UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRACTICA N° 1

ASIGNATURA : Dinámica

TEMA : Cinemática rectilínea de partícula

1. La posición de una partícula a lo largo de una línea recta está dada por x=(1,5 t3−13,5 t 2+22,5 t) m, donde t está en segundos. Realice un análisis del movimiento y determine la posición, velocidad, aceleración y la distancia total que recorre durante el intervalo de 6 s.

La posición:x = 1.5 t3−13.5 t2+22.5t m.Sabemos que la velocidad es igual:

v=dxdt

v=4.5 t 2−27 t+22.5 m/s.

Y la aceleración es igual:

a=dvdt

a=9 t−27 m/s2.

t x v a

0 0 22.5 -27

1 10.5 0 -18

2 3 -13.5 -9

3 -13.5 -18 0

4 -30 -13.5 9

5 -37.5 0 18

6 -27 22.5 27

Distancia total: v=0 en esos puntos habrá cambio de dirección

v=4.5 t 2−27 t+22.5=0

x1 , x2 = −b±√b2−4 ac2a

x1 , x2 = 27±√272−4∗4.5∗22.52∗4.5

= 5;1

Entonces la distancia es igual: |x (1 )−x (0)|+|x (5 )−x (1)|+|x (6 )−x (5)|=

10.5+|−37.5−10.5|+|−27+37.5|=¿ 10.5+48+10.5=69m.la distanciatotal recorrida esde69m.

2.1.- El movimiento de una partícula está definido por la ecuación x = t3 − 10 t2 − 20 t −1 x en metros y t en segundos. En el intervalo de tiempo entre t= 0 s y t = 12 s, determina :

a) posición, velocidad y aceleración b) desplazamiento c) distancia recorridad) representa las gráficas v-t y a-t

a)t(s) x(m) v(m/s) a(m/s2)

0 -1 -20 -201 -30 -37 -142 -73 -48 -83 -124 -53 -24 -177 -52 45 -226 -45 106 -265 -32 167 -288 -13 228 -289 12 289 -262 43 34

10 -201 80 4011 -100 123 4612 47 172 52

b) Desplazamiento:

∆ x=x '−x0

∆ x=47−(−1)

∆ x=48

c) Distancia recorrida:

Distancia desde t=0 hasta t=8 es igual a: -288 mDistancia desde t=8 hasta t=12 es igual a: 336 m

Distancia recorrida = 336 m – 288 m = 48 m

d) Gráfica de v-t:

Gráfica de a-t:

2.2.- Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta de modo que su aceleración se define como a=(-2v)m/s2 donde v está en m/s. Si v=20 m/s cuando x=0 y t=0, determine la posición y velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.

Solución:

Se sabe que:

Entonces:

0 2 4 6 8 10 12 14

-100

-50

0

50

100

150

200

v(m/s)

0 2 4 6 8 10 12 14

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

a(m/s2)

a=dvdt

dt=dva

∫0

t

dt=∫20

vdv

−2v

t=−12

[ ln ( v )− ln (20 )]

t=−12ln ( v

20)

v=20e−2 t

a=dvdt

a=−40e−2 t

dx=vdt

∫0

x

dx=∫0

t

20e−2 tdt

x=20(−12 )[e¿¿−2 t−1]¿x=−10e−2 t+10

3.1- La aceleración de una partícula a medida que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por a=(2t−1) m/s2 donde t está en segundos. Si x=1 m y v=2 m/s cuando t=0, determine la velocidad y posición de la partícula cuando t=6s. También, determinar la distancia total que la partícula recorre durante este intervalo.

Solución:

a= (2t-1)Si:x=1 m; v=2 m/s; t=0 s;Como sabemos la aceleración es igual a:

a=dvdt

Integrando en cada lado:

∫0

t

adt=∫2

v

dv

∫0

t

(2 t−1)dt=∫2

v

dv

(t ¿¿2−t) t0¿= v-2

(t ¿¿2−t)¿= v-2→ v=(t ¿¿2−t )+2m/ s¿………………… (1)Determinar la velocidad cuando t=6s. Reemplazando en (1)v= (6*6)-6+2= 32m/s.Hallando la posición con respecto del tiempo:

v=dxdt

;

∫0

t

vdt=∫2

x

dx

∫0

t

(t¿¿2−t+2)dt ¿=∫1

x

dx

( t33− t2

2+2 t) t0=x−1

→ x¿ t3

3− t

2

2+2t+1m.…………(2)

Determinar la posición cuando t=6s. Reemplazando en (2)

x= 63

3−6

2

2+2∗6+1=67m.

La distancia total recorrida es:V=0

v=(t ¿¿2−t )+2=0¿

x1 , x2 = −b±√b2−4 ac2a

x1 , x2 = 1±√12−4∗1∗22∗1

=¿sale con imaginario y pues esos valores no los

tomaremos.

Por lo tanto:

La distancia es igual = |x (6 )−x (0 )|=67−1=66m .la distancia total recorrida es de 66m.

3.2-Una partícula sale del reposo y viaja a lo largo de una línea recta con una aceleración a=(30−0,2v ) m/s2, donde v esta m/s. Determine el tiempo en que la velocidad de la partícula es v=30 m/s.

Solución:

Parte del reposo por lo tanto:

X=0m.; v=0m/s;

a= (30-0.2v) m/s2;Determine el tiempo en que la velocidad de la partícula es v=30 m/s.

a=dvdt

=dvdx

*dxdt

=dvdx

∗v

∫0

x

dx=∫0

vdv∗va

x= ∫0

vv∗dv

30−0.2vCambio de variable

a=30-0.2*v → v=(30-a)/0.2da=-0.2dv → dv= -da/0.2

Reemplazando:

x= ∫❑

❑ −(30−a)∗da0.2∗a∗0.2

x=10.04

(∫da−∫ 30a da)

x=10.04

(a−30∗ln (a ))

x=10.04

(30−0.2∗v−30∗ln (30−0.2∗v ))v0

x=10.04

[ (30−0.2∗v−30∗ln (30−0.2∗v ) )−(30−30∗ln 30)]

x=10.04

[ (30−0.2∗v−30∗ln (30−0.2∗v ) )−(−72.036)]

Reemplazando el v=30 m/s

x=10.04

[ (30−0.2∗30−30∗ln (30−0.2∗30 ) )−(−72.036)]

x=10.04

[ (30−6−30∗ln (30−6 ) )−(−72.036)]

x=10.04

[ (30−6−95.342 )−(−72.036)] = 10.04

[0.694 ]=17.35m .

Entonces:

E=v*t

17.35=30*t

Despejando tiempo:

T=0.578 s

En una velocidad de 30m/s el tiempo será de 0.578s.

4. La aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una línea recta es a=(8−2 x) m/s2, donde x está en metros. Si v=0 cuando x=0, determine la velocidad de la partícula cuando x=2 m y su posición cuando la velocidad es máxima.

DATOS:X=0 V=0X=2 V=? Vmax X=0

RESOLVIENDO:

ads=vdv∫0

X

(8−2 x )dx=∫0

V

vdv (8 x−x2 ) x0=( v22 )v0

8 x−x2= v2

2v=√16 x−2 X2

DETERMINANDO EL VALOR DE V=?. PARA CUANDO X=2:

V=√16 (2 )−2 (2 )2=√24 = +-4.9

DETERMINE SU POSICION PARA Vmax.LA VELOCIDAD SERÁ MAXIMA CUANDO SU DERIVADA=0.

v=√16 x−2 X2v=16−4 X

2√16 x−2 X2=016−4 X=0 X=4

RESTRICCIONES DE LA ECUACION:

2√16 x−2 X2≠016 x−2 X2≠0X (16−2 X )≠0

X ≠0 , X ≠8

16 x−2 X2>00>X (2X−16 )0<X<8

X se encuentra dentro de los valores admitidos por la ecuación.entonces para Vmax X=4.

5.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=k (1−e−x ), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=+9 m/s cuando x=−3 m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b) la velocidad de la partícula cuando x=−2 m.

DATOS:

a=k (1−e−x )v=9ms,x=−3mv=0 m

s,x=0mk=? ;v=2

ms, x=−2m

RESOLVIENDO:a) Hallando la constante k:

ads=vdv∫−3

0

k (1−e−x )dx=∫9

0

vdvk (x+e− x) 0−3

=(v ) v0k (1−(−3+e3 ))=−9k (4−e3)=−9

k= −94−e3

b) Hallando la velocidad para x=-2.

∫−2

0

k (1−e−x )dx=∫v

0

vdvk (x+e− x) 0−2

=(−v )

k (1−(−2+e2 ))=−v

k (3+e2 )=−v v=9

4−e3(3+e2)

6.- Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se indica.Determina el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos últimos segundos antes de llegar al punto B.

DATOS:

AB=90m;Para t 1→xt 2→x=120mt 2−t 1=2

RESOLVIENDO:

v=dvdt, ∫x

120

dx=∫t1

t2

vdt120−x=v ( t 2−t 1 )Δ x=120−x=2 v…… ( I )x=120−2v…… (II )

DELA GRÁFICA :v2−225= −144

90 ( x−30 )…. (III )

REEMPLAZANDO…. ( II ) EN ( III )v2−28890v−81=0

v=−(−28890 )±√(−28890 )

2

−4 (1 ) (−81 )

2

v=3.2±18.282

v1=10.74… (← )v2=−7.5…. (X )

REEMPLAZANDO…. ( I )Δ x=2 (10.74 )=21.48

7.-La caja C está siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA = 4 m/s a lo largo de la guía. Determine la velocidad y la aceleración de la caja en el instante en que s = 1 m. Cuando el rodillo está en B la caja se apoya sobre el piso.

Velocidad: xc+√xa2+16=8

d xcdt

+2¿ xa∗dx adt

2∗√xa2+16=0

d xcdt

+2¿ xa∗4

2∗√xa2+16=0

d xcdt

=−xa∗4

√xa2+16

vc=−4∗xa

√ xa2+16

s=1→xa=xc=3→vc=−4∗3

√(3)2+16

vc=−2.4 ms2

Aceleración:

vc=−4∗xa

√ xa2+16

d vcdt

=

−4∗d xadt

∗√ xa2+16+4∗xa∗(

2∗xa2∗√ xa2+16

∗dxa

d t)

xa2+16

s=1→xa=3→ac=−4∗4∗5+ 4∗3∗3

5∗4

25

ac=−2.048 ms2