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FÍSICA MODERNA

INFORME FASE 1

GRUPO No. (29)

SAMUEL QUINTERO CASAS – 8201656

SERGIO ALEXANDER GIL –

JUAN CAMILO TABORDA - 8103507

Solo se incluyen a los estudiantes que hicieron aportes reales al trabajo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

(MEDELLIN)

(MARZO DE 2015)

CONTENIDO

Página

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3

2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................. 4

3. RESULTADOS .................................................................................................. 12

3.1 Resultados Actividad 1. ............................................................................ 12



4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS .................................................................. 41

4.1 Actividad 1. ................................................................................................. 41

4.2 Actividad 2 .................................................................................................. 41

4.3 Actividad 3 .................................................................................................. 41

3

INTRODUCCIÓN

Las leyes de Maxwell del Electromagnetismo muestran la constancia de la

velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (entre ellas la

luz) en el vacío, lo que es equivalente a afirmar que no hay soporte material

en el que se produzcan las perturbaciones electromagnéticas. Es decir, las

citadas leyes desmienten la existencia del "éter" tal como se postulaba a

finales del siglo XIX. Por otra parte, dicha constancia fue confirmada en los

experimentos llevados a cabo para medir la velocidad de la luz por

Michelson y Morley. El resultado mostró que la velocidad es independiente

del movimiento relativo de fuente y observador. Pero si se acepta la

constancia de la velocidad de la luz en el vacío, hay que revisar nuestros

conceptos de espacio y tiempo que manejamos en la Física newtoniana.

En el presente trabajo daremos aplicación a teoría de la relatividad,

mediante la solución de algunos problemas relacionados con la rapidez

relativa, la distancia y desplazamiento de partículas, así como de la luz y su

observabilidad.

http://www.ma.hw.ac.uk/icms/jcmpages/pages/centre_page.htm

4

2. MARCO TEÓRICO

Dos de los postulados de la Física newtoniana o Física Clásica son:

las leyes que describen los sistemas mecánicos deben ser las mismas en

todos los sistemas de referencia inerciales, o sea, en movimiento relativo

rectilíneo y uniforme.

el tiempo, t, es una variable absoluta independiente de los sistemas de

referencia

Esto se formula matemáticamente diciendo que las leyes de la Mecánica son

invariantes ante las transformaciones galileanas:

donde r' es el vector de posición respecto a un sistema de referencia O'x'y'z', r es

el vector de posición respecto a otro sistema de referencia Oxyz, v es la velocidad

del sistema O'x'y'z' respecto al Oxyz. La expresión (3.1) se puede poner también

con sus componentes de r' y r separadas (3.2).

Estas transformaciones suponen que las velocidades relativas se suman y

además en ellas no resultan invariantes las leyes del Electromagnetismo. En

5

particular la velocidad de la luz no sería constante, sino que dependería del

movimiento relativo fuente-observador. Los modelos de la Física Clásica y del

Electromagnetismo son por lo tanto incompatibles.

La Teoría Especial de la Relatividad, enunciada por Albert Eistein en 1905, afirma

que todas las leyes físicas, incluyendo las leyes del Electromagnetismo, deben ser

las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales. Para que eso se

cumpla es preciso formular un conjunto de transformaciones, diferentes de las

galileanas, para las cuales sean invariantes las leyes de la Mecánica y del

Electromagnetismo. Esas transformaciones fueron establecidas por Lorentz con

anterioridad a la teoría de la Relatividad y se conocen como transformaciones de

Lorentz:

Con

Las ecuaciones (3.3) expresan las coordenadas respecto al sistema O'x'y'z't' en

función de los valores de las coordenadas x, y, z, t. Como los sistemas de

coordenadas deben ser equivalentes, podemos poner las coordenadas x, y, z, t en

función de las x', y', z', t' de la misma forma con sólo cambiar el sentido de v (el

http://www.westegg.com/einstein/

6

sistema Oxyzt se mueve con respecto al O'x'y'z't' con velocidad -v). Por lo tanto

las transformaciones de Lorentz pueden ponerse en forma inversa:

Con

Estas transformaciones implican unas concepciones nuevas del espacio y del

tiempo que chocan con nuestras intuiciones. Sin embargo, aplicadas a fenómenos

en los que las velocidades son muy pequeñas con respecto a c, las

transformaciones de Lorentz coinciden prácticamente con las galileanas al

despreciar en aquellas el valor de v2/c2. En cambio, cuando v es comparable a c,

encontramos entre otras las siguientes consecuencias:

- las velocidades relativas no se suman.

- la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el vacío es la misma en

cualquier sistema de referencia inercial.

- cualquier velocidad con respecto a cualquier sistema de referencia es siempre

menor que la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el vacío.

- las dimensiones espaciales de un objeto dependen del sistema de referencia.

Las dimensiones respecto a un sistema con velocidad cero respecto al objeto se

7

denominan dimensiones propias y son las mayores posibles. Si el sistema de

referencia está en movimiento relativo, las dimensiones del cuerpo son menores

que las dimensiones propias (contracción del espacio).

- el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos depende también del

sistema de referencia en el que se mida. Para un sistema en reposo respecto al

lugar en el que ocurren los sucesos el intervalo de tiempo (llamado tiempo

propio) es menor que para un observador respecto al cual el lugar en el que

ocurren los sucesos se está moviendo (dilatación del tiempo).

Contracción del espacio.

Supongamos una nave viajando con velocidad v constante respecto a un sistema

de referencia de origen O y coordenadas x, y, z, t, en el que se encuentra un

observador que ve dicha nave. Para que este observador pueda medir la longitud

de la nave deberá determinar simultáneamente (es decir en el mismo instante t de

su sistema de referencia) las coordenadas de los extremos de la nave. Para

abreviar las expresiones supongamos que la nave se mueve en dirección paralela

al eje x; la longitud para el observador sería: . En cambio para los

pasajeros de la nave la longitud se determinará respecto a unos ejes de origen O'

y coordenadas X', y', z', t', solidarios con la misma. Al estar la nave en reposo en

su propio sistema de referencia la determinación de las coordenadas de los

extremos no hará falta que sea simultánea. La longitud para los pasajeros sería:

. Ahora bien, por las transformaciones de Lorentz:

8

y siendo

por lo tanto la longitud para el observador que ve volar la nave sería:

, es decir L < L'

Naturalmente en la experiencia cotidiana este efecto no se nota porque v<<c y por

1. Sin embargo en los laboratorios de investigación en altas energías,

las partículas elementales son aceleradas hasta velocidades muy próximas a c y

por ello el efecto de la contracción del espacio es notable y hay que considerarlo

para diseñar los aceleradores de esas partículas.

2.2 Dilatación del tiempo.

Un suceso, en sentido relativista sería un 'punto' en un sistema de coordenadas

espacio-temporales x, y, z, t, es decir algo que ocurre en un lugar (x, y, z) y en un

instante (t). Para otro sistema de referencia, el mismo suceso ocurre en un lugar

diferente (x', y', z') y en otro instante (t'). Las coordenadas en un referencial se

pueden calcular en función de las de otro referencial inercial por medio de las

9

transformaciones de Lorentz (3.3). Por ejemplo, supongamos que un tripulante

viaja en una nave espacial que lleva una velocidad constante v respecto a un

observador y que queremos conocer el periodo de latido del corazón. En la propia

nave será: , donde son los tiempos de dos latidos

consecutivos medidos en el mismo punto del sistema de coordenadas de la nave.

Si el observador recibe las señales de los latidos y mide el periodo obtendrá:

donde son los tiempos de dos latidos consecutivos medidos en

puntos distintos del sistema de coordenadas del observador. Según la ecuación de

transformación del tiempo (3.4):

y

(nótese que ponemos x' en las dos expresiones puesto que los dos instantes

corresponden al mismo punto en el sistema O'x'y'z't') y restando nos queda:

, o sea,

Es decir, para el observador, el pasajero de la nave tiene un periodo cardiaco

mayor que el que miden en la propia nave.

2.3 Transformación de velocidades.

Supongamos un móvil que lleva una velocidad vM medida en el referencial Oxyzt.

Sus componentes son:

10

(3.7)

Supondremos para simplificar las expresiones que el referencial O'x'y'z't' se

desplaza con velocidad v constante en la dirección de eje x, es decir que vx = v;

vy = 0, vz = 0. La velocidad del mismo móvil medida en el referencial O'x'y'z't' será

vM' tal que

(3.8)

Calculando las diferenciales dx', dy', dz' y dt' a partir de las expresiones (3.3):

;

(3.9)

y finalmente sustituyendo estos valores en (3.8) nos queda:

(3.10)

Si v << c2, como ocurre en los sistemas del macrocosmos, las (3.10) coinciden

con las expresiones de la Mecánica Clásica:

. Si por el contrario v --> c, en las (3.10)

vemos que: , lo que nos indica que las

velocidades relativas nunca pueden superar la velocidad de la luz en el vacío.

11

MASA Y ENERGÍA.

Otra de las novedades de las hipótesis fundamentales de la Física Relativista y

que choca con las ideas de la Física Clásica es que la masa de los cuerpos no es

una constante característica de los mismos, sino que depende también del

sistema de referencia utilizado. Esta hipótesis es necesaria por otra parte para

explicar por qué un cuerpo sometido a una fuerza que produce una aceleración no

puede alcanzar nunca la velocidad c. Según la Teoría de la Relatividad, la masa

de un cuerpo medida en un sistema de referencia en reposo respecto de dicho

cuerpo es la masa propia o masa en reposo m, pero si la masa es medida en un

sistema de referencia con velocidad v respecto al cuerpo, su valor m' será mayor

que la masa propia:

m' = m, lo que coincide con nuestra experiencia ordinaria. Admitida esta hipótesis,

cuando sobre un cuerpo de masa propia m se aplica una fuerza constante y se

acelera, el trabajo realizado por dicha fuerza no se transformará en energía

cinética, ya que la masa va aumentando, según la (3.11). La hipótesis se completa

con otra: la energía total de una partícula con velocidad v respecto a un sistema

de referencia es E = mc2, siendo m la masa de dicha partícula en el sistema de

referencia considerado. Por lo tanto, el trabajo invertido en acelerar una partícula

se invertirá en aumentar la energía total:

12

La ecuación (3.12) significa que masa y energía son magnitudes proporcionales

con c2 como constante de proporcionalidad, transformándose una en otra de

forma reversible según la relación E = mc2. La producción de energía en los

procesos de fisión nuclear (reactores y centrales nucleares) y fusión nuclear y

otros muchos procesos sólo son explicables por medio de esta revolucionaria

hipótesis.

3. RESULTADOS

3.1 Resultados Actividad 1.

Una Luz naranja destella en la posición xn y un tiempo tn, y una luz verde en xg y

tg, todos observados en el marco de referencia S. El marco de referencia S’ tiene

su origen en el mismo punto que S en t=t’=0; el marco S’ se mueve uniformemente

a la derecha. Se observa que ambos destellos se presentan en el mismo lugar en

S’. a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’. b) Encuentre el factor de Lorentz.

c) Encuentre la ubicación de los dos destellos en el marco S’. d) ¿En qué tiempo

se presenta el destello naranja en el marco S’?

Ejercicio 1. Nombre: QUE CORRESPONDIA A YOVANY MORENO

𝒙𝒏 = 𝟏𝟎𝒎

𝒕𝒏 = 𝟔. 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔

𝒙𝒈 = 𝟏𝟒𝒎

𝒕𝒈 = 𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖𝒔

13

a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’:

∆𝒙′ = 𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕)

𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎

(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎

(𝚫𝒙) = 𝒗𝚫𝒕

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕

𝒗 =𝟏𝟒𝒎 − 𝟏𝟎𝒎

𝟔, 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗 − 𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖

𝒗 =𝟏𝟒𝒎 − 𝟏𝟎𝒎

𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝟔, 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗

𝒗 =𝟒𝒎

𝟒, 𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟗𝒔

𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈

Desde el punto de vista matematico esto no es posible porque la fórmula del factor de lorentz

condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la luz, 𝑣2

𝑐2 debe ser menor que

1 en la expresión: √1 −𝑣2

𝑐2 ya que en caso contrario resultaría en la raíz de un numero negativo lo

cual es matemáticamente imposible como se ve en el ejemplo a continuación usando el resultado

de 𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈

14

b)Encuentre el factor de Lorentz

𝜸 =𝟏

√𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈)𝟐

(𝟐. 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔)𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝟕, 𝟓𝟔𝟎𝒙𝟏𝟎𝟏𝟕𝒎/𝒔)

(𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔)

𝜸 =𝟏

√𝟏 − 𝟖, 𝟒𝟎𝒎/𝒔

𝜸 =𝟏

√−𝟕, 𝟒𝒎/𝒔

EJERCIO 2 (SERGIO ALEXANDER GIL)

Según la tabla de datos para valores de:

𝑥𝑛 = 8.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑛 = 6.3 × 10−9𝑠𝑒𝑔.

𝑥𝑔 = 11.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑔 = 1.33 × 10−8𝑠𝑒𝑔.

15

a). Rapidez relativa:

∆𝒙′= (∆𝒙 − 𝒗∆𝒕)

∆𝑥′= 3𝑚 − 𝑣(7 × 10−9𝑠)

0 = 3𝑚 − 𝑣(7 × 10−9𝑠) ↔ 3𝑚 = 𝑣(7 × 10−9𝑠)

𝑣 =3𝑚

7 × 10−9𝑠

𝑣 = 4.28 × 10−10 𝑚𝑠⁄

b). Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

𝛾 =1

√1 −(4.28 × 10−10)2

(3 × 108)2

𝛾 =1

√1 − 2.03 × 10−4=

1

0.99= 1.001

c). Ubicación de los destellos en el marco S’

Ya que en el marco S se observa una distancia de 3m. entre un evento y el otro, pero en el

marco S’ no hay distancia, se puede clasificar el problema como una contracción de la

longitud, entonces:

𝐿 =3𝑚

𝛾= (3𝑚)√1 −

𝑣2

𝑐2

Por lo tanto:

𝐿 = (3𝑚)(0.99) = 2.97𝑚

16

d) Tiempo del destello naranja en el marco S’

El destello naranja visto por el observador en el marco S fue de: 1. 33 × 10−8𝑠, para

determinar el tiempo en el marco S’ se usa la fórmula:

𝑡2′ − 𝑡1

′ = 𝛾 (𝑡2 −𝑣𝑥2

𝑐2) − 𝛾 (𝑡1 −

𝑣𝑥1

𝑐2)

Ya que 𝛾 = 1.001 se tiene: 𝑡2′ − 𝑡1

′ = (𝑡2 − 𝑡1) − [(1.001)(𝑣 𝑐2⁄ )(𝑥2 − 𝑥1)]

Como el evento en S’ ocurre simultáneamente, entonces:𝑡2′ − 𝑡1

′ = 0

0 = (𝑡2 − 𝑡1) − [(3𝑚)(4.28 × 10−10 𝑚 𝑠⁄ )/(3.0 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2]

𝑡2 − 𝑡1 = 1.15 × 10−3𝑠

EJERCICIO 3. NOMBRE: JUAN CAMILO TABORDA

a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’.

∆𝑥′ = 𝛾(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡)

𝛾(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡) = 0

(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡) = 0

(Δ𝑥) = 𝑣Δ𝑡

𝑉 =∆𝑥

∆𝑡

17

𝑉 =𝑋𝑔 − 𝑋𝑛

𝑡𝑔 − 𝑡𝑛

𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜:

𝑉 =16,0 − 10,0

3,30 ∗ 10−9 − 1,5 ∗ 10−9

𝑉 =6

1,8 ∗ 10−9

𝒗 = 𝟑, 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝒎/𝒔

b) Encuentre el factor de Lorentz.

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

𝛾 =1

√1 −(3,3 ∗ 10−9𝑚/𝑠)^2

(3 ∗ 108𝑚/𝑠)^2

𝛾 =1

√1 −1,089 ∗ 10−17

9 ∗ 1016

𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟏𝒎/𝒔

18

EJERCICIO 4 (CARLOS FERNANDO PRADA)


𝑥𝑛 = 6.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑛 = 8.4 × 10−9𝑠𝑒𝑔.

𝑥𝑔 = 15.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑔 = 1.11 × 10−8𝑠𝑒𝑔

a). Rapidez relativa:

∆𝒙′= (∆𝒙 − 𝒗∆𝒕)

∆𝑥′= 9𝑚 − 𝑣(2.7 × 10−9𝑠)

0 = 9𝑚 − 𝑣(2.7 × 10−9𝑠) ↔ 9𝑚 = 𝑣(2.7 × 10−9𝑠)

𝑣 =9𝑚

2.7 × 10−9𝑠

𝑣 = 3.3 × 10−9 𝑚𝑠⁄

b). Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

𝛾 =1

√1 −(3.3 × 10−9)2

(3 × 108)2

𝛾 =1

√1 − 0.012=

1

0.994= 1.006

c). Ubicación de los destellos en el marco S’

Ya que en el marco S se observa una distancia de 3m. entre un evento y el otro, pero en el

marco S’ no hay distancia, se puede clasificar el problema como una contracción de la

longitud, entonces:

19

𝐿 =9𝑚

𝛾= (9𝑚)√1 −

𝑣2

𝑐2

Por lo tanto:

𝐿 = (9𝑚)(0.994) = 8.95𝑚

d) Tiempo del destello naranja en el marco S’

El destello naranja visto por el observador en el marco S fue de: 1. 33 × 10−8𝑠, para

determinar el tiempo en el marco S’ se usa la fórmula:

𝑡2′ − 𝑡1

′ = 𝛾 (𝑡2 −𝑣𝑥2

𝑐2) − 𝛾 (𝑡1 −

𝑣𝑥1

𝑐2)

Ya que 𝛾 = 1.006 se tiene: 𝑡2′ − 𝑡1

′ = (𝑡2 − 𝑡1) − [(1.006)(𝑣 𝑐2⁄ )(𝑥2 − 𝑥1)]

Como el evento en S’ ocurre simultáneamente, entonces:𝑡2′ − 𝑡1

′ = 0

0 = (𝑡2 − 𝑡1) − [(9𝑚)(3.33 × 10−9 𝑚 𝑠⁄ )/(3.0 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2]

𝑡2 − 𝑡1 = 27 × 10−3𝑠

EJERCICIO 5. NOMBRE: SAMUEL QUINTERO CASAS

𝒙𝒏 = 𝟔𝒎

𝒕𝒏 = 𝟔, 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔

𝒙𝒈 = 𝟏𝟏𝒎

20

𝒕𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔

a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’:

∆𝒙′ = 𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕)

𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎

(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎

(𝚫𝒙) = 𝒗𝚫𝒕

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕

𝒗 =𝟏𝟏𝒎 − 𝟔𝒎

𝟗, 𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟗 − 𝟔. 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟗

𝒗 =𝟓𝒎

𝟑, 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟗𝒔

𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈

21

Desde el punto de vista matemático esto no es posible porque la fórmula del factor

de lorentz condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la

luz, 𝑣2

𝑐2 debe ser menor que 1 en la expresión: √1 −𝑣2

𝑐2 ya que en caso contrario

resultaría en la raíz de un numero negativo lo cual es matemáticamente imposible

como se ve en el ejemplo a continuación usando el resultado de

𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈

b) Encuentre el factor de Lorentz

𝜸 =𝟏

√𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔)𝟐

(𝟐. 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔)𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝟐, 𝟎𝟏𝟔𝟒𝒙𝟏𝟎𝟏𝟖𝒎/𝒔)

(𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔)

22

𝜸 =𝟏

√𝟏 − 𝟐𝟐, 𝟒𝟑𝟒𝒎/𝒔

𝜸 =𝟏

√−𝟐𝟏, 𝟒𝟑𝟒𝒎/𝒔


Un deuterón se mueve se mueve a una velocidad x calcule a) el factor de Lorentz

b) su energía en reposo, c) su energía total y d) su energía cinética. De las

respuestas de energía en MeV.

EJERCICIO 1. QUE CORRESPONDÍA A YOVANY MORENO 𝒗 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟔𝒄

1

a) Calcule el factor de Lorentz:

𝜸 =𝟏

√𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

23

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝒄)𝟐

(𝒄)𝟐

= 𝟏

√𝟏 −𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟓𝒄𝟐

𝒄𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟓=

𝟏

𝟎. 𝟗𝟒𝟖𝟖=

𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟒

su energía en reposo:

𝑬𝑹 = 𝒎𝒄𝟐

𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ (𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖)𝟐𝒎/𝒔

𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ 𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔

𝑬𝑹 = 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

Se convierte de J a eV:

𝑬𝑹 =𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟏𝟖𝟕𝟑𝑴𝒆𝑽

Energía total=energía cinetica+energía en reposo

24

𝑬 = 𝑲 + 𝒎𝒄𝟐 = 𝜸𝒎𝒄𝟐

𝑬 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟒 ∗ 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

𝑬 = 𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱


𝑬𝑹 =𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟐𝟓𝟑𝑴𝒆𝑽

d) energía cinética

𝑲 = 𝜸𝒎𝒄𝟐 − 𝒎𝒄𝟐

𝑲 = 𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 − 𝟑, 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

𝑲 = 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑱


𝑬𝑹 =𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟐𝟓𝟑𝑴𝒆𝑽

25

EJERCIO 2 (SERGIO ALEXANDER GIL)

Según la tabla de datos para el valor de:

𝑣 = 0.428 𝑐

a. Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

=1

√1 −(0.428𝑐)2

𝑐2

=1

√1 − 0.1832

𝛾 = 1.11

b. Energía en reposo 𝑬𝑹

Peso del deuterón: 3.343 × 10−27𝑘𝑔

𝐸𝑅 = 𝑚𝑑𝑐2 = (3.343 × 10−27𝑘𝑔)(2.998 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2

= 3.005 × 10−10𝐽

1 electrón Volt = 1.602 × 10−19𝐽, entonces:

(3.005 × 10−10) (1𝑒𝑉

1.602 × 10−19𝐽) = 1875 𝑀𝑒𝑉

c. Energía total

𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2

↔ 𝐸 =𝑚𝑐2

√1 −𝑣2

𝑐2

= 𝛾𝑚𝑐2

26

Ya que 𝛾 = 1.11 y 𝑚𝑐2 = 1875𝑀𝑒𝑉, entonces:

𝐸 = (1.11)(1875𝑀𝑒𝑉) = 2081𝑀𝑒𝑉

d. Energía cinética

Como 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜, se tiene:

𝐸 = 𝐾´ + 𝑚𝑐2

↔ 𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐2

↔ 𝐾 = 2081 − 1875 = 206𝑀𝑒𝑉


Un deuterón se mueve a una velocidad x calcule

a) factor de Lorentz Masa del deuterón = 3.34358309*10-27 Kg

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

𝛾 =1

√1 −(0,144𝑐)2

𝑐2

27

𝛾 =1

√1 −0,1442. 𝑐2

𝑐2

𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟏

b) energía en reposo.

𝐸𝑅 = 𝑚𝑐2

𝐸𝑅 = 3,34358309 ∗ 10−27𝐾𝑔 . 3 ∗ 108𝑚/𝑠

𝐸𝑅 = 3,009 ∗ 10−10𝐾𝑔𝑚2

𝑠2

𝐸𝑅 = 3,009 ∗ 10−10𝐽.1 𝑀𝑒𝑣

1,602 ∗ 10−13𝐽

𝑬𝑹 = 𝟏𝟖𝟕𝟖, 𝟐𝟕𝟕𝟏𝟓𝟒 𝑴𝒆𝒗

c) energía total

𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2

𝐸 = 18.7827𝑀𝑒𝑣 + 1878,27𝑀𝑒𝑣

𝑬 = 𝟏𝟖𝟗𝟕. 𝟎𝟓𝟐𝟕𝑴𝒆𝒗

d) energía cinética

𝐾 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐2

𝑘 = (1,01 − 1). (1878,27 𝑀𝑒𝑣)

28

𝑘 = (0,01)(1878,27𝑀𝑒𝑣)

𝒌 = 𝟏𝟖. 𝟕𝟖𝟐𝟕 𝑴𝒆𝒗

EJERCICIO 4. (CARLOS FERNANDO PRADA)


𝑣 = 0.706 𝑐

a. Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

=1

√1 −(0.706𝑐)2

𝑐2

=1

√1 − 0.499

𝛾 = 1.41

a. Energía en reposo 𝑬𝑹

Peso del deuterón: 3.343 × 10−27𝑘𝑔

𝐸𝑅 = 𝑚𝑑𝑐2 = (3.343 × 10−27𝑘𝑔)(2.998 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2

= 3.005 × 10−10𝐽

1 electrón Volt = 1.602 × 10−19𝐽, entonces:

(3.005 × 10−10) (1𝑒𝑉

1.602 × 10−19𝐽) = 1875 𝑀𝑒𝑉

29

b. Energía total

𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2

↔ 𝐸 =𝑚𝑐2

√1 −𝑣2

𝑐2

= 𝛾𝑚𝑐2

Ya que 𝛾 = 1.41 y 𝑚𝑐2 = 1875𝑀𝑒𝑉, entonces:

𝐸 = (1.41)(1875𝑀𝑒𝑉) = 2644𝑀𝑒𝑉

c. Energía cinética

Como 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜, se tiene:

𝐸 = 𝐾´ + 𝑚𝑐2

↔ 𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐2

↔ 𝐾 = 2644 − 1875 = 769𝑀𝑒𝑉

Ejercicio 5. Nombre: SAMUEL QUINTERO CASAS

𝒗 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝒄

b) Calcule el factor de Lorentz:

𝜸 =𝟏

√𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

30

𝜸 =𝟏

√𝟏 −(𝟎. 𝟏𝟑𝟎𝒄)𝟐

(𝒄)𝟐

= 𝟏

√𝟏 −𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟗

𝒄𝟐

𝜸 =𝟏

√𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟗=

𝟏

𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟓=

𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟓𝟕

Su energía en reposo:

𝑬𝑹 = 𝒎𝒄𝟐

𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ (𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖)𝟐𝒎/𝒔

𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ 𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔

𝑬𝑹 = 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

31


𝑬𝑹 =𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟏𝟖𝟕𝟑𝑴𝒆𝑽

Energía total=energía cinetica+energía en reposo

𝑬 = 𝑲 + 𝒎𝒄𝟐 = 𝜸𝒎𝒄𝟐

𝑬 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟓𝟕 ∗ 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

𝑬 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱


𝑬𝑹 =𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟔𝟕𝟖𝑴𝒆𝑽

e) energía cinética

32

𝑲 = 𝜸𝒎𝒄𝟐 − 𝒎𝒄𝟐

𝑲 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 − 𝟑, 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱

𝑲 = −𝟏, 𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱


𝑬𝑹 =−𝟏, 𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽

𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= −𝟏𝟏𝟎𝟒𝑴𝒆𝑽

33


Un muón formado a grandes alturas de la atmósfera de la Tierra se desplaza con

una rapidez v una distancia x antes de desintegrarse en un electrón, un neutrino y

un antineutrino. a) ¿Cuánto dura el muón, observado en su marco de referencia?

De la respuesta en microsegundos. b) calcule el factor del Lorentz.

EJERCICIO 1. NOMBRE: QUE CORRESPONDÍA A YOVANY MORENO

𝒗 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟎

𝒙 = 𝟔, 𝟔𝟑𝑲𝒎

Calculamos Δ𝑡𝑝 el cual es la duración del muon en su propio marco de referencia:

𝚫𝒕𝒑 =𝟐𝒅

𝒄=

𝟏𝟑𝟐𝟔𝟎𝒎

𝟎, 𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔

𝚫𝒕𝒑 = 𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝚫𝒕𝒑 = 𝟏𝟓𝟖𝝁𝒔

Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de referencia, al mismo

tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula lo requiere:

𝚫𝒕 = 𝜸𝚫𝒕𝒑

𝚫𝒕 = 𝟏

√𝟏−𝒗𝟐

𝒄𝟐

∗ 𝚫𝒕𝒑

34

𝚫𝒕 =𝟏

√𝟏 −𝟎, 𝟐𝟖𝟎𝑪𝟐

𝒄𝟐

∗ 𝚫𝒕𝒑

𝚫𝒕 =𝟏

√𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟖𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝚫𝒕 = 𝟏𝟗𝝁𝒔

𝜸 =∆𝒕

∆𝒕𝒑=

𝟏, 𝟖𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝛄 = 1,172

EJERCICIO 2. SERGIO ALEXANDER GIL)


𝑣 = 0.115 𝑐

𝑥 = 9.91 𝑘𝑚

a. El tiempo de existencia de un muón es de ≈ 2.2𝜇𝑠, si se desplaza con una rapidez

cercana a la rapidez de la luz, se tiene:

35

(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(2.2 × 10−6𝑠) = 6.6 × 102𝑚.

Que es la distancia que recorre antes de desintegrarse.

Para el recorrido que hace según la tabla de datos:

(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(∆𝑡) = 9910𝑚.

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: ∆𝑡=9910𝑚

3 × 108 𝑚 𝑠⁄

= 3.3 × 10−5𝑠 = 33𝜇𝑠

∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑢ó𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑎 33𝜇𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒.

b. Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

=1

√1 −(0.115)2

𝑐2

= 1.007


36

a) ¿Cuánto dura el muón, observado en su marco de referencia? De la respuesta en microsegundos.


Δ𝑡𝑝 =2𝑑

𝑐=

5,02𝑚

0,445 ∗ 3 ∗ 108𝑚/𝑠

Δ𝑡𝑝 = 3,76 ∗ 10−8𝑠

𝚫𝒕𝒑 = 𝟑𝟕𝟔𝝁𝒔

b) Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de

referencia, al mismo tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula

lo requiere:

Δ𝑡 = 𝛾Δ𝑡𝑝

Δ𝑡 = 1

√1−𝑣2

𝑐2

∗ Δ𝑡𝑝

Δ𝑡 =1

√1−0.4452.𝑐2

𝑐2

∗ 3,76 ∗ 10−8s

37

1

√1 − 0,198025 ∗ 3,76 ∗ 10−8𝑠

Δ𝑡 = 4,1986 ∗ 10−8𝑠

𝚫𝒕 = 𝟒𝟏𝟗𝝁𝒔

𝛾 =∆𝑡

∆𝑡𝑝=

4,1986 ∗ 10−8𝑠

3,76 ∗ 10−8𝑠

𝛄 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟔

EJERCICIO 4. (CARLOS FERNANDO PRADA)


𝑣 = 0.316 𝑐

𝑥 = 9.11 𝑘𝑚

a. El tiempo de existencia de un muón es de ≈ 2.2𝜇𝑠, si se desplaza con una rapidez

cercana a la rapidez de la luz, se tiene:

(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(2.2 × 10−6𝑠) = 6.6 × 102𝑚.

Que es la distancia que recorre antes de desintegrarse.

Para el recorrido que hace según la tabla de datos:

(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(∆𝑡) = 9910𝑚.

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: ∆𝑡=9110𝑚

3 × 108 𝑚 𝑠⁄

38

= 3.0 × 10−5𝑠 = 30𝜇𝑠

∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑢ó𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑎 30𝜇𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒.

b. Factor de Lorentz

𝛾 =1

√1 −𝑣2

𝑐2

=1

√1 −(0.316)2

𝑐2

= 1.05

EJERCICIO 5. NOMBRE: SAMUEL QUINTERO CASAS

𝒗 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟖𝒄

𝒙 = 𝟓, 𝟗𝟖𝑲𝒎


𝚫𝒕𝒑 =𝟐𝒅

𝒄=

𝟏𝟏𝟗𝟔𝟎𝒎

𝟎, 𝟖𝟑𝟖 ∗ 𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔

39

𝚫𝒕𝒑 = 𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔

𝚫𝒕𝒑 = 𝟒𝟑𝟔𝝁𝒔

Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de

referencia, al mismo tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula lo

requiere:

𝚫𝒕 = 𝜸𝚫𝒕𝒑

𝚫𝒕 = 𝟏

√𝟏−𝒗𝟐

𝒄𝟐

∗ 𝚫𝒕𝒑

𝚫𝒕 =𝟏

√𝟏 −𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝑪𝟐

𝒄𝟐

∗ 𝚫𝒕𝒑

𝚫𝒕 =𝟏

√𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑𝟖 ∗ 𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔

40

𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟖𝝁𝒔

𝜸 =∆𝒕

∆𝒕𝒑=

𝟏, 𝟎𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔

𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔

𝛄 = 𝟐, 𝟒𝟕𝟕

41

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

4.1 Actividad 1.

Desde el punto de vista matemático esto no es posible porque la fórmula del factor

de lorentz condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la

luz, 𝑣2

𝑐2 debe ser menor que 1 en la expresión: √1 −𝑣2

𝑐2 .

Se observa que ambos destellos se presentan en el mismo lugar en S’

4.2 Actividad 2

4.3 Actividad 3

42

5. CONCLUSIONES

Se hace referencia a lo desarrollado en el trabajo, a los ejercicios planteados en

guía de actividades fase 1.

Einstein, con su teoría de la relatividad dio vuelta a todo el universo científico de

su tiempo, retando a conocimientos que se creían intocables desde los tiempos de

newton.

La teoría de la relatividad sentó las bases del estudio de los orígenes y forma del

Universo, además nos permite interpretar la realidad de la que se compone, así

como su comportamiento.

43

6. BIBLIOGRAFÍA

tomado de. tema unidad uno libro guía. Marzo de 2015

tomado de. Ecuaciones de transformación de Lorentz Marzo de 2015

Tomado de módulo física moderna UNAD, entorno de conocimiento,

material de Web conferencias, marzo de 2015 de:

http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/file.php/87/act_2015-

1/Fisica_moderna_web1.pdf

http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/file.php/87/act_2015-%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201/Fisica_moderna_web1.pdf

http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/file.php/87/act_2015-%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201/Fisica_moderna_web1.pdf

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