3(ℜ). b) Obtenga las ecuaciones implícitas y paramétricas de S y T. c) Calcule S ∩ T y S + T.

21) Se consideran los subespacios de M2×2(ℜ): V1 = {

a b

-b a a,b ∈ ℜ} y V2 = {

c d

e -c c, d, e ∈ ℜ}.

Halle una base de los espacios V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2. 22) Sean U y W los subespacios vectoriales de ℜ3 definidos por

U = {(x, y, z)∈ ℜ3 / z = 0} , W = L{(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)}. Obtenga una base y la dimensión de los subespacios U, W, U ∩ W y U + W.

23) Sean S y T los subespacios vectoriales de ℜ4 definidos por

S = {(x, y, z, t) / x + y + z + t = 0, 2x − y + 2z − t = 0, 4x + y + 4z + t = 0} T = {(x, y, z, t) / x = a + b + 2c, y = b + c, z = − a + b, t = 3b + 3c}

Obtenga una base y la dimensión de S, T, S + T y S ∩ T.


24) Dados los subespacios vectoriales de ℜ4: S = L{(1, 0, 2, −1), (0, −1, 2, 0), (2, −1, 6, −2)} y T = L{(1, −1, 4, −1), (1, 0, 0, 1), (−1, −2, 2, 1)}. Demuestre

que dim (S + T) = 3 y dim (S ∩ T) = 2. 25) Para cada a ∈ ℜ se considera el subespacio vectorial V(a) = L{(1, a, 1, 1), (1, a, 1 − a, 0), (0, 1, 2a, 2), (1, 1 + a, 1 + a, 2)}

a) Halle una base de V(a). b) Estudie si el vector (1, 1 + a, 1 + 2a, a + 3) ∈ V(a) para algún a ∈ ℜ. c) Obtenga las dimensiones de los subespacios V(0) + V(1) y V(0) ∩ V(1).

Suma directa de subespacios 26) En ℜ3 se consideran los subespacios:

U = {(x, y, z) ∈ ℜ3 / x = z }, V = {(0, 0, c) / c∈ ℜ} y W = {(x, y, z) ∈ ℜ3 / x + y + z = 0 }. Pruebe que: a) ℜ3 = U + V, b) ℜ3 = V + W, c) ℜ3 = U + W ¿En qué casos la suma es directa?

27) Se consideran los subespacios vectoriales de ℜ3 :

S = L{(1, 0, 1), (1, 1, −1), (2, 1, 0)} y T = L{(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0, −1)}. Halle un subespacio U tal que ℜ3 = S ⊕ U y la suma T + U no sea directa.

28) Estudie si la suma de los subespacios vectoriales

S1 = L{(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0, −1, 2, −2)} y S2 = L{(1, 1, 1, 0), (−1, −1, 1, −2)} de ℜ4 es directa. Halle una base del subespacio suma.

29) Sean los subespacios vectoriales de P3(ℜ):

V = L{1 + x3, 1 + x + x2, 2x − x2, 2 + 3x2} y W = L{1 + 3x2 − x3, 1 + 4x + x2 − x3, 2x −x2}. Demuestre que W ⊂ V y halle un subespacio suplementario de W en V.

30) Halle una base del subespacio vectorial F =

ℜ∈−

βαβ

βα,:

0 de M2×2(ℜ).

Amplíe la base obtenida hasta formar una base de M2×2(ℜ). Halle a continuación un subespacio suplementario de F.


GEOMETRÍA AFÍN Rectas y planos en el espacio afín ℜ3 1) Dados los puntos P = (1, 1, 1) y Q = (0, 1, 2) y los vectores u = (−1, 2, 0), v = (1, −1, −1), halle las ecuaciones

paramétricas e implícitas de las siguientes rectas de ℜ3: a) recta que pasa por P con dirección u − v. b) recta que pasa por P y Q. c) recta que pasa por Q con dirección 3v.

2) Halle las ecuaciones de la recta que pasa por (1, 1, 1) y es paralela a la recta

=−+=+−

0313

zyxzyx

3) Obtenga las ecuaciones implícitas de la recta que se apoya en las rectas r y s y es paralela a la recta t, donde

+−=−=

231

:zy

zxr

−=+=

3445

:zyzx

s { zyxt ==:

4) Dados los puntos P = (1, 2, 3), Q = (−1, −2, −3) y R = (0, 1, −1) y los vectores u = (0, 1, −1) y

v = (5, 1, 2), halle las ecuaciones paramétricas e implícitas de los siguientes planos de ℜ3: a) plano que pasa por P, Q y R. b) plano que pasa por P y R y es paralelo a la recta que pasa por Q con dirección u − v. c) plano que contiene a R y cuyo subespacio de dirección es L{u + 2v, 2u + v}.

5) Obtenga las ecuaciones paramétricas e implícitas de las siguientes variedades afines de ℜ3:

a) recta que pasa por el punto (1/2, −1, 2) y es paralela a la recta32

1

2

1

1

2:

−

−=

+=

−

−z

yxs

b) recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen.

c) recta que pasa por (1, −1, 2) y es paralela a los planos

+=−=

+−==+−+

mzmny

mnxzyx

22

31:y 0231: βα

d) plano paralelo al eje y, y que pasa por los puntos (2, −1, 4) y (3, 0, −1). e) plano paralelo al plano 3x + 4y + z + 7 = 0 y que corta al eje x en el punto de abcisa x = −2. f) plano paralelo al plano x + y + 3z = 8 y que pasa por el punto (2, −1, 0). g) plano que pasa por el punto de intersección de los tres planos siguientes: 1 − x + z = 0, −1 + y − 2z = 0, 2 + 3x − y = 0 y es paralelo al plano 2x − 3y + 6z + 7 = 0.

6) Determine el plano que contiene a la recta 32

1+=

−= z

yx , y es paralelo a la recta

=+−=++

0212

zyxzyx

7) Sean r la recta que pasa por (1, 0, −1) y tiene subespacio de dirección {(x, y, z) / x + y = 0, 2y + z = 0} y s la

recta que pasa por (−1, 1, 0) y (−3, 2, 1). Pruebe que se cortan y obtenga las ecuaciones paramétricas del plano que determinan.

8) Determine, si existe, la intersección de los siguientes pares de planos en ℜ3

=−+=+−

4322:2

1:1)zyx

zyxa

ππ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+−+=−+−=

5,3,21,1,00,1,0,,:2

2,1,01,1,1,,:1)µλπ

βαπzyxzyx

b


9) Determine la posición relativa de los siguientes pares de rectas de ℜ3 y si se cortan, encuentre el punto de intersección: a) (x, y, z) = (−1, 2, 1) + α (4, 3, 2) (x, y, z) = (0, 1, 0) + β (1, 3, 2).

b) 4

1

2

3

5

4

−

+=

−=

+ zyx

2

3

3

1

5

9 −=

−=

−

+ zyx

c)

=−=−−

43332

yxzyx

−=−=+

12

zyyx

10) Averigüe la posición relativa de los planos siguientes tomados dos a dos:

π1: 2x + 2y − z + 1 = 0 π2: x − y − 4z + 2 = 0 π3 : 4y + 7z − 3 = 0 π4 : 2x + 2y − z − 3 = 0. Variedades afines de ℜ4

11) Halle el hiperplano de ℜ4 que es paralelo al hiperplano definido por la ecuación x −2y + z – t = 0 y pasa

por el punto P = (0, 1, 1, 1). 12) Halle la intersección de los siguientes planos de ℜ4 :

M1 : {x + t = 0, y − z = 1} y M2 : (x, y, z, t) = (0, 0, 1, −1) + L{(a, 2, 2, −4), (1, 0, 1, 0)} según los valores del parámetro a.

13) Encuentre el valor del número real a para el que es no vacía la intersección de los planos S1 y S2:

S

x ayzt

1

3 2146 5 2

= + += − −= += + +

λ µλ µλλ µ

S

xyzt

2

2 2113

= + +== + +=

α β

α βα

14) En ℜ4, halle un hiperplano paralelo al plano Π = (−1, 0, 1, 0) + L{(2, −1, −1, 1), (−1, 1, 2, 0)}, y que pase por los puntos P = (1, −1, 0, 0) y Q = (−1, 0, 0, 1).

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