Ejercicios Programación Clásica 2015-16 Soluciones

8/17/2019 Ejercicios Programación Clásica 2015-16 Soluciones

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Ejercicios Tema 2: PROGRAMACIÓN CLÁSICA

1.- Obtener, si es posible, los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) ( ) 3 2, f x y x xy x= + !

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( )

( ) ( )

2 22

2

1 2 3 3

, 3 1 0 0 1 0 1

10 3 1 0, 2 0 0 0 3

1 10,1 , 0, 1 , , 0 , , 03 3

f x y x y x y y

x

y x x f x y xy x o y

y

PC PC PC PC

!" #= + $ = %

= % $ = % = ±& &!& &' (

= % $ = % = ±!& &= = % = =!& &) *

+ , + ,$= = $ = =- . - .

/ 0 / 0

CS: Hf en P.C.

( )

( )

( )

( )

1

2

3

1

2

3

6 2,

2 2

0 20,1 es un punto de silla

2 0

0 20, 1 es un punto de silla

2 0

6 3 0

1 3,0 es un minimo local0 2 3

PC

PC

PC

P

x y Hf x y

y x

Hf Indefinida PC

Hf Indefinida PC

Hf definida positiva PC

Hf

! "= # $

% &

! "= ' '# $

% &

(! "= ' ' (# $(% &

! "= ' '# $# $

% &

( )4 4

6 3 01 3,0 es un maximo local

0 2 3C definidanegativa PC

! "(= ' ' (# $

# $(% &

b) ( ), x y f x y e e= +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

2

, 0 ,

, 0 ,, 0 ,

x

y

f x y e x y R

x f x y x y R f

x y e x y R y

!" #= $ % &' '!

' ' ( ) $ % &* +!' '= $ % &

!' ', -

No hay puntos críticos, no se verifica la condición necesaria de óptimo, por lo que la función no

tiene óptimos.

c) ( ) 3 2, 2 f x y x xy y= + +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =


2/12

"#$%&%' "($)"*$+,%' -(.( /( )"-.)'(!"#$%&"' ') *#+,+-." / *-01)2"

( )

( )

( )

( ) ( )

22 2

1 2

, 3 2 03 2 0 3 2 0 3 2 0

2 20 0 o 3 2 0, 2 2 0 3 3

2 20,0 , ,3 3

f x y x y

x y x x x x x

f x y x x y x y x y x y

y

PC PC

!" #= + = $% % + = $ & = $ & =!% %

' ( &! = $ = & = $ = $ =% %= + = $ = &!% %) *

&= =

CS: Hf en P.C.

( )

( )

( )

1

2

1

3

6 2,

2 2

0 20,0 es un punto de silla

2 2

4 2

2 3, 2 3 es un minimo local2 2

PC

PC

x Hf x y

Hf Indefinida PC


! "= # $

% &

! "= ' '# $

% &

! "=

' ' (# $% &

d) ( ) 2 2, , 3 5 2 6 2 f x y z x y yz xz xy= + + + !

CN: ( ) ( ), , 0, 0, 0 f x y z ! =

( )

( )

( )

, , 6 6 2 06 6 2 0 6 6 2( 3 ) 0 12 6

10 2 2 0 10( 3 ) 2( 2 ) 2 0 36 0, , 10 2 2 0

Sistema Homogeneo solucion trivia

, , 2 6 0 3

f x y z x z y

x x z y x z x x z z f

y z x x x x x x x y z y z x y

f x y z y x y x x

! "#= + $ =% %#

+ $ = & + $ $ = & = $ &% %#% %

+ $ = & $ + $ $ = & $ = &= + $ =' (#% %

% %# = + = & = $% %#) *

( )l P.C. 0,0,0&

CS: Hf en P.C.

( )( )

1

2

1

6 2 6 6 0 Indefinida

, , 2 10 2 60 4 0

6 2 0 0 24 24 360 24 0 0,0,0 es un punto de silla

D

Hf x y z D

D PC

! = >" # $%& '

= ! ( = ! > ( )*& '%& '

= ! ! ! !


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( )( )

2 0 0 Indefinida

, , 0 3 0

0 0 3 0,0,0 es un punto de silla

Hf x y z

PC

! "# $

= % $# $'( )

f) ( ) 4 4, f x y x y= +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( )( )

3

3

, 4 0

0, 0

, 4 0

f x y x

x PC

f x y y

y

!" #= = $% %!% %

$ =& '!% %= = $

!% %( )

CS: Hf en P.C.

( )

2

2

12 0,

0 12

0 0

0 0 PC

x Hf x y y

Hf Estudio Local

! "= # $% &

! "= '# $

% &

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

4

4

4 4

0,0 0

0 ,0 0,0

0,0 0,0

0 ,0 0,0

0,0 es un minimo local

f

f h h f

f k k f

f h k h k f

PC

=

+ = >

+ = >

+ + = + >

g) ( ) 3 4, 3 f x y x y= +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( )( )

2

3

, 3 0

0, 0

, 4 0

f x y x

x PC

f x y y

y

!" #= = $% %!% %

$ =& '!% %= = $

!% %( )

CS: Hf en P.C.

( ) 2

6 0,

0 12

0 0

0 0 PC

x Hf x y

y

Hf Estudio Local

! "= # $

% &

! "= '# $

% &

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

3

0,0 0

0 0 ,0 0,00 ,0

0 0 ,0 0,0

0,0 es un punto de silla

f

si h f h f f h h

si h f h f

PC

=

> + >

+ = !

< + <


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h) ( ) 2 2, 3 2 f x y x xy y x= + + ! +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( )

( )( )

, 2 3 0 2 2 3 0 3 3 0 1 2

2, 1, 2 0 2

f x y x y y y y y x x

f PC x y x y x y

y

!" #= + $ =% % $ + $ = & $ $ = & = $ & =!% %

' (! $% %= + = & = $!% %) *

CS: Hf en P.C.

( ) ( )2 1

, 2, 1 es un minimo local1 2

Hf x y definida positiva PC ! "

= # # $% &' (

i) ( ) 3 3 2 2, 2 4 6 f x y x y x y= + + + +

CN:

( ) ( ), 0,0

f x y! =

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

1 2 3 4

2, 3 2 0 03

8, 3 8 0 03

8 82 20, 0 , 0, , , 0 , ,3 3 3 3

f x y x x x o x

x

f x y y y y o y

y

PC PC PC PC

!" #$= + = % = =& &!& &

' (! $& &= + = % = =!& &) *

$ $$ $= = = =

CS: Hf en P.C.

( )

( )

( )

( )

1

2

3

1

2

3

6 2 0,

0 6 8

2 00,0 es un minimo local

0 8

2 00, 8 3 es un punto de silla

0 8

2 02 3,0 es un punto de silla

0 8

PC

PC

PC

P

x Hf x y

y


Hf Indefinida PC

Hf Indefinida PC

Hf

+! "= # $

+% &

! "= ' '# $

% &

! "= ' ' (# $(% &

(! "= ' ' (# $

% &

( )4 4

2 02 3, 8 3 es un maximo local

0 8C definidanegativa PC

(! "= ' ' ( (# $(

% &

j) ( ), xy f x y e=

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( )( )

, 0 0

0, 0

, 0 0

xy

xy

f x y ye y

x PC

f x y xe x

y

!" #= = $ =% %!% %

$ =& '!% %= = $ =

!% %( )

CS: Hf en P.C.


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( ) ( )

( )

( )

2

2

1,

1

0 10,0 es un punto de silla1 0

xy xy

xy xy

PC

y e e xy Hf x y

e xy x e

Hf Indefinida PC

! "+= # $# $

+% &

! "= ' '# $

% &

k) ( ), f x y sen x=

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( ) ( )( )

2

, cos 02

,2

, 0 0 ,

f x y x y

x PC x

f x y x y R

y

!

!

"# $= = % =& &"& &

% =' ("& &= = % ) *

"& &+ ,

CS: Hf en P.C.

( )

( )

0,

0 0

0El signo no es estable en el 0,0 , es un punto de silla

0 0 PC

senx Hf x y

senx Hf PC

!" #= $ %

& '

!" #= ($ %

& '

l) ( ) 2, y f x y x e y= +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( ) 2 2

, 2 0 0

, 1 0 0 1 0

y

y y

f x y xe x x

PC f

x y x e si x x e y

!" #= = $ =% %!% %

$ & / ' (!% %= + = $ = $ + )!% %* +

No tiene puntos crítico, por lo que no puede tener óptimos, al no cumplir la Condición

necesaria.

m) ( ) 2, y f x y x ye= +

CN: ( ) ( ), 0,0 f x y! =

( )

( ) ( )( )

, 2 0 0

0, 1

, 0 1 0 1 y y y

f x y x x

x PC

f x y e ye e y y

y

!" #= = $ =% %!% %$ &' (!% %= + = $ + = $ = &

!% %) *

CS: Hf en P.C.

( )( )

( )

2 02 0,

0 20

2 00, 1 es un punto de silla

0 1/

y y y y

PC

Hf x ye ye e ye

Hf Indefinida PC e

! "! "= = # $# $

++ +% & % &

! "= ' ' (# $(% &


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2.- Una empresa produce tres bienes cuyos precios de mercado en competencia perfecta son 16,

12 y 20 u.m. por unidad, respectivamente. Obtener los valores1 2,q q y

3q que maximizan el

beneficio de la empresa, sabiendo que su función de costes es:

25232)( 312

3

2

2

2

1 ++++=

qqqqqqC .( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3, , 16 12 20 2 3 2 25 B q q q q q q q q q q q= + + ! ! ! ! !

CN: ( ) ( )1 2 3, , 0, 0, 0 B q q q! =

( )

( )

( )

( )( )

1 2 3 1 3

1

1 3

1 2 3 2 2 3 3 3 3

2

3 1

1 2 3 1 3

1

, , 16 2 2 0

8

, , 12 4 0 3 20 2 8 6 0 20 16 2 6 0

1 7 7, 3,1

, , 20 2 6 0

Bq q q q q

qq q

Bq q q q q q q q q

qq q PC

Bq q q q q

q

! "#= $ $ =% %#% % = $

% %#% %= $ = & = & $ $ $ = & $ + $ =' (

#% % & = & = &% %#

= $ $ =% %

#% %) *

CS: Hf en P.C.

( )( )

1

2

1

2 0 2 2 0 definida negativa

, , 0 4 0 16 0

2 0 6 48 16 0 7,3,1 es un maximo local

D

Hf x y z D

D PC

! ! = !


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6.- Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Si : n f IR IR !!" es una función diferenciable en

n IR , entonces sus máximos y

mínimos locales, si existen, son puntos críticos de f .

b) Si f es diferenciable en n IR , entonces todo punto crítico de f es un óptimo local de f.

c) Si0

x es un punto de silla de una función f diferenciable en Rn, entonces ( )0 0 f x! = .

d) Si0

x es un mínimo local de una función ( )2 n f C IR! , entonces ( )0 Hf x es definida positiva.

e) Sea ( )2 n f C IR! y ( )0 Hf x es indefinida, entonces 0 x es un punto de silla de f.

7.- Obtener los puntos críticos de los siguientes programas matemáticos:

a)

( ) ( ) ( )2 2 2

, , 2 3

. : 3 10

Opt U x y z x y z

s a x y z

= ! + + +

! + =

b)

( ),

. : 0

x yOpt U x y e e

s a x y

= +

+ =

¿Se podría en dichos programas determinar el carácter de óptimos de sus puntos críticos sin

recurrir a la condición suficiente? Justifique su respuesta.

8.- Resolver los siguientes programas matemáticos:

a)( ) 2 2

2

, 4 4 36

. : 4

Opt f x y x y

s a x y

= + !

+ =

Primer paso: construimos la función Lagrangiana:

( ) ( )2 2 2, , 4 4 36 4 L x y x y x y! ! = +

"

+ " "

Segundo paso: aplicamos la condición necesaria de primer orden de Lagrange

( )* * *, , 0 L x y ! " =

( )

( )

( ) 2

1 2

, ,8 2 0 4

, ,18 0 8 4 0

2

, , 1 74 0 4 4

2 2

7 1 7 1, , 4 , , , 4

2 2 2 2 L L

L x y x x

x

L x y y y y

y

L x y x y x y x x

PC PC

! ! !

! !

!

!

"#= $ = % = &

# & &

= $ = % $ = % = '# &

&= $ $ = % = $ % = $ % = ± (

) * ) *= = $+ , + ,+ , + ,

- . - .

Tercer paso: comprobamos que se trata de un punto regular.

Condición de regularidad: ( )( ) ( ), 2 ,1 1r g x y r x! = = , se verifica en todo R 2, por lo que

ambos son puntos regulares.

Cuarto paso: Condición suficiente de segundo orden.


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"#$%&%' "($)"*$+,%' -(.( /( )"-.)'(!"#$%&"' ') *#+,+-." / *-01)2"

Al no tratarse de un programa convexo (el conjunto factible no lo es), debo acudir a la

condición suficiente para estudiar si el punto crítico anterior es un óptimo. Esto me lleva

a estudiar el signo de la siguiente forma cuadrática:

: ( *, *)

. . ( *) 0

t

x

j

w u H L x u

s a dg x

!

