Matrices. Ejercicios y problemas

1Dadas las matr ices :

Ca lcu lar :

A + B;        A - B;        A x B;        B x A;        A t .

2Demostrar que: A 2 - A- 2 I = 0 , s iendo:

3 Sea A la matr iz     . Ha l lar A n , para n

4Por qué matr iz hay que premul t ip l i car la matr iz

para que resu l te la matr iz .

5Calcu lar la matr iz inversa de:

6 Obtener las matr ices A y B que ver i f iquen e l s i s tema:

7      Una fábr ica produce dos modelos de lavadoras , A y B , en

t res terminac iones: N, L y S . Produce de l modelo A: 400 un idades

en la terminac ión N, 200 un idades en la terminac ión L y 50

un idades en la terminac ión S . Produce de l modelo B: 300 un idades

en la terminac ión N, 100 un idades en la terminac ión L y 30

un idades en la terminac ión S . La terminac ión N l leva 25 horas de

ta l ler y 1 hora de admin is t rac ión. La terminac ión L l leva 30 horas

de ta l ler y 1 .2 horas de admin is t rac ión. La terminac ión S l leva 33

horas de ta l ler y 1 .3 horas de admin is t rac ión.

1.Representar la in formac ión en dos matr ices .

2.Hal lar una matr iz que exprese las horas de ta l ler y de

admin is t rac ión empleadas para cada uno de los modelos .

8 Ca lcu lar e l rango de la matr iz s igu iente:

9 S iendo:

Ca lcu lar e l va lor de X en las s igu ientes ecuac iones:

10Reso lver ; en forma matr ic ia l , e l s i s tema:

Matrices. Ejercicios y problemas

2

Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0 , s iendo:

Matrices. Ejercicios y problemas

3

Sea A la matr iz     . Ha l lar A n , para n

 

Matrices. Ejercicios y problemas

4

       Por qué matr iz hay que premul t ip l i car la matr iz

para que resu l te la matr iz

.

Matrices. Ejercicios y problemas

5

Calcu lar la matr iz inversa de:

 

1 Constru i r una matr iz de l t ipo M = (A | I )

2 Ut i l i zar e l método Gauss para t ransformar la mi tad

i zqu ierda, A , en la matr iz ident idad, y la matr iz que resu l te en e l

lado derecho será la matr iz inversa: A - 1 .

 

Matrices. Ejercicios y problemas

7

     Una fábr ica produce dos modelos de lavadoras , A y B , en

t res terminac iones: N, L y S . Produce de l modelo A: 400 un idades

en la terminac ión N, 200 un idades en la terminac ión L y 50

un idades en la terminac ión S . Produce de l modelo B: 300 un idades

en la terminac ión N, 100 un idades en la terminac ión L y 30

un idades en la terminac ión S . La terminac ión N l leva 25 horas de

ta l ler y 1 hora de admin is t rac ión. La terminac ión L l leva 30 horas

de ta l ler y 1 .2 horas de admin is t rac ión. La terminac ión S l leva 33

horas de ta l ler y 1 .3 horas de admin is t rac ión.

1.Representar la in formac ión en dos matr ices .

2.Hal lar una matr iz que exprese las horas de ta l ler y de

admin is t rac ión empleadas para cada uno de los modelos .

Matr iz de producc ión:

 F i las :      Modelos A y B                  Co lumnas:  Terminac iones N, L , S

Matr iz de coste en horas :

  F i las :  Terminac iones N, L , S    Co lumnas:  Coste en horas : T ,

A

    Matr iz que expresa las horas de ta l ler y de admin is t rac ión

para cada uno de los modelos :

Matrices. Ejercicios y problemas

8

Calcu lar e l rango de la matr iz s igu iente:

 

F 1 - 2 F 2

F 3 - 3 F 2

F 3 + 2 F 1

Por tanto r(A) =2.

Matrices. Ejercicios y problemas

9

Siendo:

Ca lcu lar e l va lor de X en las s igu ientes ecuac iones:

Matrices. Ejercicios y problemas

10

Reso lver ; en forma matr ic ia l , e l s i s tema:

 

1.Sean

a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular: - A - B + C. A + B - C. 3A + C/2.   c) Calcular: (A · B) /C.   d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.   Resolución :   a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.   b)

 

 

 

 

  c)    Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.  

 

  Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,  

  Por lo tanto, la matriz inversa de C es:  

  A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,  

  Por último, calculamos (AB)C-1.  

 

=   Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:  

  d)    Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:    

 

 

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene  

 

.   Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,  

.   Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,  

  Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:  

  Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir AA-1 = I.   Procedamos a la comprobación:    

 

 

2. Calcular los siguientes determinantes:  

 

 

 

Soluciones:    

   

 

 

 

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.  

   = 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.

3. Calcular , la inversa de las siguientes matrices:   a)

 

b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:  

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:  B11 = 5 B12 = -2   B21 = 1 B22= 3   y el adjunto de B, denotado por adj B, será  

b) Empezaremos por hallar el det A,  

Los cofactores de los nueve elementos de A son:  

 

 

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:  

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1: