Ejercicios Gauss Cramer
11
03 de Noviembre del 2010 Tema: Ejercicios Unidad: II Encuentre A −1 si A =¿ A = [ 1 0 1 2 −2 −1 3 0 0 ] Solución A = [ 1 0 1 2 −2 −1 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 1 0 11 0 0 1 0 11 0 0 ×−2=−2 0 −2−2 0 0 −2 0 −2−2 0 0+ 2 −2 −10 1 0=0 − 2 − 3−2 1 0 1 0 11 0 0 ×−3=−3 0 −3−3 0 0 −3 0 −3−3 0 0+ 3 0 00 0 1=0 0 −3−3 0 1 A = [ 1 0 11 0 0 0 −2 −3 −2 1 0 0 0 −3 −3 0 1 ] 0 −2 −3−2 1 0 −2 =0 1 3 2 1 −1 2 0 1 0 11 0 0 0 0 −3−3 0 1 A = [ 1 0 11 0 0 0 1 3 2 1 −1 2 0 0 0 −3−3 0 1 ]
-
Upload
janet-sanchez -
Category
Documents
-
view
108 -
download
1
Transcript of Ejercicios Gauss Cramer
03 de Noviembre del 2010Tema: Ejercicios
Unidad: II
Encuentre A−1 si A=¿
A=[1 0 12 −2 −13 0 0 ]
Solución
A=[1 0 12 −2 −13 0 0
1 0 00 1 00 0 1]
1 0 11 0 0
1 0 11 0 0×−2=−2 0 −2−2 0 0
−2 0 −2−2 0 0+2 −2 −10 1 0=0 −2 −3−2 1 0
1 0 11 0 0×−3=−3 0 −3−3 0 0
−3 0 −3−3 0 0+3 0 00 0 1=0 0 −3−3 0 1
A=[ 1 0 11 0 00 −2 −3−2 1 00 0 −3−3 0 1 ]
0 −2 −3−2 1 0−2
=0 1321
−12
0
1 0 11 0 0
0 0 −3−3 0 1
A=[ 1 0 11 0 0
0 1321
−12
0
0 0 −3−3 0 1]
0 0 −3−3 0 1−3
=0 0 11 0−13
0 0 11 0−13×−3
2=0 0
−32
−32
012
0 0−32
−32
012+0 0 −3−3 0 1=0 1 0
−12
−12
12
0 0 11 0−13×−1=0 0 −1−1 0
13
0 0 −1−1 013+1 0 11 0 0=1 0 00 0
13
A=[ 1 0 00 013
0 1 0−12
−12
12
0 0 11 0−13
]Inversa
A−1=[ 0 013
−12
−12
12
1 0−13
]Comprobación
[1 0 12 −2 −13 0 0 ][ 0 0
13
−12
−12
12
1 0−13
]
1×0=0 1×0=0 1×13=13
0×−12=0 0×−
12=0 0×
12=0
1×1=1¿1
1×0=0¿0
1×−13=−13
¿0
2×0=0 2×0=0 2×13=23
−2×−12=1 −2×−
12=1 −2×
12=−1
−1×1=−1¿0
−1×0=0¿1
−1×−13=13
¿0
3×0=0 3×0=0 3×13=1
0×−12=0 0×−
12=0 0×
12=0
0×1=0¿0
0×0=0¿0
0×−13=1
¿1
A−1=[1 0 00 1 00 0 1]
Solución utilizando Gauss Jordán
2 x−3 y=4
x+5 y=2
Solución
[2 −3 41 5 1 ]
2 −3 42
=1 −32
2
1−32
2×−1=−1 32
−2
−1 32
−2+1 5 2=0 132
0
[1 −32
2
0132
0 ]0132
0
132
=0 1 0
0 1 0×32=0 3
20
0320+1 0 2=1 0 2
[1 0 20 1 0] xy
Comprobación
En la Primera Ecuación En la Segunda Ecuación
2 x−3 y=4 x+5 y=2
2 (2 )−3 (0 )=42+5 (0)=2
4−0=42−0=2 4=42=2
Utilizando el Método de Cramer
−x−2 y+2 z=9
2 x+ y−z=−3
3 x−2 y+z=−6
Solución
[−1 −2 22 1 −13 −1 1 ][ 9−3−6][−1 −2 22 1 −13 −1 1 ]
∆=[−1 −2 22 1 −13 −1 1 ]=−1[ 1 −1
−2 1 ]+2[2 −13 1 ]+2[2 1
3 −2](1 )− (2 )=−1 (2 )−(−3 )=5 (−4 )−(3 )=−7
(−1 ) (−1 )=1 (5 ) (2 )=10 (−7 ) (2 )=−14
∆=1+10−14
∆=−3
∆1=[ 9 −2 2−3 1 −1−6 −1 1 ]=9 [ 1 −1
−2 1 ]+2[−3 −1−6 1 ]+2 [−3 1
−6 −2](1 )− (2 )=−1 (−3 )−(6 )=−9 (6 )−(−6 )=12
(−1 ) (9 )=−9 (−9 ) (2 )=−18 (12 ) (2 )=24
∆1=−9−18+24
∆1=−3
∆2=[−1 9 22 −3 −13 −6 1 ]=−1[−3 −1
−6 1 ]−9[2 −13 1 ]+2[2 −3
3 −6 ](−3 )−(6 )=−9 (2 )−(−3 )=5 (−12 )−(−9 )=−3
(−9 ) (−1 )=9 (5 ) (−9 )=−45 (−3 ) (2 )=−6
∆2=9−45−6
∆2=−42
∆3=[−1 −2 92 1 −33 −2 −6]=−1[ 1 −3
−2 −6]+2 [2 −33 −6]+2[2 1
3 −2](−6 )−(6 )=−12 (−12 )−(−9 )=−3 (−4 )−(3 )=−7
(−12 ) (−1 )=12 (−3 ) (2 )=−6 (−7 ) (9 )=−63
∆3=12−6−63
∆3=−57
Resultados
x=∆1∆
=−3−3
=1 y=∆2∆
=−42−3
=14 z=∆3∆
=−57−3
=19
Comprobación
1ra Ecuación 2da Ecuación 3ra Ecuación
−x−2 y+2 z=92x+ y−z=−33 x−2 y+z=−6
−(1 )−2 (14 )+2 (19 )=92 (1 )+14−19=−33 (1 )−2 (14 )+19=−6
−1−28+38=92+14−19=−33−28+19=−6
9=9−3=−3−6=−6
Si A
A=[1 0 −12 1 −23 2 −3 ]
Encontrar 2 A2+7 A−2 A+A t
A2=[1 0 −12 1 −23 2 −3] [
1 0 −12 1 −23 2 −3]=[−2 −2 2
−2 −3 2−2 −4 2]
2 A2=2[−2 −2 2−2 −3 2−2 −4 2]=[−4 −4 4
−4 −6 4−4 −8 4]
7 A=7[1 0 −12 1 −23 2 −3 ]=[ 7 0 −7
14 7 −1421 14 −21]
2 A=2 [1 0 −12 1 −23 2 −3]=[2 0 −2
4 2 −46 4 −6 ]
At=[ 1 2 30 1 2
−1 −2 −3]
2 A2+7 A=[−4 −4 4−4 −6 4−4 −8 4 ]+[ 7 0 −7
14 7 −1421 14 −21]=[ 3 −4 −3
10 1 −1014 6 −14 ]
2 A2+7 A−2 A=[ 3 −4 −310 1 −1014 6 −14]−[ 2 0 −2
4 2 −46 4 −6 ]=[1 −4 −1
6 −1 −68 2 −8]
2 A2+7 A−2 A+A t=[1 −4 −16 −1 −68 2 −8 ]+[ 1 2 3
0 1 2−1 −2 −3]=[2 −2 2
6 0 −47 0 −11]
Cramer.
x+5 z=−6+ y
3 x+3 y=10+z
x+3 y+2 z=5
Solución
x− y+5 z=−6
3 y+3 y−z=10
x+3 y+2 z=5
[1 −1 53 3 −11 3 2 ][−6105 ]
∆=[1 −1 53 3 −11 3 2 ]=−3[1 5
3 2]+3 [1 51 2]+1[1 −1
1 3 ](−2 )− (15 )=−17 (2 )−(5 )=−3 (3 )−(−1 )=4
(−17 ) (−3 )=51 (−3 ) (3 )=−9 (4 ) (1 )=4
∆=51−9+4
∆=46
∆1=[−6 −1 510 3 −15 3 2 ]=−10[−1 5
3 2]+3[−6 55 2]+1 [−6 −1
5 3 ](−2 )− (15 )=−17 (−12 )−(25 )=−37 (−18 )−(−5 )=−13
(−17 ) (−10 )=170 (−37 ) (3 )=−111 (−13 ) (1 )=−13
∆1=170−111−13
∆1=46
∆2=[1 −6 53 10 −11 5 2 ]=−3[−6 5
5 2]+10 [1 51 2]+1[1 −6
1 5 ](−12 )− (25 )=−37 (2 )−(5 )=−3 (5 )−(−6 )=11
(−37 ) (−3 )=111 (−3 ) (10 )=−30 (11) (1 )=11
∆2=111−30+11
∆2=92
∆3=[1 −1 −63 3 101 3 5 ]=−3[−1 −6
3 5 ]+3 [1 −61 5 ]−10[1 −1
1 3 ](−5 )−(−18 )=13 (5 )−(−6 )=11 (3 )−(−1 )=4
(13 ) (−3 )=−39 (11 ) (3 )=33 (4 ) (−10 )=−40
∆3=−39+33−40
∆3=−46
Resultados
x=∆1∆
=4646
=1 y=∆2∆
=9246
=2 z=∆3∆
=−4646
=−1
Comprobación
1ra Ecuación 2da Ecuación 3ra Ecuación x− y+5 z=−63 y+3 y−z=10x+3 y+2 z=5
1−2+5 (−1 )=−63 (1 )+3 (2 )−1 (−1 )=101+3 (2 )+2(−1)=5
1−2−5=−63+6+1=101+6−2=5
−6=−610=105=5
