Ejercicios de Por Unidad

5/14/2018 Ejercicios de Por Unidad - slidepdf.com

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“Análisis de Sistemas Eléctricos”

AdendaCurso 2007/2008

(Código 524141)

Equipo Docente de la asignatura

UNIVERSIDAD NACIONALDE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de Control

E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES



“Análisis de Sistemas Eléctricos (524141)”. Adenda.Curso 2007/2008 2

Sistemas de Energía Eléctrica

GUÍA DE LA ASIGNATURA

1) INTRODUCCIÓN.

Se trata de una asignatura que tiene un carácter fundamentalmente tecnológico y es detipo terminal ya que sus contenidos no sirven de base para asignaturas posteriores y sinembargo, requiere de conocimientos de asignaturas anteriores, fundamentalmente de "Teoríade Circuitos” y de “Máquinas Eléctricas”. Su objetivo principal es proporcionar al alumnouna base científica y técnica que le permita conocer y entender la naturaleza de los problemasrelacionados con los sistemas de energía eléctrica, su planteamiento matemático y losmodelos más usuales o relevantes utilizados para su representación, así como algunos de losmétodos y herramientas de cálculo adecuadas para su resolución.

2) CONTENIDOS.

El programa de la asignatura se ha dividido en seis temas agrupados, siguiendo la

metodología de la UNED, en tres Unidades Didácticas:

UNIDAD DIDÁCTICA 1. El sistema eléctrico de potencia.

TEMA 1. Sistemas de energía eléctrica. Generalidades: la producción y demanda deenergía eléctrica, el sector eléctrico español, descripción general de lossistemas de energía eléctrica, aparamenta eléctrica, descripción deinstalaciones típicas.

TEMA 2. Representación de los elementos del sistema: transformadores trifásicos,

sistemas por unidad, análisis por unidad de transformadores y de sistemas de potencia, transformadores de regulación, el generador síncrono, modelo de lalínea de transporte y la carga.

UNIDAD DIDÁCTICA 2. Análisis del sistema eléctrico de potencia.

TEMA 3. Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: Los modelos de la reda través de la matriz |Y bus|, el flujo de cargas.

TEMA 4. Corrientes de cortocircuito en el generador. Cortocircuitos trifásicos

equilibrados.




UNIDAD DIDÁCTICA 3. Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado.

TEMA 5. Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado: componentessimétricas y cortocircuitos desequilibrados.

PROGRAMACIÓN:

No existen Unidades Didácticas editadas por la UNED en esta asignatura, por lo quees necesario utilizar una obra general externa. El libro seleccionado como texto base es el delautor FERMÍN BARRERO titulado "Sistemas de energía eléctrica" (la referencia completa

de este libro se da en el apartado 3).

A continuación se detalla qué capítulos y apartados debe estudiar de ese libro deacuerdo al programa de la asignatura:

Unidad Didáctica 1: El sistema eléctrico de potencia.

Capítulo 1: Sistemas de energía eléctrica. Generalidades[completo (pgs. 1-32)]Capítulo 2: Modelo del transformador y sistema por unidad [completo (pgs. 33-61)]Capítulo 3: Modelo del generador [completo (pgs. 62-82)]Capítulo 5: Modelo de la línea [completo (pgs.118-153)]

Unidad Didáctica 2: Análisis del sistema eléctrico de potencia.

Capítulo 6: Flujo de potencias [completo, excepto apartados 6.6 y 6.7 (pgs. 154-184 y pgs. 189-198)]

Capítulo 8: Corrientes de cortocircuito. Cortocircuitos trifásicos equilibrados [completo(pgs. 249-276)].

Unidad Didáctica 3: Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado.

Capítulo 9: Componentes simétricas y cortocircuitos desequilibrados [completo (pgs.277-317)]

Como orientación para cuando planifique el estudio de la asignatura, del tiempo totalque le dedique creemos que le debe llevar estudiar la primera Unidad Didáctica un 45% de esetotal (aunque es la unidad más amplia de contenido, muchos puntos serán para usted un repasode lo ya visto en otras asignaturas de la especialidad), un 35% la segunda y un 20% la tercera.

Por último, al final de este documento se explica y desarrolla con más detalle el programa propuesto, se relaciona con los apartados concretos del texto básico y se exponenalgunos puntos necesarios que o bien no vienen en el libro o bien, si están, los desarrolla de

forma mucho más extensa de lo que necesitamos. Con esta explicación podrá entender la unidadlógica de contenido que hemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.




3) TEXTO BASE

− “ Adenda de Líneas y Redes Eléctricas”, realizada por el equipo docente de laasignatura, DIECC-UNED (es este mismo documento, que se encuentra también enla página que la asignatura tiene en el servidor del Departamento en Internet,http://www.ieec.uned.es, en la sección “Docencia del DIEEC”).

− FERMÍN BARRERO "Sistemas de energía eléctrica". Ed. Thomsom, Paraninfo,2004.

4) BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

El libro dado como bibliografía básica junto a la Adenda que hemos escrito sonsuficientes para preparar de forma completa el contenido de la asignatura. Sin embargo, paraaquellos alumnos que deseen consultar además otros libros, dentro de las obras clásicas quetratan del análisis de los sistemas eléctricos de potencia se pueden destacar, por ejemplo, lassiguientes:

− J.J. GRAINGER y W.D. STEVENSON Jr. " Análisis de sistemas de potencia". Ed.McGraw-Hill, 1995.

− GRAINGER, J. J. y STEVENSON, W. D. Jr. Power system analysis. Ed.McGraw-Hill, 1994. (Nota: esta obra es la versión original en inglés del libroanterior en esta lista; para aquellos alumnos que no tengan dificultad para estudiar en inglés, le recomendamos utilizar este texto).

− A.R. BERGEN. Power System Analysis. Ed. Prentice-Hall, 1986.

− O.I. ELGERD. Electric energy systems theory. An introduction (2ª edición). Ed.McGraw-Hill, 1982.

− M.E. EL-HAWARY. Electrical power system. Design and analysis (revised printing). Ed. IEEE Press, 1995.

− I.J. NAGRATH Y D.P. KOTHARY. Modern power system analysis (2ª edición). Ed. Tata McGraw-Hill, 1993.

− A. GÓMEZ EXPÓSITO (coordinador). Análisis y operación de sistemas de

energía eléctrica. Ed. McGraw-Hill, 2002.

5) OTRO MATERIAL DE APOYO.

Desde este curso existe una página de la asignatura en el servidor del Departamento enInternet donde se ofrece información referente a la misma que le puede ser útil, incluyendo




los problemas resueltos de las pruebas presenciales de años anteriores. También incluyeenlaces con otros servidores de empresas e instituciones importantes del sector eléctrico.Pretendemos que esta información que vaya enriqueciendo y actualizando a lo largo delcurso, para lo que nos gustaría contar con su colaboración.

La dirección de Internet del servidor del Departamento, a la que debe conectarse, es:http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en el apartado “Docencia del DIEEC”.

6) PRUEBAS DE EVALUACIÓN A DISTANCIA. PRÁCTICAS DE LABORATORIO

En esta asignatura no hay que realizar Pruebas de Evaluación a Distancia. Tampocohay Prácticas de Laboratorio.

7) PRUEBAS PRESENCIALES

Al ser una asignatura cuatrimestral del 20 cuatrimestre, solamente hay PruebasPersonales finales en junio y septiembre.

Estas pruebas constarán de varios ejercicios teórico prácticos en examen eliminatoriode tipo test, junto con el desarrollo de algunos problemas de tipo práctico, similares a losincluidos en esta Adenda. Lea atentamente el enunciado de cada uno de los ejercicios antes deresolverlos.

No podrá aprobarse la asignatura si no se supera la prueba tipo test, independientemente

de la nota de los problemas y tenga en cuenta que errores graves de concepto pueden hacer quela Prueba finalmente no se supere, sea cual sea la media obtenida. En cualquier caso, los erroresgraves, tanto en teoría como en problemas, podrán bajar la nota final. Como ocurrirá

posteriormente en su vida profesional como Ingeniero, es mejor que si no sabe algo, no contestecualquier cosa por peregrina que sea.

Las Pruebas Presenciales tienen por objeto evaluar los conocimientos del alumno en lasmaterias tratadas en la asignatura, no a determinar si el alumno sabe resolver mecánicamente los

problemas tipo. Por ello le aconsejamos que no “aprenda a hacer problemas”. Desde el principio, trate de comprender las materias propuestas y de conocer y valorar los parámetros delos que dependen cada uno de los temas tratados en el programa. Con ello aprenderá además a

juzgar si un resultado es coherente o incoherente y sabrá si ha cometido algún error en eldesarrollo de un problema.

En las Pruebas Presenciales no está permitido el uso de ningún tipo de material deconsulta; sólo se puede utilizar calculadora. Dispone de dos horas para realizar la Prueba.

8) HORARIO DE ATENCIÓN AL ALUMNO

Las consultas se puede realizar durante la guardia, por teléfono o personalmente, y

por correo postal o electrónico.

Horario de guardia: Lunes, de 16:00 a 20:00 horas.




Teléfono: 91 398 6474 (Prof. M. Valcárcel)Fax: 91 398 6028Correo electrónico: [email protected]

En Internet: http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en elapartado ”Docencia del DIEEC”.

Dirección: Depto. de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de ControlE.T.S. de Ingenieros Industriales - UNEDCiudad Universitaria s/n.28040 MADRID

DIECC-UNED




Sistemas de Energía Eléctrica

ADENDA INTRODUCCIÓN.

En esta Adenda se explica y se desarrolla con más detalle el programa propuesto y serelaciona con los apartados concretos del texto básico (esos apartados del libro se indican en laAdenda [en cursiva y entre paréntesis rectos]). También se exponen algunos puntos necesariosque o bien no vienen en el libro o bien, si están, los desarrolla de forma mucho más extensa de

lo que necesitamos. Con esta explicación podrá entender la unidad lógica de contenido quehemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.

Por esta razón y tal y como se indica en el punto 3 de la “Guía de la asignatura”, estaAdenda no es tan solo un documento con orientaciones que simplemente debe leer al principiode la asignatura, sino que es parte de la bibliografía que debe estudiar. Téngalo muy en cuenta.

Es importante señalar desde el principio que para el estudio de los sistemas eléctricosde potencia es imprescindible conocer los conceptos básicos relativos a los circuitos decorriente alterna y a los sistemas trifásicos. Aunque usted ya los vio en la asignatura “Teoríade circuitos”, y por lo tanto debe saberlos, es conveniente que repase esos apartados pararefrescar esos conceptos.

UNIDAD DIDÁCTICA 1. El sistema eléctrico de potencia.

TEMA 1. Sistemas de energía eléctrica. Generalidades: la producción y demanda deenergía eléctrica, el sector eléctrico español, descripción general de lossistemas de energía eléctrica [Apartados 1.1 a 1.5 y Adenda], aparamentaeléctrica, descripción de instalaciones típicas [Apartados 1.6 y 1.7].

TEMA 2. Representación de los elementos del sistema: transformadores trifásicos,sistemas por unidad, análisis por unidad de transformadores y de sistemasde potencia [Apartados 2.1 a 2.6 y Adenda], transformadores de regulación[Apartado 2.7], el generador síncrono [Capítulo 3 y Adenda], modelo de lalínea de transporte y la carga [Apartados 5.1 a 5.8 y Adenda].

1.1 Antecedentes históricos de los sistemas eléctricos

La electricidad es la forma de energía más utilizada hoy en día en la industria y en loshogares. La electricidad es una forma de energía relativamente fácil de producir en grandescantidades, de transportar a largas distancias, de transformar en otros tipos de energía y de




consumir de forma aceptablemente limpia. Esta presente en todos los procesos industriales yen prácticamente todas las actividades humanas por lo que se puede considerar comoinsustituible... Y no seguimos cantando sus bondades ya que estamos convencidos de queusted, como casi Ingeniero y alumno de la especialidad de Electrónica y Automática, es de

nuestra opinión.

Sin embargo, su historia es relativamente reciente ya que el inicio de la tecnologíaeléctrica está aceptado situarlo en el último tercio del siglo XIX. Esa tecnología se desarrollaa partir de la base científica, experimental y teórica, que sobre la electricidad se habíaelaborado y formulado a lo largo de todo ese siglo.

En 1871 Gramme presenta la primera dinamo industrial movida por una máquina devapor, lo que supuso poder disponer de electricidad en forma corriente continua y en cantidad“abundante”, sustituyendo así a las pilas utilizadas hasta entonces como únicas fuentes deelectricidad (la pila había sido inventada por Alessandro Volta en el año 1800). Otro hito

importante ocurrió el 4 de septiembre de 1882 cuando Thomas A. Edison, utilizando 6generadores de corriente continua con una potencia total de 900 CV y unas 7200 bombillas(inventadas también por él a finales de 1879), ilumina la calle Pearl en Nueva York,acontecimiento que tuvo una enorme repercusión en su momento y que se reconoce como el

primer sistema de distribución de energía eléctrica utilizado para alumbrado público.

Desde ese momento queda claro el enorme potencial, técnico y económico, quesupone la energía eléctrica; la carrera por su control y utilización fue imparable. Así, esemismo año, 1882, L. Gaulard y J. Gibbs presentan la primera patente del transformador,

patente que en 1885 es comprada por George Westinghouse. Al año siguiente, en 1886, G.Westinghouse realiza el primer sistema de alumbrado público en corriente alterna en Great

Barnington (MA, EE.UU.) y funda su empresa para el desarrollo y utilización de laelectricidad en corriente alterna: la Westinghouse Electric and Manufacturing Co. En 1888

Nikola Tesla inventa y patenta el primer motor de inducción, Westinghouse compra la patentey contrata a Tesla.

En los años 1888 y 1889 se vive una apasionante guerra tecnológica y comercial: lalucha entre los defensores de los sistemas de corriente continua, encabezados por Edison através de su empresa, la Edison General Electric Co., y los de los sistemas de corrientealterna, con Westinghouse a la cabeza. Los sistemas en corriente continua presentaban el gran

problema de las pérdidas de energía por efecto Joule debidas a la intensidad de corriente quecirculaba por el sistema, problema más grave cuanto mayor es la potencia demandada: paraminimizar en lo posible esas pérdidas los generadores debían estar en las propias ciudades, enel centro de la zona que alimentaban (de ahí el nombre de “central” que todavía se utiliza enespañol para designar a las instalaciones de generación). La gran ventaja que supuso el poder transportar la energía eléctrica en corriente alterna desde las centrales generadoras, situadas amuchos kilómetros de los consumidores, gracias a poder elevar la tensión mediantetransformadores, y el desarrollo y la utilización en la industria de los motores de inducción a

partir de la patente de Tesla, dieron finalmente la victoria a los sistemas de corriente alterna.Con la presentación del primer sistema trifásico, entre Frankfurt y Lauffen, presentado en1891 en la Exposición de Frankfurt y la construcción de la central de las Cataratas del Niagaraen 1895, la corriente alterna queda definitivamente aceptada como la forma de generar,

transportar y distribuir la energía eléctrica.




Desde finales del siglo XIX y durante todo el siglo XX , el crecimiento de los sistemaseléctricos ha ido a la par del avance tecnológico de la sociedad, hasta el punto de considerar elconsumo de energía eléctrica como uno de los indicadores más claros del grado de desarrollode un país.

Los primeros sistemas eléctricos estaban aislados unos de otros; el crecimiento de lademanda de electricidad, y de la consiguiente capacidad de generación y de transporte, supusoun rápido proceso de concentración empresarial y de interconexión de esos pequeños sistemasdando lugar a otros mucho más grandes, tanto en potencia como en extensión geográfica. Lafigura 1 muestra un esquema de la composición de un sistema eléctrico de generación,transporte y distribución de energía eléctrica.

La generación de energía eléctrica tiene lugar en las centrales eléctricas. La mayor parte de las centrales son hidráulicas y térmicas, tanto convencionales (carbón, fuel y gas)como nucleares: en ellas una turbina, hidráulica o de vapor respectivamente, mueve el

alternador que produce la energía eléctrica. Actualmente se está ampliando el tipo de centralesy así, aunque aun con una potencia instalada mucho menor que las anteriores, ya existencentrales de turbina de gas, de cogeneración (aprovechando el calor residual de ciertos

procesos industriales para generar vapor), de ciclo combinado (que combinan una turbina degas con un ciclo térmico clásico agua/vapor), basadas en energías renovables (eólicas,fotovoltaicas, de biogas obtenido a partir de la biomasa o de residuos sólidos urbanos, etc.).Los generadores de la central producen la energía en media tensión, a de 6 a 20 kV, tensiónque se eleva mediante los transformadores de salida de la central, para ser inyectada en la redde transporte. La frecuencia del sistema de corriente alterna que se genera es fija y estánormalizada: 50 Hz en Europa y 60 Hz. en América.

La red de transporte y distribución está formada por las líneas que llevan esa energíahasta los consumidores. El transporte se hace en alta tensión (400, 220 y 132 kV) paradisminuir las pérdidas. La red de alta tensión es una red geográficamente extensa, va más alláde las fronteras de los países, y mallada; en los nudos de esa malla, donde las líneas seinterconectan (es decir, a donde llegan y de donde salen), se encuentran las subestaciones enlas que están los transformadores, para cambiar a los niveles de tensión de las líneas, loselementos de mando y de protección, que sirven para manipular y proteger la red(interruptores, seccionadores, fusibles, pararrayos, etc.), y los elementos de medida, que

permiten conocer en todo momento la situación del sistema y los valores de las variables másimportantes. De algunas de esas subestaciones salen líneas a menor tensión que forman lasredes de distribución en media tensión (de 66 a 1 kV) que finalmente, y conforme llegan hastalos últimos consumidores, se transforman en otras redes de baja tensión (400 y 230 V)

Por último están los consumidores de esa energía eléctrica que se genera en lascentrales. Esos consumidores, también llamados cargas, se conectan a la red en alta tensión(grandes industrias y, sobre todo, las redes de distribución de media tensión), en mediatensión (industrias, distribución a las ciudades y redes de distribución en baja tensión) y en

baja tensión (la mayoría de nosotros: pequeñas industrias y los consumidores domésticosfinales).




Fig. 1. Esquema de un sistema eléctrico de potencia.

1.2. El Sistema Eléctrico Nacional.

Hasta la primera mitad de la década de los 80, el sector eléctrico español estaba

formado por un reducido conjunto de grandes empresas eléctricas privadas con una estructuravertical (es decir, cada una integraba los negocios de generación, transporte, distribución ycomercialización de la energía eléctrica) y una empresa pública, Endesa, que tan solo teníageneración (centrales térmicas que consumían carbón nacional). El funcionamiento delsistema se realizaba de forma similar a la descrita en el apartado anterior: cada empresafuncionaba como un área de control y gestionaba su sistema buscando su óptimo económico,estableciendo o no, según le conviniese, acuerdos bilaterales de compra y venta de energíacon las empresas vecinas.

En el año 1984 esta situación cambia con la entrada en vigor del Marco Legal Estable.Esta ley garantizaba la viabilidad de las empresas eléctricas como un monopolio a cambio deuna fuerte intervención en su gestión, al entender el sector eléctrico como un servicio público.Así, se crea Red Eléctrica de España (REE), que pasa a ser la propietaria de la red detransporte en alta tensión (que se nacionaliza), y la generación se centraliza tanto en la

planificación (a través del PEN, Plan Energético Nacional) como en su funcionamiento segúnel denominado “funcionamiento en ‘pool’”: todo el sistema se gestiona como una únicaempresa mediante un despacho centralizado (que realiza REE) con una distribución posterior de los costes y de los beneficios entre las empresas.

En el año 1996, con la Directiva Europea del Mercado Interno de Electricidad se pretende liberalizar el mercado de la energía eléctrica en la Unión Europea rompiendo los

monopolios que, en distintas formas, existían en cada país. En España esa directiva dio lugar,en el año 1997, a la Ley del Sector Eléctrico que ha supuesto un cambio radical del sector alintroducir la liberalización de las actividades reguladas (se prohibe la tradicional integración




vertical de negocio de las empresas eléctricas) y al suprimir el concepto de servicio público,los monopolios y la planificación centralizada.

Así, actualmente en nuestro país el mercado eléctrico está desregulado y funciona

como una especie de bolsa donde se compra y vende energía eléctrica mediante un sistema decasación entre las ofertas de venta de energía, presentadas por los productores que tienen lageneración, y las ofertas de compra realizadas por los comercializadores. Para supervisar estemercado de compra/venta, la Ley del Sector Eléctrico establece la creación de dos entidadesindependientes: el Operador del Mercado y el Operador del Sistema. El primero,encomendado a OMEL1, es el garante de la operación económica del sistema mediante lagestión de ese mercado de ofertas de compra y de venta de energía eléctrica. El segundo,encomendado a REE2, es el que garantiza el funcionamiento del sistema desde el punto devista técnico, para asegurar la continuidad, calidad, seguridad y coordinación de lasoperaciones de generación y transporte.

España es uno de los primeros países en crear y en poner en marcha su mercadoeléctrico desregulado, modelo que está sirviendo de ejemplo a seguir para otros países. Sinduda será un nicho importante de trabajo para futuros ingenieros (además de economistas,abogados, etc.) que usted debe considerar cuando salga de la Escuela.

Como es fácil ver, el tema del mercado eléctrico es mucho más amplio de lo que aquíse ha explicado, y el objetivo principal de esta asignatura se limita a conocer qué es y cómofunciona un sistema eléctrico.

1.3 Descripción del sistema, las instalaciones y aparamenta eléctrica.

En los últimos apartados del capítulo 1 [1.5 a 1.7] se explica como esta formado unsistema de distribución de energía eléctrica y se describen sus elementos fundamentales, tanto

para la transmisión de potencia ( transformadores y líneas), como los elementos necesarios entoda instalación real para su protección y medida (interruptores, seccionadores, interruptoresautomáticos y transformadores de medida, entre otros). Por último se muestran planos yesquemas de instalaciones tipo, con sus aspectos técnico-constructivos más relevantes.

2.1. Representación del sistema. Cálculo en valores por unidad.

En un sistema eléctrico de potencia real existen valores muy dispares de potencias(generadas, consumidas, nominales de equipos, etc.), de intensidades y, sobre todo, distintosniveles de tensión debidos a los transformadores. Eligiendo un conjunto apropiado de dos deesas variables se puede hacer que todas las variables del circuito (potencias, tensiones,intensidades e impedancias) sean adimensionales, que estén expresadas en “en tanto por uno”:esto es lo que define como cálculo en valores por unidad [2.3].

Como verá, la principal ventaja del cálculo en por unidad es que los distintos nivelesde tensión que hay en el sistema “se unifican” y, por lo tanto, “desaparecen” lostransformadores (que se representan simplemente por una impedancia serie): de esta forma elcircuito equivalente que representa el sistema se reduce a un circuito plano y conexo formado

por fuentes e impedancias que se resuelve, sin mayor problema, mediante las herramientas de

cálculo de la teoría de circuitos [2.6].1 Compañía Operadora del Mercado Español de Electricidad S.A. (http://www.omel.es)2 Red Eléctrica de España S.A. (http://www.ree.es)




Los elementos del sistema se representan mediante símbolos y, con éstos, el sistemaeléctrico completo se representa mediante un esquema denominado diagrama unifilar que

permite “ver”, de una forma rápida, la topología del sistema y los elementos que lo forman.

La otra representación del sistema es el denominado diagrama de impedancias [Ejemplo 2.1] en el cual cada elemento del sistema se representa por su modelo de impedancias, expresadasen valores por unidad. Así, el diagrama de impedancias es simplemente el circuitomonofásico equivalente fase-neutro del sistema trifásico que es el sistema eléctrico de

potencia.

