DEBER1.- A partir de la definición de Ampere demuestre que la permeabilidad del vacío

es 4 πx 10−7 H

m

∮l

1µB dl=∮

sJ ds+ d

dt∮sξ E ds

Campo eléctrico es cero en cualquier conductor

∮lB dl=µI

∫0

2π

B iф rdф iф=µI

2

Br∫0

2π

dф=µI

Br (2π )=µI

B= µI2πr

iф

F=q v x B

v= dt

F=q ( dt )x ( µI2πr )iф

F=I l iz xµI2 πr

iф

F=µ I 2l2πr

Si dos alambres paralelos separados a una distancia de 1m llevan la

misma corriente y la fuerza por unidad de longitud es 2 x10−7 Nm2

entonces la corriente es 1A

F=µ I 2l2πr

⇒µ=(2x 10−7 Nm2 ) (2π ) (1m )

(1)2(1)

3

µ=4 πx10−7 Hm

2.-Una carga puntual q dentro de un campo eléctrico uniforme Eo ix está a una

distancia x de un plano conductor conectado a tierra.

a) Para qué valor de x la fuerza sobre la carga vale cero.

b) Si la carga está en una posición igual a la mitad del valor calculado en (a).

¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial necesaria para que la carga

continúe hasta x = infinito?

E enel plano=−σ2E

i x

∑ F=0

4

|r−r1=F|

F1=q . E0 ix

F2=q2

4.π . E0 . d2 i x

a)

Fx=q . E0−q2

4.π .E0. (2 x )2

0=q . E0−q2

16.π . E0 . x2

x2 . q . E0=q2

16. π . E0

x02= q16.π .E0 . E0

x0=√ q16.π .E0. E0

b)

v (x0 )=−E0 . x0−q

16.π . E0 . x0=−12 √ q .E0π . E0

v (x0 )=−E0 .√ q16.π .E0 .E0

− q

16.π . E0 .√ q16.π . E0 . E0

=−54 √ q .E0π . E0

5

V ( x02 )=−58 √ q .E0π . E0

12m. v2+q .v (x )=cte

Para v=0en x=x0

12m. v0

2+q . v ( x02 )=0+q . v (x0)

12m. v2>q[v (x0 )−v ( x02 )]

12m. v2>q√ q . E0π .E0 [−12 + 5

8 ]

12m. v2> q

8 √ q . E0π .E0

v0>12 √ qm [ q .E0π . E0 ]

14

6

3.- Considérese que en el interior de una esfera de radio R existe distribuida una

carga Q con una densidad ρ = A(R - r), 0 < r < R, estando dada ρ en culombios por

metro cúbico. Determínese la constante A en función de Q y R. Calcúlese el

campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera.

ρ=qv

v=4 π R3

3

ρ=A (R−r)

A=3Q

4 π R3(R−r)

∮ Ɛ Eds =q

7

q = ʃρ dv= ∫0

2π

∫∫0

π

∫0

a

A (R−r ) r2 senθdθd ∅

q= A R4

12 (cos θ)ǀ π0

∅ ǀ2 π0

q= A R4π3

R< r

∮ Ɛ Eds =q

∮ Ɛ Eds= ∫0

2π

∫∫0

π

∫0

a

A (R−r ) r2 senθdθd ∅

4πƐEr2=(A r3 ) (4 R−3 )4 π

12

R> r externo

∮ Ɛ Eds =q

4πƐEr2= A R4 π3

Exterior

E= A R3 π3Ɛ r2(4 π )

8

E= A R3

12Ɛ r2

Interior

E= A R4

12Ɛ r2

4. Una sustancia aislante de forma hemisférica y radio R lleva distribuida

uniformemente sobre su superficie curva una carga Q. Calcular el campo eléctrico

en el centro de la superficie plana que limita el hemisferio.

d E z=dEcosθ

dq=σds

dE= dq4 πε R2

dE= σds4 πε R2

ds=r2 senθdθd ∅

9

ds=R2 senθdθd ∅

E z=14 πε∫

σ R2 senθdθd ∅R2

cosθ

E z=σ4 πε∫0

π2

∫0

2π

senθ . cosθdθd ∅

E z=σ (2π )4πε ∫

0

π2

senθ .cosθdθ

E z=σ2 ε∫0

π2sen 2θ2

dθ

E z=σ4 ε (−cosπ+cos0

2 )

E z=σ4 ε

σ= q2π r2

E z=Q

8 πεr 2

5.- Un dipolo de momento p = Qa, está alineado paralelamente a un campo

eléctrico a lo largo del eje x. El campo no es uniforme y varia linealmente a lo largo

del eje x, siendo (dE/dx) = k. Calcular la fuerza que actúa sobre el dipolo.

10

dE=Kdx

∫ dE=∫Kdx

E=K∫ dx

E=Kx

E=Fq

F=(Kx )q

K= 14πε

q=Qa

F=( 14 πε x)Qa

11

F= Qa4 πε

6.- Dos cargas q igualadas y positivas se encuentran separadas una distancia 2a

la fuerza que ejercen sobre una carga de prueba pequeña colocada a la mitad de

la distancia entre ellas es cero. Si la carga de prueba se desplaza una pequeña

distancia hacia cualquiera de las cargas. Determina la dirección de la fuerza que

actúa sobre ella, es un equilibrio Estable o Inestable? determinar las frecuencias

de oscilación de la carga de prueba Q que tiene una masa M

F13=F23EN LACARGA 3

k q,Qx2

= k q ,Qx2

12

x2=(a−x )2

x=(a−x )

2 x=a

x=a2

F13=F23 EN LACARGA 3

kq1Qa2

= k q1q2a2

4

Qa4

=q1a2

Q= 14q1

Q=−14q1TIENE EQUILIBRI ESTABLE

7.- Sea un dipolo eléctrico y un punto que se encuentra a una distancia r del centro

del dipolo y a lo largo de su eje. Demostrar que para grandes valores de r, el

campo eléctrico es:

13

E= 1 p2 πξor 3

E=E1+ E2

E1 y=E2 y=0

E1=−q4πε r1

2

E1=−q

4πε (r−a)2

E2=q

4πε r22

E2=q

4πε (r+a)2

E= q4 πε (r+a )2

− q4 πε (r−a )2

14

E= q4 πε

( 1(r+a )2

− 1(r−a )2

)

E= q4 πε ( r

2+2ar+a2−r2+2ar−a2

( r2−a2)2 )

E=q4 πε ( 4ar

(r 2−a2 )2 )

E= qπε

ar(r2−a2 )2

ρ=2aq

E= ρr2 πε ( r2−a2)2

Sir≫a

E= ρr2 πε ( r2 )2

E= ρ2 πεr 3

8.- Una varilla de vidrio se dobla en forma de semicírculo de radio R, en la mitad

superior se distribuye uniformemente una carga Q positiva y en el inferior se

15

distribuye uniformemente una carga Q negativa. Determinar el campo eléctrico en

el centro del semicírculo.

dq=λds

dE= 14 πξ r2

dq

d E x=dEcosθ

d E x=λ

4 πξ r2cosθ

ds=λdθ

E=∫−π2

π2

d E x

E=∫−π2

π2

λ4 πξ r2

cosθrdθ

16

E= λ4 πξ r2

r∫−π2

π2

cosθdθ

E= λ4 πξr (sen π2 +sen π

2 )E= λ

4 πξr(1+1 )

E= λ4 πξr

(2 )

E= 2 λ4 πξr

E= 2 λ4 πξr

9.- Un disco de radio Ro lleva una carga por unidad de área σy tiene un orificio de

radio a cortado de su centro. Calcular el campo eléctrico en un punto sobre el eje

del disco y una distancia b de su centro.

17

ds=∫0

2π

∫0

a

rdrdϕ

ds=a2(2 π)2

ds=∫0

2π

∫0

a

rdrdϕ

ds=R02(2π )2

ds=R02 π

ds=π (R02−a2)r2 sindrdϕ

r1=¿R02¿

r=a

18

E= 14 πε∫

σ|r−r1|3

|r−r1|3 ds

E= 14 πε

σ

|a−R0|3 (a−R0) π (R0

2−a2)

E= 14 ε

σ

|a−R0|3 (a−R0)(R0

2−a2)

E=(a−R0)(R0

2−a2)σ

4 ε|a−R0|3

E=(R0

2−a2)σ4 ε|a−R0|

10. un disco circular de radio a tiene una carga por unidad de área σ. Calcular el

Campo eléctrico en un punto del eje Y a una distancia b del disco.

E= 14 πε∫ds

σ|r−r1||r−r1|

3 d l

19

E= 14 πε∫−∞

∞ b−R(√b2−R2 )3

E= 14 πε

[∫−∞

∞ bσ(√b2−R2 )3

ix−∫−∞

∞ Rσ(√b2−R2 )3

iy ]

dl=dy

cosθ= b

(√b2−R2 )3

tgθ= Rb

dRy=bse c2θdθ

E= 14 πε [∫−π

2

π2 bσ (bsec2θ )

(b/cosθ )3dθix−∫

−π2

π2 σbtgθ (bsec2θ )

(b/cosθ )3dθ iy ]

E= σ4 πε

[senθix+cosθiy ]∨

π2

−π2

E= σ2 πε

ix

20

11.-Una línea de carga de longitud 2l consiste en dos partes, una mitad que

lleva una carga por unidad de longitud +λ y otra con una carga por unidad de

longitud – λ. Calcular el campo eléctrico a una distancia Y de la línea de carga

y a lo largo de sus bisectriz perpendicular.

∫E .ds=qε

dr=r2 senθdθd∅=qε

∫0

2π

∫0

π

Er2 senθdθd∅= qε

Er2∫0

π

senθdθd∅=qε

Er2 (−cosπ )+ (cos0 )2π= qε r2

E4 π= qε r2

21

E= q4 πεr 2

ir

E= 14 πε∫

ƛr−r 1dl¿¿ ¿

cosθ= ƛ√¿¿¿

dl=dy

√¿¿

√¿¿

tangθ= Rƛ

R=ƛtanθ

dy=ƛ sec2θdθ

E= 14 πε

⌊∫−π2

π2 ƛθ ( sec2θdθ ix )

ƛ2

cos3θ

−∫−π2

π2 ƛθtangθ (σsec2θdθ ) iy

ƛ3

cos3θ

⌋

22

E= 14 πε

⌊∫−π2

π2 θ ( sec2θ dθ ix )

ƛ2−∫

−π2

π2 θ (senθ dθ ) iy

ƛ3⌋

E= 14 πε

⌊senθπ2

−π2

ix+cosθ

π2

−π2

iy ⌋

E= 14 πε (1− (−1 ) )iy

E= 24 πε

iy

E= 12 πε

iy

12.- Una esfera aislante tiene una carga por unidad de volumen uniforme, sea r el

vector que va del centro de la esfera a un punto arbitrario P dentro de la esfera,

demostrar que el E en P está dado por:

E= Pr3 ε0

q=∮Dd s

q=D∫0

2π

∫0

π

r2sin θdθ dϕ

q=Dr2 (−cosθ )| ϕ| 02π

0

π

23

q=Dr2 (1+1 )|2π .0

q=4π D r2

q=∫vρdv

q=∫0

2π

∫0

π

∫0

r

r2 sinθ dr dθdϕ

q=ρ rZ

Z |∫02 π

∫0

r

sin θdodϕ0

r

q=ρ rZ

Z ∫02π

(−cosθ )| dϕ0π

q=ρ rZ

Z (1+1 )ϕ| 0

2π

q=4 π ρ rZ

Z

q=ρ

4 π ρ rZ

Z=4 π D r2

D= ρr3

E=D30

= ρr3 ε 0

24

13.- Deduzca la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre si dos líneas

paralelas con corrientes I1 e I2 respectivamente y separación d.

Ecuaciónde Ampere :∮lB dl=u I1

∮lB iϕ .rdϕ iϕ=u I 1

Br∫0

2π

dϕ=¿u I 1¿

r=d

2πrB=πu I1

B1=u I 12πd

Ecuaci ónde Lorentz : F=q v x B

25

v= dtiz

F12=q ( lt iz) x B1

F12=I 12l iz xu I 12πd

iϕ

F12=I 2 lu I12 πd

ir

F12l

=u0 I 1 I 22 πd

ir

14.- Deduzca la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre si dos líneas

paralelas con una carga por unidad de longitud q1/l y q2/l respectivamente y

separación d.

λ1=q1l

λ2=q 2l

l=q1λ

l=q2λ

F= q4Π ξ∫l

λ (r−r 1 )|r−r 1|

dl

26

r=ldl=dx

F= q4Π ξ∫0

l λd2dx

F= q4Π ξ d2

λ(r )0l

F= q4Π ξ d2

∗( λ ) (l )

F= qλl4Π ξ d2

Fl= qλ4Π ξ d2

Fl= q1 λ14Π ξ d2

Fl= q2 λ24Π ξ d2

27

TRABAJO EN CLASE

1.- Una varilla Semi-Infinita tiene una carga constante ʎ por unidad de longitud.

Demostrar que el campo eléctrico en el punto P forma un ángulo de 450 con la

varilla.

r=−d iyr 1=x ix

|r−r 1|=√ x2+d2

dl=dx

E= 14 πε∫

ʎ (r−r 1 )|r−r 1|

dl

E= 1

4 πε (x2+d2 )32∫ ʎ (−d iy−x ix )dx

cosθ= d√ x2+d2

28

tanθ= xd

dx=d (sec θ)2θdθ

E=−ʎ4 πε

¿

E=−ʎ4 πε

¿

∫π2

0

senθdθ=−|cosθ| 0π2

=−1

∫π2

0

cosθdθ=|senθ| 0π2

=−1

E= ʎ4 πε [ 1d ix+ 1d iy ]

tanθ=

ʎ4 πεdʎ4 πεd

=1

θ=45 °

29

2. Un disco de radio Ro lleva una carga por unidad de área σ que tiene un

orificio de radio a cortado en su centro. Calcular el campo eléctrico en un punto

sobre el eje del disco y a una distancia b de su centro.

r=b iz

r1=rcos∅ ix+r sin∅ i y

r−r1=b i z−r cos∅ i x−r sin∅ i y

|r−r1|=√r 2+b2

E= σ4 πε∫0

r

∫0

2π (b iz−rcos∅ ix−r sin∅ i y)(√r2+b2 )3

r drd∅

E=σ4 πε [∫0

r br∅ dr

(√r2+b2 )3∫ 2π0 iz−∫

0

r r2 sin∅ dr

(√r2+b2 )3∫ 2π0 ix+∫

0

r r2 cos∅ dr

(√r2+b2)3∫ 2π0 i y ]

E= σ2 ε [∫0

r br dr

(√r2+b2 )3i z]

30

u=r2+b2

du=2 rdr

E= σ4 πε∫

br

u32

du2r

E= σ2 ε [ −b

√r 2+b2 ] r0

E= σ2 ε [1− b

√r2+b2 ]

Campo eléctrico generado por un disco de radio r sobre un punto a una

distancia b en su eje radial.

Edisco radioR0=σ2 ε [1− b

√R02+b2 ]

Ediscoradioa=−σ2 ε [1− b

√a2+b2 ]Signo negativo por tener el agujero

E=Edisco radioR0+Ediscoradioa

31

E=σ2 ε [1− b

√R02+b2 ]− σ2 ε [1− b

√a2+b2 ]

E=σ2 ε [ b

√a2+b2−

b

√R02+b2 ]

3.- Considerar una nube de forma esférica y radio R cargada uniformemente

con una densidad volumétrica de carga ρ=ρ0(1− r2

R2 ) , calcular el campo

eléctrico y el potencial en el interior y exterior a la esfera.

ρ=dqdv

ρ dv=dq

∫ ρdv=∫ dq

∫ ρdv=q

32

∫ ρo(1− r2

R2 )¿

dv=q¿

∫0

2π

∫0

π

∫0

R

ρo(1− r 2

R2 )r2 sin (θ )dr dθd∅=q

q=∫0

2π

∫0

π

∫0

R

ρo(1− r2

R2 )r 2sin (θ )dr dθd∅

q=∫0

2π

∫0

π

∫0

R

r2 sin (θ )dr dθd∅−∫0

2 π

∫0

π

∫0

R r4

R2sin (θ )dr dθd∅

q=∫0

2π

∫0

π R3

3sin (θ )dθd ∅−∫

0

2π

∫0

π R3

5sin (θ )dθd∅

q=∫0

2π R3

3¿¿¿

qT=∫0

2π 2R3

3d∅−∫

0

2π 2 R3

5d∅

qT=2R3

3(2 π )−2 R

3

5(2π )

qT=8 πR3

15

∮Eε ds=qT

∮Eε r2sin (θ )dθ d∅=qT

Eε r2∫0

2π

∫0

π

sin (θ )dθd∅=qT

Eε r2¿¿

Eε r2 (2 )(2 π)=qT

E= qT4 πεr 2

v=−∫∞

r

E dl

33

v=−∫∞

r qT4 πε r2

dl

v= qT4 πεr

Interior

ρ=ρqT43πR

3=q143πr

3

qTR3

=q1r3

qTq1

=( Rr )3

q1=qT ( rR )3

∮Eε r2sin (θ )dθ d∅=q1

Eε r2∫0

2π

∫0

π

sin (θ ) dθd∅=q1

Eε r2¿¿

Eε r2 (2 )(2 π)=q1

E= q14 πεr 2

E= 14 πεr 2 ( qT r

3

R3 )

34

E=( qT r4 πεR3 )

4.- Dos conductores esféricos concéntricos y huecos tienen radios de dos y

cuatro cm respectivamente. La esfera interior lleva una carga de 12 x10−9 C y la

exterior 20 x10−9 C. Determine el potencial a las siguientes distancia respecto al

centro de las esferas 1cm, 3cm, 4cm y 5cm.

El potencial eléctrico en un punto interior de una esfera hueca de radio R

y carga Q es constante y vale lo mismo que en su superficie:

V i=k QR

El potencial eléctrico de una esfera conductora hueca de radio R y carga

Q en un punto exterior que dista r del centro de la esfera vale lo mismo

que si toda la carga estuviese concentrada en el centro de la esfera.

35

V e=k QR

Potencial cuando d=1cmV 1cm=V e−V i

V 1cm=9 x109[N .m2 .C2]⌊ −12 x10−9(C)

0.02m+20 x10−9(C)0.04m

⌋

V 1cm=−900[V ]

Potencial cuando d=2cmV 2cm=V i

V 2cm=9 x109 [N .m2 .C2 ] ⌊ 12 x10

−9 (C )0.02m

⌋

V 2cm=5400[V ]

Potencial cuando d=3cmV 3cm=V e−V i

V 3cm=9 x109 [N .m2 .C2] ⌊−12 x10

−9(C)0.03m

+20 x10−9(C)0.04m

⌋

V 3cm=900[V ]

Potencial cuando d=4cmV 4 cm=V e

V 4 cm=9x 109[N .m2 .C2]⌊ 20x 10

−9(C )0.04m

⌋

V 4 cm=4500[V ]

Potencial cuando d=5cmV 5cm=V e−V i

V 5cm=9 x109 [N .m2 .C2] ⌊−12 x10

−9(C)0.05m

+20 x10−9(C)0.05m

⌋

V 5cm=1440[V ]

36

PRUEBA

1.- Dos pequeñas esferas conductoras cada una de masa m están suspendidas

de los extremos de dos hilos aisladores de longitud l unidos en un punto. Una

carga Q1 se coloca en la esfera 1¿Cuál es la carga Q2 en la esfera 2?

Diagrama de cuerpo libre

T y=T cos θ

T x=T senθ

∑ F y=0

37

T y−W=0

T y=W

T y=mg

T cos θ=mg

T cos θ= mgcosθ

∑ F x=0

F1/2−T x=0

F1/2=T x

F1/2=T senθ

F1/ 2=senθ ( mgcosθ

)

F1/2=m. g . tanθ

c=√l2−d2 /4

c=√4 l2−d22

tanθ=d /2c

38

2.- Un alambre de longitud l tiene una densidad de carga longitudinal uniforme

λ. Demostrar que la magnitud del campo eléctrico en un punto sobre el eje de

la línea de carga y a una distancia X del extremo más cercano es:

E= λ l4 π εo

1x (l+x)

r=(l+x) ix

r1=(r )i x

( r−r1 )=(l+x−r )i x

|r−r1|=(l+x−r )

d l=dx=dr→debido aquedistancia al diferencial decarga esr

E= λ4 πε∫0

l (l+x−r)(l+x−r )3

dr ix

E= λ4 πε∫0

l 1(l+x−r )2

dr ix

u=(l+x−r )

du=dr

∫0

l 1u2du=−1

u

39

E= λ4 πε ( 1

(l+x−r ) )0l

i x

E= λ4 πε [ 1x− 1

( l+x ) ] i xE= λ

4 πε [ l+ x−xx (l+x ) ] ix

E= λ l4 πε ( 1

x (l+x) ) ix

3.-Calcular el campo eléctrico generado por un disco cargado con densidad

superficial de carga igual a σ, de radio r sobre un punto situado a una distancia

b del eje del disco.

r=b izr1=rcos∅ ix+rsen∅ i y

( r−r1 )=b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y

|r−r1|=√r 2+b2

ds=rdrd∅

40

E= σ4 πε∫0

2π

∫0

r (b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y )

(r 2+b2 )32

rdrd∅

E= σ4 πε

¿

E= σ2 ε [∫0

rbr

( r2+b2 )32

dr iz ]u=r2+b2

du=2 rdr

∫ bru3 /2

du2 r

=−b√u

E= σ2 ε [ −b

√r 2+b2¿0r ] iz

E= σ2 ε [1− b

√r2+b2 ]i z

4.-Dado el campo eléctrico E=e−x sen y ix+e− xcos y i y+2 z iz encontrar la

distribución arbitraria de carga que produce el campo y la carga encerrada en

el volumen en el volumen 10−9m3 que se encuentra en el origen.

∇ . E= ρℇ

∇ . E=∂e−x sen y ix

∂ x+∂e−x cos y i y

∂ y+∂2 z i z∂ z

41

∇ . E=−e− x sen y+e−x sen y+2

∇ . E=2

ρ=∇ . E .ℇ

ρ=2ℇ

ρ=QVQ=ρV V=10−9m3

Q=2(10−9)ℇ

42

EXAMEN

1.- Una esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en todo su volumen

calcular el campo y el potencial eléctrico en el interior y exterior de la esfera y

realizar un diagrama de campo y potencial en función de la distancia r.

r>R

ε∮sE ds=q

ε∫0

2π

∫0

π

E . r2 . senθdθd∅=q

ε∫0

2π

E r2 ¿¿

εE r2 (−cosπ+cos 0 )∅ ¿02π=q

εE r2 (1+1 ) (2π−0 )=q

4 πεE r2=q

43

E= q4 πεr 2

ir

V=−∫LE dl

V=−∫0

r q4 πεr2

dr

V= −q4πε

(−1r

)¿0r

V= q4πε

( 1r)

V= q4πεr

r<R

ε∮sE ds=q '

ε∫0

2π

∫0

π

E . r2. senθdθd∅=q '

44

ε∫0

2π

Er2¿¿

εE r2 (−cosπ+cos 0 )∅ ¿02π=q'

εE r2 (1+1 ) (2π−0 )=q'

4 πεE r2=q '

E= q'

4 πεr 2

ρ=dqdv

dq=ρdv

q '=∫v

❑

ρdv

q '=∫0

2π

∫0

π

∫0

r

ρ r2 senθdrdθd∅

q '=ρ r3

3¿0r∫0

2π

∫0

π

senθdθd∅

q '=ρ r3

3(−cosθ )¿0

π∫0

2π

d∅

q '=ρ r3

3(2)(2π )

q '=4 πρr3

3

E= 14 πεr 2

( 4 πρ r3

3)

E= ρr3 ε

ir

V=−∫LE dl

45

V=−∫0

r ρr3 ε

dr

V=−ρ3 ε

(−r2

2)¿0

r

V=−( ρ r2

6 ε)

0 2 4 6 8 10 120

100000000020000000003000000000400000000050000000006000000000700000000080000000009000000000

10000000000

Diagrama de Campo Electrico

0 2 4 6 8 10 120

100000000020000000003000000000400000000050000000006000000000700000000080000000009000000000

10000000000

Diagrama de Potencial Electrico

46

2. Calcular la fuerza que ejerce un disco de radio a, cargado con densidad

superficial de carga igual a σ, sobre una carga situada a una distancia b del eje

del disco.

r=b iz

r1=rcos∅ ix+rsen∅ i y

r−r1=b i z−rcos∅ i x−rsen∅ i y

|r−r1|=√r 2+b2

E= σ4 πε∬00

2π a (b iz−rcos∅ ix−rsen∅ i y )rdrd∅(√r2+b2)3

E= σ4 πε [∫0a br

(√r2+b2)3dr (∅ )

0

2π

iz−( r2 sen∅(√r 2+b2 )3 )0

2π

i x+( r 2cos∅

(√r2+b2)3 )02π

i y ]

47

E= σ4 πε [2 π∫0

a brdr

(√r2+b2)3i z]

u=r2+b2

du=2 rdr

∫0

r br

u32

du2 r

=−b

u12

E= σ2 ε [∫0

a−b

√r2+b2 ]0a

iz

E= σ2 ε [1− b

√a2+b2 ] iz

E= σ2 ε [ −b

√r 2+b2 ]0a

E= σ2 ε [1− b

√a2+b2 ]F=q E

F=qσ2 ε [1− b

√a2+b2 ]

48

3. Suponer que la densidad volumétrica de carga dentro de una región circular

cilíndrica infinitamente larga de radio a es: ρ=ρ0(1+α r2). Donde r es la

distancia radial desde el eje del cilindro. Determinar el valor del parámetro alfa

para que el campo en todas partes fuera del cilindro (r>a) sea cero.

ρ=QV

Q=ρV

ρ=¿ ρ0(1+α r2)

∴Q=∫ ρ dv

Q=∫0

L

∫0

2 π

∫0

a

ρ0(1+α r2)r dr d∅ dz

Q= ρ0∫0

L

dz∫0

2π

d∅∫0

a

(r+α r2 )dr

∮ ε E ds=Q

∫0

L

∫0

2 π

ε E ad∅ dz=Q

49

ε E a∫0

L

dz∫0

2π

d∅=¿ ρ0∫0

L

dz∫0

2π

d∅∫0

a

(r+α r2 )dr ¿

2π ε E a=π ρ0a2(1+ α a

2

2)

E=ρ0a2 ε

(1+ α a2

2)

0=ρ0a2 ε

(1+ α a2

2)

−1=α a2

2

α=−2a2

4.-Una capa semiesférica de radio R, tiene una distribución de carga uniforme

σ=1 C/m2.Calcular el campo en el centro de la esfera coincidente con la carga.

K= 14πξ

d EZ=dEcosθ

E= 14 πξ∫s

r−r 1¿ r−r1∨¿3

ds¿ dθ=ds σ

50

EZ=∫ K dQR2

dl=adθ

cosθ=∫ K σ 2π R senθ dlcosθR2

EZ=K σ2 πR

a2∫ senθ Rdθcosθ

EZ=σ2ξ0

∫0

π2

senθ(cosθdθ)

u=senθdu=cosθ dθ

EZ=σ4ξ0

∫ucosθ ducosθ

EZ=σ4ξ0 ( cosθ

2

2 )∨π /20

EZ=σ4ξ0