EJERCICIOS REPASO MATEMATICAS FINANCIERAS...

EJERCICIOS REPASO II

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

2EJERCICIOS DE REPASO

EJERCICIO 4:

El S. Sousa ha percibido una herencia valorada en 90.000 €. La entidad que gestiona el cobro de la misma le propone varias opciones para percibir la misma. Responda a las cuestiones planteadas en cada opción por el perceptor del capital sabiendo que la operación se valora a un 6% de interés anual.

Opción I: Disponer de 20 cantidades constantes al final de cada año, la primera de ellas dentro de cuatro años. ¿Cuál será la cuantía de los pagos?

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3


03 23

90.000

2 1 22

a

4 5 6

a a aa

3

20 )1( −

¬ +××= iaaA i

320

)06,01(06,0

)06,01(190000 −

−

+×+−

×= a

a = 9.345,44 Euros



EJERCICIO 4:


Opción II: Disponer de una mensualidad constante de 900€ hasta agotar el capital disponible. ¿Cuántos reintegros mensuales podría realizar?

En el caso de ser un número no entero, determine el valor de la extracción complementaria que podría realizar si decide hacerla un mes después de la última extracción regular.


5


03 n

90.000

2 1 n-1

a

4 5 6

a a aa

004867551,0

)004867551,01(190090000

n−+−

×=

n = 137,36356 meses

aaa

12inaaA ¬×=

( ) k

kii )1(1 +=+ 004867551,01)06,01( 12

1

12 =−+=i

5132449,0)004867551,1( =−n 5132449,0ln)004867551,1ln( =×−n

004867551,1ln

5132449,0ln−=n


6


03 137

90.000

2 1 136

a

4 5 6

a a Ca

138137

)004867551,1(004867551,0

)004867551,01(190090000 −

−

++−

×= C

C = 327,72 Euros

aaa

138

12137 )1(12

−

¬ ++×= iCaaA i

138

a



EJERCICIO 4:


Opción III: Disponer de 15 anualidades crecientes de 300 euros anuales, la primera de ellas al finalizar el cuarto año.

¿Cuál sería la cuantía de la primer anualidad que percibiría?


8


03 18

90.000

2 1 17

a

4 5 6

a+p a+2p a+14pa+13p

a = 9.258, 94 euros

3)1()]([ −

¬¬ +××−×+×= ivnai

paaA

n

inin

3151515

)06,1()])06,1(1506,0

)06,1(1(

06,0

300

06,0

)06,1(1[90000 −−

−−

××−−

×+−

×= a



EJERCICIO 4:

Paralelamente, el Sr Sousa ha realizado un plan de ahorro en la misma entidad financiera durante los últimos 10 años, realizando aportaciones en un fondo que remunera un 6% de interés anual liquidable mensualmente.

El compromiso adquirido por el señor Sousa fue realizar aportaciones trimestrales de 850 euros el primer año, incrementando sus aportaciones en un 3% anual acumulativo.

En estas condiciones, cuál será el capital acumulado por el Sr. Sousa en el fondo?


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En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:Me dan un tipo de interés J12La renta es trimestralLa renta es constante cada trimestre pero variable de año en año en progresión geométrica

Este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1 COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

2 COMO NO ES ANUAL SINO TRIMESTRAL, SE CORRIGE

1

1

−×

−×××=

vq

vqvaA

nn

1

kikS ¬

2

Además me piden el valor final de la renta, no el actual niAS )1( +×=


11


Primero calculo el interés mensual equivalente al J12

106167781,1(03,1

1)06167781,1(03,1)06167781,1(850

1

10101

−×

−×××=

−

−−

A

1

015075125,0

1)015075125,1( 4−

2

( ) k

kii )1(1 +=+

015075125,01)005,01( 4

12

4 =−+=i

005,012

06,0

12

1212 ===

Ji

Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular tanto el interés trimestral (periodicidad de la renta) como el interés anual (variabilidad de la renta) equivalentes al tipo de interés mensual

061677811,01)005,01( 12=−+=i

Entonces resolvemos en los dos pasos ya comentados:

A = 28.690,44 euros 29,52199)06167781,1(44,28690 10=×=S



EJERCICIO 5:

El Sr. Ugwu necesita solicitar un préstamo de 60,000 euros de nominal para amortizarlo en 20 años. Para ello le ofrecen varias opciones alternativas. Responda a las cuestiones planteadas en cada caso.

a) Una primera opción es amortizar el préstamo mediante anualidades constantes, con un periodo de carencia mixta inicial de tres años.