Es muy importante que tenga claro el trabajo con valores por unidad y cómorepresentar el sistema a través de los diagramas unifilar y de impedancias, ya que ello es la

base de todos los cálculos que a lo largo de la asignatura se realizarán para analizar y estudiar los distintos aspectos del sistema.

Hasta ahora hemos hablado de “los elementos del sistema”. Los elementos que vamosa considerar en la asignatura son básicamente cuatro: el transformador, el generador, la líneade transporte y la carga. A continuación se estudia cada uno de ellos en detalle.

2.2. Elementos del sistema (I): el transformador de potencia.

El transformador de potencia se estudia en el capítulo 2 del libro. En él se repasan losconceptos básicos que ya conoce: circuito equivalente del transformador trifásico [2.1],introduciendo la notación en por unidad [2.4 y 2.5] y el estudio del desfase que introduce enfunción de la conexión de los devanados [2.6].

A partir de aquí, se estudian tres tipos de transformadores que, como variantes deltransformador trifásico de potencia, se pueden encontrar en los sistemas eléctricos: eltransformador de dos devanados [2.4], el transformador de tres devanados [2.5] y eltransformador con tomas [2.7]. Este último es el más importante de ellos por ser el máshabitual y, sobre todo, por su papel fundamental en el control de la potencia que circula por las líneas.

Se finaliza el capítulo describiendo el modelo general del transformador, recalcando y justificando una vez más la importancia y la facilidad de cálculo que conlleva la utilización delos valores por unidad [2.7].

Ejercicio 1.

a) Demostrar que la matriz de admitancias que relaciona las tensiones e intensidades, envalores reales, de dos nudos entre los que se conecta un transformador de relación t : 1,es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

cccc

cccc

busY t t Y

Y t Y Y

2*r

r




b) Dibujar el circuito equivalente en Π del transformador, que permite obtener la matrizantes citada. Nota: supóngase que t es real para la resolución de este apartado.

c) Determinar la corriente del primario y secundario, en valores por unidad y en valoresreales, de un transformador de 10 MVA, de relación U1/U2 = 1,02 e-jΠ/18, donde lastensiones por unidad de los nudos entre los que se conecta el transformador son U1 = 1,0∠0º y U2 = 0,95 ∠10º. La impedancia de cortocircuito del transformador es Zcc = j 0,04.Tómese como bases del sistema, la potencia nominal del transformador y una tensión de15 kV.

Solución:

a)

Partiendo del equivalente eléctrico del transformador sin la rama paralelo, tenemos:

Para obtener la matriz de admitancias entre los nudos 1 y 2 se deben obtener las relacionesentre las tensiones e intensidades en dichos nudos. Considerando que para el análisis lasintensidades tienen sentido entrante, tendremos que i2=-i’2.

U1

i1

E1 E2 U2

i'2

Zcc

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=−=−=

−=−

=

+=

=

=

=

+=

2

1

2*2

1

22

1122

2121

1

121

2

1

2

1

22

111

**'

*

1

'

U

U

Y t Y t

Y t Y

i

i

tanto por

U Y t U Y t it ii

U Y t U Y Z

t U U i

Z it U U

t i

i

t E

E

E U

Z i E U

CC CC

CC CC

CC CC

CC CC

CC

CC

CC

r

r

rr

r

r

r

r

r




b)

El equivalente en π del circuito entre los nudos tiene la forma:

De la matriz de admitancias obtenida en el apartado a) y con t real, se deduce que:

De las igualdades anteriores se desprende que sólo se puede representar con su equivalente enπ a un transformador en el que no haya desfase en ángulo entre los extremos, ósea si t es real,dado que dicho desfase no puede representarse en un circuito de ese tipo.

Despejando se obtiene

U1

i1

Y1P Y2P U2

Ysi2

PSCC

SCC

SCC

PSCC

Y Y Y t Y

Y tY Y

Y tY Y

Y Y Y Y

22

22

21

12

111

+==

−=−=

−=−=

+==

CC P

CC P

CC S

Y t t Y

Y t Y

tY Y

)1(

)1(

2

1

−=

−=

=

U1

i1

(1-t)YCC

t(t-1)YCC

U2

tYcci2




Del resultado obtenido también se desprende que el equivalente en π sólo puede representar larealidad si Ycc no tiene parte real, pues de otra forma se obtendrían resistencias negativas enlas admitancias en derivación, al depender su valor de (1-t) y de (t-1).

c)

2.3. Elementos del sistema (II): el generador síncrono.

El generador, que se encuentra en las centrales de producción de energía eléctrica yque es un generador síncrono, se estudia en el capítulo 3 del libro. Como en el caso anterior,los primeros apartados del capítulo deben ser para usted un recordatorio de los conceptosrelativos a este tipo de máquina que vio en la asignatura “Máquinas eléctricas”: descripcióndel generador, su principio de funcionamiento y su circuito equivalente [3.1 a 3.3]. De esterepaso le debe quedar claro cómo se genera un sistema trifásico de potencia y los conceptos

de reactancia síncrona, Xs, de tensión interna, Ei, y de ángulo de potencia, δ.

El funcionamiento del generador en régimen permanente se ve en los dos apartadossiguientes donde se explica el control de la potencia activa y de la potencia reactiva generada[3.4] y la curva de carga del generador [3.5] que define los puntos (la zona) defuncionamiento posible del generador en condiciones normales.

2.4. Elementos del sistema (III): la línea de transporte.

El tercer elemento del sistema es la línea eléctrica que, junto a los transformadores y a

los elementos de maniobra y protección (interruptores, seccionadores, protecciones, etc.),forman la red de transporte y distribución de energía eléctrica. Tal y como se explica en [5.2 y

5.3], la línea se caracteriza mediante su impedancia serie, por fase y unidad de longitud, y su

Ai

Ai

t Y

t Y

t Y

t

j

j

Y

j j Z

S

U Z

kV U kV kV U

kV kV

U kV U

CC

CC

CC

CC

CC

B

BCCB

B B

00000

00000

00

000

000

0

0

8010900802

90101000901

9090

2

801090

*

1001090

10

90

21

º102º0º01

21

82214155,115133,1

80014133,11511,1

155,104,111,1

133,102,111,1

133,102,111,1

02,1

11,111,1

9,0

1

9,05,22.04,0

5,22

141515.1

7,1402,1

1515

−∠∠−∠∠−∠

−∠∠−∠∠−∠

−∠−∠

−∠∠−∠

−∠−∠−∠

−∠

−∠

∠∠∠

−=+−=

=−=

==

−=−=−

−=−=−

=

=−==

Ω==

Ω==

===

===

r

r

r

r

r




admitancia paralelo, también por fase y unidad de longitud. El cálculo de estos parámetros R,L y C el libro lo ha desarrollado en el capítulo anterior [4] y queda fuera del programa de laasignatura (es decir, siempre que se necesiten esos parámetros serán un dato).

En función de la longitud de la línea y del tipo de estudio que se desea realizar, existendiferentes modelos de la línea de transporte. Así, para una frecuencia de 50 Hz, las líneas seclasifican como cortas (líneas de longitud inferior a 100 km), de longitud media (de 100 a 300km) y largas (de más de 300 km). Las representaciones de los dos primeros tipos son de

parámetros concentrados, mientras que en el modelo de la línea larga hay que considerar los parámetros distribuidos a lo largo de la longitud de la línea.

Teniendo en cuenta los tipos de estudios que se van a ver en esta asignatura essuficiente con los modelos de parámetros concentrados de línea corta y de línea de longitudmedia [5.4]. A partir de estos dos modelos (especialmente del segundo) es muy importe elconocer el flujo de potencia que se puede transmitir a través de la línea [5.5 y 5.6] y la forma

de compensar la impedancia para disminuir la caída de tensión, a partir de inductancias ocondensadores en serie o paralelo, según las condiciones de funcionamiento [5.7].

Ejercicio 2.

El sistema trifásico de la figura consta de los siguientes elementos:

• Generador G1 100 MVA, 15 kV, Xsg1= 0,15 p.u• Generador G2 80 MVA, 15 kV, Xsg2= 0,15 p.u• Línea L1 y L3 impedancia 10 + j 50 Ω/fase• Línea L2 y L4 impedancia 20 + j 60 Ω/fase• Transformador T1, 80 MVA, 15/165 kV, XCCT1=0,1 p.u• Transformador T2, 60 MVA, 165/12 kV, XCCT2=0,1 p.u• Carga M1, a potencia constante de 50 MVA a 165 kV y fdp=0,8 inductivo• Carga C2, de impedancia constante, 40 MVA a 165 kV y fdp = 0,95 capacitivo

• Interruptores S1, S2, S3 y S4 de impedancia despreciable




a) Dibujar el esquema del sistema, por fase, indicando los valores de las impedancias envalores por unidad, tomando como base 100 MVA y 15 kV.

b) Con los interruptores S1 y S3 cerrados y S2 y S4 abiertos, determinar la tensión y corrienteen la carga C2 y en el generador G1, en valores por unidad y valores reales, para mantener la carga M1 a una tensión de 165∠0º kV.

c) Con los interruptores S3 y S4 cerrados y S1 y S2 abiertos, determinar la tensión y lacorriente en el generador G1, en valores por unidad y valores reales, para mantener lacarga C2 a una tensión de 165∠0º kV, con el generador G2 a tensión de 13∠+5º kV.

Solución

En primer lugar se determinan los valores base de los distintos tramos del sistema.

SB= 100 MVA

Tramo 1

u pU

U

S

S X X

basedecambiou p X

AU

S I

S

U Z

kV U

Bnueva

Banterior

Banterior

Bnueva Anterior CCT NuevaCCT

G

B

B B

B

B B

B

.125,015

15.

80

100.1,0..

sin.15,0

385010.15.3

10.100

3

25,210.100

10.15

15

2

2

2

2

11

1

3

6

1

1

6

622

11

1

===

=

===

Ω===

=

Tramo 2




00

1

011

02

02

22

*2

222

022

042

031

2

2

2

3

6

2

6

62

2

11

1212

87,365,0100

87,3650

87,3650)(

2,185,278,0375,225,272

6,21256,646

2,1810.4010.1652,184095,0cos40)(

65,71232,022,0073,025,272

6020

6,78188,0184,0037,025,272

5010

.1666,0165

165.

60

100.1,0

35010.165.3

10.100

25,272

10.100

10.165

16515

16515

∠=∠=

∠=⇒

−∠=−=−

=

∠==⇒−∠=−∠=⇒

∠=+=+==

∠=+=+==

==

==

Ω==

===

puS

MVAScteP M

j j

pu Z

S

U Z MVA MVAarcScte Z C

j j

pu L pu L

j j

pu L pu L

u p X

A I

Z

kV U

U U U

M

M

C

C

C C C

NuevaCCT

B

B

T

T B B

Tramo 3

u p X

AU

S I

S

U Z

kV U

NuevaG

B

B B

B

B B

B

.293,012

15.

80

100.15,0

481110.12.3

10.1003

44,110.100

10.12

12165

12165

2

2

2

3

6

1

1

6

6221

1

1

==

===

Ω===

==

Por tanto, el esquema del sistema por fase en valores por unidad es




j 0,125

0,037+j 0,184

j 0,16

2,375-j078

Smotor =0,536,86º

2 3

j 0,15

0,037+j 0,184

0,073+j 0,22

0,073+j 0,22

j 0,29

b) El esquema del circuito planteado es en este apartado

j 0,125

0,037+j 0,184

2,375-j 0,78Smotor =0,5

36,86º

2

j 0,15

0,037+j 0,184

UC




kV j jiiU U y

kV Z iU

ji j jiU

ladootro por

j j j jiU U

jiiU S

u pkV U

C M C G

C C C

C C C

M M C

M M M M

M

º4,85,16º4,8103,1162,0091,1125,0).(

º19,168º1023,1º2,18375,2º.3,17431,0.