=

que en nuestro caso concreto quedaría como:

( )

( )

( )

1

2

8 2 0:

0 8

. . 2 0

0 0: La f.c. libre es semidefinida positiva,0 8

debo estudiar la restringida7. . 2 0

2

: 8

7 2. . 2 02

PCL

dxw dx dy

dy

s a xdx dy

dxw dx dy

dy

s a dx dy

w dx dy dydy

dx s a dx dy

! " #$ %$ %&' (' ( )*+ ,+ ,&

+ = -

#$ %$ %&' (' (&+ ,+ , )*&

+ = &-

) = "+ =

( )

( )

( )( )

2

2

2

:8 , la f.c.r. es definida positiva27 PCL1 minimo local

0 0:

La f.c. libre es semidefinida positiva,0 8


2

: 8

.

PCL

w dy dy

dxw dx dy

dy

s a dx dy

w dx dy dy

s a

#&

)*&-

#$ % $ %&' ( ' (&+ , + , )*&" + =&-

( )( ) 2:8 , la f.c.r. es definida positiva2

77 2. 2 0 PCL2 minimo local2

w dy dydydx

dx dy

#&

) = )*" + = &-

b)( )

2 2

, 6 4 3

. : 1

Opt f x y x y

s a x y

= ! !

+ =

Primer paso: construimos la función Lagrangiana:

( ) ( )

2 2, , 6 4 3 1 L x y x y x y! ! = " " + " "

Segundo paso: aplicamos la condición necesaria de primer orden de Lagrange

( )* * *, , 0 L x y ! " =


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"#$%&%' "($)"*$+,%' -(.( /( )"-.)'(!"#$%&"' ') *#+,+-." / *-01)2"

( )

( )

( )

2 22 2

2 2 2

1

2 3 3, , 4 2 4 34 2 0 2 42

, , 3 3 9

3 2 0 1 0 1 02 4 16

, , 25 16 41 0 1

16 25 5

4 3 5 4 3 5, ,

5 5 2 5 5 2

4

5

L

x L x y y x y x x y x x x

L x y x x

y x x y y

L x y x y x x x

x y PC

x

! ! !

!

! !

!

!

!

" "# $" " = % " = " % =

= " " = % = = &# &

# &" ' (= " " = % = % " " = % " " = %) * +# , -&

&= " " = = % = ± % = ±

# .

" "' (= % = % = % = * +

, -

"= % 1

3 5 4 3 5, ,

5 2 5 5 2 L y PC !

" " "' (= % = % = * +

, -

Tercer paso: comprobamos que se trata de un punto regular.

Condición de regularidad: ( )( ) ( ), 2 , 2 1r g x y r x y! = = , se verifica para los puntos

críticos hallados, por lo que ambos son puntos regulares.

Cuarto paso: Condición suficiente de segundo orden.

Al no tratarse de un programa convexo (el conjunto factible no lo es), debo acudir a la

condición suficiente para estudiar si el punto crítico anterior es un óptimo. Esto me lleva

a estudiar el signo de la siguiente forma cuadrática:

: ( *, *)

. . ( *) 0

t

x

j

w u H L x u

s a dg x

!

=

que en nuestro caso concreto quedaría como:


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"#$%&%' "($)"*$+,%' -(.( /( )"-.)'(!"#$%&"' ') *#+,+-." / *-01)2"

( )

( )

( )

1

2

8 2 0:

0 8

. . 2 0

0 0: La f.c. libre es semidefinida positiva,0 8


2

: 8

7 2. . 2 02

PCL

dxw dx dy

dy

s a xdx dy

dxw dx dy

dy

s a dx dy

w dx dy dydy

dx s a dx dy

! " #$ %$ %&' (' ( )*+ ,+ ,&

+ = -

#$ %$ %&' (' (&+ ,+ , )*&

+ = &-

) = "+ =

( )

( )

( )( )

2

2

2

:8 , la f.c.r. es definida positiva27 PCL1 minimo local

0 0:

La f.c. libre es semidefinida positiva,0 8debo estudiar la restringida

7. . 2 02

: 8

.

PCL

w dy dy

dxw dx dy

dy

s a dx dy

w dx dy dy

s a

#&

)*&-

#$ % $ %&' ( ' (&+ , + , )*&" + =&-

( )( ) 2:8 , la f.c.r. es definida positiva2

77 2. 2 0 PCL2 minimo local2

w dy dydydx

dx dy

#&

) = )*" + = &-

c) ( )2 2,. : 1

Opt f x y x y s a x y

= +

+ =

d)( ) 2 2, 3 4

. : 3 6

Opt f x y x xy y

s a x y

= + +

+ =

e) ( ) 2 2, 7

. : 2

Opt f x y x y x y

s a x y

= + + + +

+ =

9.- Dados los programas:

a) ( ) 2 2, 2 2Opt f x y x y x y= + ! ! y b) ( ) 2 2

, 2 2

. : ,

Opt f x y x y x y

s a x y c c R

= + ! !

