Definición: Dos triángulos son congruentes si para todo par de puntos de un triángulo le corresponde otro par de puntos del otro triángulo, tal que la distancia de los puntos en cada triángulo sea la misma.

En forma práctica, en triángulos congruentes a lados de igual longitud se le oponen ángulos de igual medida y viceversa.

Para que dos triángulos sean congruentes deben cumplir uno de las siguientes condiciones o CASOS DE CONGRUENCIA.

LADO – ÁNGULO – LADO: (L–A–L)

Se cumple: m=n; x=z; y=w.

ÁNGULO – LADO – ÁNGULO: (A–L–A)

Se cumple:

x=ym=cn=d

LADO – LADO – LADO: (L–L–L)

Se cumple: =; x=z; y=w.

ÁNGULO – LADO – LADO MAYOR: (A–L–LM)

Se cumple: β=; θ=ε; m=n.

Observaciones:

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NIVEL I:

1. Si las regiones sombreadas son congruentes, calcule x.

A) 30º B) 45º C) 53ºD) 40º E) 37º

2. Si los triángulos sombreados son congruentes, calcule x.

A) 30ºB) 40ºC) 42ºD) 50ºE) 52º

3. Si AB=BC, calcule x.

A) 40º B) 45º C) 50ºD) 55º E) 60º

4. Si PB=PQ y AB=PC, calcule x.

A) 20°B) 22°C) 25°D) 28°E) 30°

5. El triángulo ABC gira como se muestra en el cual A´ y B´ son las posiciones de A y B, respectivamente, calcule x.

A) 50°B) 65°C) 70°D) 75°E) 80°

6. Si L1//L2 y AB=BC=CD=DE, calcule θ.

A) 20°B) 25°C) 30°D) 35°E) 40°

7. Calcule x.

A) 19° B) 20° C) 21°D) 22° E) 23°

8. Se tiene un triángulo acutángulo ABC en el cual se trazan las alturas BH y CE, en las prolongaciones de HB y EC se ubican los puntos M y N respectivamente tal que MB=AC y CN=AB, calcule m∢AMN.

A) 30° B) 45° C) 60°D) 75° E) 90°

9. En un triángulo isósceles ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BD, tal que CD=AD+BD, calcule m∢ABD.

A) 19° B) 20° C) 21°D) 22° E) 15°

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10. Si los triángulos ABC y PBQ son equiláteros, calcule x.

A) 20°B) 25°C) 30°D) 35°E) 40°

11. Si los triángulos ABC y PQR son equiláteros, PB=4 y RC=3, calcule AB.

A) 7B) 6C) 5D) 4E) 3

12. Si los triángulos ABC y CPQ son equiláteros, calcule x.

A) 30ºB) 40ºC) 45ºD) 50ºE) 60º

13. Si AB=PQ, calcule .

A) 0,5B) 1C) 1,2D) 1,5E) 2

14. Si AD=BD, BC=7 y CD=8, calcule AC.

A) 15B) 16C) 17D) 18E) 20

15. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE tal que AB=EC, m∢BAC=20° y m∢ABE=60°, calcule m∢ACB.

A) 10° B) 15° C) 20°D) 22,5° E) 30°

NIVEL II:

1. Si AB=ED, calcule .

A) 0,25B) 1,5C) 0,5D) 1E) 2

2. Si AB=PC y AC=16, calcule AP.

A) 8 B) 7 C) 9D) 10 E) 16

3. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior AD,

si , calcule mBCA.

A) 30º B) 16º C) 18ºD) 20º E) 40º

4. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles PAQ, recto en A, se ubica B en el exterior relativo al lado PQ. Si m∢ABQ=90°, BQ=2 y AB=5, calcule PB.

A) B) C)

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D) E)

5. Si BD=AC, calcule x.

A) 20°B) 30°C) 40°D) 45°E) 50°

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, tal que

m∢BAC=70º; en se ubica el punto medio M,

además, exterior relativo a se ubica el punto P, de modo que AC=2(BP) y m∢PMC=80º, calcule m∢BPC.

A) 115º B) 125º C) 110ºD) 100º E) 120º

7. Si BC=PC, calcule x.

A) 15° B) 6° C) 9°D) 10° E) 12°

8. En el interior de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P, calcule m∢PAC, sabiendo que 2(m∢BAP)+m∢ABP–m∢PCA=60º.

A) 15º B) 20º C) 30ºD) 37º E) 45º

9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde AB=3 y BC=1, exteriormente al lado AC se ubica el punto D tal que mDAC=90º y AD=AC, calcule BD.

A) 4 B) 5 C) 6

D) E)

NIVEL III:

1. Se tiene un triángulo equilátero ABC, en la

prolongación de se ubica el punto E y en la

región exterior relativa a se ubica el punto F, si

el triángulo BEF es equilátero, AB=a y CE=b, calcule CF.

A) ab B) a–b C) 2a–b

D) E)

2. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se ubica el punto P en su interior, tal que AP=PB, si mBAP=20º y mPBC=80º, calcule mACP.

A) 30º B) 20º C) 15ºD) 10º E) 8º

3. Si AB=PC, calcule .

A) 10º B) 12º C) 15ºD) 18º E) 24º

4. Se tiene el triángulo ABC en cual P es un punto exterior relativo a , Si AP=PB=BC, m∢ABC=73º y m∢APB=154º, calcule m∢CAB.

A) 15º B) 18º C) 20ºD) 25º E) 30º

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