Si el tipo de interés pactado es del 3% los 10 primeros años y del 4% para los restantes, determine el valor de la anualidad, la cuota de amortización del sexto año y la cuota de interés del año 12


13


03 20

60.000

2 1 19

a

4 5 6

a a aa

a = 4.678, 30 euros

7107

)03,01(04,0

)04,01(1

03,0

)03,01(160000 −

−−

+×+−

×++−

×= aa

Ci Ci Ci

60.000

i = 3% i’ = 4%

10

a

11

a

La cuota de amortización del sexto año:

2

13 )1().( imañosextom +×= 11 ).( Iaañocuartom −=

30,287803,06000030,46781 =×−=m 59,3053)03,01(30,2878 2

3 =+×=m


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La cuota de interés del año 12= saldo pendiente de amortizar del año 11 x el tipo de interés

71,3478404,0

)04,1(130,4678

)1120(

11 =−

×=¬×=

−−

− ihnaaS

39,139104,071,347841112 =×=×= iSI

El saldo pendiente de amortizar del año 11 es igual al valor actualizado de las anualidades pendientes de vencimiento



EJERCICIO 5:


b) La segunda opción es abonar cuotas de amortización constantes con un periodo de carencia pura inicial de cinco años. Si el tanto de interés pactado es del 7%, calcule el calor de la cuota de amortización, la cuota de interés del año 18 y el total amortizado hasta el final del año 10.Plantee la ecuación que le permitiría calcular el tanto efectivo de coste si la operación lleva asociado una comisión de apertura del 1% y unos gastos de estudio de 1.000€El TAE de la operación, mide el coste real en este préstamo?


16


03 20

60.000

2 1 194 5 6

m mm

i = 7%

10

m

11

m

La cuota de amortización constante la calculo dividiendo, el total a amortizar entre el número de anualidades con cuota constante de amortización

5)1(60000 i+×

21,5610)520(

)07,1(600005

=−

×=m

La cuota de interés del año 18 es igual al saldo pendiente de amortizar del año 17 x el tipo de interés

El saldo pendiente de amortizar del año 17 es igual a la cantidad que queda por amortizar en los años 18, 19 y 20,Es decir, 3 x m

62,1683021,5610317 =×=S 14,117807,062,1683018 =×=I



El total amortizado hasta el final del año 10 viene determinado por el número de anualidades (5) por la cantidad que se amortiza cada año (m)

05,2805121,5610510 =×=T

Para plantear la ecuación que permita calcular el tanto efectivo (coste) del préstamo, debo plantear una equivalencia entre lo que recibo y lo que pago

Qué recibo? El nominal del préstamo, 60.000 euros. Sin embargo, como existe unas comisiones, de estudio y de apertura (1000+0,001*60000) que ascienden a 1.600 euros, la cantidad que realmente percibo es de 58.400 euros Cuándo lo recibo? En el momento 0

Qué pago? Pago una serie de anualidades representadas en la siguiente línea temporal:

03 202 1 194 5 6

a1 a15a14

10

a5

11

a6



Como ya sabemos, las anualidades que amortizan un préstamo uniforme siguen una proporción, se corresponden con una renta variable en progresión aritmética de razón, p=-mi

Por tanto, una vez calculado el valor de la primera anualidad, a1 y calculando el importe correspondiente a –mi, podríamos plantear la ecuación financiera

5151515

)1()])1(15)1(1

(07,021,5610)1(1

[58400 −−−−

+×+×−+−

××

−+−

×= iii

i

ii

ia

Habría que interpolar para obtener el valor de i, si bien el problema no lo pide

Por último, en este caso, la TAE del préstamo coincidiría con el tanto efectivo, pues todas las comisiones son ingresos para el banco, por lo que intervendrían en el cálculo tanto del TAE como del tanto efectivo



EJERCICIO 5:


c) Finalmente, una tercera opción es abonar 8 anualidades de cuantía a, la primera de ellas al finalizar el tercer año, y de cuantía 2ª los restantes años.Si el tanto de interés pactado es del 5% anual, determine el valor de las anualidades, la cuota de amortización del año 10, el total amortizado hasta el final del año 7 y el saldo al finalizar el año 15


20


03 20

60.000

2 1 194 5 6

a 2a2a

i = 5%

10

a

11

2a

El valor de las anualidades puedo obtenerlo a partir de la siguiente ecuación

2)1(60000 i+×

8

05,01005,08

2 )05,01(2)05,1(60000 −+×¬×+¬×=× aaaa

Despejando, obtendría los siguientes valores para a y para 2a

a a a

(Equivalencia en el año 2)

10

05,010

2

05,08 )05,01(2)05,1(60000 −−+×¬×+×¬×= aaaa (Equivalencia en el año 0)

a = 3.910,51 euros 2 a = 7.821,02


21


La cuota de interés del año 10 es igual al saldo pendiente de amortizar del año 9 x el tipo de interés

29,61240)05,01(02,782151,3910 1

05,01005,019 =+×¬×+¬×=−

aaS

01,306205,029,6124010 =×=I

El total amortizado hasta el año 7 se puede calcular con la siguiente fórmula:

ismTañoT ¬×== 313)7(

01,60305,06615051,391011 =×−=−= Iam

99,190005,0

1)05,1(01,603

3

313 =−

×=¬×= ismT


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El saldo pendiente de amortizar al final del año 15 será el valor actualizado de las anualidades pendientes de vencimiento, es decir,

92,3386002,7821 05,0515 =¬×= aS


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