Ricardo Alejos

Sistemas de Control Automático

Ejercicio E4.2

Enunciado

Un sistema digital de audio se diseña para minimizar

el efecto de perturbaciones y ruido, como se muestra

en la figura E4.2. A modo de aproximación, se pue-

de representar ( ) . (a) Calcúlese la sensibili-

dad del sistema debida a . (b) Calcúlese el efecto

de la perturbación sobre . (c) ¿Qué valor de se

seleccionaría para minimizar el efecto de la pertur-

bación?

Solución

Inciso (a)

La sensibilidad de este sistema a , denotada por

, se puede encontrar mediante la relación

Donde es la función de transferencia del sistema.

Para encontrarla, primero note que podemos redibu-

jar el diagrama de bloques de la siguiente forma:

De tal suerte que podemos entonces encontrar fácil-

mente la función de transferencia de la forma

( ), donde es la ganancia de lazo

abierto y la del lazo de retroalimentación. Así

bien, dado que nuestra ganancia de lazo abierto es

y la del lazo de retroalimentación es unitaria,

nuestra función de transferencia queda:

Así bien, la sensibilidad del sistema a es:

(

)

( )

(

)

( )

Inciso (b)

Para encontrar el efecto de la perturbación sobre

, primero anulemos la entrada haciendo ,

de modo que ahora podremos redibujar el diagrama

de bloques de la siguiente forma:

Así bien, los efectos de sobre se pueden descri-

bir mediante la siguiente función de transferencia

(también de la forma ( )):

Inciso (c)

A partir de la expresión encontramos que para

reducir sus efectos al máximo habrá que hacer

muy grande. Note que:

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Problema P4.3

Enunciado

Una de las variables más importantes que se deben

controlar en sistemas industriales y químicos es la

temperatura. En la figura P4.3 se muestra una repre-

sentación sencilla de un sistema de control térmico

[14]. La temperatura del proceso se controla me-

diante el calentador con una resistencia . Una re-

presentación aproximada de la dinámica relaciona

linealmente la pérdida de calor en el proceso con la

diferencia de temperatura ( ). Esta relación se

mantiene si la diferencia de temperatura es relativa-

mente pequeña y el almacenamiento de energía del

calentador y las paredes del recipiente es desprecia-

ble. Así mismo, se supone que el voltaje conectado

al calentador, , es proporcional a o

( ), donde es la constante del

actuador. Entonces la respuesta linealizada del sis-

tema de lazo abierto es:

( ) ( )

( )

( )

dónde:

,

masa en el depósito,

área de la superficie del depósito,

constante del calor específico,

una constante de dimensionalidad, y

voltaje de salida del termopar.

Determínese y compárese los sistemas de lazo abier-

to y de lazo cerrado para: (a) la sensibilidad a los

cambios en la constante ; (b) la capaci-

dad para reducir los efectos de una perturbación de

tipo escalón en la temperatura ambiente ( ), y

(c) el error en estado estacionario del controlador de

temperatura para un cambio de escalón en la entrada,

.

Solución Antes de comenzar el ejercicio, es buen ejercicio

obtener el diagrama de bloques del sistema comple-

to, mismo que podemos dibujar de la siguiente ma-

nera:

Note que la señal error ha sido bautizada como

para evitar confusiones con el error del sistema

definido como la diferencia entre la entrada y la

salida:

Ésta definición la utilizaremos durante el ejercicio,

es muy importante diferenciar entre y , que por

cierto, sólo son iguales cuando el factor de retroali-

mentación es unitario.

Inciso (a)

Para lazo abierto, la sensibilidad a los cambios de ,

denotado por , está dada por la expresión:

Donde es la función de transferencia de lazo abier-

to. Ésta puede ser encontrada con una estrategia

similar a la que utilizamos en el problema anterior,

observe entonces que podemos escribir de la si-

guiente forma:

( )

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Siendo . Así bien, es:

(

)

( )

( )

Ahora, para el sistema en lazo cerrado, la función de

transferencia cambia un poco. Notarás en el diagra-

ma presentado en el enunciado que el factor de re-

troalimentación es . Nosotros ya conocemos la

función de transferencia para lazo abierto, de modo

que podemos escribir la de lazo cerrado de la si-

guiente forma:

.

