Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015

Ejercicios del capıtulo 2

ECUACION DE RICCATILo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

dy

dx= y2 + 4y − 5 (1)

Sol. Particular y1 = −5Hacer la transformacion lineal y su derivada:

y = −5 +1

u(x); y′ = − 1

u2· dudx

(2)

Sustituir ec. 2 en ec 1, separar e integrar:

du

dx= 6u;u = e6x+c (3)

Sustituir ec. 3 en ec. 2 y obtener la solucion general de la ec. 1:

y = −5 +1

e6x+c(4)

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTASLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

x2y3dx + x3y2dy = 0 (5)

Verificar si se cumple:∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(6)

De ser ası, su integral es de la forma:∫ x

x0

M(x, y)dx +

∫ y

y0

N(x0, y)dy = C (7)

Para ello suponemos que x0 = 1 y y0 = 0:∫ x

1

x2y3dx +

∫ y

0

y2dy = C1 (8)

La solucion de esta integral, finalmente nos da como resultado la solucion general de la ecuacion diferencial5:

x3y3

3= c1 (9)

Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1

Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015

Ejercicios del capıtulo 2

FACTOR INTEGRANTELo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

(t− y + 1)dt− dy = 0 (1)

Comprobar su exactitud con:∂M(t, y)

∂y=∂N(t, y)

∂t(2)

No se cumple la igualdad porque ∂M(t,y)∂y = −1 y ∂N(t,y)

∂t = 0 , entonces se usa la siguiente ecuacion:

dlnµ

dt=

1

N(t, y)(∂M

∂y− ∂N

∂t) (3)

Sustituyendo valores e integrando se obtiene:µ = et (4)

Multiplicando ec. 1 por ec. 4 se comprueba la exactitud de la ED y se trabaja con ec. 5:

∂f

∂y= N(t, y) = −etyg(t) = et(t− 1) + et (5)

Que finalmente arroja una solucion general igual a:

y = t+c

et(6)

ECUACIONES DIFERENCIALES NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADALo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

x[(y′)2 − 1] = 2y′ (7)

Sustituir el parametro siguiente en ec. 7 para obtener:

p =dy

dx⇒ x =

2p

p2 − 1⇒ dx =

−2p2 − 2

(p2 − 1)2(8)

Se hace la sustitucion de dx = dyp en ec. 8:∫

dy =

∫−2p3 − 2p

(p2 − 1)2dp (9)

Para usar fracciones parciales, la integral se acomoda de la siguiente manera:

y =

∫(Ap+B

(p2 − 1)2+Cp+D

p2 − 1)dp (10)

Resolviendo paso a paso la integral por fracciones parciales, obtenemos una solucion general para la ED 7:

y =2

p2 − 1− ln(p2 − 1) + C (11)

Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1

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Ejercicios del capıtulo 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIRAUTLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

y = xy′ − (y′)2 (1)

Usar el parametro y sustituirlo en ec. 1:

p =dy

dx⇒ dy = pdx⇒ y − xp + p2 = 0 (2)

Derivar ec. 2 respecto a x:dy − xdp− dx + 2pdp = 0 (3)

Acomodando en la forma estandar:dx

dp− x

p− 1= − 2p

p− 1(4)

Suponer ED homogenea, integrar, encontrar sol. xh = c(p − 1), a partir de esta suponer sol. particularxp = c(p)(p− 1).Derivar xp, sustituir en ec. 4, integrar y obtener c(p) que despues se sustituye en xp, Finalmente sumar xh

y xp para obtener:y = cx− c2 (5)

TRAYECTORIAS ORTOGONALESLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.

x2 − y2 = a2 (6)

Derivar ec. 6 con respecto a x:2xdx− 2ydy = 0 (7)

Separar el diferencial de y:dy

dx=

2x

2y(8)

Reemplazando y′ = − 1y′ en ec. 8:

− 1

y′=

x

y⇒ −dy

dx=

x

y(9)

Integrando ec. 9 se obtiene la solucion o familia de curvas:

xy = c (10)

Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1