º3,17431,0128,0411,0)78,0375,2184,0037,0.(

º3,3072,1062,007,1)184,0037,0)(3,04,0(º01)184,0037,0(

3,04,0º01

º86,365,0.

.º01º0165

211

222

22

11

1*

111

1

∠=∠=+=++=

−∠=−∠=−∠∠==

∠=+=⇒−++=

∠=+=+−+∠=++=

−=∠

−∠=⇒=

∠=∠=

c) En el esquema del sistema ahora propuesto el motor M1 está desconectado

j 0,125 j 0,16

2,375-j 0,78

j 0,15

0,037+j 0,184 0,073+j 0,22

j 0,29

UC2

UG2

UG1

kV j j jiU U

A j j jiii

A j j j

U U i

A j Z

U i

u pu pkV U yu pu pkV U

C C G

GC G

C GG

C

C C

GC

º54,15º5026,109,0022,1)184,0037,0125,0.(

º3,691155º3,693,028,0106,0155,0274,0125,038,0

º6,295,1515º6,29315,0155,0274,01666,022,0073,0

º18140º184,0125,038,0º2,185,2

º01

.º5083,1.

12

º513º513.º01.

165

º0165º0165

221

221

222

2

22

22

∠=∠=+=+++=

∠=∠=+=+−+=−=

−∠=−∠=−=++

−=

∠=∠=+=−∠

∠==

∠=∠=∠=∠=

∠=∠=




2.5. Elementos del sistema (IV): la carga.

El cuarto y último elemento que vamos a necesitar para estudiar y analizar un sistema

eléctrico de potencia son las cargas. Las cargas son quienes consumen la potencia generada por los generadores, que se encuentran en las centrales de producción de energía eléctrica, yque llega a ellas a través de la red de transporte. Las cargas se encuentran en los nudos de esared y pueden ser grandes consumidores (por ejemplo, una gran industria) o, en la mayoría delos casos, son otras redes eléctricas de distribución, de menor tensión, que van llevando esaenergía eléctrica al resto de consumidores más pequeños.

En el texto base que utilizamos en esta asignatura no hay un capítulo que hable de lascargas, por lo que los modelos de carga que se van a necesitar los veremos a continuación eneste apartado.

Aunque en general las cargas evolucionan en el tiempo, para los estudios del sistemaeléctrico de potencia que vamos a ver en la asignatura se considerará, siempre que no se digalo contrario, el régimen permanente por lo que se admitirá que las cargas no varían en eltiempo. En cuanto a su representación dentro del sistema, se distinguen tres tipos de cargas:

− Cargas de impedancia constante. Son cargas estáticas cuya impedancia, como indica sunombre, es constante y, por lo tanto, la potencia que consumen depende de la tensión quehaya en cada instante en el nudo en el que están conectadas. Ejemplo de este tipo decargas son las baterías de condensadores o de inductancias. Estas cargas se definen por elvalor de su impedancia por fase o por su potencia nominal (que es la potencia queconsumen a la tensión nominal del nudo al que están conectadas). Se representanmediante los valores correspondientes de R y X en paralelo, tal y como se representa en lafigura 2.a (es más útil esta representación que la de la rama equivalente serie, con R y Xen serie, como verá más adelante a la hora de construir la matriz de admitancias de nudo).

− Cargas de potencia constante. Son cargas cuyos valores especificados de P y Qconsumidos son constantes, independientemente de la tensión que exista en cada momentoen el nudo en el que están conectadas. Por este motivo no pueden representarse medianteuna impedancia o una fuente, así que se hace mediante una flecha indicando los valores deP y Q correspondientes (figura 2.b). Este tipo de cargas son las más frecuentes en lossistemas eléctricos de potencia; por ejemplo, se comportan como cargas de este tipo los

grandes consumidores, los motores eléctricos y otras redes de distribución a menor tensión.

− Cargas de intensidad constante. Este tipo de cargas son bastante escasas y se caracterizan por presentar una intensidad I consumida constante e independiente de la tensión queexista en cada momento en el nudo en el que están conectadas. Se representan medianteuna fuente de intensidad I (figura 2.c).




Fig 2. Representación de las cargas: (a) de impedancia constante,

(b) de potencia constante y (c) de intensidad constante.

Ejercicio 3.

En el diagrama de la figura, la tensión del generador (nudo1), se eleva mediante dostransformadores trifásicos idénticos en paralelo, T1 y T2, a 230 kV (nudo 2), que alimentan auna carga y a una línea de 50 km que termina en otro transformador T3 a cuya salida se

conecta un motor a 69 kV.

Las características nominales de los diversos elementos del sistema son:

Generador 100 MVA, 15 kV, Xsg= 0,1 p.u

T1 y T2 50 MVA, Y-∆, 15/230 kV, Xcc= 0,2 p.u

T3 70 MVA, ∆-Y, 230/69 kV, Xcc= 0,1 p.u

Z de línea (2-3) XL = j 6 Ω/fase

Carga (Z constante) 20 MW, 230 kV

Motor (P constante) 50 MVA, 69 kV, f.d.p 0,8 inductivo




Tomando como base los valores nominales del generador y suponiendo que en la situaciónconsiderada el valor medido de la tensión en bornes del motor es de 69 kV, determinar enmódulo y argumento:

a) La corriente en el motor y la tensión, corriente y potencia en la carga. b) La tensión, corriente y potencia desarrollada por el generador c) La tensión y corriente en la línea del primario del transformador T3.

Solución:

El circuito equivalente por fase del sistema propuesto es:

Xcc 1

Xcc 2

Xcc 3XL

Zc

Smotor =P+jQ

1 2 3 4

X' 'g

U G U Carga UMoto r




El sistema normal del problema se resuelve mediante análisis por unidad, cuyo primer paso esla elección de los parámetros base. Se toma la potencia nominal del generador como base de

potencias y las tensiones de línea en cada tramo como referencia para la determinación de las

tensiones base de cada uno de ello.

La ventaja del cálculo en valores por unidad es poder resolver el sistema sin necesidad deconsiderar las relaciones entre tensiones y corrientes de cada línea en cada tramo,dependiendo de relaciones de transformación y las conexiones en los transformadores. Lautilización de las tensiones entre líneas como referencia en todos los casos facilita el cálculo,sea cual sea la conexión de los transformadores.

Si los datos de partida de los transformadores no hubiesen sido dados como tensiones de

entrada y salida en la conexión correspondiente, sino que se hubiese dado directamente larelación de espiras en cada uno de ellos, tendría primero que determinarse la tensión entrelíneas correspondiente de cada tramo antes de definir las tensiones de base.

Por otro lado, la única precaución que debe tenerse cuando hay conexiones mixtas en lostransformadores es que hay desfase entre las tensiones de cada tramo y consecuentemente,también en las corrientes. Por ello, adicionalmente debe considerarse el desfase como otro

parámetro base a definir, cuando proceda.

Teniendo todo esto en cuenta, tendremos que:

Tramo 1

MVASbase 100=

u p X X

u p X

A I

Z

kV U

cccc

sg

base

base

base

.4,050

1002,0

.1,0

384910.15.3

10.100

25,210015

15

21

3

6

1

2

1

1

===

=

==

Ω==

=




Tramos 2 y 3

Tramo 4

a) Si la tensión medida en bornes del motor UMotor es 69 kV, será igual entonces a la tensiónde base en el tramo 4, por lo que tendremos:

u pu p Z cte Z aaC

u pu p X Línea

u p X

A I I A I

Z Z

kV U U

triánguloestrellaser Al

C

L

cc

basebasebase

basebase

basebase

basebase

.5.529

26452645

10.20

10.230arg

.0113,0.529

6

6

.143,070

1001,0

25125110.230.3

10.100

529100

230

2301523015

30

6

62

3

323

6

2*

2

32

32

032

==Ω==

==Ω=

==

==⇒==

Ω===

===

==− α α

u pu p MVASctePa Motor

A I

Z

kV U

estrellatriánguloser Al

Motor

base

base

base

base

.5,0.

100

5050

7,83610.69.3

10.100

6,47100

69

69230

69230

º0º3030

87,3687,36

87,36

3

6

4

2

4

4

04

∠∠

∠ ===

==

Ω==

==

=−=− α

Au p I

I I U S

Motor

Motor Motor Motor Motor

87,3687,3687,36

0

87,36**

35,4187,836.5,0.5,0

1

5,0.

−∠−∠−∠

∠

∠

===

=⇒=




Para la carga tendremos

b) En el generador

c) En el primario del transformador 3 la corriente es la que corresponde al motor, pero hayque considerar el desfase de tensiones por el tipo de conexión en el transformador. Alrealizar el análisis por fase con valores por unidad esto se desprende directamente al

aplicar el método.

MW u p I U S

Au p Z

U I

kV U U U u p j j jU

X X j I U U

acacac

ac

ac

ac

bb puac

ac

cc L Motor Motor ac

22100.22,0.22,021,0.0478,1.

7,52251.21,0.21,05

0478,1

241230.0478,1.0478,10616,0046,1)143,00113,0(5,01

)(

037,337,3arg*

argarg

37,333037,337,337,3

arg

argarg

37,333037,322arg

37,387,360arg

3arg

=====

=====

==∠⋅==+=++=

++=

∠−∠∠

∠+∠∠∠∠

∠+∠∠

∠−∠∠

α

MVAS

u p I U S

kV U

u p jU

A I

u p ju pu p I I I

u p j

jX jX

Z donde

Z I U U

G

GGG

G

G

G

aC Motor G

cccc

GacG

7,347,34

7,343,254,9*

4,94,9

4,9903,2537,3

3,253,25

3,2537,387,36arg

21

1

1arg

33,75100.7533,0

.7533,06735,0.1186,1.

8,1615.1186,1

.1186,11834,01035,12,0.6735,00478,1

259238496735,0

.6735,0288,009,0.21,0.5,0

.2,011

1

.

∠∠

∠∠∠

∠∠

∠∠−∠∠

−∠−∠

−∠∠−∠

==

===

==

=+=+=

==

=−=+=+=

=+

=

+=

A I

u p I I

kV U

u p j jX I U U

Motor

cc Motor Motor

87,63087,363

87,363

14,333014,33

14,39087,36033

5,1252515,0

.5,0

2,240230.0445,1

.0445,10572,0043,1143,0.5,01.

−∠∠−∠

−∠

∠∠∠

∠∠−∠∠

==

==

==

=+=+=+=




UNIDAD DIDÁCTICA 2. Análisis del sistema eléctrico de potencia.

TEMA 3. Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: Los modelos de la

red a través de la matriz |Ybus| [6.2], el flujo de cargas [6.3, 6.4 y 6.5] y elcontrol del flujo de cargas [6.8].

TEMA 4. Corrientes de cortocircuito en el generador. Cortocircuitos trifásicosequilibrados [capítulo 8].

Llegados a este punto del programa de la asignatura, usted ya conoce los principaleselementos que componen un sistema eléctrico de potencia, sus modelos y la representacióncompleta del sistema mediante los diagramas unifilar y de impedancias.

En esta segunda Unidad Didáctica se van a ver los dos estudios clásicos másimportantes que se utilizan para analizar el sistema eléctrico: el flujo de cargas y las faltassimétricas.

3.1. Las matriz de admitancias de nudo, [Ybus].

Una vez que ya se conoce el modelo eléctrico que representa a cada elemento delsistema y la utilización de los valores por unidad, para cualquier sistema eléctrico que nos denya debe ser fácil construir su diagrama unifilar y el circuito de impedancias que lo representa.A partir de aquí y para los estudios que van a permitir el análisis del sistema, éste se modelamatemáticamente mediante la matriz de admitancias de nudo, [Ybus].

La matriz [Ybus] es, sencillamente, la matriz de admitancias que resulta del análisis por nudos del circuito de impedancias que representa el sistema eléctrico dado tomando comonudo de referencia el neutro, nudo común del circuito. La construcción y modificación [6.2] de la matriz de admitancias de nudo [Ybus] es fácil e inmediata. Por último, es importanteseñalar que para grandes sistemas reales la matriz [Ybus] es una matriz muy dispersa, esdecir, en la que la mayoría de sus elementos son cero.

3.2. Funcionamiento del sistema eléctrico en estado normal: el flujo de cargas.

El objetivo del sistema eléctrico es satisfacer la potencia demandada, más las pérdidasen la red, manteniendo un estado de funcionamiento normal, es decir, en un régimen

permanente en el que se verifique que las tensiones en los nudos y las potencias generadas por los generadores estén dentro de unos límites establecidos y que tanto las líneas como lostransformadores funcionen sin sobrecargas.

El flujo de cargas es el estudio que permite analizar el sistema en régimen permanentey comprobar, a partir de su resultado, si ese estado de funcionamiento del sistema correspondea un estado de funcionamiento normal. Partiendo de la potencia generada y demandada encada nudo, el flujo de cargas calcula la tensión, en módulo y argumento, que existe en cada

nudo y las potencias que circulan por la red de transporte.




Si ese problema, calcular la tensión en cada nudo, se plantease en términos deintensidades, es decir, si se conociese la intensidad inyectada en cada nudo, el cálculo de lastensiones sería inmediato resolviendo un sistema lineal de ecuaciones donde los elementos de[Ybus] serían los coeficientes (sería, en definitiva, la resolución del análisis por nudos del

circuito). Sin embargo, en los sistemas eléctricos de potencia reales las magnitudes que semiden y que se conocen son las potencias, activa y reactiva, generadas y consumidas en cadanudo y como esas potencias dependen de las tensiones de los nudos (que recordemos son lasincógnitas del problema), el problema del flujo de cargas así planteado en términos de

potencias resulta ser un problema no lineal que se ha de resolver mediante métodos numéricositerativos.

El capítulo 6 del libro aborda el estudio del flujo de cargas. En el apartado [6.3] sedescribe y plantea el problema del flujo de cargas: las ecuaciones de la potencia inyectada enun nudo (ecuación (6.8), en forma compleja, y ecuaciones (6.11) y (6.12), en forma polar), lostipos de nudos que se consideran, las variables de estado o incógnita del problema, las

cantidades especificadas o términos independientes y el número total de ecuaciones delsistema no lineal que hay que resolver.

Los métodos de resolución del flujo de cargas son métodos numéricos de resoluciónde sistemas de ecuaciones no lineales. Así, en el libro se describen dos métodos exactos: el deGauss-Seidel y el de Newton-Raphson. El primero tiene la ventaja de ser sencillo de

programar, pero presenta problemas de convergencia, sobre todo al aumentar la dimensión del problema. El método de Newton-Raphson es más complejo de programar pero a cambio esmás robusto y presenta una mayor velocidad de convergencia que el anterior, por lo que es elque utiliza la práctica totalidad de programas existentes de resolución del flujo de cargas. Por último, en el libro también se explica el flujo de cargas desacoplado, que es un método que

permite obtener de una forma sencilla y rápida una solución aproximada, que se puede utilizar para obtener un buen punto inicial para los procesos iterativos de los dos métodos anteriores ocomo solución válida para otros tipos de estudios que no necesitan la solución exacta del flujode cargas.

Los dos métodos (Gauss-Seidel y Newton-Raphson) [6.4 y 6.5], permitirán al alumnoconocer la sistemática de la solución al problema y los distintos casos que pueden presentarse.Deben ser estudiados ambos, al tratarse, en definitiva, de los métodos matemáticos deresolución de problemas no lineales más utilizados en este tipo de problemas.

Independientemente del método, es importante tener bien claro qué ofrece la solucióndel flujo de cargas, es decir, conocida la solución (tensiones en todos los nudos y potenciagenerada en el nudo oscilante) y con los datos del sistema (datos de los nudos y de las líneas)debe ser capaz de calcular la potencia inyectada en cualquier nudo o la potencia que circula

por cualquier línea del sistema. La gran utilidad y cantidad de información que ofrece lasolución del flujo de cargas para el análisis de un sistema eléctrico se explican en el apartado[6.3].

Para concluir este tema, en el apartado [6.8] describe los diferentes medios de controldisponibles en un sistema, explicando su importante función en el control de la potencia quecircula por las líneas o de mantener el valor de la tensión en determinados nudos.




3.3. Equivalente eléctrico del transformador en el sistema

En los sistemas eléctricos, los transformadores juegan un papel fundamental para obtener lastensiones necesarias en cada tramo. El cálculo en valores por unidad permite el análisis delsistema sin necesidad de separarlo en tramos de la misma tensión base que establecen lostransformadores.

El método de cálculo en valores por unidad consiste en expresar los equivalentes eléctricos delos diferentes elementos del sistema en valores proporcionales a los valores de base elegidos.Con ello el cálculo puede hacerse a partir de un sistema monofásico con generadores eimpedancias en serie y paralelo.

Es especialmente importante el análisis de los equivalentes eléctricos de los transformadoresen sus diferentes funciones, tanto como transformadores de elevación o reducción de tensióno como transformadores de regulación de tensión o fase.

Seguidamente se detallan las diferentes formas de expresar el equivalente de un transformador en un sistema.

Transformador reductor de tensión

Es el caso, por ejemplo, de un transformador de distribución utilizado para reducir la tensiónen una línea para transporte de energía. Su relación de transformación está dada por ⎯ t :1, cont >1. Partiendo del equivalente eléctrico del transformador monofásico sin la rama paralelo,tenemos:

U1

i1

E1

E2

U2

i'2

Zcc

t :1




Para obtener la matriz de admitancias entre los nudos 1 y 2 se deben obtener las relacionesentre las tensiones e intensidades en dichos nudos. Considerando que para el análisis lasintensidades tienen sentido entrante, tendremos que i2=-i’2.

El equivalente en π del circuito entre los nudos tiene la forma:

De la matriz de admitancias obtenida en el apartado a) y con t real, se deduce que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=−=−=

−=−=

+=

=

=

=

+=

2

1

2*2

1

22

1122

21

21

1

121

2

1

2

1

22

111

tan

**'

*

1

'

U

U

Y t Y t

Y t Y

i

i

to por

U Y t U Y t it ii

U Y t U Y Z

t U U

i

Z it U U

t i

i

t E

E

E U

Z i E U

CC CC

CC CC

CC CC

CC CC CC

CC

CC

r

r

rr

r

r

r

r

r

U1

i1

Y1P

Y2P

U2

Ysi2

PSCC

SCC

SCC

PSCC

Y Y Y t Y

Y tY Y

Y tY Y

Y Y Y Y

22

22

21

12

111

+==

−=−=

−=−=

+==




De las igualdades anteriores se desprende que sólo se puede representar con su equivalente enπ a un transformador en el que no haya desfase en ángulo entre los extremos, ósea si t es real,dado que dicho desfase no puede representarse en un circuito de ese tipo.

Despejando se obtiene

Del resultado obtenido también se desprende que el equivalente en π sólo puede representar larealidad si Ycc no tiene parte real, pues de otra forma se obtendrían resistencias negativas en

las admitancias en derivación, al depender su valor de (1-t) y de (t-1).

Pero si se desea expresar el equivalente del transformador en valores por unidad obtendremoslas siguientes expresiones:

B pu

B

BCCpu B pu

B

BCCpuCC CC

B pu

B

BCCpu B pu

B

BCCpu

B

B puCC CC

B

B B

B

B B

B

B B

B

B B

B

B B

B

B B

B

B

B

B

U U U

SY t U U

U

StY U Y t U tY i

U U U

StY U U

U

SY

U

SiU tY U Y i

obtenemosu penresadastensiones yensidadesderelaciónlade

monofásicoenU

Si y

U

Si

U

SY

S

U Z

U SY

SU Z

U t

U U

U

U t

U U

2221

2112

12

212

222

1

112

11

1211

22

11

22

2

22

2

21

1

21

1

21

22

1

11

.expint

+−=+−=

−=⇒−=

==

=⇒=

=⇒=

==⇒=

=

CC P

CC P

CC S

Y t t Y

Y t Y

tY Y

)1(

)1(

2

1

−=

−=

=

U1

i1

(1-t)YCC

t(t-1)YCC

U2

tYcci2




Finalmente obtenemos las expresiones que relacionan las corrientes y tensiones en valores por unidad y la correspondiente matriz de admitancias

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

−=

pu

pu

CCpuCCpu

CCpuCCpu

pu

pu

puCCpu puCCpu pu

puCCpu puCCpu pu

U

U

Y Y

Y Y

i

i

U Y U Y i

U Y U Y i

2

1

2

1

212

211

De donde se concluye que el equivalente eléctrico del transformador en valores por unidad es

I1pu

U1pu

ZCCpu

U2pu

I2pu

Obsérvese que el equivalente eléctrico del transformador en valores por unidad esindependiente de la relación del transformador.

Transformador elevador de tensión

Es el caso, por ejemplo, de un transformador a la salida de un generador donde es necesariala elevación de tensión en la línea de transporte de energía. Su relación de transformación estádada por 1:t, con t >1.

Siguiendo el mismo procedimiento que en caso anterior se llega a las siguientes expresiones




⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2*2

1

U

U

t

Y

t

Y t

Y Y

i

i

CC CC

CC CC

r

r

Cuyo equivalente en π es

Y si se calcula la relación en valores por unidad se llega a la misma matriz y equivalente en π que las obtenidas en el caso anterior, dado que el equivalente es independiente de la relaciónde tensiones.

Transformador regulador del módulo de la tensión

En la mayoría de los casos, los transformadores de distribución incorporan tomas que sirven

para regular la tensión de servicio ante las caídas de tensión producidas en las líneas y en los propios transformadores. En definitiva, las “tomas” no es más que puntos de conexión en elarrollamiento del transformador (en el primario generalmente) que aumenta o disminuye elnúmero de vueltas en este y, por tanto, la relación de transformación.

En principio, el análisis de estos transformadores, con sus respectivas tomas, se podríarealizar de la misma manera que lo hecho en los transformadores normales anteriores,considerando que al cambiar la toma, cambia la relación de transformación. Pero si se

procediera así en este tipo de transformador, en el análisis por unidad del sistema se tendríanque recalcular todos los valores al cambiar una toma, dado que los valores de la tensión de

base (y consecuentemente las impedancias e intensidades de base) del sistema en el tramo deltransformador correspondiente variaría.

U1

i1

YCC

(t-1)/t YCC

/t (1/t-1) U2

Ycc/ti2




Por tanto, cada vez que se produjera un cambio de toma, todo el cálculo del sistema envalores por unidad se tendría que recalcular, lo que supondría la pérdida de las ventajas quedicho análisis ofrece.

A fin de evitar este inconveniente, se puede enfocar el problema como si el caso de untransformador regulador equivaliese al de un transformador convencional con relación detransformación nominal y en serie con el hubiese un transformador ideal de relación 1:t o t:1,con t>1, según se use la toma para elevar o reducir la tensión, respectivamente.

Dado que en el caso de un transformador de relación de transformación fija y conocida suequivalente en valores por unidad es independiente de la relación de transformación, el valor tse refiere ahora a la tensión adicional que se eleva o disminuye frente a la relación detransformación nominal y no a la relación real entre las tensiones de entrada y salida del

transformador.

Debe comprenderse que, en el análisis en valores por unidad, la relación de transformaciónnominal ya se tiene en cuenta a la hora de determinar las tensiones de base de cada tramo y

por tanto los equivalentes por unidad no requieren considerar dicha relación nominal. Perodistinta consideración debe tener la tensión de aumento o disminución que proporciona latoma, que no ha sido considerada en la determinación de las bases y debe considerarse ahora.

Para determinar la relación de intensidades y tensiones en las nuevas condiciones se parte de

nuevo del equivalente del transformador, con la diferencia de que ahora el equivalente por unidad ZCCpu está en el lado secundario del transformador ideal que representa la toma.

El modelo así planteado implica que la impedancia de cortocircuito equivalente deltransformador no varía cuando se usan las tomas y aunque teóricamente esto implicaría unerror en la aproximación, la realidad es que en las normas internacionales que regulan lostransformadores de distribución es obligatorio que la impedancia de cortocircuito se mantenga

prácticamente constante cuando se cambian las tomas, por lo que la aproximación teórica es bastante aproximada a la realidad.

Con lo dicho anteriormente, el circuito equivalente de un transformador con una toma pararegulación del módulo de la tensión de relación t:1 tendría una impedancia ZCC en serie en elsecundario representando el transformador de relación nominal en valores por unidad talcomo se representa en la siguiente figura

U1

i1

E1

E2

U2

i'2

Zccpu

t:1




Para determinar ahora la relación entre intensidades y tensiones que permitan establecer lamatriz de admitancias asociada tendremos que

CCpu

CCpu

CCpuCCpuuCCpuCCp

Y t

U

t

Y U

t

ii

Y t

U Y U i Z i

t

U Z i E U

E U cont i

iet

E

E

21

22

1

122.2

1.222

11'2

1

2

1 1

+−=−=

−=⇒+=+=

===

Con lo que la matriz de admitancias tiene la expresión

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

12

2

1

U

U

Y t

Y t

Y

t

Y

i

i

CCpu

CCpu

CCpuCCpu

Y el correspondiente equivalente en π es

U1

i1

YCCpu

(1-t)/t2 YCCpu

(t-1)/t U2

Yccpu/ti2

Para un transformador con toma de regulación 1:t igualmente se obtendría

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

12

2

1

U

U

Y tY

tY Y t

i

i

CCpuCCpu

CCpuCCpu




U1

i1

YCCpu

(t-1)t YCCpu

(1-t) U2

tYccpui2

Ejercicio 4.

En el sistema de la figura los valores expresados en por unidad tienen una potencia base de100 MVA y tensión de base de 100 kV. En los nudos 3 y 4 se han colocado baterías decondensadores para compensación de potencia reactiva y la impedancia de todas las líneas deinterconexión entre los nudos es, en valores por unidad, de Zij = 0,03 + j 0,3 y la admitanciaen paralelo es yij,0 = j 0,05. Determinar:

a) La matriz de admitancias del sistema

b) Si se conecta entre los nudos 3 y 4 un transformador de regulación de módulo de tensiónde relación 100/98 kV de 10 MVA y XCC= j 0,1. ¿Cuál será, en estas nuevas condiciones,la matriz de admitancias del sistema?

c) Determinar la potencia de pérdidas del sistema en las condiciones del apartado b) si lasolución al flujo de potencias proporciona los siguientes valores:

04

03

02

01 096,03,001,13,003,101 ∠=−∠=−∠=∠= V V V V




Solución

a) Las admitancias de las líneas son:

05,0

2,84333,33,333,03,003,0

0,

0

j y

j y pu j z

ij

ijij

=

−∠=−=⇒+=

Y las de los condensadores son

4

52,0

1

4

3

j y

j j

y

C

C

=

=−=

Con lo que los términos de la matriz de admitancias serán:

0

2,84333,33,333,0

2,756,25,266,04)3,333,0.(205,0.2

25,6664,15,166,05)3,333,0.(205,0.2

2,848,975,91)3,333,0.(305,0.3

4334

042413231242321141312

044

033

02211

==

−∠−=+−=−==========

−∠=−=+−+=

−∠=−=+−+=

−∠=−=−+==

Y Y

jY Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

j j j jY

j j j jY

j j jY Y

linea

Con lo que la matriz de admitancias pedida es

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

−+−+−+−+−−+−

+−+−+−−

=

5,266,003,333,03,333,0

05,166,03,333,03,333,03,333,03,333,075,913,333,0

3,333,03,333,03,333,075,91

j j j

j j j

j j j j

j j j j

Y

b) La relación de tensiones e intensidades, en valores por unidad, en los nudos 3 y 4 cuando seconecta el transformador regulador de módulo de tensión de relación t:1 viene dada por laexpresión matricial




⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4

32

4

3 .U

U

Y t

Y t

Y

t

Y

i

i

CC CC

CC CC

Donde t=100/98=1,02 e YCC es la admitancia equivalente del transformador en valores por unidad. En este apartado, el valor por unidad de ZCC del enunciado se corresponde con valoresde base iguales a los valores nominales de potencia y tensión del transformador, que no soncoincidentes con los valores base del sistema, por lo que para referir el valor a la base delsistema

11

10.100

10.10001,0

6

6

jY j j

S

S Z Z CC

A

N CCACCN −=⇒===

Por tanto, los términos de la matriz de admitancias que cambian son:

98,002,1

1

3,7956,35,366,015,266,0

7555,246,266,002,1

15,166,0

4334

044

0233

j j

Y Y

j j jY

j j

jY

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−==

−∠=−=−−=

−∠=−=−+−=


⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

−+−+−

+−+−−+−

+−+−+−−

=

5,366,098,03,333,03,333,0

98,046,266,03,333,03,333,0

3,333,03,333,075,913,333,0

3,333,03,333,03,333,075,91

j j j j

j j j j

j j j j

j j j j

Y

c) Las pérdidas en el sistema se obtienen de la expresión

11 11121 GG DG pérdidas PPPPP =−−−++=∑−∑=

La potencia del generador del nudo 1 se obtiene a partir de la potencia neta P1 en el nudo 1, yaque:




MW u pPP

jS

jU Y U Y U Y U Y idonde

iU PPPPP

pérdidas

pérdidas DG

53,1.0154,02,00154,06,852,0.01

2,00154,06,852,0....

.

1

001

04143132121111

*111111

===−=−∠∠=

+=∠=+++=

ℜ==⇒−=

Ejercicio 5.

En el sistema de la figura 1, después de resolver el flujo de potencias, se obtienen lossiguientes valores de las tensiones en los nudos:

Considerando que las líneas de interconexión entre los nudos generadores y los nudos decarga (1-3, 1-4, 2-4 y 2-5), tienen una impedancia en valores por unidad de Z ij = 0,01 + j0,1 yadmitancia en paralelo yij,0 = j0,02 y las líneas que conectan los nudos de carga entre si (3-4 y4-5) tienen una impedancia Zij = j0,05 y admitancia en paralelo yij,0 = j0,01:

d) Determinar la matriz de admitancias del sistema

e) Si el generador 2 está compuesto de una máquina síncrona (M2), tal como se representaen la figura 2, conectada al nudo 2 mediante un transformador Υ-Υ de relación 1:2 y deimpedancia Xcc = j0,1 p.u, expresada en la misma base de potencia y tensión que el resto

0504030201 2,096,02,098,03,002,12,004,101 −∠=−∠=−∠=−∠=∠= V V V V V




de valores por unidad del sistema, determinar la intensidad y tensión de salida de M2, en p.u, cuando la carga en el nudo 2 es nula (SD2 = 0).

f) Calcular los valores obtenidos en el apartado b) cuando SD2 = 1+j1

Solución

a) Las admitancias de las líneas son:

- Para las líneas 1-3, 1-4, 2-4 y 2-5

02,0

2,8495,99,911,001,0

0,

0

j y

j y pu j z

ij

ijij

=

−∠=−=⇒+=

- Para las líneas 3-4 y 4-5

01,0

2005,0

0, j y

j y pu j z

ij

ijij

=

−=⇒=

Con lo que los términos de la matriz de admitancias serán:

020

2,8495,99,91

888,5974,59220.2)9,91(202,0.201,0.2

889,2987,291209,9101,002,0

2,849,1976,192)9,91.(202,0.2

5332512135231512

54434534

05242413125241413

044

05533

02211

============

−∠−=+−========

−∠=−=−−++=

−∠=−=−−++==

−∠=−=−+==

Y Y Y Y Y Y Y Y

jY Y Y Y

jY Y Y Y Y Y Y Y

j j j j jY

j j j j jY Y

j j jY Y


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−+−+−

−+−

+−+−−

+−+−−

=

87,2912009,910

2074,592209,919,91

02087,29109,91

9,919,91076,1920

09,919,91076,192

j j j

j j j j j

j j j

j j j

j j j

Y




b) El equivalente en π del transformador entre la máquina y el nudo 2 en valores por unidad

es

IM2

UM2

ZCC

U2

IG2

Según lo propuesto en este apartado, en el nudo 2 no hay cargas (SD2=0), con lo que lacorriente saliente del nudo será la corriente aportada por el generador. La corriente en el nudo2 se puede obtener a partir de la matriz de admitancias calculada en el apartado anterior y conel equivalente del transformador podremos obtener la tensión de salida de la máquina.

0000222

02

0000002

5254243232221212

5,018,101,018,12,004,14,844,1.901,0.

39,114,04,844,1

2,096,0.2,8495,92,098,0.2,8495,902,004,1.2,849,190.....

∠=+=−∠+−∠∠=+=

−=−∠=

−∠−∠−−∠−∠−+−∠−∠+=++++=

jU i Z U

ji

iU Y U Y U Y U Y U Y i

Gcc M

c) Si hay carga en el nudo 2, entonces iG2 ≠ i2, con lo que para calcular la corriente en elgenerador debemos considerar el balance de potencias en el nudo

00002

02

*222

02

000*222

222

8,428,1106,0275,12,004,18,646,2.901,0

,

8,646,235,21,1.

657,245,2147,11145,1147,0

45,1147,02,84456,14,844,1.2,004,1.

∠=+=−∠+−∠∠=

−∠=−=⇒=

∠=+=+++=

+=∠=∠−∠==

+=

jU

antescomoqueloCon

jiiU S

j j jS

jiU S

SSS

M

GGG

G

DG




Ejercicio 6.

En el sistema de la figura, después de resolver el flujo de potencias, se obtienen los siguientesvalores de las tensiones en los nudos:

Considerando que las líneas de interconexión entre los nudos tienen una impedancia envalores por unidad de ZL = 0,0099 + j0,099 determinar:

g) La matriz de admitancias del sistemah) La potencia de la carga del nudo 4, SD4 y la generada por el nudo oscilante S1.i) La potencia de pérdidas total de las líneas

05

04

03

02

01 1511011015101 −∠=−∠=−∠=−∠=∠= V V V V V




Solución:

a)

b)

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

+−−+−+−

+−−+−

+−+−−+−

+−+−−

=

−=+−======−=+−======

========

=−==

=−==

=−=

=−===+=

−∠

−∠

−∠

−∠

−∠

−∠∠

20210110100

1013030101101

10102021010

0101101303101

01010101202

1010110101

0

20202

30303

20202

101011

01,0099,00099,0

0

0

0

0

0

00

29,84544553354114

29,84422432232112

4334522551153113

29,845533

29,844422

29,8411

29,8429,84

j j j

j j j j

j j j

j j j j

j j j

Y

jY Y Y Y Y Y

jY Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y Y Y

jY Y

jY Y

jY

j Z

Y j Z

BUS

L

L L

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

03,0627,2

03,0627,203,0627,2

01.1001.101.20.1

665,0722,2335,0722,111

335,0722,1335,0722,1

1.101.3001.101.10.1

111

1*1

1029,84529,84029,840

5

11

*1

*1

444

4*4

1529,841029,84529,84029,8410

5

14

*4

*4

000000

00000000

jSSS

jS jS

V Y V S

Igualmente

j j jSSS

jS jS

V Y V S

DG

i

ii

G D

i

ii

+=+=

+=⇒−=

+−++−+==

+=−++=−=

+−=⇒−−=

−+++−+−==

−∠−∠−∠−∠∠−∠∠=

−∠−∠−∠−∠−∠−∠∠−∠∠=

∑

∑




c)

4.1. Corrientes de cortocircuito: clasificación de perturbaciones.

Se dice que el sistema funciona en condiciones de régimen permanente estable cuandotodas las variables físicas, medidas o calculadas, que definen el funcionamiento del sistema se

pueden considerar como constantes a efectos de análisis. Esto es lo que se ha visto yestudiado en el apartado anterior al analizar el estado normal del sistema mediante el flujo decargas.

