DDEERRIIVVAADDAASS

La derivada de una función y = f(x) con respecto a x se define por el límite:

f’(x) = x

f(x) - x) f(x xy

dxdy límlím

0x0x ΔΔ+

=ΔΔ

=→Δ→Δ

FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN

u,v : funciones de x a, c : constantes

dxdc = 0 ( )

dxdu ·

ue log u log

dxd

=

dxdx = 1 ( )

dxdu · aln · a a

dxd uu =

( )dxdv

dxdu vu

dxd

±=± ( )dxdu · e e

dxd uu =

( )dxdu · c u · c

dxd

=

( )dx

u ·u ln dx

u v udx

v1 - vv +=dvdud

( )dxdu · v

dxdv ·u v·u

dxd

+= ( )dxduu cos u sen

dxd

=

( )dxdu nu u

dxd 1 -n n = ( )

dxduu sen - u cos

dxd

=

2vdxdvu -

dxduv

vu

dxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ( )

dxduu sec utan

dxd 2=

( )dxdu ·

dudy y

dxd

= ( )dxduu cosec- u ancot

dxd 2=

dydx1

dxdy

= ( )dxduu u tan sec u sec

dxd

=

( )dxdu ·

u1 u ln

dxd

=

( )dx

u cotan u cosec- u cosecdx

=dud

220073-1

ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDEERRIIVVAADDAASS 1. Derive las siguientes funciones, usando las propiedades de

derivación: a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3

b) f(x) = ax2 – bx + c

c) y = a

5x- 3

d) f(x) = 2x2 - x3

e) y = 4x - 5x3

f) f(x) = x2 3 2x

g) y = b x

a+

h) f(x) = 3 -5x 4 3x +

i) y = x- 1x

j) f(x) = 1 x

x+

k) y = 5sen x + 3cos x l) f(x) = tan x – cot x m) y = 2x sen x

n) f(x) = xsec xcos

o) y = ex cos x

p) f(x) = xcos -sen x xcos sen x +

q) y = ln (x + 5) r) f(x) = (x2 – 5x) ln(x –5)

s) y = 2ln xe

2

x

+

t) f(x) = 2 -x 1 x ln +

2. Aplicando los teoremas de derivación, obtenga la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = ax + xb p) y = esenx

b) f(x) = 3 2x

1+

q) y = ecosx · senx

c) f(x) = x2 (x3 – 1) r) y = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ x - x e

e d) f(x) = (x3 – 3x)4 s) y = ln ex

e) f(x) = 1 - x1 2x

2

+ t) y = xe

ln x

f) f(x) = 2

1 -x a x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

u) y = ln (4 – 3x)

g) f(x) = 2 x 1 x- 1

+ v) y = x3 · ln x

h) y = x · sen x w) y = x

ln x

i) y = x

sen x x) y = ( )1 x x ln 2 ++

j) y = 2x cos 2 + y) y = 1 x

xln 2 +

UDLA-2007-10 1

220073-1

k) y = xcos 1

sen x - 1+

z) y = xx

l) y = x · e –x aa) y = xsen x

m) y = sen 2x · e –x bb) y = (sen x)x

n) y = 1 e1 - e

x

x

+ cc) y = (ex)x

o) y = ex(1 – x2) 3. Evaluar las derivadas de las siguientes funciones en el valor

indicado:

a) f(x) = 2x3 – 5x en x = 0

b) y = x1 - x4 en x =

41

c) f(x) = 3 5x 4 3x

++

en x = -1

d) s(t) = 4t – 16t2 en t = 1

e) y = 2ex x en x = 1 f) y = 2x en x = 0

4. EJERCICIOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICA

Para cada una de las siguientes funciones, obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva f(x), en cada uno de los tres puntos que se indican.

a) f(x) = 4 en: x0 = -3, x0 = 0, x0 = 1

b) f(x) = x2 – 4 en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2

c)

f(x) = x2

en: x0 = -1, x0 = 1, x0 = 2

d) f(x) = x3 – x en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 1

e) f(x) = ex en: x0 = -2, x0 = 0, x0 = 1

f) f(x) = e -x en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 1 5. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a

cada una de las siguientes curvas, en los puntos indicados. En cada caso, grafique la curva y la tangente.