/

.

/

Conocida función de transferencia, podemos ahora

calcular ahora para el caso del sistema con lazo

cerrado:

(

)

( )

( ) ( )

Note entonces que para la sensibilidad

siempre será menor que el caso de lazo cerrado.

Inciso (b)

En perspectiva del sistema en lazo cerrado, al anular

la entrada podemos obtener la función de transferen-

cia de la salida con respecto a la entrada (

) de perturbaciones, donde la ganancia de lazo

abierto es ( ) y la ganancia del lazo de re-

troalimentación es . Así bien, las afectaciones

de las perturbaciones de temperatura están dadas

por:

.

/

.

/

Note entonces que para , ésta tenderá a

valer cero. En otras palabras, vea que con la retro-

alimentación podemos disminuir notablemente el

efecto de las perturbaciones, cosa que es imposible

con el sistema a lazo abierto, donde la relación

es:

Inciso (c)

Siendo ( ) * ( )+, el error del

sistema en lazo abierto está definido como

Dónde , ( )- , así bien:

(

)

Ahora, para encontrar la respuesta en estado estacio-

nario, habremos de investigar cómo se comporta la

función error cuando ya ha transcurrido mucho

tiempo. Una de las propiedades de la transformada

de Laplace es que en el límite en el dominio del

tiempo:

( )

( )

Aplicado esto a la función error que acabamos de

encontrar y aplicando un escalón de magnitud en

la entrada ( ), podemos ver fácilmen-

te que el error en estado estacionario es:

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( )

( )

(

) .

/

(

)

( )

Ahora, para el caso de lazo cerrado, el error de la

salida respecto a la entrada será:

(

)

( )

Aplicando una entrada y aplicando

el límite cuando el tiempo transcurrido tiende a infi-

nito encontramos el error en estado estacionario:

( )

( )

( ( )

) .

/

( ( )

)

( )

Note que para minimizar este error al máximo, hay

que hacer que y que .

Problema P4.7

Enunciado

Un robot utiliza realimentación para controlar la

orientación de cada eje de unión. El efecto de la

carga varía en función de los objetos cargados y la

posición extendida del brazo. El sistema se desviará

por la carga que lleva en la pinza. Por tanto, el sis-

tema se puede representar por la figura P4.7, donde

el par de carga es . Supóngase que ( ) en

la posición indicada. (a) ¿Cuál es el efecto de ( )

sobre ( )? (b) Determínese la sensibilidad del lazo

cerrado para . (c) ¿Cuál es el error en estado esta-

cionario cuando ( ) y ( ) ?

Solución

Inciso (a)

El efecto de la perturbación sobre se puede

encontrar fácilmente anulando la entrada y tratando

como entrada del sistema retroalimentado cuya

ganancia de lazo abierto es ( ), la ganan-

cia del lazo de retroalimentación es ( ) y

la salida . Así bien, el efecto de en la salida está

dado por la expresión:

(

( ))

( ) (

( ))

( ) ( )

Inciso (b)

La sensibilidad del sistema en lazo cerrado a ,

denotado por , está dada por la expresión

Donde es la función de transferencia del sistema

completo, la cuál podemos obtener de forma sencilla

identificando la ganancia de lazo abierto, que es

( ); y la ganancia del lazo de retroali-

mentación, que es . Así bien:

( )

( ) ( )

( ) ( )

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Regresando a la expresión de la sensibilidad, ahora

tenemos que:

(

( ) ( )

)

( ( )

, ( ) ( ) - ) ( ( ) ( ) )

( )

( ) ( )

Inciso (c)

El error está definido por la diferencia de la salida

deseada (entrada) y la salida real, es decir:

Sabemos de antemano que , de modo que

( ), es decir:

(

( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ) ( )

)

Para las condiciones impuestas en el enunciado del

ejercicio, es decir ( ) y ( ) , el error

en estado estacionario será:

( )

( )

( ( ) ( ) ( ) ( )

)(

)