EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Sea el siguiente sistema de inecuaciones .

a) Dibuje el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtenga sus vértices.

b) Halle los puntos del recinto anterior en los que la función f(x, y) = x – 2y toma los

valores máximo y mínimo y determine éstos.

2. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el

modelo A a un precio de 9000€ y el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada:

por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, y por el deseo de vender

al menos tantas unidades de A como de B. por otra parte, para cubrir los gastos de esta

campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser, al menos de 36000 €.

a) ¿Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

b) ¿Cuál es el importe de la venta?

3. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. el modelo A requiere para su

elaboración, 20 cm2 de papel, 120 cm2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El

modelo B requiere: 60 cm2 de papel, 80cm2 de lámina de madera y 1 enganche metálico.

El coste de producción de cada modelo es 1,20 € el A y 1,30 € el B. el precio de venta es

de 1,80 € cada uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las

existencias son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lámina de madera y 70 enganches.

a) Representa la región factible.

b) Determina el número de abanicos de cada modelo que ha de hacer para obtener un

beneficio máximo.

c) Calcula ese beneficio.

4. Sea S la región del plano de coordenadas mayores o iguales que 0, tales que sus puntos

cumplen que:

- La media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5.

- El doble de la abscisa, más la ordenada es mayor o igual que 5.

a) Representa gráficamente el conjunto S.

b) Determina en qué puntos de S la función f(x, y) = 2x + y toma valor máximo.

5. El cuadrilátero ABCD es la región factible de un sistema de inecuaciones lineales. Los

lados del cuadrilátero también forman parte de la región solución.

a) Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x + 3y en dicha región.

b) ¿En qué puntos de la región solución la función del apartado anterior alcanza el

máximo y el mínimo?

0

AB

C

D

6. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y

medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar

al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en

alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe

dedicar a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.

7. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje

transporta coches y motos. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para

motos no menos de la mitad de los vagones que dedica a coches. Si los ingresos de la

compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motos,

calcular cómo deben distribuirse los vagones para que el beneficio de un transporte de

coches y motos sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.

8. Una tienda de ropa deportiva tiene en su almacén 200 balones y 300 camisetas. Para su

venta hacen dos lotes, A y B. el lote A contiene 1 balón y 3 camisetas, y el B 2 balones y

2 camisetas. La ganancia obtenida por la venta de un lote de tipo A es de 12 € y de 9 €

por cada lote de tipo B. sabiendo que el número máximo de lotes de tipo A es de 80,

determinar:

a) El número de lotes de cada tipo que se deben preparar para obtener una ganancia

máxima.

b) La ganancia máxima.

9. Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles: uno de gama

alta, con el que gana 100 € por unidad vendida, y el otro de gama baja cuyos beneficios

por unidad vendida son de 600 €. Por razones de mercado, la venta anual de éstos

modelos está sujeta a las siguientes restricciones:

- El número de modelos de gama alta vendidos no será menor de 50 ni mayor

de 150 coches.

- El número de modelos de gama baja vendidos ha de ser mayor o igual al

número de modelos de gama alta vendidos.

- El concesionario puede vender hasta un máximo de 500 automóviles de los

dos modelos al año.

a) Plantear las restricciones y representar gráficamente la región factible.

b) ¿Cuántos automóviles de cada modelo debe vender anualmente con el fin de

maximizar los beneficios?

10. En la preparación de dos tipos de paquetes de café, C1 y C2, se utiliza café brasileño y

café colombiano. Cada paquete del tipo C1 contiene 300 g de café brasileño y 200 g de

colombiano, y cada paquete de café de tipo C2 contiene 100 g de brasileño y 400 de

colombiano. Con cada paquete de tipo C1 se obtiene un beneficio de 0,90 €, y con cada

paquete de C2 uno de 1,20 €. Se dispone de 900 Kg. de café brasileño y de 1600 Kg. de

café colombiano.

a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se tienen que preparar para obtener un beneficio

máximo?

b) ¿Cuál es este beneficio máximo?

11. Una tienda de café recibe 700 kilos de café natural y 800 kilos de café torrefacto. Envasa

paquetes de un kilo con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kilo de cada clase de

café y el tipo B con un cuarto de natural y tres cuartos de torrefacto. La ganancia por kilo

de tipo A es de un euro y de 2 euros por kilo de tipo B. determinar los paquetes de cada

tipo de mezcla que deben prepararse para obtener una ganancia máxima.

12. Un producto se compone de la mezcla de otros dos, A y B. se tienen 500 Kg. de A y 500

Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para

satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 Kg. Sabiendo que

cada kilo de A cuesta 5 € y cada kilo de B cuesta 4 €, calcular los Kg. de A y B que deben

emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores.

Obtener dicho coste mínimo.

13. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo:

cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se

quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y

un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían cubiertas todas las salas. Igualmente,

se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del

edificio. Finalmente se tiene un presupuesto máximo de 36000 €, y cada cámara cuesta

1000 € mientras que cada alarma cuesta 500 €.

a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo

los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el

conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas?

b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas

¿cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso ¿cuál será el coste total?

14. Sea el siguiente sistema de inecuaciones: .

a) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.

b) Halla los puntos de esa región en los que la función f(x, y) = 2x +3y alcanza los

valores máximo y mínimo y calcula dichos valores.

15. Un taller pirotécnico fabrica cohetes sencillos que luego vende a 2,70 € el paquete de 10

y cohetes de colores que vende a 3,60 € el paquete de 10. por problemas de

mecanización no pueden fabricar al día más de 400 cohetes sencillos ni más de 300

cohetes de colores, ni más de 500 cohetes sumando los de las dos clases. Se supone

que se vende toda la producción.

a) Representa la región factible.

b) ¿Cuántos cohetes de cada clase convendrá fabricar y vender para que el beneficio

sea máximo?

c) Calcula ese beneficio máximo.

16. En una ebanistería se fabrican dos tipos de meas; mesas de comedor y mesas para

ordenador. Las de comedor necesitan 4 m2 de madera y las de ordenador 3 m2. el

fabricante dispone de 60 m2 de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de

comedor y al menos el doble de mesas de ordenador que de comedor. Además, por cada

mesa de ordenador obtiene un beneficio de 200 €, mientras que por las de comedor el

beneficio es de 300 € por mesa. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe fabricar para

obtener el máximo beneficio?

17. Determinar la región solución del sistema y su vértice: . Calcula el

valor de la función f(x, y) = x – 4y en el vértice y explica razonadamente si corresponde a

un extremo de f(x, y), y de qué tipo es.

18. En una empresa se fabrican dos tipos de piezas que llamaremos A y B. Para fabricar una

pieza del tipo A se necesitan 2 Kg. de cierto metal y para hacer una del tipo B, 4 Kg. del

mismo metal. La empresa dispone, como máximo, de 100 Kg. del metal y no puede

fabricar más de 40 piezas de tipo A ni más de 20 de tipo B.

a) Hacer un sistema de inecuaciones que represente las restricciones en la fabricación

de la empresa.

b) Determinar gráficamente los puntos del plano que verifican este sistema.

c) De entre las soluciones obtenidas, ¿cuáles son los posibles valores de las piezas de

cada tipo (han de ser enteros) si se quiere gastar los 100 Kg. de metal? Explica

detalladamente qué se hace para probarlo.

19. Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mg de

vitamina A, 28 mg de vitamina C y 34 mg de vitamina D. estas necesidades se cubren

tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada pastilla de la marca

Energic cuesta 0,03 € y proporciona 2 mg de vitamina A,2 mg de vitamina C y8 mg de

vitamina D. cada pastilla de marca Vigor cuesta 0,04 € y proporciona 3 mg de vitamina A,

2 mg de vitamina C y 2 mg de vitamina D. ¿Cuántas pastillas de cada marca se han de

tomar diariamente si se desean cubrir las necesidades vitamínicas básicas con el menor

coste posible? Determina dicho coste.

20. Un vendedor dispone de 350000 € para invertir en dos tipos de microondas. El que

dispone de más accesorios tiene un coste de150 € y reporta un beneficio de 15 € por

unidad vendida, mientras que el otro modelo solo proporciona un beneficio de 11 € por

unidad vendida y tiene un coste de 100 €. Sabiendo que solo se pueden almacenar 3000

microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más caro, determinar cuántos

microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el beneficio y calcular este.

21. Una empresa de instalaciones eléctricas de baja tensión recibe el encargo de realizar la

instalación en una urbanización con dos tipos de viviendas A y B. Cada vivienda de tipo A

necesita 60 m de cable y 6 horas de trabajo, produciendo un beneficio de 459 € por

vivienda. La vivienda B necesita 40 m de cable y 8 horas de trabajo, produciendo un

beneficio de 550 € por vivienda. Si solo dispone de 2400 m de cable y de 369 horas de

trabajo, se pide:

a) ¿Cuántas viviendas de cada tipo debe realizar dicha empresa para maximizar los

beneficios?

b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios?

22. Una empresa fabrica dos tipos de televisores (T21 y T14) de 21 y 14 pulgadas, a un coste

por televisor de 100 y 50 €, respectivamente. Se sabe que el nº de televisores T21

fabricados diariamente no supera en 4 unidades a los T14, y que entre ambos no se

superan diariamente los 30 televisores. También se sabe que el proceso productivo no

permite fabricar diariamente menos de 2 televisores T21 ni menos de 5 televisores T14.

a) Formular el sistema de inecuaciones asociado al problema.

b) Dibujar la región factible y calcular sus vértices.

c) Calcular cuántos televisores maximizan y cuántos minimizan el coste de producción

diaria.

23. Un payés, para abonar una finca, necesita al menos 9 Kg. de nitrógeno y 15 Kg. de

fósforo. En el mercado vende un producto A que contiene un 20% de nitrógeno y un 40%

de fósforo, y otro producto B que contiene un 30% de nitrógeno y un 30% de fósforo. El

precio del producto A es de 4 €/kg y el de B 5 €/kg.

¿Qué cantidad debe comprar de cada producto para abonar la finca con el menor gasto

posible?

24. En una pastelería fabrican dos tipos de trufas, las normales y las amargas. Cada trufa

normal lleva 20 g de cacao, 20 g de nata y 20 g de azúcar y se vende a 0,75 €. Cada

trufa amarga lleva 100 g de cacao, 20 g de nata y 10 g de azúcar y se vende a 2 €. En la

pastelería disponen de 30 Kg. de cacao, 8 Kg. de nata y 7 Kg. de azúcar. Determinar

cuántas trufas de cada tipo deben fabricarse para maximizar las ganancias.

25. Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños:

pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de

1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock

mínimo de 100 envases pequeños y 200 grandes. La demanda de envases grandes es

igual o superior a la de pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro

para cada envase pequeño y de 20 céntimos para cada envase grande. ¿Qué cantidad

de cada tipo de envase proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho

mínimo.

26. En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume por jersey 4

madejas de 3 € y 2 de 2 €. El segundo tipo, 3 madejas de 3 € y 3 de 2 €. Los gastos de

fabricación son de 4 € para el primer tipo y de 10 para el segundo, siendo sus precios

respectivos de venta de 30 y 36 €. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar más

de 100 jerseys y que por cada jersey confeccionado del segundo tipo hay que

confeccionar por lo menos tres del primero, ¿cuántos jerseys de cada tipo hay que

confeccionar a la semana para maximizar el beneficio?

Analizar gráficamente qué ocurre si pueden fabricarse 120 jerseys a la semana.

27. En la despensa de una cafetería se puede guardar un máximo de 210 paquetes de café.

En estos momentos la despensa está vacía. Se va a añadir una nueva remesa de

paquetes, de forma que finalmente en la despensa el número de paquetes de café

descafeinado sea al menos un 20€ del de paquetes de café normal, y el número de

paquetes de café normal sea al menos el doble del de paquetes de café descafeinado.

a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se pueden añadir?

b) Calcula los paquetes de cada tipo que hay que añadir para que además la despensa

tenga el máximo número posible de paquetes de café descafeinado. ¿Y si lo que

queremos es tener el máximo número posible de paquetes de café normal?

28. A una persona que dispone de 30000 € se le ofrecen dos fondos de inversión, A y B, con

rentabilidades respectivas del 12% y el 18%. El A tiene unas limitaciones legales de

12000 € de inversión máxima, mientras que el B no tiene limitación alguna, pero no se

aconseja invertir en él más del doble de lo invertido en A.

¿Qué cantidad debe invertir en cada fondo para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es

dicho beneficio?

29. Sea T la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones:

a) Representa gráficamente la región T.

b) Se considera la función f(x, y) = . Calcula, si existen, los puntos (x, y) que dan

el valor máximo y los que dan el valor mínimo de f(x, y) en T

c) Calcula las respuestas del apartado anterior si en T se cambia la desigualdad y 2x

+2 por x ≥ 2.