Al eje de una polea móvil se sujeta una carga de peso P . ¿Con qué fuerza F es necesario tirar del extremo de la cuerda, apoyada sobre la segunda polea, para que la carga P se mueva hacia arriba con aceleración a? ¿Para qué la carga esté en reposo? Menospreciar la masa de las poleas y de la cuerda.

Solución al ejercicio 83:

Si las masas de las poleas y de la cuerda son suficientemente pequeñas ,

entonces , . Resolviendo las ecuaciones obtenemos

. Para , tenemos .

Solución al ejercicio 84:

Las ecuaciones del movimiento para los pesos con masas , , ,  tienen  la siguiente forma:

,

,

,

donde a, b y c son las aceleraciones respecto a  la polea inmóvil A. La aceleración se considera positiva, si está dirigida hacia abajo. Si la masa de la cuerda es insignificante

en comparación con las masas , , ; entonces la tensión será constante en toda la

cuerda. De aquí concluimos que  y la fuerza con que la cuerda, pasando a través

de la polea A, actúa sobre la polea B es .

Analicemos la parte de la cuerda que se encuentra en el momento dado del tiempo en la polea B. Sobre esta parte el extremo izquierdo pendiente de la cuerda actúa con una

fuerza igual a  y el extremo derecho actúa con una fuerza . Como la masa de cualquier parte de la cuerda es muy insignificante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella deberá tender a cero. Por consiguiente, la polea B actúa sobre la parte

de la cuerda situada en la polea con una fuerza , dirigida hacia arriba. Según la tercera ley de Newton, la cuerda deformada, a su vez, actúa sobre la polea con una

fuerza . Como la masa de la polea B es insignificante, tenemos que .  Al pasar cierto tiempo (muy corto) después del comienzo del movimiento de los cuerpos, la deformación de las cuerdas cesa y las longitudes después de esto, no

cambian con el tiempo. Esto significa que la aceleración de la polea B será igual a  

y la aceleración de las cargas  y , respecto a la polea B serán iguales y dirigidas en

sentidos contrarios. Designando por d la aceleración de la carga  respecto a la polea B, recibimos que

,

    ,

Donde . Por consiguiente, tenemos finalmente el siguiente sistema de ecuaciones:

                                                        ,

,

,

                                                        .

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos (considerando )

            ,                .

            ,                             .

En el caso general

                                 .

Ejercicio 87:

Un sistema consta de dos poleas con ejes fijos y una polea móvil . Sobre las

poleas se apoya una cuerda en cuyos extremos fueron colgadas las cargas con masas  

 y  ; y en el eje de la polea móvil fue colgada una carga de masa . Los sectores de la cuerda que no se encuentran en las poleas se hallan en el plano vertical. Determinar la aceleración de cada una de las cargas si las masas de las poleas y de la cuerda, así como la fricción pueden menospreciarse.

Solución al ejercicio 87:

Como la masa de las poleas y de la cuerda se menosprecian, la tensión de la cuerda será

única en todas las partes .

Tenemos entonces

,

  ,

,

.

Resolviendo el sistema, obtenemos

                 ,

                 ,

                 .

Ejercicio 88:

Determinar las aceleraciones de los pesos en el sistema mostrado en la . Las  masas de las poleas, de la cuerda y la fricción pueden prescindirse. ¿En qué dirección girarán las poleas cuando los pesos comienzan a moverse?

Solución al ejercicio 88:

Puesto que la masa de las poleas y de la cuerda es insignificante, la tensión de la cuerda es igual en todas las partes. Por eso tenemos

,

,

.

Resolviendo el sistema, obtenemos   y  . Ambos pesos caen libremente con aceleración g. Las poleas B y C giran en sentido antihorario; la polea A gira en sentido horario.