a) y = x2 en (2,4)

b) y = x en x0 = 4 c) y = 4x – x2 en (2,4) 6. En cada uno de los siguientes casos, encuentre el punto de

intersección entre ambas curvas; y el ángulo formado por las tangentes a las curvas en dicho punto.

a) y = x2 y = 2 – x2

b) f(x) = sen x g(x) = cos x c) y = ln (x + 1) y = ln (5 – x) NOTA: El ángulo α entre dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2 está dado por la relación:

tan α = 21

12

m ·m 1m - m

+ ( m1 · m2 ≠ -1 )

UDLA-2007-10 2

220073-1

SSOOLLUUCCIIOONNEESS ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDEERRIIVVAADDAASS 1.

a) 2x12x5'y 24 +−=b) bax2)x('f −=

c) 2xa

15'y −=

d) 2x2

3)x`(f −=

e) 6x154'y +=

f) 35

x38)x('f =

g) 23

x2a'y

−−=

h) 2)3x5(

29)x('f−

−=

i) 2)x1(x2

x1'y−

+=

j) 1x

)1x(2x1x

)x('f23

+

+−+=

−

k) xsen3xcos5'y −=

l) xeccosxsec)x('f 22 +=m) xcosx2xsen2'y +=

n) xsec

xtgxsecxsecxsen)x('f 2⋅−⋅−

=

o) )xsenx(cose'y x −=

p) 2)xcosx(senxcosxsen4)x('f

−⋅

−=

q) 5x

1'y+

=

r) 5x5x2)5xln()5x2()x('f

−−

+−⋅−=

s) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 32

x

x2

x1e'y

t) )2x(2

1)1x(2

1)x('f−

−+

=

UDLA-2007-10 3

220073-1

2.-

a) f x a bx

' ( ) = − 2

b) ( )

f xx

' ( ) = −+

1

2 3 3

c) f x x x' ( ) = −5 24

d) ( )f x x x x' ( ) ( )= − −12 3 13 3 2

e) ( )( )

f xx x

x

' ( ) = −+ +

−

2 1

1

2

2 2

f) ( )( )

f xx

x' ( ) = −

+

−

4 1

1 3

g)

( )( )f x x x

x x

' ( ) = −− −

− +

2

2 3

2 1

2 1 1

h) y' = sen( x )+ x cos( x )

i) y x x xx

' cos( ) sen( )=

−2

j) y xx

' sen( )cos( )

=+

22 2

k) ( )

y x x

x' sen( ) cos( )

cos( )=

− −

+

1

1 2

l) y e xx' ( )= −− 1

m) y e x xx' ( cos( ) sen( ))= −− 2 2 2

n)

( )y e

e

x

x' =

+

2

12

o) y e x xx' ( )= − −1 2 2

p) y x e x' scos( )= ⋅ en( )

q) y e x xx' cos( ) (cos( ) sen ( ))= − 2

r) ( )y e ex x ex' = − ⋅ −1

s) y' = 1

t) y x xx ex

' ln=

−

⋅

1

u) yx

' =−3

3 4

v) y x x' ( ln= +2 1 3 )

w) y xx

' ln=

−12

x) yx

' =+

1

12

y) yx x

'

( )=

⋅ +

112

z) y x xx' ( ln= +1 )

aa) y x xx

x xx' sen( ) sen( ) cos( ) ln= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

bb) y x x xx

xx' sen( ) cos( )sen( )

ln(sen )=⋅

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cc) y x ex' = ⋅22

4

220073-1

4.- a) T: y = 4, en x = -3, x = 0 y x = 1 c) T: y = -2x - 4 en x = -1

T: y = -2x + 4 en x = 1

T: y = −x2+ 2 en x = 2

e) T: , en x = -2 y e x e= ⋅ + ⋅−2 3 −2

T: y = x + 1, en x = 0 T: y = ex

5