Universidad Externado de ColombiaFacultad de EconomıaMaestrıa en Economıa

Macroeconomıa Avanzada ICristhian Pinto Rodrıguez

Agosto de 2015

Ejercicios Modelo OLG

Ejercicio 1

Sea u(ct, ct+1) la funcion de utilidad de una familia que realiza su consumo en el perıodot denotado como ct (consumo presente) y en el perıodo t + 1 denotado como ct+1 (consumofuturo). Se sabe que las familias ahorran una parte de su ingreso real wt denotado por st.Ademas, el ahorro que hace la familia recibe un retorno en el futuro a una tasa de interesrt+1. El problema del hogar es:

maxct,ct+1

u(ct, ct+1) =c1−θt

1− θ+ β

c1−θt+1

1− θs.a. ct + st = wt

ct+1 = (1 + rt+1)st + wt+1

Estamos asumiendo una forma funcional especıfica para la utilidad del hogar, donde θrepresenta el grado de aversion relativa al riesgo y β el factor de descuento de la utilidadfutura. Ademas, las familias solo viven dos perıodos.

Este problema de maximizacion con restricciones de igualdad puede resolverse medianteel Metodo de Lagrange, pero es mucho mas comodo trabajar con maximos libres: Dejando unafuncion objetivo sin restricciones. El problema queda reducido de la siguiente manera:

maxst

u(st) =(wt − st)1−θ

1− θ+ β

((1 + rt+1)st + wt+1)1−θ

1− θ

La condicion de primer orden (C.P.O.) es:

du(st)

dst= u′(st) = −(wt − st)−θ + β(1 + rt+1)((1 + rt+1)st + wt+1)

−θ = 0 (1)

β(1 + rt+1)((1 + rt+1)st + wt+1)−θ = (wt − st)−θ

(β(1 + rt+1))− 1θ ((1 + rt+1)st + wt+1) = (wt − st)

(1 + rt+1)st + wt+1 = (β(1 + rt+1))1θ (wt − st)

(1 + rt+1)st + wt+1 = (β(1 + rt+1))1θwt − (β(1 + rt+1))

1θ st

(1 + rt+1)st + (β(1 + rt+1))1θ st = (β(1 + rt+1))

1θwt − wt+1

((1 + rt+1) + (β(1 + rt+1))1θ )st = (β(1 + rt+1))

1θwt − wt+1

st =(β(1 + rt+1))

1θwt − wt+1

(1 + rt+1) + (β(1 + rt+1))1θ

1

st =

(1 + rt+1

1 + rt+1

)(β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt − (1 + rt+1)

−1wt+1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

)

st =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt − (1 + rt+1)

−1wt+1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

st =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt −

1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(wt+1

1 + rt+1

)(2)

Este es el ahorro en el momento t. En general, podemos apreciar que depende de maneradirecta del salario real presente (wt), entre mas altos sean mis ingresos presentes tengo laposibilidad de ahorrar mas. Pero el ahorro depende de manera inversa del salario real futuro(wt+1), si mis ingresos futuros son mas altos, entonces, mi ahorro se vera contraıdo. Esto nosindica de alguna manera que existe un trade-off entre st y wt+1. En alguna medida, lo quedejo de ahorrar en el presente se vera compensado por ingreso futuro.

Analizando mas cuidadosamente la ecuacion de ahorro, podemos decir que tanto el salario

real presente (wt) como el salario real futuro traıdo a valor presente(

wt+1

1+rt+1

)estan ponde-

rados por terminos que resultan de las preferencias de consumo de los hogares. Veremos masadelante que estas ponderaciones son pertinentes en la eleccion de consumo que hace el hogar.

Ahora, reemplazemos esta ecuacion de ahorro en las restricciones de consumo presente(ct) y consumo futuro (ct+1):

ct = wt − st

ct = wt −β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt +

1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(wt+1

1 + rt+1

)

ct =

(1− β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

)wt +

1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(wt+1

1 + rt+1

)

ct =1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt +

1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(wt+1

1 + rt+1

)ct =

1

1 + β1θ (1 + rt+1))

1θ−1

(wt +

wt+1

1 + rt+1

)(3)

Podemos concluır los siguiente: el consumo presente depende de manera directa de ambosingresos, tanto presente como futuro. Para enriquecer la intuicion, demonos cuenta que wt+1

1+rt+1

es el salario real futuro traıdo a valor presente. Ası, esto mas wt resulta ser precisamente elingreso total en terminos de valor presente. Pero, este ingreso se encuentra ponderado por unfactor de descuento bastante particular (1 + β

1θ (1 + rt+1))

1θ−1) debido a las preferencias de

consumo de los hogares. Esto quiere decir que el ingreso total en terminos de valor presentees ponderado en alguna medida por este termino dependiendo de la preferencia de consumopresente del hogar. Por lo tanto, el consumo presente depende precisamente de una pondera-cion del ingreso total en terminos de valor presente.

Ahora, reemplazemos en la restriccion de consumo futuro (ct+1):

ct+1 = (1 + rt+1)st + wt+1

2

ct+1 = (1 + rt+1)

(β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt −

1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(wt+1

1 + rt+1

))+ wt+1

ct+1 =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(1 + rt+1)wt −1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt+1 + wt+1

ct+1 =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(1 + rt+1)wt + wt+1 −1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt+1

ct+1 =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(1 + rt+1)wt +

(1− 1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

)wt+1

ct+1 =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

(1 + rt+1)wt +β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1wt+1

ct+1 =β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

((1 + rt+1)wt + wt+1) (4)

De manera analoga, las conclusiones a las que podemos llegar son similares con levesdiferencias. Aquı, el termino (1 + rt+1)wt resulta ser el salario real presente llevado a valorfuturo. Mas wt+1 tenemos el ingreso total en terminos de valor futuro. Resulta que el terminoque lo acompana resulta ser una ponderacion similar a la del consumo presente, lo interesantees que si sumamos estas ponderaciones nos da 1. Esto es:

1

1 + β1θ (1 + rt+1))

1θ−1

+β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

=1 + β

1θ (1 + rt+1)

1θ−1

1 + β1θ (1 + rt+1)

1θ−1

= 1

Por tanto, el hogar toma sus decisiones de consumo de acuerdo a unas preferencias yaestablecidas por β, θ y, ademas, rt+1 de las cuales se derivan (por medio de un problema demaximizacion de utilidad) unas porciones fijas del ingreso total, ya sea en valor presente o envalor futuro, que destina a consumo presente y consumo futuro respectivamente.

3

Ejercicio 2

Supongamos, ahora, una economıa similar a la anterior pero adicionando un factor pro-ductivo: la oferta de trabajo de los hogares en el perıodo t, denotada por ηt. El problemade los hogares es el mismo pero vamos a suponer una funcion de utilidad distinta y vamos aincorporar una restriccion donde las familias distribuyen el tiempo (T ) entre ocio (denotadopor ϕt) y trabajo. Ademas, vamos a suponer que en el perıodo t+ 1 los hogares no trabajan ono ofrecen trabajo (ηt+1 = 0), solo trabajan en el perıodo t. Ası, el problema es el siguiente:

maxct,ct+1,ϕt,

u(ct, ct+1, ϕt) = ln ct + βct+1 + γ lnϕt s.a ct + st = wtηt

ct+1 = (1 + rt+1)st

ηt + ϕt = T

En esta forma funcional el parametro γ representa el grado de preferencia a invertir el tiem-po en ocio. Permitiendo que este problema quede de maximos libres, entonces, incorporandolas restricciones en la funcion objetivo tenemos que el problema se reduce a:

maxst,ηt

u(st, ηt) = ln (wtηt − st) + β(1 + rt+1)st + γ ln (T − ηt)

Las C.P.O son:∂u(st, ηt)

∂st= − 1

wtηt − st+ β(1 + rt+1) = 0 (5)

∂u(st, ηt)

∂ηt=

wtwtηt − st

− γ

T − ηt= 0 (6)

De la ecuacion (5) tenemos que:

β(1 + rt+1) =1

wtηt − st

1

β(1 + rt+1)= wtηt − st

st = wtηt −1

β(1 + rt+1)(7)

Llegamos a una ecuacion de ahorro en el perıodo t que nos dice que este depende directa-mente del salario real (wt) y la oferta de trabajo (ηt). Tambien podemos concluır que dependede manera directa de la tasa de interes (rt+1), es decir, entre mayor sea el retorno por lacantidad ahorrada, mas voy a ahorrar.

De la ecuacion (6) tenemos que:

wtwtηt − st

=γ

T − ηt

Twt − wtηt = γwtηt − γstTwt + γst = wtηt + γwtηt

Twt + γst = (1 + γ)wtηt

4

ηt =Twt + γst(1 + γ)wt

ηt =T

1 + γ+

(γ

1 + γ

)stwt

(8)

Esta ecuacion de oferta de trabajo tiene una intucion muy importante: el termino stwt

pue-de interpretarse como el ahorro en terminos reales (cantidades reales en alguna medida) otambien el equivalente a las unidades de ahorro por cada unidad de salario. Esto quiere decirque hay una relacion directa entre la cantidad de trabajo que voy a ofrecer y la “cantidad”deahorro por unidad de salario.

Hasta aquı tenemos un sistema de dos ecuaciones, que son (7) y (8), con dos incognitas,que son st y ηt. Probemos por el metodo de sustitucion. Entonces, sustituyendo (8) en (7)tenemos que:

st = wt

(T

1 + γ+

(γ

1 + γ

)stwt

)− 1

β(1 + rt+1)

st =

(T

1 + γ

)wt +

(γ

1 + γ

)st −

1

β(1 + rt+1)

st −(

γ

1 + γ

)st =

(T

1 + γ

)wt −

1

β(1 + rt+1)(1− γ

1 + γ

)st =

(T

1 + γ

)wt −

1

β(1 + rt+1)(1

1 + γ

)st =

(T

1 + γ

)wt −

1

β(1 + rt+1)

st = Twt −1 + γ

β(1 + rt+1)(9)

Encontramos, entonces, la ecuacion de ahorro. Este depende de manera directa del salarioreal y de la tasa de interes (algo contrario a lo que comunmente se tiene en las decisiones deconsumo, bajo ciertas condiciones –sobre el efecto ingreso y el efecto sustitucion– ahorro y tasade interes tienen una relacion inversa). Prosiguiendo con la solucion del sistema, sustituyendo(9) en (8) tenemos que:

ηt =T

1 + γ+

(γ

1 + γ

)(1

wt

)(Twt −

1 + γ

β(1 + rt+1)

)

ηt =T

1 + γ+

(γ

1 + γ

)(T − 1 + γ

β(1 + rt+1)wt

)ηt =

T

1 + γ+

γT

1 + γ− γ

β(1 + rt+1)wt

ηt = T − γ

β(1 + rt+1)wt(10)

Tenemos, entonces, una ecuacion de oferta de trabajo que depende de manera directa delsalario real y la tasa de interes. Entonces, ya teniendo las ecuaciones de ahorro y oferta de

5

trabajo que resuelven el problema del hogar, prosigamos a sustituırlas en las restricciones deconsumo y ocio. Tendrıamos lo siguiente:

ct = wtηt − st

ct = wt

(T − γ

β(1 + rt+1)wt

)− Twt +

1 + γ

β(1 + rt+1)

ct = − γ

β(1 + rt+1)+

1 + γ

β(1 + rt+1)

ct =1

β(1 + rt+1)(11)

Esta es la eleccion del hogar en cuanto a su consumo presente, el cual es exogeno ya queβ y rt+1 son parametros. Es decir, su decision de consumo presente es constante.

Ahora, reemplazando en la restriccion de consumo futuro tenemos que:

ct+1 = (1 + rt+1)st

ct+1 = (1 + rt+1)

(Twt −

1 + γ

β(1 + rt+1)

)ct+1 = T (1 + rt+1)wt −

1 + γ

β(12)

Ası resulta la decision de consumo futuro del hogar. Este, en cambio, sı depende del salarioreal llevado a valor futuro de manera directa.

Finalmente, la ultima restriccion del hogar, que es su decision de oscio, quedarıa de lasiguiente manera:

ϕt = T − ηt

ϕt = T − T +γ

β(1 + rt+1)wt

ϕt =γ

β(1 + rt+1)wt(13)

Concluyendo ası con la decision optima del hogar. El ocio depende de manera inversa delsalario real, es decir, a mas ingreso real menos invierto mi tiempo en el ocio.

6

Ejercicio 3

Para terminar, analicemos una economıa mas acertada en cuanto a generalidad. Vamos asuponer, ahora, que los individuos que conforman el hogar se dividen en dos grupos: jovenes{J} y viejos {V }. En el perıodo t hay una cantidad de viejos en la economıa (NV

t ), nacenunos jovenes (NJ

t ) que se volveran viejos en el perıodo t+ 1, esto quiere decir que de algunamanera NJ

t = NVt+1, y la poblacion crece a una tasa constante g que es:

1 + g =Nt+1

Ntdonde Nt = NJ

t +NVt

No es de mayor dificultad mostrar que:

g =Nt+1

Nt− 1 =

Nt+1 −Nt

Nt=NJt+1 −NV

t

Nt

Los jovenes son los que trabajan (producen) en la economıa –los viejos ya no trabajan–y toman decisiones de distribuir el tiempo (T ) entre ocio (ϕ) y trabajo (η) para todos losperıodos. Vamos a suponer que se le cobra a los jovenes un impuesto (τ) sobre su ingreso realque viene de un sistema de pensiones para subsidiar a los viejos que ya no trabajan y, portanto, no perciben ingresos. Consideremos, tambien, algunas aseveraciones:

(1− τ)wtηt es el ingreso de los jovenes en t.

(1 + r)st + τwt+1ηt+1 es el ingreso de los viejos en t+ 1.

ηt+1 = (1 + g)ηt entra la tasa de crecimiento de la poblacion.

Lo que estamos asumiendo es: Primero, en el perıodo t una porcion (τ) del ingreso de losjovenes va al sistema de pensiones. Segundo, en el perıodo t+ 1, el ingreso, desde el punto devista del joven anterior, equivale a lo que ahorro en el perıodo anterior con los intereses a unatasa r mas lo que recibira del sistema de pensiones. Tercero, como la poblacion crece a unatasa g, luego, cuando nacen los jovenes del perıodo t+ 1, lo que pueden ofrecer de trabajo nodifiere de lo que ofrecieron los jovenes del perıodo pasado sumandole lo que los nuevos jovenesvan a trabajar. Ası, podemos deducir que las restricciones del hogar son:

ct + st = (1− τ)wtηt

ct+1 = (1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt

ηt + ϕt = T

(1 + g)ηt + ϕt+1 = T

De esta manera, considerando una funcion de utilidad especıfica que tenga en cuenta enlas decisiones de consumo y ocio de los jovenes viviendo de un perıodo a otro –no agregamoslas decisiones de consumo puesto que lo que se le quita a los jovenes lo reciben los viejos y secancelarıa el efecto de las pensiones– el problema de maximizacion restringida del hogar es:

maxct,ct+1,ϕt,ϕt+1

u(ct, ct+1, ϕt, ϕt+1) = ln ct + γ lnϕt + β[ln ct+1 + θ lnϕt+1]

Reemplazando las restricciones en la funcion objetivo, el problema queda reducido a:

maxst,ηt

u(st, ηt) = ln((1−τ)wtηt−st)+γ ln(T−ηt)+β[ln((1+r)st+(1+g)τwt+1ηt)+θ ln(T−(1+g)ηt)]

7

Las C.P.O son las siguientes:

∂u(st, ηt)

∂st= − 1

(1− τ)wtηt − st+

β(1 + r)

(1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt= 0 (14)

∂u(st, ηt)

∂ηt=

(1− τ)wt(1− τ)wtηt − st

− γ

T − ηt+

β(1 + g)τwt+1

(1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt− βθ(1 + g)

T − (1 + g)ηt= 0 (15)

De la ecuacion (14) tenemos que:

β(1 + r)

(1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt=

1

(1− τ)wtηt − stβ(1 + r)(1− τ)wtηt − β(1 + r)st = (1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt

(1 + r)st + β(1 + r)st = β(1 + r)(1− τ)wtηt − (1 + g)τwt+1ηt

(1 + β)(1 + r)st = (β(1 + r)(1− τ)wt − (1 + g)τwt+1)ηt

st =

((β

1 + β

)(1− τ)wt −

(1 + g

1 + β

)τ

(wt+1

1 + r

))ηt (16)

Este es un resultado muy diciente. Podemos apreciar que el salario real presente (wt), cla-ramente, tiene un efecto directo sobre el ahorro. De manera mas precisa, el termino (1− τ)wtes la proporcion de salario que les queda a los jovenes ya que se les descuenta el impuestopor las pensiones, podrıamos definirlo como salario real disponible. Este es el que influye po-sitivamente sobre el ahorro. Tambien, tenemos el salario real futuro traıdo a valor presente,

mas precisamente, una porcion de el que es el termino τ(wt+1

1+r

). Intuitivamente este termino

es lo que recibe el joven en el futuro de pension pero en valor presente. Este salario influyenegativamente sobre el ahorro, como concluıamos en los ejercicios anteriores: lo que deja deahorrar el joven espera que le sea compensado en su pension cuando viejo. Por ultimo, elefecto de ηt dependera de cual de las dos ponderaciones es mas grande.

Por ejemplo, la tasa de crecimiento de la poblacion g harıa que st y ηt se relacionen in-versamente si la poblacion crece a un nivel muy acelerado. Esto querrıa decir que si siemprehay un baby boom de jovenes, los jovenes del perıodo t al trabajar mas ahorran menos puestoque habra muchos mas jovenes en el perıodo t+ 1 que compensen esa perdida de ahorro. Enalguna medida, hacen este trade-off de trabajar mas para mantener a una mayor cantidad deviejos y ahorrar menos porque habra mas jovenes que los mantengan ya viejos.

De la ecuacion (15) tenemos que:

(1− τ)wt(1− τ)wtηt − st

+β(1 + g)τwt+1

(1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt=

γ

T − ηt+

βθ(1 + g)

T − (1 + g)ηt

(1− τ)wt(1 + r)st + (1− τ)wt(1 + g)τwt+1ηt + β(1 + g)τwt+1(1− τ)wtηt − β(1 + g)τwt+1st((1− τ)wtηt − st)((1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt)

=γT − γ(1 + g)ηt + βθ(1 + g)T − βθ(1 + g)ηt

(T − ηt)(T − (1 + g)ηt)

((1− τ)(1 + r)wt − β(1 + g)τwt+1)st + ((1 + g)τwt+1 + β(1 + g)τwt+1)(1− τ)wtηt((1− τ)wtηt − st)((1 + r)st + (1 + g)τwt+1ηt)

=(γ + βθ(1 + g))T − (γ + βθ)(1 + g)ηt

(T − ηt)(T − (1 + g)ηt)

Continuara...

8