Sistemas de Control Automático

Ricardo Alejos

Ejercicio E10.2

Enunciado

Un sistema de control con retroalimentación unitaria

negativa tiene un proceso

( )

( )

Y se desea utilizar una compensación proporcional

integral donde

( )

Obsérvese que el error en estado estacionario de este

sistema para una entrada rampa es cero. (a) Hacer

y calcular un valor adecuado de para que

la respuesta de escalón tenga una sobreelongación de

aproximadamente . (b) ¿Cuál es el tiempo e

estabilización esperado del sistema compensado?

Solución

Inciso (a)

El requerimiento establece que se quiere un porcen-

taje de sobre-elongación del . Partiendo de la

definición del porcentaje de sobre-elongación :

√

Podemos obtener el coeficiente de amortiguamiento:

(

)

√ ( )

Sustituyendo , obtenemos un coeficiente

de amortiguamiento de .

El ángulo de elevación de la raíz deseada se puede

calcular mediante:

De modo que, al sustituir nuestro valor de obtene-

mos . Pero no olvidemos que este án-

gulo está medido desde la parte negativa del eje real

del plano , de modo que el argumento (ángulo) de

nuestra raíz es realmente .

Al hacer el controlador queda como sigue:

( )

( )

De tal forma que la ganancia de lazo abierto (consi-

derando que se trata de un sistema con retroalimen-

tación unitaria) es:

( ) ( ) (

) (

( ))

( ) ( )

Note entonces, que la función de transferencia a lazo

cerrado es:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Para encontrar la ganancia que cumpla con los

requerimientos, se ha utilizado el programa mostrado

en la tabla 1 (para MatLab), mismo que como des-

pliega una gráfica con la localización de los polos y

ceros para diferentes valores de en un rango de

a , mostrada en la figura 1.

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Figura 1. Lugar de raíces de ( ), los polos están marcados

con “x” y los ceros con “o”.

Tabla 1. Programa utilizado para auxiliar la resolución del

problema.

K=linspace(0.1,10,1000); %Vector

de ganancias. P=zeros(100,3); %Iniciali-

zar vector de polos Z=zeros(100,1); %Iniciali-

zar vector de ceros figure %Nuevo

gráfico hold %Congelar

gráfico para combinar resultados

for a=1:100 numG=[400*K(a) 400]; %Numerador

de la FT a lazo abierto denG=[1 40 0 0]; %Denomina-

dor de la FT a lazo abierto sysG=tf(numG,denG); %FT del

sistema a lazo abierto sys1=feedback(sysG,1); %Retroali-

mentar el sistema p=pole(sys1); z=zero(sys1); P(a,1)=p(1); P(a,2)=p(2); P(a,3)=p(3); Z(a,1)=z; end

%Gráfica del polo 1 plot(real(P((1),1)),

imag(P((1),1)),'x','MarkerSize',6,

'Color','red'); plot(real(P((2:100),1)),

imag(P((2:100),1)),'MarkerSize',6,

'Color','red');

%Gráfica del polo 2

plot(real(P((1),2)),

imag(P((1),2)),'x','MarkerSize',6,

'Color','blue'); plot(real(P((2:100),2)),

imag(P((2:100),2)),'MarkerSize',6,

'Color','blue');

%Gráfica del polo 3 plot(real(P((1),3)),

imag(P((1),3)),'x','MarkerSize',6,

'Color','black'); plot(real(P((2:100),3)),

imag(P((2:100),3)),'MarkerSize',6,

'Color','black');

%Gráfica del zero 1 plot(real(Z((1),1)),

imag(Z((1),1)),'o','MarkerSize',6,

'Color','green'); plot(real(Z((2:100),1)),

imag(Z((2:100),1)),'MarkerSize',6,

'Color','green');

xlabel('Re(s)'); ylabel('Im(s)'); title('Lugar de raíces para T(s) res-

pecto a la variación de K_p');

PA=angle(P); %Vector con

los ángulos de todos los polos

Hecho esto, podemos inspeccionar el contenido del

vector con los ángulos de los polos (PA), donde

podremos notar que el ángulo que buscamos ( ) se

cumple cuando .

Inciso (b)

Con el valor de ya calculado, la respuesta al esca-

lón unitario del sistema luce como se muestra en la

figura 2.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Re(s)

Im(s

)

Lugar de raíces para T(s) respecto a la variación de Kp

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Figura 2. Respuesta al escalón unitario del sistema compen-

sado con la ganancia .

Note que el sistema se estabiliza a un margen del

transcurrido aproximadamente un segundo.

Además si se hace un cálculo basado en el gráfico,

encontraremos que el porcentaje de sobre-elongación

real será aproximadamente del , esto se debe a

que la raíz que hemos encontrado no es estrictamen-

te dominante, sin embargo nos hemos aproximado

mucho al valor requerido.

Problema 10.6

Enunciado Una mesa estabilizada con rapidez de precisión usa

un tacómetro de precisión y un motor de cc con un

momento de torsión de transmisión directa como se

muestra en la figura P10.5. Se desea mantener una

alta precisión en el estado estacionario para el con-

trol de velocidad. Con el fin de obtener un error en

estado estacionario cero para un diseño de orden de

escalón, seleccionar un compensador con red de

adelanto. Seleccione las constantes de ganancia ade-

cuadas para que el sistema tenga una sobre-

elongación aproximadamente del y un tiempo

de asentamiento (con el criterio del ) que se en-

cuentre dentro del intervalo de a segundos.

Solución La red de adelanto de fase tiene una función de

transferencia:

( )

Para diseñarla primero habremos de conocer dónde

se encuentra la raíz deseada, cuyo valor obtenemos a

partir de los requerimientos:

Que obedeciendo las fórmulas de comportamiento

para un sistema de segundo orden:

√

Podemos obtener los valores requeridos de y :

De modo que el ángulo de elevación de la raíz desde

la parte negativa del eje real del plano es:

Mientras que la magnitud debe tener el mismo valor

que . Así bien tomando el valor medio del rango

de los posibles para (es decir, ) y

expresado de forma cartesiana, nuestro polo deseado

está colocado en:

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

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El cero del compensador se coloca justo debajo de la

raíz deseada, sobre el eje real, de modo que

.

El ángulo del polo se determina haciendo que la

sumatoria de todos los ángulos desde las raíces del

sistema hacia la raíz deseada sumen .

(

)

(

)

( )

Al obtener el ángulo complementario, encontramos

que . Y por lo tanto, el nuevo polo

está localizado en el punto

Entonces el compensador con los valores ya calcula-

dos es:

( )

Sin embargo, a pesar de haber conseguido valores

para el compensador, será necesario más que ello

pues al aplicar el compensador en serie aún el polo

de interés no es dominante para ningún valor de

(como se aprecia en la figura 3)

Figura 3. Lugar de raíces del sistema compensado, aún no se

ha logrado cumplir el requerimiento.

Sin embargo, note que si se disminuye el valor de las

otras raíces el compensador comienza a dominar la

acción del sistema. En la figura 4 se muestra un lu-

gar de las raíces para el mismo sistema pero con los

polos originales de menor tamaño.

Figura 4. Lugar de raíces para sistema modificado con raíces

menores.

Note que ahora el acercamiento a la respuesta desea-

da es mucho mejor, sin embargo lo correcto es elegir

valores de raíces que cumplan los requerimientos y

además se componga de raíces dominantes para el

sistema.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis