Sistemas de Control Automático

Ricardo Alejos

Ejercicio E6.1

Enunciado

Un sistema tiene la ecuación característica

( ) . Determínese el intervalo

de para que el sistema sea estable.

Solución El arreglo de Routh-Hurwitz para esta ecuación ca-

racterística es:

|

Donde:

( )

Para que el sistema se mantenga estable, es necesario

que

Ejercicio E6.2

Enunciado

Un sistema tiene la ecuación característica

. Empleando el criterio de

Routh-Hurwits, demuéstrese que el sistema es esta-

ble.

Solución

El arreglo de Routh-Hurwitz para esta ecuación es:

|

Dado que no hay cambios de signo en la primera

columna del arreglo, podemos decir que el sistema

es estable.

Ejercicio E6.11

Enunciado

Un sistema con la función de transferencia ( )

( ) es

( )

( )

( )

Determínese el error en estado estacionario para una

entrada de escalón unitario. ¿Es estable el sistema?

Solución

El error de estado estacionario se puede calcular

empleando el teorema del valor final sobre ( )

( ) ( ), es decir ( ). Calcule-

mos entonces primero ( ).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )

)

( ) ( ) (

)

Al aplicar una entrada de escalón unitario ( )

y el teorema del valor final, encontramos que el

error en estado estable es

(

)(

)

Analicemos ahora el polinomio característico

con el método de Routh-

Hurwitz:

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||

Y aquí notamos de forma explícita que el sistema es

inestable, y que además tiene dos polos del lado

derecho en el plano ya que existen dos cambios de

signo en la primera columna del arreglo.

Problema P6.3

Enunciado

La soldadura de arco es una de las áreas de aplica-

ción más importantes de los robots industriales. En

la mayoría de los casos de soldadura industrial, la

incertidumbre en las dimensiones de las partes, la

geometría de la junta y el proceso mismo de soldar

requieren el uso de sensores para mantener la cali-

dad. Como se muestra en la figura P6-3, diversos

sistemas emplean dispositivos visuales para medir la

geometría de la mezcla de metal fundido. Este siste-

ma emplear una velocidad constante de alimentación

del alambre que se va a fundir. (a) Calcúlese el valor

máximo de para el sistema que proporcionará un

sistema estable. (b) Para la mitad del valor máximo

de del apartado (a), determínense las raíces de la

ecuación característica. (c) Determínese la sobre-

elongación del sistema del apartado (b) cuando está

sujeto a una entrada escalón.

Solución

Inciso (a)

La función de transferencia del sistema mostrado en

la figura P6.3 es:

( ) ( )

( )

( )

( )

Sabiendo esto, podemos proceder a averiguar cuales

valores de nos darán un sistema estable con ayuda

del método de Routh-Hurwitz:

||

Dónde:

( )

Note entonces que para que el sistema sea estable, se

necesitan cumplir dos condiciones: que y que

. Así bien:

( )

Entonces, en general:

Inciso (b)

Cuando el polinomio caracte-

rístico del sistema ( ) queda:

( )

Y sus raíces son (obtenidas con ayuda del software

Wolfram Mathematica):

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Inciso (c)

Para determinar el porcentaje de sobreelongación

habrá que determinar cuál es el polo dominante.

Acorde con los polos obtenidos, podemos escribir la

ecuación característica de la forma

( ) ( )( )(

)

Para poder hacer una estimación congruente a un

sistema de segundo orden, tendría que cumplirse que

| | | |, sin embargo la ecuación caracte-

rística no cumple con esta condición y por lo tanto

no se puede hacer una aproximación con un polino-

mio de segundo orden.

Sin embargo podemos apreciar en la siguiente gráfi-

ca la magnitud de la sobreelongación:

Ilustración 1. Respuesta del sistema del ejercicio 4 para un

escalón unitario cuando

Note entonces que el porcentaje de sobreelongación

es:

El gráfico se generó en Matlab con el siguiente códi-

go:

N=[0.04391 8.782];

D=[0.0025 0.5125 2.520 4.0100 10.782];

T=tf(N D);

step(T);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude