SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCGNITAS En esta gua se abordarn los Sistemas de Inecuaciones con dos Incgnitas. Su resolucin es una habilidad que te conviene adquirir ya que ser indispensable para resolver ejercicios de PROGRAMACIN LINEAL. La programacin lineal un sistema que sirve para optimizar recursos. Ya fue utilizado con xitos en el bloque de la URSS a Berln y mucho antes para conseguir un mayor engorde del ganado con el menor alimento posible. Su desarrollo real comenz en 1947 cuando G.B. Dantzing formul un sistema denominado mtodo smplex para la resolucin de estos problemas. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas puedes dar los siguientes pasos:1. Representa grficamente las inecuaciones como si fuesen rectas. 2. Seala (pinta) el semiplano respuesta segn aparazca el signo menor o mayor en la inecuacin. 3. La regin comn de todos los semiplanos es la regin respuesta. 4. Para determinar completamente la solucin, se calculan las coordenadas de los vrtices de esa regin.Importante: s meticuloso en la representacin. A continuacin se te muestra un ejemplo. .

Ejercicios propuestos

2)

3)

4) 5) Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones12x + y = 3x = 0; 2 0 + y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; 2 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

2x + y 32 0 + 0 3 0 3 S

x + y = 1x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1) x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0);x + y 1 0 + 0 1 No

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones2Resolver los sistemas:

x = 4y = 2

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones32x + y = 0 (0, 0) (1, -1)2 + 2 0

2x y = 0 (0, 0) (1, 2)2 2 2 0

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones4

x + y = 0 (0, 0) (1, -1)2 + 2 0

2x y = 0 (0, 0) (1, 2)2 2 2 0

2 6

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones5

[1, 3]

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones6

(3, )

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones7

No tiene solucin.

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones8

(x +1) 10 + x 6 (2x + 1) 10x + 10 + x 12 x + 610 x + x - 12x 6 - 10x 4 x 4

[4, 7)

Principio del formularioFinal del formulario

EJERCICIOS DE PROGRAMACIN LINEAL1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?Solucin Es un problema de programacin lineal.Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo Binversinrendimiento

Tipo A x0,1x

Tipo By0,08y

210000 0,1x+0,08yCondiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4xyxyxyxy

0210000130000006000000

210000013000065000

La regin factible es la pintada de amarillo, de vrtices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)La funcin objetivo es;F(x, y)= 0,1x+0,08ySi dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin ptima.Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D)2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?Solucin En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:TipoNBizcochoRellenoBeneficio

T. Vienesax1.x0,250x250x

T. Realy1.y0,500y400y

15050

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin factible: Para 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200xY

0100

2000

Para x + y =150xY

0150

1500

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La regin factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vrtices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restriccin yes redundante (es decir sobra)Resolviendo el sistema: , por reduccin obtenemos y=50, x=100Otro vrtice es el punto C(100, 50)Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25)Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200xY

00

200-125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice mas alejado (el ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrticesLa uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vrtices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000El mximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusin: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 3. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela. Solucin Es un problema de programacin lineal, en este caso lo que queremos es hacer mnima la funcin objetivo.Llamamos x al n de autocares de 40 plazas e y al n de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x , yComo slo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:40x +50y , que simplificada quedara 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la regin factible (conjunto de puntos solucin donde se cumplen todas las condiciones) son

La funcin objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4xyxyxyxy

800100908

09100

As como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la regin factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vrtices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este ltimo es el punto de interseccin de las rectas r3 y r4 por reduccin restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1 ecuacin, y =4Resolviendo grficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solucin del problema. La solucin ptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vrtices y que este es el que da menor valor (mtodo analtico).4. Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo?.Solucin Organizamos los datos en una tabla:dasAlta calidadCalidad mediaBaja calidadCoste diario

Mina Ax1x3x5x2000x

Mina By2y2y2y2000y

80160200

La funcin objetivo C(x, y)=2000x + 2000yLas restricciones son: La regin factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r35x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la regin no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vrtices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estn dentro de la regin factible). r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)r2 r3 que nos da el punto (20, 50)r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la regin factible.En la grfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solucin es trabajar 40 das en la mina A y 20 en la B. (mtodo grfico)Lo comprobamos aplicando el mtodo analtico: C(0, 100)=2000.100=200000C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mnimoC(80, 0)= 2000.80 =1600005. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este? Sea x = n electricistasy = n mecnicos La funcin objetivo f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La regin factible sera para estas restricciones:

Se aprecia grficamente (lnea en rojo) que la solucin ptima est en el punto (20, 20).Por tanto: 20 electricistas y 20 mecnicos dan el mximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=90006. Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas.SolucinSea x el n que se ofertan de tipo T, y el n que se ofertan de tipo P.nGanancia

Turistax30x

Primeray40y

Total 500030x +40y

La funcin objetivo es: f(x, y)=30x +40yLas restricciones:La regin factible:

Los vrtices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)El mtodo grfico nos da que el punto solucin es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el mtodo analtico (sustituyendo los puntos vrtices en f y viendo q el mximo valor se obtiene en B)

PROBLEMA DEL TRANSPORTE

La formulacin general de este problema es: Un cierto producto se elabora en varios centros, n, y en su produccin intervienen los productos a1,a2,...,as. Este producto debe ser enviado a m destinos cuyo coste por envo desde cada planta a cada destino son conocidos. Adems se deben enviar en cantidades b1,b2,...,bs. El objetivo es minimizar el coste total del transporte.

Ejercicio1: Una fbrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y 45 respectivamente. El coste del transporte por jamn en euros se ve en la tabla siguiente:MNO

A568

B742

Averigua cuntos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacer mnimo el gasto en transporte.Solucin:En primer lugar debemos plantear el problema: sean x e y los jamones que salen del secadero A para las tiendas de M y N, en la tabla siguiente mostramos la distribucin:MNO

Axy50-x-y

B35-x50-y45-(60-x-y)

Como todas estas condiciones deben ser positivas se deduce que las restricciones del problema son:

Simplificando queda:

La funcin coste se obtiene multiplicando los elementos de la tabla de coste por los de la tabla de distribucin y simplificando queda C(x,y)=815-8x-8y.

2. PROBLEMA DE LA DIETA

La formulacin general de este problema es: Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse n elementos nutritivos bsicos en cantidades mnimas b1, b2,..., bs. Estos elementos se encuentran en m alimentos. Conocemos cul es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta pero cubriendo las necesidades nutritivas mnimas.

Ejercicio 2: En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.40 euros y contiene 1, 3, y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide:a) Plantear un problema de programacin lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mnimo.b) Resolver el problemaSolucin:Organizamos los datos en una tabla de doble entradaCantidad de alimentoN1N2N3Precio

Ax2xxxx

Byy3y2y2.40y

465

El gasto a minimizar es G(x,y)=x+2.40y y las restricciones sern:

Problemas propuestos de programacin lineal1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodn y 1 m de polister. El precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 . Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una venta mxima?2Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio.3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeracin y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilmetro de un camin del tipo A es de 30 y el B de 40 . Cuntos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mnimo?4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo?5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el mximo beneficio?6Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 7Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo? 8Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela.