Ejercicios (Grafos)

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Estructura Discretas II EJERCICIOS PROPUESTOS Estudiante David Di Bacco. C.I: 24.164.862 SAIA-A REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA VICERRECTORADO ACADÉMICO UNIVERSIDAD FERMÍN TORO (UFT) FACULTAD INGENIERÍA Profesora Adriana Barreto.

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Estructura

Discretas IIEJERCICIOS PROPUESTOS

EstudianteDavid Di Bacco. C.I:

24.164.862SAIA-A

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAVICERRECTORADO ACADÉMICO

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO (UFT)FACULTAD INGENIERÍA

ProfesoraAdriana Barreto.

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Dado el siguiente grafo, encontrar:a) Matriz de adyacenciab) Matriz de incidenciac) Es conexo?. Justifique su respuestad) Es simple?. Justifique su respuestae) Es regular?. Justifique su respuestaf) Es completo? Justifique su respuesta

g) Una cadena simple no elemental de grado 6h) Un ciclo no simple de grado 5i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructorj) Subgrafo parcialk) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleuryl) Demostrar si es hamiltoniano

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V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 1 1 1 1 0 1 0V2 1 0 1 0 0 1 1 1V3 1 1 0 1 1 1 0 1V4 1 0 1 0 1 1 0 0V5 1 0 1 1 0 1 1 0V6 0 1 1 1 1 0 1 1V7 1 1 0 0 1 1 0 1V8 0 1 1 0 0 1 1 0

a) Matriz de adyacencia

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a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

a11

a12

a13

a14

a15

a16

a17

a18

a19

a20

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

V7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

b) Matriz de incidencia

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c) Es conexo?. Justifique su respuesta.Se dice Conexo si para cualquier par de vértices de a y b en G existe al menos una trayectoria (una secuencia de vértices adyacentes que no repita vértices) de a á b.De acuerdo con la definición, si es conexo ya que, para todo par de vértices se encuentran conectados o tienen un camino que los una.

d) Es simple?. Justifique su respuesta.Si es un grafo simple, debido a que se cumple que ningún vértice tiene lazo, además cada vértice esta unido por una sola arista; pero todos los vértices poseen un grado diferente, siendo no regular.

e) Es Regular? Justifique su respuesta.¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia. Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice.No es un grafo regular, ya que hay vértices que tienen grados o valencias diferentes.

f) Es Completo? Justifique su respuesta.Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. Grafos.En conclusión podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.

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G) Una cadena simple no elemental de grado 6.Una cadena simple es una secuencia finita alternada de vértices y aristas, sin repetir aristas, no elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de aristas que debe contener la cadena, en esta oportunidad son seis (6).

Ejemplo: V3= GRADO 6V6= GRADO 6

h) Un ciclo no simple de grado 5.Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple.

No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado.

I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacer H1={S1}2do paso: Seleccionamos una arista a1que tenga un extremo en H1y el otro extremo en un vértice S2 ∉ H1. Hacer H1 ∪ {S2}3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo en un vértice S3 ∉ H2. Hacer H2 ∪ {S3}

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3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremoen un vértice S3 ∉ H2. Hacer H2 ∪ {S3}

Seleccionamos el vértice v1 ⇒ H1={v1}Seleccionamos la arista a4 ⇒ H2={v1,v4}

A15 ⇒ H3={v1,v4, v5}A12 ⇒ H4={v1,v4, v5, v3}A13 ⇒ H5={v1,v4, v5, v3, v6}

A8 ⇒ H6={v1,v4, v5, v3, v6, v2}A10 ⇒ H7={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8}A20 ⇒ H8={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}

v1

v4

a4

v1

v4

v5

v3

v6

v1

v4

v5

v3

v6

v2

v8

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Por lo tanto se comprueba que en un árbol dos vértices cualesquiera están unidos Por un único camino, se demuestra con al poseer árbol generador que es un grafo conexo, y que G es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de vértices menos 1.

A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10, a20}V = {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}Numero de vértices = 8 - 1 = 7Numero de aristas = 7

j) Subgrafo Parcial.Un subgrafo parcial se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de G y se suprimen algunas aristas.Tenemos

v1

v4

v5

v3

v6

v2

v8

v7

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v1

a2 v3a3

v2

v4

a15

v5

a17v6 a19

v7

a20

v8

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de FleurySi el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de G se puede construir una cadena simple de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no se encuentre otra alternativa, al haber agotado las aristas decimos que tenemos un tour euleriano. Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir aristas, no ha sido posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan aristas, por lo tanto no se cumple que el Grafo sea Euleriano.

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I) Demostrar si es HamiltonianoUn grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debe cumplirque atraviese cada vértice del grafo exactamente una vez.

el ciclo C=[v1, a3, v2, a10, v8, a20, v7, a19, v6, a17, v5, a15, v4, a11,v3, a2, v1]

Notamos que Vo = Vk

v1 a3 v2

a10

v8

a20

v7

a19v6a17

v5

a15

v4 a11 v3a2

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Dado el siguiente dígrafoa) Encontrar matriz de conexiónb) Es simple?. Justifique su respuestac) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

d) Encontrar un ciclo simplee) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidadf) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

Ponderación de las aristasAristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

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a1 a2 a3 a

4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

a) Encontrar matriz de conexión

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b) Es simple?. Justifique su respuestaSe cumple que el Dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelosque partan de un mismo vértice a otro.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no elemental, también nos permite repetir vértices. El grado 5 nos indica el número de arcos que tendrá nuestra cadena.T = [v4, 9, v1, 5, v3, 8, v4, 9, v1, 6, v5]

d)Encontrar un ciclo simpleEl ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos.C = [v6, 14, v5, 11, v4, 9, v1, 1, v2, 4, v6 ]

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidadPara comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos:1) Hallar la matriz de adyacencia y se eleva a la enésima potencia.2) Se calcula la suma de las potencias de A hasta An.3) Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo es conexo

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V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 1 1 0 1 0V2 0 0 1 1 0 1V3 0 0 0 1 1 0V4 1 0 0 0 0 1V5 0 1 0 1 0 1V6 0 0 0 0 1 0

Matriz de adyacencia

Ma(D)=

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 0 1 1 1 1V2 1 0 0 1 1 1V3 1 1 0 1 0 1V4 0 1 1 0 1 0V5 1 0 1 1 1 1V6 0 1 0 1 0 1

Elevamos la matriz al cuadrado para encontrar los caminos de tamaño dos (02)

M (D)=

2

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V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1V2 1 1 1 1 1 1V3 1 1 1 0 1 1V4 0 1 1 1 1 1V5 0 1 1 1 1 1V6 1 0 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1V2 1 0 1 1 1 1V3 0 1 1 1 1 1V4 1 1 0 1 1 1V5 1 1 1 1 1 1V6 1 1 1 1 0 1

Elevamos la matriz a cuatro para encontrar los caminos de tamaño cuatro

(04)

M (D)=

4

Elevamos la matriz al cubo para encontrar los caminos de tamaño tres (03)

M (D)=

3

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V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1V2 1 1 1 1 1 1V3 1 1 1 1 1 1V4 1 1 1 1 1 1V5 1 1 1 1 1 1V6 1 1 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1V2 1 0 1 1 1 1V3 0 1 1 1 1 1V4 1 1 0 1 1 1V5 1 1 1 1 1 1V6 1 1 1 1 0 1

Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad Acc(D) = bin [I6 + M + M + M + M +

M ]

Elevamos la matriz a la cinco para encontrar los caminos de tamaño cinco

(05)

M (D)=

52 3 4 5

Acc(D)= bin

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V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1V2 1 1 1 1 1 1V3 1 1 1 1 1 1V4 1 1 1 1 1 1V5 1 1 1 1 1 1V6 1 1 1 1 1 1

Luego transformamos la matriz de la manera siguiente:a) Componente que sea igual a cero (0), permanece como cero (0)b) Componente diferente de cero (0), convertirla a 1.

Acc(D)= bin

Como la matriz Acc(D) no tiene componentes nula se dice entonces según el colorario 1.2 que el dígrafo es fuertemente conexo.

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F) Encontrar la distancia V2 a los de más vérticesutilizando el algoritmo de DIJKSTRAPasos:1) Ubicar el vértice de inicio.2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que esté directamente a él.3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:

4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente al vértice estudiado. 5) Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos.

[3,1]Símbolo de la iteracióno estudio de distancia

Ponderación de la arista+ lo que precede

Vértice estudiado

(1,1)# de la iteración

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d v2 a v1: 2d v2 a v3: 3d v2 a v5: 3d v2 a v4: 4d v2 a v6: 3

[2,2](1)

[3,2](1) [3,2](1)

[0,](0)

Ponderación de las aristasAristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14Ponder 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3