Sin embargo, todos los sistemas eléctricos de potencia son sistemas físicos dinámicoscuyos parámetros y variables evolucionan, mucho o poco, en el tiempo. Cuando ocurre uncambio, o una secuencia de cambios, en los parámetros del sistema o en sus variables se diceque ha ocurrido una perturbación. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeñasdependiendo de su origen.

Si las perturbaciones son grandes, denominadas transitorios, como por ejemplo uncortocircuito, un cambio en la topología de la red (por maniobra de interruptores) o una

pérdida elevada de generación o de carga, la dinámica del sistema sólo se puede analizar mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales que definen sucomportamiento. En este caso, el punto de funcionamiento estable que correspondía alrégimen permanente antes del fallo se pierde y si el sistema evoluciona a otro punto defuncionamiento estable, más o menos próximo, se dice que el sistema es transitoriamenteestable.

Si las perturbaciones son pequeñas, denominadas perturbaciones de pequeña señal,como por ejemplo lo que ocurre tras la actuación de los reguladores de los generadores, lasecuaciones que definen la dinámica del sistema se pueden linealizar en torno al punto defuncionamiento. En este caso normalmente el sistema vuelve prácticamente al mismo puntode funcionamiento estable y se dice que el sistema es estable en régimen permanente. Estas

perturbaciones de pequeña señal se verán al tratar sobre el control automático de lageneración en la tercera Unidad Didáctica.

0601,0

6575,5

7176,5

543

54321

=−=

=++=

=++++=

∑∑∑∑

DG L

D D D D

GGGGGG

PPP

PPPP

PPPPPP




Los transitorios se pueden clasificar, en función de su velocidad en tres tipossiguientes3:

− Transitorios ultrarrápidos (sobretensiones). Este tipo de transitorios son producidos

principalmente por descargas atmosféricas (caída de rayos sobre las líneas) y por cambios bruscos, pero normales, de la operación del sistema (actuación de interruptores). Suduración es de unos pocos milisegundos y su naturaleza es de tipo eléctrica, dando lugar asobretensiones que se propagan a lo largo de las líneas, incluyendo fenómenos dereflexión en sus extremos. Estas sobretensiones (que a su vez pueden dar lugar acortocircuitos) afectan principalmente a las líneas, ya que las altas inductancias que

presentan los transformadores sirven de “barreras” hacia los generadores.

− Transitorios de velocidad media (cortocircuitos). Este tipo de transitorios se producen por cambios bruscos y anormales de la operación del circuito, como son las faltas ocortocircuitos. El cortocircuito más severo, es decir, el que da lugar a mayores

intensidades, es el cortocircuito trifásico (las tres fases conectadas a tierra a través de unaimpedancia de falta nula) y el menos es el cortocircuito monofásico a tierra (una fase atierra mientras que las otras dos siguen funcionando). Su duración es de unos pocos ciclos,

pudiendo llegar a unos pocos segundos, y su naturaleza es también de tipo eléctrica. Loscortocircuitos limitan la capacidad de transporte de las líneas, afectan a los generadores ylas intensidades que aparecen pueden llegar a ser peligrosas y dañar elementos delsistema, lo que obliga a desconectar partes de él durante un cierto periodo de tiempo (paradar tiempo a que se elimine la falta) o de forma permanente (si ésta persiste).

− Transitorios lentos (estabilidad transitoria). Un cortocircuito supone, entre otrosfenómenos, una caída brusca temporal, total o parcial, de las tensiones del sistema. Unacaída brusca de la tensión en el generación hace a su vez que se produzca una caída bruscade la potencia generada; sin embargo, como la potencia mecánica de la turbina permanececonstante en los primeros ciclos de la perturbación (la respuesta mecánica del generador es más lenta), aparece un par acelerador que da lugar a una serie de oscilacionesmecánicas de la máquina síncrona, oscilaciones que van desde unos cuantos ciclos hastaminutos en sistemas grandes. Estos transitorios son de naturaleza electromecánica y

pueden llegar a ser los más graves ya que, en ciertos casos, pueden llevar a que elgenerador pierda el sincronismo (si supera el límite de estabilidad transitoria) y debadesconectarse del sistema, lo que daría lugar a una nueva perturbación que podría llevar aotros generadores a perder el sincronismo, tener que desconectarse y, así, en un proceso en

cascada, finalizar incluso con el colapso del sistema.

4.2. Corrientes de cortocircuito. cortocircuitos trifásicos equilibrados..

Los primeros apartados del capítulo 8 se dedican al funcionamiento del sistema enestado de cortocircuito, tanto cuando este se produce en un lugar alejado del generador [8.2] y

3 El estudio de estos tres tipos de transitorios se abordan en la bibliografía propuesta. Así, para los alumnos interesados que deseen estudiar estos temas los podrá encontrar en lossiguientes capítulos: sobretensiones (reflexiones) en los apartados 6.10 a 6.12 del capítulo 6

del libro de J.J. GRAINGER y W.D. STEVENSON Jr. " Análisis de sistemas de potencia”(aunque tendrá que estudiar también el modelo de línea larga en el mismo capítulo), faltas ocortocircuitos desequilibrados, en el capítulo 9 y estabilidad transitoria, en el capítulo 10 dellibro de FERMÍN BARRERO.




el circuito equivalente frente al fenómeno transitorio es un circuito R-L, como cuando elcortocircuito es próximo al generador [8.3], explicando el modelo equivalente del generador en dichas condiciones, los efectos transitorios y subtransitorios que tienen lugar en él y lascorrientes que produce.

Es importante conocer el funcionamiento del generador tanto en estado normal(régimen permanente) como en estado perturbado, y tener claros los conceptos de reactanciatransitoria, X’d, y de reactancia subtransitoria, X”d, del generador frente al de la reactanciasíncrona, Xs.

Aunque los cortocircuitos trifásicos son los que ocurren en un menor número deocasiones (menos del 5%), son sin embargo los que dan lugar a las intensidades mayores y,

por lo tanto, son los que definen las características y especificaciones de las protecciones(principalmente de los interruptores) del sistema eléctrico. En el apartado [8.4] del libro sedescribe el circuito equivalente del sistema en su conjunto en condiciones de cortocircuito

incluyendo los equivalentes de las cargas significativas.

Por último, se dan los métodos de cálculo de las corrientes que caracterizan elcortocircuito y se define el concepto de la potencia de cortocircuito de un punto cualquiera dela red, Scc y se explica cómo se utilizan esos valores calculados para la elección de losinterruptores que deben proteger el sistema ante este tipo de faltas [8.5].

Ejercicio 7.

A una red trifásica de valores nominales de potencia y tensión 10 MVA y 15 kVrespectivamente y potencia de cortocircuito 300 MVA, se conectan, a través de una línea, doscargas en paralelo. Una de ellas es un motor de 1500 kVA a 15 kV a plena carga, con un f.d.pde 0,8 inductivo y reactancia subtransitoria del 20%. La otra carga es un horno, puramenteresistivo, de 500 kVA a 15 kV. La línea que conecta el generador de la red con los doscircuitos tiene una reactancia equivalente del 1% sobre la base de los valores nominales de lared y resistencia despreciable.

a) Si se produce un cortocircuito simétrico en los bornes de alimentación del horno.¿Cuál es el módulo de la corriente de cortocircuito generada?

b) ¿Para qué corriente de cortocircuito debe dimensionarse el interruptor que proteja elcircuito del motor?

c) ¿Cuál es la tensión interna subtransitoria del generador previa al cortocircuito, enmódulo y argumento, y cuál es su reactancia subtransitoria?




Solución:

El circuito equivalente, por fase, del sistema propuesto en el enunciado antes del cortocircuitoes:

figura 1

a) En este caso el problema no se puede resolver a partir de la impedancia equivalente delcircuito después de producirse el cortocircuito (S1 cerrado), dado que no se conoce la

admitancia subtransitoria del generador.

Pero podemos determinar la corriente de cortocircuito total en la rama del circuito dondeestá conectado el horno, a partir de la correspondiente corriente de cortocircuito quesuministra la red y el motor. Si suponemos que la potencia de cortocircuito de la red estáreferida al punto de conexión de las cargas y que en dicho punto la tensión es 15 kV,tendremos que el circuito equivalente será:

figura2

E '' g

X '' g

X L

E '' M

X ' 'M

HS 1S 2U g U F

I L

I M

E '' g

X '' g

X L

E '' M

X ''M

Ic c g

Ic c M

Ic c H




Para el generador, se tendrá:

y para el motor tenemos que antes del cortocircuito:

y después del cortocircuito:

por tanto la corriente total de cortocircuito en la rama del horno es:

b) Si el cortocircuito se produce en la rama del motor (S2 cerrado), la corriente decortocircuito en la entrada de dicha rama será únicamente la proporcionada por la red,dado que el horno no contribuye a la corriente de cortocircuito al ser carga resistiva y la

corriente del motor se deriva a tierra aguas abajo de la protección de la rama.

c) Para determinar los valores de la tensión y admitancia subtransitorias en la red debemosconsiderar las relaciones entre estas y las corrientes, antes y después del cortocircuito.

Antes del cortocircuito (figura 1)

AU

S I

F

ccg

ccg 1154710.15.3

10.300

.3 3

6

===

ccM ccgccH I I I +=

A I I e

S

U

u p X X donde

jX I U E

M M

Mnom

Mnom M M

M M F M

87,363

387,36*

6

622''''

''''

73,5710.15.3

10.1500

3010.5,1

10.15

2,0).(

.

−∠∠ =⇒=

Ω===

−=

6,9587,36

3

''''

''

7,4674,46518,4673,5730

10.15−∠−∠ =−−=−=−== j

j I

jX

U

jX

E I M

M

F

M

M

ccM

kA A I I I ccM ccgccH 127,12014 ≅=+=

kA A I I ccgccM 5,1111547 ≅==




Después del cortocircuito (figura 2)

Pero como se ha calculado anteriormente IL es muy inferior a Iccg, con lo que podríamosdespreciarla en esta última expresión, de manera que:

Por tanto ahora podemos obtener E’’g

Ejercicio 8.

El sistema de la figura consta de un generador de 27 MVA y 15 kV con Xd’’=15%, que seconecta a través de un transformador, de características nominales 27 MVA y 15/7,5 kV yreactancia de dispersión del 10%, a un nudo de carga que alimenta dos motores iguales, M1 yM2 y a dos cargas resistivas iguales, C1 y C2. La reactancia subtransitoria Xd’’ de cada motor es del 20% sobre una base de 3000 kVA y 7,5 kV. Las cargas resistivas son de 6000 kVA y7,5 kV.

Determinar:

d) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir en los bornes de cada una de las

cargas resistivas (Icc nominal de I3 e I4).e) Lo mismo para cada uno de los motores (Icc nominal de I1 e I2).

9,273

3

87,36

6

622

''''

7464,3445,6510.15.3

10.50073,57

225,010.10

10.1501,0).(

)(.

−∠−∠ =−=+=+=

Ω===

++=

j I I I e

S

U u p X X donde

X X j I U E

H M L

gnom

gnom

L L

Lg LF g

L

Lg

F

Lg

g

ccg Lgccgg I X X j

U

X X j

E I X X j I E +

+=

+=⇒+=

)()()(.

''''

''''''

%8,4.048,05,22

075,1).(

5,22

10.10

10.15

075,1025,03,13,1

30,111547

10.15

''

6

62

''

3''

⇒==

Ω==

Ω=−=−=

Ω===+

u pu p X

Z Si

X X

I

U X X

g

gbase

Lg

ccg

F

Lg

A j j j X X j I U E Lg LF g 3,03'''' 1504585150453,1).64,3445,65(10.15)(. ∠=+=−+=++=




f) Tensión interna subtransitoria en los motores inmediatamente antes de producirse elcortocircuito, si estos funcionan a la potencia y tensión nominal con un f.d.p de 0,8inductivo.

Solución:

El circuito propuesto, antes de producirse el cortocircuito (S1 y S2 abiertos), puederepresentarse, en valores por unidad, mediante:

E''g

X''g

XT

E''M1

X''M1

E''M2

X''M2

R1 R2S1

S2UG UF

IL

IM




a) Al cerrarse S1, la corriente de cortocircuito se obtiene aplicando el método de la Zth

equivalente descrito en el capítulo 10.2 del libro de Grainger y Stevenson. El circuitoequivalente en condiciones de cortocircuito es:

La corriente de cortocircuito resultante se obtiene de:

01∠=F U

X''g XT

X''M

X''M

u p X u p X u p X

A I kV U

A I kV U

VAS

M T g

B B

B B

B

.8,13

27.2,0.1,0.15,0

5,207810.5,7.3

10.275,7

103910.15.3

10.2715

10.27

''''

3

6

22

3

6

11

6

====

===

===

=

( )

kA A I I

u p j j Z

U I I

u p j Z jX X X j Z

cccc

th

F cccc

th M T gth

1110621

.11,519,0

1

.19,0211

34

34

''''

≅==

−====

=++

=




b) En este segundo caso, cuando el cortocircuito se produce en bornes de uno de los motores,el circuito equivalente es análogo, pero eliminando una de las admitancias de motor, dado que

por la protección de la rama de dicho motor (I1 o I2) circularía la corriente de todo el sistema,salvo la producida por el propio motor, que se derivaría a tierra aguas abajo de la protección

(ver la figura primera). Luego:

También se podrían haber resuelto los apartados a) y b), directamente, a partir del circuitoequivalente de la figura 1 y después de cerrar el interruptor S1, que simula el cortocircuito enla resistencia R 2. Con ello y dado que los motores son iguales, el circuito queda como sigue.

figura 3

Partiendo de la figura 1, tenemos que:

kA A I I

u p j j

I I

u p j Z j j Z

cccc

cccc

th

th

5,99353

.5,422,0

1

.22,08,1

1

25,0

11

34

34

≅==

−===

=+=

E''g

X''g

XT

E''M

X''M1 X''M2

S2

Igcc

IMcc

Icc




y de la figura 3 se obtiene:

Que no coincide exactamente con la expresión que se utilizó en el apartado a) y que se derivade la aplicación del método de la impedancia equivalente.

Como se ha podido demostrar, dicho método no es exacto, dado que la corriente decortocircuito depende de la corriente de las cargas del circuito que no intervienen una vez

producido el cortocircuito.

Pero si comparamos la magnitud de la corriente de cortocircuito obtenida de la impedanciaequivalente y la de la corriente de las cargas, se verificará que esta última es muy inferior a la

primera, con lo que es en general aceptable que la corriente de las cargas se desprecie,máxime si se tiene en cuenta que para seleccionar un interruptor que proteja contra los

cortocircuitos, los calibres de corriente normalizados de estos interruptores obligan a elegir uno de corriente de cortocircuito sensiblemente superior a la calculada.

( )T g LF g

M M F M

R M L

T LGF

X X j I U E

jX I U E

I I I

jX I U U

++=

−=+=

−=

''''

''''''22

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )

( )

( )

R

th

F cc

th

M

T g

T g M RT g M

F

cc

M

T g

T g M M F

M

T g R M F

cc

M

M M F

T g

T g LF

M

M

T g

ggcc Mcccc

I Z

U I

comoresar puedeseanterior fórmulala figuralade Z laconlacomparando

jX X X j

X X j jX I X X X

jU

I

jX X X j

X X j jX I U jX

X X j I I U

I

jX jX I U

X X j X X j I U

jX E

X X j E I I I

2

exp,22

2

2

222

2

)(

2

)(

''''

''''''''

''''

''''''

''

''

''

''

''

''

''

''

''

''''

+=

+

++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=

+

+−++++=

−++ ++=++=+=




En el caso del circuito considerado, se puede comprobar que 2IR es 924 A frente a los casi11000 A de la corriente obtenida en a).

c) La tensión subtransitoria en los motores antes de producirse el cortocircuito, cuando estosfuncionan a plena carga con factor de potencia 0,8 inductivo, se obtiene a partir del circuito dela figura 1, por:

Ejercicio 9.

El sistema trifásico de la figura consta de los siguientes elementos:

• Generador G1 100 MVA, 15 kV, Xg1’’= 0,2 p.u• Generador G2 80 MVA, 12 kV, Xg2’’= 0,18 p.u• Línea L1 impedancia 10 + j 50 Ω/fase• Línea L2 impedancia 20 + j 60 Ω/fase• Transformador T1, 80 MVA, 15/165 kV, XT1=0,1 p.u• Transformador T2, 60 MVA, 165/12 kV, XT2=0,1 p.u• Carga M1, Motor (P cte) de 10 MVA a 165 kV y fdp=0,8 inductivo, XM’’= 0,25 p.u• Carga C2, Z cte, 40 MVA a 165 kV, fdp = 0,95 capacitivo

kV jkV kV E

u p ju p E

I I

u pkVASinductivoes fpd elSi

I U S

y jX I U E

M

M

M M

M

M F M

M M F M

)2,16,6(67,689,0.5,7

.)16,088,0(.89,08,1.111,01

111,0111,01

111,0

.111,030008,0

3,103,10''

3,10908,360''

8,368,360

8,36*

8,368,36

*

''''

−===

−==−=

=⇒==

==⇒

=

−=

−∠−∠

−∠∠−∠∠

−∠∠

∠

∠

∠∠




Determinar:

a) Esquema del sistema, por fase, previo al cortocircuito, indicando las impedancias en

valores por unidad, tomando como base 100 MVA y 15 kV y sin determinar, en esteapartado, las tensiones internas subtransitorias de generadores y motor. b) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir por el protector P1 de la línea que

conecta el motor cuando se produce un cortocircuito trifásico en sus bornes, estandoalimentado a una tensión de 165 kV.

c) La corriente de cortocircuito simétrica a interrumpir por el protector P2 de la línea queconecta la carga a impedancia constante (C2) cuando se produce un cortocircuitotrifásico en sus bornes, estando alimentada a una tensión de 165 kV.

Solución

a) En primer lugar se determinan los valores base de los distintos tramos del sistema.

SB= 100 MVA

Tramo 1

u pU

U

S

S X X

basedecambiou p X

AU

S I

S

U Z

kV U

Bnueva

Banterior

Banterior

Bnueva Anterior CCT NuevaCCT

G

B

B B

B

B B

B

.125,015

15.80

100.1,0..

sin.2,0

385010.15.3

10.100

3

25,210.100

10.15

15

2

2

2

2

11

''1

3

6

1

1

6

6221

1

1

===

=

===

Ω===

=

Tramo 2




u p X

puS

MVAScteP M

j j

pu Z

S

U Z MVA MVAarcScte Z C

j j

pu L

j j

pu L

u p X

A I

Z

kV U

U U U

Nueva M

M

M

C

C

C C C

NuevaCCT

B

B

T

T B B

.5,2

165

165

10

10025,0

87,361,0100

87,3610

87,3610)(

2,185,278,0375,225,272

6,21256,646

2,1810.4010.1652,184095,0cos40)(

65,71232,022,0073,025,272

6020

6,78188,0184,0037,025,272

5010

.1666,0165

165.

60

100.1,0

35010.165.3

10.100

25,272

10.100

10.165

16515

16515

2

2''

2

00

1

011

02

02

22

*2

222

022

02

01

2

2

2

3

6

2

6

62

2

11

1212

==

∠=∠=

∠=⇒

−∠=−=−

=

∠==⇒−∠=−∠=⇒

∠=+=+=

∠=+=+=

==

==

Ω==

===

Tramo 3

u p X

AU

S I

S

U Z

kV U

NuevaG

B

B B

B

B B

B

.225,012

12.

80

100.15,0

481110.12.3

10.100

3

44,110.100

10.12

12165

12165

2

2''

3

6

1

1

6

6221

1

1

2==

===

Ω===

==

Por tanto, el esquema del sistema por fase en valores por unidad es




j 0,125 j 0,16

2,375-j 0,78

j 0,2

0,037+j 0,184 0,073+j 0,22

j 0,225

j 2,5

M1

S1

S2

b) Al cerrar el interruptor S1, el circuito equivalente Thevenin en el protector P1 es

j 0,125 j 0,16

j 0,2

0,037+j 0,184 0,073+j 0,22

j 0,225

A

B

En donde no se ha incluido la rama del motor dado que, aunque el motor contribuye a lacorriente que circula por el cortocircuito en los bornes del motor, por el protector P1 de lalínea del motor no pasa la corriente que este aporta al cortocircuito, al drenarse esta aguasabajo del protector. La ZTh se determina como

º6,84278,0

225,016,022,0073,0

1

2,0125,0184,0037,0

11

∠=

++++

+++=

Th

Th

Z

j j j j j j Z

Como la tensión antes del cortocircuito es conocida, la corriente de cortocircuito se determina por

L

Th

B A B A

i Z

U i += −−

''




Donde iL=iC2+iM1 es la corriente del sistema antes del cortocircuito

º2,771260º2,776,387,361,0º2,184,0º6,84278,0

º01

87,3635.87,361,0

..87,361,0

º2,18140.º2,184,0

º01.2,184,02,1840.

0''

001

*11

01

2

12

00* 222

−∠=−∠=−∠+∠+∠

∠=

−∠=−∠=

=∠=

∠=∠=

∠==−∠=−∠==

− B A

M

M M M

C

M C

C C C

i

Au pi

iU u pS

Au pi

U U

u p MVAiU S

c) El circuito ahora incluye la rama del motor, dado que la corriente generada por el motor encondiciones de cortocircuito contribuye a la corriente que circula por P2

j 0,125 j 0,16

j 0,2

0,037+j 0,184 0,073+j 0,22

j 0,225

A

B

j 2,5

º14,8525,0

5,2

1

225,016,022,0073,0

1

2,0125,0184,0037,0

11

∠=

++++

++++

=

Th

Th

Z

j j j j j j j Z

Ahora la corriente de cortocircuito será la obtenida con la ZTh mas la previa al cortocircuitoque circula por P2

Ai Z

U i C

Th

B A B A º7,795,1375º7,7993,3º2,184,0

º14,8525,0

º012

'' −∠=−∠=∠+∠

∠=+= −−




UNIDAD DIDÁCTICA 3. Funcionamiento del sistema eléctrico perturbadodesequilibrado.

TEMA 5. Funcionamiento del sistema eléctrico perturbado desequilibrado:componentes simétricas y cortocircuitos desequilibrados [capítulo 9].

En esta tercera Unidad Didáctica se analizan las situaciones de cortocircuito desequilibrado(fase-fase, fase-tierra, etc.), que son los más frecuentes en los sistemas eléctricos de potencia.A tal fin se estudia primeramente el método de componentes simétricas, y posteriormente suaplicación al análisis de cortocircuitos desequilibrados.

5.1. Componentes simétricas.

Este método permite la representación de un sistema trifásico de corrientes (o tensiones)desequilibradas mediante tres conjuntos de corrientes (o tensiones) equilibradas denominadascomponentes simétricas.

Se estudia en primer lugar la transformación de un sistema trifásico a un sistema decomponentes simétricas de manera general [9.2]. También see estudian los modelos de loselementos (generadores, líneas, transformadores) para las tres secuencias [9.3].

5.2. Análisis de cortocircuitos desequilibrados.

En primer lugar se estudia el problema de los cortocircuitos desequilibrados, de maneragenérica [9.4].

Se estudian de manera específica las conexiones de las redes de secuencia para los distintostipos de fallo desequilibrado (incluyendo el ya visto, cortocircuito trifásico): fallo fase-tierra,fallo fase-fase y fase-fase-tierra [9.5].

Finalmente, el procedimiento general de cálculo se recoge, de manera sintetizada, en elapartado [9.6]. Son especialmente interesantes los ejemplos del apartado anterior, donde seresuelve un sistema sencillo.

... Y con esto acaba el programa de la asignatura “Análisis de Sistemas Eléctricos”.

Ejercicios de Por Unidad

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