PARED PLANA

Una aplicación inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisión del calor a

través de una pared plana. Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas

diferentes, el calor fluye sólo en dirección perpendicular a las superficies. Si la conductividad

térmica es uniforme, la integración de (1) proporciona:

Q= K.A (T2-T1)/L = K.A(T1-T2)/L

En la que L es el espesor de la pared, T1 es la temperatura de la superficie de la izquierda x = 0 y

T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L .

Paredes cilíndricas

Considere el cilindro hueco de la figura, cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos

de diferentes temperaturas. Para condiciones de estado estacionario, sin generación interna de

calor, la ley de Fourier en coordenadas cilíndricas se expresa como:

Q= - K.Ar dT/dr

Siendo Q una constante en la dirección radial. Si consideramos también la forma del área de

transferencia para esta geometría, nos queda:

Q= - K(2πrL) dT/dr

Despues de integrar obtenemos: R= Ln(r2/r1)/2πLk

Paredes esféricas

Considere la esfera hueca de la figura. Para el estado estacionario y condiciones

unidimensionales, Qr es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es:

Qr= - kAr dT/dr = -K (4πr2) dT/dr

Despues de integrar:

Resolviendo bajo la suposición que la conductividad témica es constante, obtenemos:

Q= 4πk (Ts1-Ts2)/ (1/r1)-(1/r2)

y la distribución de temperaturas en la esfera vendrá dada por:

T(r)= (Ts1-Ts2)/(1/r1-1/r2) x [1/r1-1/r2] + Ts2

Problema:

Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50[mm]

de espesor es de 40[W/m2 ] cuyas temperaturas sobre la superficie interna y

externa son 40 y 20ºC respectivamente ¿Cuáles la conductividad térmica de

la madera?

T2= 40°C T1= 20°C Km= Qa L1/ T2-T1

Qa= 40 W/ m2 L1= 50 mm Km= 0.1 W/m.C

La ecuación de la siguiente transversal es: y=0.03sen2π(𝒕

𝟎.𝟎𝟐−

𝒙

𝟎.𝟐𝟎)

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular:

• LA AMPLITUD

• LA LONGITUD DE ONDA

• LA FRECUENCIA

• LA VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN

Solución :

𝒚 = A sen 2 π (𝒕

𝑻−

𝒙

𝝀) C)T=0.02 f = (

1

0.02)

Comparando las ecuaciones

f=50ciclos/s=50Herts

A) A=0.03 m

B) 𝝀 =0.20 m D) v=𝝀

𝑻=

𝟎.𝟐𝟎

𝟎.𝟎𝟐

V= 10 m/s

¿Cuál es la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 0.5m de largo y cuya masa

es 0.02 kg, si la tensión es de 0.04 N ?

Solución:

µ = 𝑚

𝐿V2

= 0.04 (0.5)

0.02

De la formula:

V2

= 𝐹

µ=

𝐹𝐿

mV = 1 m/s

Una cuerda es agitada en su extremo hacia arriba y abajo una distancia de 1/5 m como

muestra en la figura, produciendo una onda y transversal, el movimiento es continuo y se

repite regularmente 4 veces por segundo, se sabe que dicha cuerda tiene una densidad

lineal µ = 0.005 kg/m, si la tensión de la cuerda es 2 N ; encontrar :

A) la amplitud

B) la velocidad

c) la longitud de onda 𝟏

𝟓𝒎 …………………………………………………

solución:

A) del enunciado y la figura : C) f = 4 Herz , v = 20 m/s

2A = 𝟏

𝟓𝒎 A =

𝟏

𝟏𝟎𝒎 V = 𝝀 f 20 = 𝝀 (4)

B) F = 2N ; µ = 0.005 kg/m 𝝀 = 5m

V2

= 𝐹

µv = 20 m/s

Un pescador es un bote, observo que este flota efectuando 10 oscilaciones completas en 4s

y que invierten 2s para que la cresta de la ola recorra 8 m de su bote, cuantas ondas

completas existen en cualquier instante a lo largo de longitud del bote

Solución

a) f =10 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠*sabiendo que la longitud del bote es 8m ; nos piden el numero de ondas

completas a lo largo de la longitud del bote:

f = 2.5 ciclos/s

8 = n 𝝀

b) V = 𝑒

𝑡=

8

2= 4m/s 8 = n ( 1.6 )

V = 4 m/s n = 5 ondas

c) 𝝀= 𝑣

𝑓=

4

2.5= 1.6 m

Las ondas sonoras son ondas longitudinales en aire. La rapidez del sonido depende de la

temperatura; a 20°C es de 344 m/s . Calcular la longitud de onda de una onda sonora en el

aire a 20°C, si la frecuencia es de 262Hz.

v=ƛ

𝑓

V: rapidez de la

onda.

𝑓: frecuencia

ƛ: longitud de onda.

Desarrollo.

Hz = 𝑠−1

𝑣 =ƛ

𝑓=344 𝑚/𝑠

262 𝐻𝑧=344 𝑚/𝑠

262 𝑠−1= 1.31 𝑚

• v=ƛ

𝑓

• V =344 m/s

• 𝑓 = 262 Hz

• ƛ = ?

Un extremo de una cuerda de nylon esta atada a un soporte estacionario en la boca de n tiro

de mina vertical de 80 m de profundidad . La cuerda esta tensada por una caja de muestras

de minerales con masa de 20 kg atada al extremo inferior. La masa de la cuerda es de 2 kg. El

geólogo que esta hasta abajo envía señales a su colega de arriba tirando lateralmente a la

cuerda. a) Calcular la rapidez de una onda transversal en la cuerda. b) si aun punto de la

cuerda se imparte un movimiento armónico simple transversal con frecuencia de 2 Hz

¿Cuántos ciclos de onda abra en la cuerda?

Desarrollo.

a) Calcular la rapidez de la onda

𝑓 = 𝑚. 𝑔 = 20𝑘𝑔 (9,8𝑚/𝑠2) = 196𝑁

𝜇 =𝑚

𝑙=

2𝑘𝑔

80𝑚= 0.025𝑘𝑔/𝑚

𝑣 =𝑓

𝜇=

196𝑁

0.025 𝑘𝑔/𝑚= 88.5

𝑚

𝑠

b)

𝑣 =ƛ

𝑓=88.5 𝑚/𝑠

2 𝐻𝑧=88.5 𝑚/𝑠

2 𝑠−1= 44.3𝑚

Ciclos de la onda que hay en la cuerda.

𝑙

ƛ=

80𝑚/𝑠

44.3𝑚/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜= 1.81 ciclos.

La nota musical tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz. Si en

el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula

su longitud de onda en esos medios

ƛ𝑎𝑖𝑟𝑒 =𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒𝑓

=340 𝑚/𝑠

440 𝐻𝑧=340 𝑚/𝑠

440 𝑠−1= 0.773𝑚

ƛ𝑎𝑔𝑢𝑎 =𝑣𝑎𝑔𝑢𝑎

𝑓=

1400 𝑚/𝑠

440 𝐻𝑧=1400𝑚/𝑠

440 𝑠−1= 3.18𝑚

Una sirena del sistema de advertencia de tornado que esta colocada en un poste alto radia

ondas sonoras uniformemente en todas direcciones a una distancia de 15 m, la intensidad

del sonido es de 0.250 w/𝑚2 . ¿ A que distancia de la sirena la intensidad es de w/𝑚2?

𝑟2= 𝑟1=𝐼1

𝐼2= (15 m)

0.25 𝑤/𝑚2

0.01𝑤/𝑚2 = 75𝑚