I.A.A.F.S.

Fundamentos de Geomecánica

Mecánica de Rocas I

Prof. Jarufe, A. & Prof. Orrego, C.

Aytes. Fritzler, I., Gómez, P., Herrera, F. & Yelicich, V.

2017

Ejercicios Propuestos

PEP 1

1. Para el testigo de roca presentado en la ilustración 1, el cual fue sometido a un Ensayo Triaxial,

considerado no válido por fallar a través de estructura, además de presentar una leve inclinación

en la superficie horizontal, se solicita determinar:

a. Orientación de los esfuerzos principales.

b. Esfuerzos actuantes en el plano de falla A-A´.

c. Suponga un plano con ángulo de ruptura de 20° en sentido horario, determine esfuerzos

actuantes en ese plano, además demuestre que los esfuerzos obtenidos en este plano

mediante el Círculo de Mohr serán los mismos que por el método analítico.

Tabla 1. Resultados obtenidos de Ensayo Triaxial (MPa)

σ1 σ3

35 16

Ilustración 1. Visualización de Ensayo Triaxial

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2. En el siguiente elemento de roca, se identificaron dos planos de ruptura aa´ y bb´ como se aprecia

a continuación.

Ilustración 2. Representación de planos aa´ y bb´

Además, son perpendiculares entre sí, y presentan ángulos de ruptura de 20° y 110° (aa´ y bb´

respectivamente) medidos en sentido anti horario desde la horizontal. El estado tensional de estos

planos se representó de la siguiente manera.

𝜎𝑎𝑎´ = 13 𝑀𝑃𝑎, 𝜎𝑏𝑏´ = 19 𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝑎𝑎´𝑏𝑏´ = 4.5 𝑀𝑃𝑎

Se solicita determinar:

a. Deformaciones axiales.

b. Deformaciones principales con sus orientaciones.

c. Deformaciones actuantes en un plano medido 40° sentido anti horario desde la horizontal.

Nota:

En caso de un supuesto de deformación plana considerar G = 1.01 GPa y ν = 0.23

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3. Se está evaluando una nueva extensión en el transporte subterráneo que conecte una línea de metro

con otra estación, dicha labor corresponde a una galería circular de 25 m2 con 500 m de longitud,

por el momento sólo se ha estudiado el estado tensional in situ, mediante el método de HI Cell (3

especímenes), la información correspondiente se presenta a continuación.

Tabla 2. Resultados obtenidos vía HI Cell

σ1 I1 AZ1 σ2 I2 AZ2 σ3 I3 AZ3

68 5 25 45 16 115 23 83 210

65 3 28 22 15 110 48 89 205

67 4 26 43 13 105 71 84 209

σ: Esfuerzo (MPa), I: Inclinación (°), AZ: Azimut (°)

La nueva extensión que se desea excavar, se pretende realizar perpendicular a la línea de metro,

como se aprecia en la ilustración 2, además la línea de metro se presenta con una inclinación de

8° y la nueva extensión se prevé horizontal.

Se solicita analizar y determinar a partir de la información entregada:

a. Esfuerzos principales actuantes (Magnitud y Orientación) en el contorno de la nueva

extensión.

b. ¿En dónde se produce mayor sobre excavación, en la línea de metro o en la nueva extensión?

Ilustración 3. Vista planta de la nueva extensión

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Formulario

C =σx + σy

2

R = √(σx − σy

2)

2

+ τxy2

P, Q = C ± R

σθ = (σx + σy

2) + (

σx − σy

2) ∙ cos 2θ + τxy ∙ sin 2θ

τθ = τxy ∙ cos 2θ − (σx − σy

2) ∙ sin 2θ

σxyz = LT ∙ σ123 ∙ L

σxyz = (

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

)

σ123 = (

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

)

L = (

lx mx nx

ly my ny

lz mz nz

)

li = cos βi ∙ cos δi

mi = sin βi ∙ cos δi

ni = sin δi

σx´y´z´ = L´ ∙ σxyz ∙ L´T

P, Q =σx + σy

2± √(

σx − σy

2)

2

+ τxy2

P

Q

θP =1

2∙ tan−1 (

2τxy

σx − σy

)

θQ = θP + 90°

G =E

2(1 + ν)

εθ = (εx + εy

2) + (

εx − εy

2) ∙ cos 2θ +

γxy

2∙ sin 2θ

γθ = γxy ∙ cos 2θ − (εx − εy) ∙ sin 2θ

εx =1

E∙ [(1 − ν2) ∙ σx − ν ∙ (1 + ν) ∙ σy]

εy =1

E∙ [(1 − ν2) ∙ σy − ν ∙ (1 + ν) ∙ σx]

γxy =2 ∙ (1 + ν)

E∙ τxy

εP,Q =εx + εy

2±

1

2√(εx − εy)

2+ γxy

2

θεP =1

2∙ tan−1 (

γxy

εx − εy

)

θεP = θεP + 90°

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Solución

1.

a. σ1: 100°, σ3: 10°

b. σn: 31.6 MPa, τ: 7.3 MPa

c. σn: 32.8 MPa, τ: -6.1 MPa

(Para efectos de demostrar, básicamente es utilizar ambos métodos y corroborar que el

resultado sea el mismo, pero para eso, se debe considerar la convención propuesta tanto por

el método analítico como el de Mohr, el resultado tanto en b como c son basados en Círculos

de Mohr)

2.

a. εX: 3.97x10-3, εy: 4.57x10-3, γxy: -5.35x10-3

b. εP: 6.96x10-3, θP: -41.8°, εQ: 1.58x10-3, θQ: -131.8°

c. ε40°: 6.85x10-3, γ40°: 1.52x10-3

3.

a. P: 54.14 MPa, θP: 14.13°, Q: 24.85 MPa, θQ: 104.13°

b. La mayor sobre excavación se producirá en la nueva extensión con una razón de esfuerzos

principales secundarios o de anisotropía de 2.18 versus un 1.86 correspondiente a la línea

de metro.

Nota:

Los esfuerzos principales pueden ser denotados tanto por σ1,2,3 como por P - Q, siendo la primera notación

utilizada de manera más general en mecánica de materiales, geología, etc., además representa los esfuerzos

de manera tridimensional, referente a la notación P - Q, hace referencia a esfuerzos principales en dos

dimensiones y es empleada en la mecánica de roca, estás dos componentes a su vez, hacen referencia al

esfuerzo principal máximo y mínimo de la dimensión 2D analizada.