Ejercicios de Matematica III
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10.- La temperatura en el punto (x,y,z) en un trozo de metal viene dada por la formula f(x,y,z) = e 2x + y +3z grados, ¿En qué dirección en el punto (0,0,0), crece más rápidamente la temperatura. El gradiente: ∆ f = ( ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ) Las derivadas parciales: ∂f ∂x = 2e 2x + y + 3z ; ∂f ∂y = e 2x + y + 3z ; ∂f ∂z = 3e 2x + y + 3z ∆f = (2, 1,3) e 2x + y + 3z = (2, 1,3) e (2 x 0 ) + (y x 0) + (3 x 0) ∆f p = (2, 1,3) e 0 = (2, 1,3) La dirección donde crece más rápidamente la temperatura es el vector unitario del gradiente. ∆µ = ∆fp ¿∨ ∆fp ∨¿ = ( 2,1,3) √ 4 +1+9 = ( 2,1,3 ) √ 14 SOLUCIÓN
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10.- La temperatura en el punto (x,y,z) en un trozo de metal viene dada por la formula f(x,y,z) = e 2x + y +3z grados, En qu direccin en el punto (0,0,0), crece ms rpidamente la temperatura.
SOLUCIN
El gradiente: f = ( )Las derivadas parciales: = 2e 2x + y + 3z ; = e 2x + y + 3z ; = 3e 2x + y + 3z f = (2, 1,3) e 2x + y + 3z = (2, 1,3) e (2 x 0 ) + (y x 0) + (3 x 0) fp = (2, 1,3) e0 = (2, 1,3)
La direccin donde crece ms rpidamente la temperatura es el vector unitario del gradiente.
= = =
11.- Si C es la curva de interseccin de las superficies S1: z = x2 + 2y2 y S2: z = 2x2 - 4y2 + 2 . Hallar la derivada direccional de f(x,y,z,) = x2 + y2 + z2 + cos xy , en el punto (2,1,6) a lo largo de la curva C. SOLUCIN
los gradientes de las curvas que se intersectan:F = x2 + y2 - z2 => f = f = = Gp = = =
La derivada direccional de f(2,1,6) es igual a:Dd f(2,1,6) = f. = (4,2,12). Dd f(2,1,6) = = -
Cacha Medina Edgar 113.0204.127