+ = "

Determinar bajo qué condición ambos programas tienen el mismo óptimo.

10.- Comparar el óptimo sin restricciones de la función ( ) ( ) ( )2 2

, 2 2 f x y x y= ! + ! con el

óptimo de esa misma función sujeta a la condición 6 x y+ = .

11.- Sea la función ( ) ( )2 2, 5 f x y x y x y= + ! ! , se pide:a) Determinar los óptimos de dicha función.

b) Introducir una restricción de forma que el óptimo anterior no sea posible.c) Introducir una restricción de forma que el óptimo anterior sea el mismo en el programa libre

que en el condicionado.


11/12

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12.- a) Maximizar la utilidad de un consumidor descrita por la función e interpretar el resultado:

( ) ( )2, lnU x y xy= .

b) Si la recta de balance del consumidor es 2 3 60 x y+ = ¿en qué punto se alcanza elequilibrio del consumidor? Interpretar el valor del multiplicador de Lagrange asociado al valor

máximo.

13.- En una planta industrial se consume un único input, del que se dispone en una cantidad

limitada (3 unidades) que es preciso agotar. En dicha planta funcionan dos procesos

productivos, entre los que se reparte la cantidad disponible de input. Siendo1

x y2

x las

cantidades de inputs asignadas a cada uno de esos procesos productivos:

a) ¿Cómo debe repartirse el input entre1

x y2

x para que los rendimientos de la planta, dados

por la función ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2, 200 2 2 R x x x x= ! ! ! ! sean máximos?

b) Interpretación económica del multiplicar de Lagrange,*

! , obtenido.

14.- Un fabricante produce dos tipos de productos x e y , siendo su función de costes

( ) 2 2,C x y x y= + . El número total de productos que debe producir es 5 ¿Cuántas unidades decada tipo debe fabricar para minimizar el coste?

15.- Un consumidor desea gastar 250 unidades monetarias de su renta en el consumo de dos

bienes en cantidades1

x y2

x . Sabiendo que su función de utilidad es

)ln(30)ln(20),( 2121 x x x xU += y los precios unitarios son 1 5 p = u.m. y 2 6 p = u.m.

a) Calcular las cantidades de esos bienes que deberá consumir para maximizar su utilidad.

b) ¿Qué efecto tendría sobre la utilidad un aumento de una unidad monetaria en el presupuesto?

16.- Una empresa editorial dispone de 5 millones de euros para invertir en el desarrollo y

promoción de un nuevo libro. Se calcula que si gasta x millones de euros en desarrollo e y

millones en promoción se obtendrán unas ventas de ( )3

2,V x y x y= .

a) ¿Cuánto dinero debe asignarse a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar lasventas?

b) Si la empresa dispone de 0,1 millones de euros más ¿cómo se vería afectado el nivelmáximo de ventas?

17.- Dada la función ( ) ( )2 2, 2 f x y x ay x y= + ! ! , se pide:a) Determinar (en función de los valores de a ) los óptimos libres.

b) Introducir una restricción de forma que el óptimo anterior no sea una solución posible.

c) Para 2=a determinar los óptimos de la función, condicionados ahora al cumplimiento de

la ecuación 3 4 5 x y! = . Comparar con el óptimo obtenido en el apartado a).

18.- Resolver el programa:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

, , 1 2 3

. : 18

Opt U x y z x y z

s a x y z

= ! + ! + !

+ + =

¿Cómo afectaría al valor óptimo de la función objetivo un cambio infinitesimal en la constantede la restricción? ¿Por qué?


12/12

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19.- Determinar los óptimos de los siguientes programas, indicando cuando sea posible su

carácter de globales:

a)

2 2

( , ). . 2

Opt f x y x y s a x y

= +

+ =

b) 2 2

( , )

. . 18 2

Opt f x y xy

x y s a

=

+ =

c)

2( , ) 2

. . 2 6 0

Opt f x y x y

s a x y

= !

! + =

d)

21( , ) 22

. . 2 1

x

x

Opt f x y e y

s a e y

= !

+ =

20.- Dado el programa:

( ) 2 2 2, ,

. . 2 2

Opt U x y z x y z x y z

s a x y z

= + + + + +

+ ! =

Se pide:a) Resolverlo utilizando el método de Lagrange.

b) Interpretar el valor en el óptimo del multiplicador obtenido.c) ¿Será el óptimo global? Justificar la respuesta.

Ejercicios Programación Clásica 2015-16 Soluciones

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