Ejercicios exámenes primer trimestre.

1) Opera con las siguientes potencias y raíces:

2) En el intervalo está formado por...

a ) todo s lo s n úm ero s m ayor e s qu e 2 s i n e sta r es t e i nc l u i do .

b) todo s los n úm ero s mayo r es q u e 2 i nc lu i do e s te.

c ) todo s los n úm ero s mayo r es q u e 2 y me nor e s qu e 1 0 00 0.

3) Escribe en forma de conjunto y representa los siguientes intervalo𝑠:

a) (−∞, 6)

b) [−4,7]

c) (−3,10]

Solución:

a) {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 6}

b) {𝑥 ∈ 𝑅/−4 ≤ 𝑥 ≤ 7}

c) {𝑥 ∈ 𝑅/−3 < 𝑥 ≤ 10}

Las gráficas no las puedo representar, quien tenga duda que me pregunte en tutoría.

6

Reso lv er la s ec uac ion es e xpon e nc i a l es :

1

2

3

4

6

7

E fect ua r la s ecu ac io ne s e xpon e nc i a l es :

1

2

3

4

5

Reso lv er la s ec uac ion es lo gar í t mic as :

1

2

3

4

5

6

Resuelve las s iguient e s ecuac iones:

a )

7x 2 + 2 1 x − 2 8 = 0

x 2 + 3 x − 4 = 0

b) x 4 − 10 x 2 + 9= 0

x 4 − 10 x 2 + 9

x 2 = t

x 4 − 10 x 2 + 9 = 0

t 2 − 10 t + 9 = 0

c ) x 4 − 16x 2 − 225 = 0

d)

1º E l evamo s a l c ua d ra do l os dos mi em bro s:

2ºRe so lv emo s la ec uac ión :

3ºCom pro bamo s:

La ecuac ión t iene por so luc ión x = 2 .

e)

Fac tor iz ac ió n d e po l ino mi os:

a ) x 3 + x 2

x 3 + x 2 = x 2 ( x + 1)

Las ra íc e s son : x = 0 y x = − 1

b) 2x 4 + 4x 2 = 2x 2 ( x 2 + 2)

2x 4 + 4 x 2 = 2x 2 ( x 2 + 2)

Só lo t i e ne u n a r a íz X = 0 ; ya qu e e l po l i nom io , x 2 + 2 , no t ie n e n i n gú n va lo r qu e lo a n ul e ; de bi do a qu e a l es ta r l a x a l c ua dr ado s i em pr e da rá u n n úme ro pos i t ivo , por ta n to e s i r r e du c i b l e .

c ) x 4 − 16

x 4 − 16 = ( x 2 + 4) · ( x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · ( x 2 + 4)

Las ra íc e s son X = − 2 y X = 2

d) 2x 4 + x 3 − 8 x 2 − x + 6

Paso s a s eg u ir :

1Tomamos lo s d i v i sor e s d el t érm i no i n de p e nd i en te : ±1, ± 2, ±3.

2Apl ica n do e l teo r ema d el re s to s ab r emos p ara q u e va lor e s la d i v i s ió n e s exac ta .

P (1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Di v i d i mos po r R uf f in i .

4Por se r la d iv i s ión e xac ta , D = d · c

(x −1) · ( 2x 3 + 3 x 2 − 5 x − 6 )

Una ra íz e s x = 1 .

Cont inuamos rea l izando las mismas operac iones a l segundo factor .

Vo lvemo s a pro bar po r 1 p orq u e e l p r im er fac tor po dr ía e sta r e l eva do a l cu ad rado .

P (1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · ( − 1) 3 + 3 · ( − 1) 2 − 5 · ( − 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · ( x +1) · ( 2 x 2 + x −6)

Otra ra íz es x = -1 .

E l t erc e r fac tor lo po de mos enco nt ra r a p l ica n do la e cuac ión d e 2º gra do o ta l como

ve nimo s hac i én do lo , a un q ue t ie n e e l i ncon ve n ie nt e de q u e só lo po de mos e nco nt rar

ra íc e s en te ra s .

E l 1 lo d esc art amo s y s eg u imos p ro ba ndo po r − 1 .

P(−1) = 2 · ( −1) 2 + ( −1) − 6 ≠ 0

P (2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · ( −2) 2 + ( −2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · ( x +1) · ( x + 2) · (2 x −3 )

Saca mos facto r com ú n 2 e n ú l t i mo b i nomio .

2x − 3 = 2 ( x − 3/ 2)

La factor izac ión del po l inomio queda:

2x 4 + x 3 − 8 x 2 − x + 6 = 2 ( x −1 ) · (x + 1) · ( x +2 ) · (x − 3/ 2)

Las ra íc e s son : x = 1 , x = − 1 , x = −2 y x = 3 /2

E jerc i c ios de f ra cc ion es a lgebra ic as :

Suma la s f racc ion e s a lg e br a ica s:

a )

b)

Mu lt ip l ica la s f racc ion e s a lg e bra ica s:

1

2

Reso lv er lo s s i st ema s ec ua c ion e s e xpo ne nc ia l e s :

1

2

3

Reso lv er lo s s i st ema s d e e cuac ion e s lo ga r í tm ica s:

1

2

3

4

Problemas

Un c l ie nt e d e u n su p erm e r cado ha p aga do u n tota l d e 1 56 € por 24 l d e l ec he , 6 k g de jamó n s er ra no y 12 l d e ac ei t e de o l iva . Ca lcu la r e l p rec io d e ca da ar t íc u lo , sa bi e ndo q u e 1 l d e ac e i t e cu es ta e l t r i p le q u e 1 l d e le ch e y qu e 1 k g d e ja mó n cue s ta ig ua l q ue 4 l de ac ei te má s 4 l d e lec h e.

lec h e x

jamón y

ace i t e z

lec h e 1 €

j amón 16 €

ace i t e 3 €

Un v i d eoc l u b es tá e sp ec i a l i za do e n p el íc u la s d e t r es t i pos : in fa nt i l es , oe st e ame r ic ano y t e rror . Se s ab e qu e:

E l 60% d e la s p el ícu la s i nf ant i le s m ás e l 5 0% de l as de l o es t e r e pr e se nt an e l 3 0%

de l tota l d e l as p e l íc u l as .

E l 20% d e la s in fa nt i l e s m ás e l 60% d e la s d el o e st e más d el 60% d e la s de t er r or a l

re pr e se n ta n l a m ita d d el t ota l d e la s pe l íc u la s .

Hay 100 pel ícu las más del oeste que de infant i les .

Ha l l a e l n úm ero d e p el ícu l as d e ca da t ipo .

in fa nt i l es x

oes te y

te rror z

Sus t i tu imo s e l va lor d e y e n la s dos ec uac ion e s i n ic i a le s y m ul t i p l ica mos la ú l t i ma

obt en i da por 3 .

in fa nt i l es 500 p el íc u la s

oes te 600 p el íc u la s

te rror 900 p el íc u la s

Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe

que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el

precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio

del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas,

sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Solución: El rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la

carpeta, 1,26 euros.