TRACCIN COMPRESIN1.

1. L

L1 L2SOLUCION:

DCL:

R1 R2

=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego

2

112

221121 00 L

LRRAELR

AELRLL ==+=+

Reemplazando R2 en la primera ecuacin:

PLLR

LLLR

LLR

LLRPR =

=

+=

+=

21

2

211

2

11

2

111 10

Luego:

=

LLPR 21 (Compresin)

=LLPR 12 (Traccin)

2. La barra del problema anterior es de cobre con una longitud de 1 m y una seccin transversal de 10 cm2. Si E = 1,1 x 106 kg/cm2 y = 16 x 10-6 1/C, determinar: a) Las reacciones en los extremos cuando la temperatura aumenta 30C; b) La holgura que deberan tener los apoyos para evitar la aparicin de tensiones.SOLUCION:a) DCL:

R1 R2

RRRRRFx ===+= 2121 0;0Debido a la rigidez de los apoyos, el aumento de longitud originado por el aumento de temperatura, debe ser compensado por una compresin en los apoyos. Es decir:

kgfxxxxxTAERAERLTLLT 52830101,11101600

66 =====

Como el rea es de 1 cm2, la tensin es de 528 kg/cm2 en compresin.b) La holgura necesaria para evitar las tensiones, debe ser como mnimo igual a la dilatacin. Es decir:

mmcmxxxTLh 48,0048,0301001016 6 ==== 3. Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el conjunto entre placas rgidas. El cilindro de Al tiene 8 cm de dimetro y el tubo de acero tiene un

P

La barra de la figura tiene seccin transversal constante y est sujeta rgidamente entre los muros. Determinar las reacciones en los apoyos en funcin de A y E.

P

dimetro exterior de 10 cm. Si se aplica una carga P = 25 ton, determinar las tensiones en el acero y en el aluminio. Las propiedades de los materiales son las siguientes:

MATERIAL E, x 106 kg/cm2Acero 2,1Aluminio 0,7

SOLUCION:DCL: PSt

PAl P

1 m

PLa carga total P, debe ser resistida por el cilindro de Al y el tubo de acero. Es decir:

PAl + PSt = P = 25.000Debido a la rigidez de las placas de los extremos, los acortamientos de ambos elementos debe ser igual.

( )( ) ( )

StStSt

AlStAl

StSt

St

AlAl

AlStAl P

xx

xxP

AEAE

PPEALP

EALP

592,0101,2810

4

107,04

8

622

62

=

====

Reemplazando en la primera ecuacin:1,592PSt = 25.000 PSt = 15.697,67 kgf

( )2

22/19,555

8104

67,697.15 cmkgAP

St

StSt =

==

PAl = 0,592PSt = 9.293,02 kgf2

2/88,184

84

02,293.9 cmkgAP

Al

AlAl ===

4. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambos componentes si el cilindro de aluminio es 0,3 mm ms corto que el tubo de acero.SOLUCION:

Suponiendo que la carga es suficiente para acortar los dos elementos, la primera ecuacin no tiene variacin.

PAl + PSt = P = 25.000Sin embargo, la segunda ecuacin es diferente debido a las longitudes diferentes:

Nivel InicialSt 0,03 cm

Al

( ) ( )( ) StAl

StAlAlStSt

St

AlAl

AlStAl AE

AEPAEP

EALP

EALP

+==+=+100

03,003,003,0

2

8 cm

10 cm

PAl = -10.555,75 + 0,592PStReemplazando en la primera ecuacin:

1,592PSt = 35.555,75 PSt = 22.334 kgf

( )2

22/9,789

8104

334.22 cmkgAP

St

StSt =

==

PAl = 2.666 kgf2

2/04,53

84

666.2 cmkgAP

Al

AlAl ===

5. En el problema anterior, determinar la holgura mnima para que no trabaje el cilindro de aluminio.SOLUCION: En este caso la carga completa deber ser tomada por el tubo de acero, es decir:

PSt = 25.000 kgf

mmcmxxxh St 42,0042,0101,29100000.25

6min ====

6.

2 m

A B

8.000 kgf 8.000 kgf

SOLUCION:

PSt PCu PSt

A B

8.000 kgf 8.000 kgf

CuCuSt PxxxxPP 875,0102,18101,24

6

6

=

=

Reemplazando en la primera ecuacin obtenemos: PCu = 5.818,18 kgf; PSt = 5.090,91 kgf2/73,272.1

491,090.5 cmkg

AP

St

StSt === ;

2/27,7278

18,818.5 cmkgAP

Cu

CuCu ===

7. En el problema anterior, determinar las tensiones en cada varilla si la temperatura: a) Aumenta 25C; b) Disminuye 25C. (St = 11x10-6 1/C; Cu = 16x10-6 1/C).SOLUCION:Del problema anterior:

3

La barra AB es absolutamente rgida y est soportada por tres varillas. Las dos varillas de los extremos son de acero y la central es de cobre. Calcular la fuerza y la tensin en cada barra cuando se aplican las cargas indicadas y AB permanece horizontal.

Por simetra, las fuerzas sobre cada varilla de los extremos son iguales, lo que tambin puede obtenerse haciendo suma de momentos en el centro de AB.Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales:

CuCu

Cu

StSt

StCuSt EA

LPEALP

==

MATERIAL E, x 106 kg/cm2 Area A, cm2Acero 2,1 4Cobre 1,2 8

Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales, pero las

deformaciones totales tienen una componente de carga y otra por temperatura, esta ltima positiva cuando la temperatura aumenta y negativa cuando disminuye.a) ( ) ( )CuTPStTPCuSt +=+=

CuSt

TLAEPLTL

AEPL

+=

+

251016102,18

251011101,24

66

66 xxxx

Pxx

xxP CuSt +=+

PSt = 0,875PCu + 1.050Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:

PCu = 5.054,54 kgf; PSt = 5.472,73 kgf2/1,684

873,472.5 cmkg

AP

Cu

CuCu === ;

2/2,368.14

73,472.5 cmkgAP

St

StSt ===

b) El nico cambio se produce en la ecuacin de deformaciones:( ) ( )CuTPStTPCuSt ==

CuSt

TLAEPLTL

AEPL

=

251016102,18

251011101,24

66

66 xxxx

Pxx

xxP CuSt =

PSt = 0,875PCu - 1.050Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:

PCu = 6.581,82 kgf; PSt = 4.709,09 kgf2/7,822

88,581.6 cmkg

AP

Cu

CuCu === ;

2/3,177.14

1,709.4 cmkgAP

St

StSt ===

8. Considerar un pilar cuadrado de hormign, de 30 x 30 cm de seccin y 2,5 m de altura, armado con 8 barras verticales de acero de 4 cm2 de seccin cada una. Se aplica una fuerza axial de compresin de 50 ton. Si los mdulos de elasticidad para el acero y el hormign, son respectivamente, 2,1 x 106 y 1,5 x 105 kg/cm2, determinar la tensin en cada material.SOLUCION:

ASt = 4 x 8 = 32 cm2; AH = 900 32 = 868 cm2PSt + PH = 50.000, o bien: 32St + 868H = 50.000; St + 27,125H = 1.562,5

Como las deformaciones deben ser iguales:

St = H HStHSt

xL

xL 12

1075,1101,2 56==

Reemplazando se obtiene:H = 39,94 kg/cm2; St = 479,24 kg/cm2, ambas en compression.

9. Un tubo de acero A 37 24, vertical, de 60 cm de dimetro exterior y 58 cm de dimetro interior est lleno de hormign. La resistencia de ruptura del hormign es de 175 kg/cm2. Con un factor de seguridad de 2 para el acero y de 2,5 para el hormign, determinar la mxima carga axial de compresin que puede resistir el conjunto. ESt = 2,1 x 106 y EH = 1,5 x 105 kg/cm2.SOLUCION:

( ) 22 08,642.2584

cmAH ==

; ( ) ( )[ ] 222 35,18558604

cmASt ==

4

( ) 20 /200.12400.2 cmkg

FSStadm===

; ( ) 2/705,2175 cmkgHadm ==

PSt + PH = P 185,35St + 2.642,08H = PDe las deformaciones:St = H St =12HSi H = 70 St = 840 kg/cm2 < (adm)StSi St = 1.200 H = 100 kg/cm2 > (adm)HPor consiguiente: H = 70 y St = 840 kg/cm2

P =185,35 x 840 + 2.642,08 x 70 = 338.959,6 kgf

10. 2 Ton 5 Ton

2 5

75 cm 50 75

= ;0xF - RA + 4.000 - 10.000 + RD = 0 RD RA = 6.000Se ha supuesto que los intervalos AB y CD se encuentran ambos sometidos a traccin. Como las paredes son rgidas, el alargamiento total debe ser cero.

0=++ CDBCAB

A B B C RA RA 4.000

C DRD RD

( )0

7550000.475=

+

+

AE

RAE

xRAE

R DAA

Simplificando:3RA + 2RA 8.000 + 3RD = 0 5RA + 3RD = 8.000

Resolviendo las dos ecuaciones simultneas se obtiene:RA = - 1.250 kgfRD = 4.750 kgf

11. Considerar la barra AB completamente rgida y horizontal antes de aplicar la carga de 10 ton.

120 60 60

10 Ton 180 cm 100 A B

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cmCobre 6 1,2 16Acero 4 2,1 11

5

A B C DLa barra AD, inicialmente recta, tiene seccin uniforme. Determinar las fuerzas sobre cada intervalo.SOLUCION:RA RD 4.000 10.000

La varilla izquierda es de cobre y la de la derecha es de acero. Determinar las fuerzas, tensiones y alargamientos en cada varilla.

SOLUCION:DCL:

Ay PCu = 6Cu PSt = 4St

Ax

Cu St

10.000 kgf == 00 xx AF

000.1520240180000.101200 =+=+= StCuStCuA PPPPMComo la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de tringulos:

66 102,16100

2101,24

1802

240120

=

=

=

CuStCuSt

StCu PP

De donde: PSt = 1,2963PCuReemplazando en la primera ecuacin obtenemos:

PCu = 4.175,26 kgf; PSt = 5.412,39 kgfLas tensiones son:

2/9,6956

26,175.4 cmkgAPCu

Cu === ;2/1,353.1

439,412.5 cmkgSt ==

Alargamientos:

cmEL

Cu 06,0102,11009,695

6 === cmSt 12,0=

12. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambas barras si se quita la carga y, en cambio, se aplica una variacin de temperatura de: a) 40C; b) 40C.SOLUCION: a) DCL: Se supondr que ambas barras quedan sometidas a traccin:

Ay PCu = 6Cu PSt = 4St

Ax

Cu St

== 00 xx AF

StCuStCuStCuA PPPPPPM 20202401200 ==+=+=StCuStCu 3

486 ==

Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de tringulos:

CuStStCu =

=

2

240120

6

20 cm

Pero ambas barras se alargan por la accin de la temperatura y, de acuerdo a lo supuesto, por la accin de la aparicin de fuerzas internas.

( ) ( )CuSt

CuTPStTP TLELTL

EL

+=

+=+=+ 22

TLE

LTL

EL

CuCu

CuSt

St

St +=+ 22

4010010162102,1100

342401801011

101,2180 6

66

6 +

=+ StSt

307,94St = 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en traccin como se supuso.Cu = - 211,3 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se supuso.

De donde: PSt = 633,9 kgf (Traccin) PCu = 1.267,8 kgf (Compresin)b) Nuevamente se supondr que ambas barras trabajan a traccin, por lo que se mantiene la primera ecuacin. Sin embargo, como ahora la temperatura disminuye, las barras se acortarn por el efecto de la temperatura, debiendo cambiar el signo en la segunda ecuacin.

( ) ( )CuSt

CuTPStTP TLELTL

EL

=

== 22

TLE

LTL

EL

CuCu

CuSt

St

St = 22

4010010162102,1100

342401801011

101,2180 6

66

6

= StSt

307,94St = - 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se supuso.

Cu = 211,3 kg/cm2, en traccin, como se supuso.

De donde: PSt = 633,9 kgf (Compresin) PCu = 1.267,8 kgf (Traccin)

13. Al

20 cm2

60 cm 40

BARRA AREA, cm2 E x 106, kg/cm2 x 10-6, 1/CCobre 80 1,1 16Aluminio 60 0,7 22

SOLUCION:

PCu = 80Cu PAl = 20Al

7

CobreA = 80 cm2

La barra compuesta de la figura est sujeta a los dos apoyos. A T = 20 C el sistema est sin tensiones. La temperatura desciende y el apoyo derecho cede 0,4 mm. Determinar la temperatura mnima a que puede someterse el sistema para que la tensin no exceda de 500 kg/cm2 en el aluminio y de 400 kg/cm2 en el cobre

CobreA = 80 cm2

20 cm

Como el sistema permanece en equilibrio:CuAlAlCuAlCu PP 42080 ===

Si Cu = 400 kg/cm2, se tiene que Al = 1.600 kg/cm2 > 500. Por lo tanto:Al = 500 kg/cm2 y Cu = 125 kg/cm2 < 400.

La disminucin de la temperatura produce un acortamiento del sistema, pero las reacciones producen alargamientos. Por lo tanto:

( ) ( ) 04,004,0 =+=+ AlPTCuPTAlCu04,0

107,040500401022

101,160125601016 6

66

6 =+

TT

( ) CTTT 82,626,389.756,389.35000.40200.140226016 ==+==+Como es una disminucin de temperatura sta es negativa. Por lo tanto:

CTTTTT 82,422082,62 2212 ====

14.

1 m

10 cmSOLUCION: El radio, para una posicin x es:

( ) ( ) ( )xxxxR +=+=+= 100201100

1005

10055

Entonces el rea en una posicin cualquiera es:

( ) ( ) 22 10020

xRxA x +==

a) Cuando la temperatura desciende la barra se acorta por temperatura y se alarga por esfuerzos de traccin originados por una fuerza P que, por condiciones de equilibrio, debe ser constante. El alargamiento de un disco de radio Rx y longitud dx, localizado a la distancia x del extremo izquierdo es:

TdxdxEAPd

xP ==

Es decir:

( )

=

=

+=

+= 2

114100

12001400

1001400

10020

100

0

100

0

100

022

EP

EP

xEP

x

dxEP

Adx

EP

x

kgfPdxTEP

T 8,570.722101,22010111002 66100

0

====

Entonces, la tensin es mxima cuando el rea es mnima:

2

0max /92425

8,570.72 cmkgAP ===

, en traccin

b) Al aumentar la temperatura en 20 C, la tensin tiene la misma magnitud pero es de compresin.

8

20 cm

Considerar la barra cnica de acero, inicialmente libre de tensiones. Determinar la mxima tensin en la barra si la temperatura: a) Desciende 20 C; b) Aumenta 20 C. E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x 10-6 1/C.

P

De donde, CT 9,90

16. En el problema anterior cunto debe disminuirse la temperatura para que toda la carga la soporte el tubo de acero?SOLUCION: En este caso para que toda la carga la resista el acero, la disminucin de longitud de ste originado por la temperatura ms el acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la contraccin del cobre. Es decir:

( ) ( ) CuTStPT +TLLTL

+ 66

6 1016101,220

000.301011

De donde, CT 9,142

17. La barra ABD es completamente rgida y est articulada en A y unida a las barras BC, de bronce E

30 cm 40 cm 30

A B D 40 C

SOLUCION: Se supone que, por efecto de las fuerzas internas que se generan por los cambios de temperatura, la barra de acero trabaja en traccin, mientras que la barra de bronce lo hace en compresin; pero la barra de bronce se acorta por temperatura, mientras que la barra de acero se dilata.

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cmBronce 6 1 18Acero 2 2,1 11

9

Cu

15. Un cilindro hueco de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x10-6 1/C) rodea a otro macizo de cobre (E = 1,1 x106 kg/cm2; = 16 x 10-6 1/C) y el conjunto est sometido a una fuerza axial de compresin de 30.000 kgf. La seccin del acero es de 20 cm2 mientras que la del cobre es de 60 cm2. Determinar el aumento de temperatura necesario para colocar toda la carga en el cobre. El conjunto tiene una longitud de 5 m.SOLUCION:Para que toda la carga la resista el cobre, el aumento de longitud de ste originado por la temperatura menos el acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la dilatacin del acero. Es decir:

( ) ( ) StTCuPT TLLTL

66

6 1011101,160

000.301016

y a la ED, de acero. Determinar las tensiones en ambas barras si la temperatura de BC desciende 20 C mientras que la de ED aumenta 20 C.

DCL:

Ay PBr = 6Br PSt = 2St

Ax

Br St

== 00 xx AF

StBrStBrAM 9707023060 ==+=

Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de tringulos:

BrStStBr =

=

37

7030De acuerdo a lo supuesto, por la accin de la aparicin de fuerzas internas.

( ) ( )BrSt

BrTPStTP TLELTL

EL

+=

+=+=+

37

37

TLE

LTLEL

BrBr

BrSt

St

St +=+ 37

37

2040101837

101

4097

3720301011

101,230 6

66

6 +

=+

StSt

8,69St = 2.700 St = 310,7 kg/cm2, en traccin como se supuso.Br = - 241,72 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.

18. En el problema anterior, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura del conjunto desciende 20 C.SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( )BrSt

BrTPStTP TLELTL

EL

+=

=+=

37

37

TLE

LTLEL

BrBr

BrSt

St

St += 37

37

2040101837

101

4097

3720301011

101,230 6

66

6 +

=

StSt

8,69St = 4.020 St = 462,72 kg/cm2, en traccin como se supuso.Br = - 359,9 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.

19. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura del conjunto aumenta 20 C.

10

SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( )BrSt

BrTPStTP TLELTL

EL

+=

==+

37

37

TLE

LTLEL

BrBr

BrSt

St

St =+ 37

37

2040101837

101

4097

3720301011

101,230 6

66

6

=+

StSt

8,69St = - 4.020 St = - 462,72 kg/cm2,. en compresin, contrario a lo que se supuso.

Br = -359,9 kg/cm2, en compresin como se supuso.

20. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura de la barra BC aumenta 20 C y en ED disminuye 20 C.SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( )BrSt

BrTPStTP TLELTL

EL

=

==

37

37

TLE

LTLEL

BrBr

BrSt

St

St = 37

37

2040101837

101

4097

3720301011

101,230 6

66

6

=

StSt

8,69St = - 2.700 St = - 310,7 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se supuso.

Br = 241,72 kg/cm2, en compresin, como se supuso.

21. B C D

L

A

FAC FAB FAD P

== ADABx FFF 0 =+= PFFF ACABy cos20

PComo se dispone de dos ecuaciones para tres incgnitas, se procede a analizar las deformaciones.

11

Considerar la armadura articulada, hiperesttica, de la figura. Antes de aplicar la carga P el sistema est libre de tensiones. Determinar la fuerza axial que soporta cada barra cuando se aplica la carga P. Todas las barras tienen la misma seccin transversal y el mismo mdulo elstico.SOLUCION:

AB = ACcos

2coscoscos ACABACAB

FFAE

LFAE

LF==

( )

33

cos211cos2

+==+ PFPF ACAC

AC

AB

3

2

cos21cos

+== PFF ADAB

22. En el problema anterior, determinar los esfuerzos sobre cada barra y el desplazamiento vertical del punto A, considerando: P = 10.000 kgf; A = 10 cm2; L = 40 cm; = 30; E = 2,1 x 106 kg/cm2.SOLUCION:

( )2

33 /97,43465,349.4866,021000.10

cos21cmkgkgfPF ACAC ==+

=+

=

23

2

/2,32623,262.3cos21

cos cmkgkgfPFF ABADAB ==+==

mmmcmELAC

AC

83083,00083,0101,2

4097,4346 ===

==

23. En el problema anterior suponer que a la carga de 10.000 kgf se superpone un cambio de temperatura. Calcular las tensiones cuando la temperatura: a) Aumenta 20 C; b) Disminuye 20 C.SOLUCION: a) Con el aumento de temperatura las barras se alargan por carga y por temperatura. Por consiguiente:

( ) ( ) coscos ACTPABTPACAB +=+=

30cos20401012101,2

30cos4020

30cos401012

101,230cos

406

66

6 +

=+

AC

AB

16833,128,771.25,1699,21 +== ABACACAB 000.101030cos102000.1030cos2 =+=+ ACABACAB FF

( ) 2/7,271000.116833,130cos2 cmkgABAB ==++ 2/4,529 cmkgAC =

24.

L

10 15 cmSOLUCION:

DCL:

R1 R2

=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego

12

P

Una barra cuadrada de 5 cm de lado est sujeta rgidamente entre los muros y cargada con una fuerza axial P = 20 ton.. Determinar las reacciones en los apoyos y el alargamiento del lado derecho. E = 2,1 x 106 kg/cm2..

P

32

01510

0 1221

21RR

AER

AER

==

+

=+

Reemplazando R2 en la primera ecuacin:

=== kgfRRRPR 000.12000.20350

32

111

1

R2 = 8.000 kgf

mmmcm 23023,00023,0101,22515000.8

62 ====

25. Calcular las reacciones en el problema anterior si el apoyo derecho cede 0,01 mm.SOLUCION:

000.251,21510001,01510001,0 212121 =+=+=+ RRAE

RAE

R

2R1 + 3R2 = 10.500De la esttica: - R1 + R2 = 20.000 - 2R1 + 2R2 = 40.000De donde. R2 = 10.100 kgf; R1 = - 9.900 kgfComprobacin:

00289,0101,22515100.10;00189,0

101,22510900.9

6261 ===

=

cm001,021 =+=

26. En el problema 24 cunto debe ceder el apoyo derecho para que toda la carga la resista la barra izquierda?SOLUCION: En este caso R2 = 0, y R1 = 20.000 kgf. Por lo tanto:

cm0038,0101,22510000.20

6 ==

P

FHFH

FF

F

HH

HFH PP

PPEALP

EALP

3478,01005,165610175,0369.1 66

=

=

==

De donde:PF = 51.935,9 kgf; F = 79,17 kg/cm2 PH = 18.064,1 kgf; H = 13,2 kg/cm2

13

37 cm

45 cm

27. Un corto tubo de fundicin (E = 1,05 x 106 kg/cm2), de seccin cuadrada est lleno de hormign (E = 0,175 x106 kg/cm2) y el conjunto est sometido a una fuerza axial de compresin de 70.000 kgf. El conjunto tiene una longitud de 90 cm. Determinar la. tensin en cada material y el acortamiento del conjunto.SOLUCION:AH = 372 = 1.369 cm2; AF = 452 372 = 656 cm2

PH + PF = 70.000

cm0068,010175,0902,13

6 ==

60 cm 25

PBr PAlSOLUCION: Por condiciones de equilibrio esttico:

BrAlAlBrAlBr PP 3296 ===

Se ha supuesto que ambas barras trabajan a traccin, por lo tanto:a) ( ) ( ) 00 =+=+ AlTPBrTPAlBR

02225102,22107,025

2260107,171098,060 6

66

6 =

+ AlBr

BrAlAlBr 71,12,9960574.3571,3522,61 ==+De donde: Br = 418,4 kg/cm2 (Traccin)

Al = 278,9 kg/cm2 (Traccin)b) En este caso:

( ) ( ) 012,0012,0 =+=+ AlTPBrTPAlBR012,02225102,22

107,025

2260107,171098,060 6

66

6 =

+ AlBr

BrAlAlBr 71,115,660000.12574.3571,3522,61 ==+De donde: Br = 277,76 kg/cm2 (Traccin)

Al = 184,84 kg/cm2 (Traccin)

29. En el problema anterior, cunto deberan ceder los apoyos para que no existan tensiones? SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=+ aLtbRtAlTPBrTPAlBR

cm0356,02225102,222260107,17 66 ==

30. En el problema 28 cunto deberan ceder los apoyos para que las tensiones no excedan de 200 kg/cm2 en el bronce y de 100 kg/cm2 en el aluminio? SOLUCION: De la ecuacin de equilibrio esttico:

BrAl 32= , Por lo tanto, si Br = 200, entonces Al = 133,3 kg/cm2 que es > Adm.

14

AlBronce

28. Dos barras inicialmente rectas estn unidas entre s y sujetas a apoyos rgidos. La de la izquierda es de bronce (E = 0,98 x 106 kg/cm2; = 17,7 x10-6 1/C; A = 6 cm2 ) y la de la derecha es de aluminio (E = 0,7 x106 kg/cm2; = 22,2 x 10-6 1/C A = 9 cm2 ). El conjunto est libre de tensiones y entonces la temperatura desciende 22 C. Determinar la tensin en cada barra: a) Si los apoyos no ceden; b) Si el apoyo derecho cede 0,12 mm.

Por consiguiente: Al = 100 kg/cm2 y Br = 150 kg/cm2 que es < que adm.Luego: ( ) ( ) =+=+ AlTPBrTPAlBR

cm0229,02225102,22107,0251002260107,17

1098,060150 6

66

6 ==+

SOLUCION:Por condiciones de equilibrio:

( ) ( ) 22222 045,1175,34

;43,44,454

cmAcmA BrSt ====

PSt + PBr = 0 BrStBrSt 493,2045,1143,4 ==Suponiendo ambos elementos en traccin:

( ) ( ) BrTPStTPBrSt +=+=

95107,171098,0

951011101,2

493,2 66

66 +

=+

LLLL BrBr

- 2,207Br = 636,5 2/4,288 cmkgBr = , en compresinSt = 719,1 kg/cm2 en traccin, como se supuso.

32. En el problema anterior cul puede ser el mximo aumento de temperatura si las tensiones no deben exceder de 200 kg/cm2 en el bronce y de 600 kg/cm2 en el acero? SOLUCION: De la ecuacin de equilibrio: BrSt 493,2=Si Br = - 200, St = 498,6 kg/cm2 < Adm

Por lo tanto: TLLTLL +

=+

6

66

6 107,171098,02001011

101,26,498

CTT 9,657,65,441 ==

33. Un pilar corto de hormign armado est sometido a una carga axial de compresin. Ambos extremos estn cubiertos por placas infinitamente rgidas. Si el esfuerzo en el hormign (EH = 0,175 x 106 kg/cm2) es de 65 kg/cm2, determinar la tensin en el acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2).SOLUCION:

266 /78012101,210175,0

cmkgL HStStH

StH ===

=

P P

15

31. Un tubo de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x 10-6 1/C), de 5 cm de dimetro exterior y 4,4 cm de dimetro interior rodea a un cilindro macizo de bronce (E = 0,98 x106 kg/cm2; = 17,7 x 106 1/C) de 3,75 cm de dimetro y el conjunto est libre de tensiones. A 25 C El conjunto tiene una longitud de 1 m. Determinar la. tensin en cada material cuando la temperatura aumenta hasta 120 C

B

ronc

e

Cobre

34. Una barra compuesta est constituida por una tira de cobre (E = 0,9 x 106 kg/cm2) entre dos placas de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2). El ancho de todas las barras es de 10 cm; las placas de acero tienen un espesor de 0,6 cm cada una y el espesor de la placa de cobre es de 1,8 cm.

Determinar la mxima carga P que puede aplicarse. La tensin de rotura del acero de 5.600 kg/cm2 y la del cobre es de 2.100 kg/cm2. Usar un factor de seguridad de 3 basado en la tensin de rotura de cada material.SOLUCION: ACu = 1,8 x 10 = 18 cm2; ASt = 2 x 0,6 x 10 = 12 cm2

P = PSt + PCu; P = 12St + 18Cu

( ) ( ) 22 /7003100.2;/7,866.1

3600.5 cmkgcmkg CuadmStadm ====

CuStCuSt

CuStLL

37

109,0101,2 66=

=

=

Si Cu = 700, St = 1.633,3 kg/cm2 < (adm)St, por lo tanto:P = 12 x 1.633,3 + 18 x 700 = 32.200 kgf

P = 25.000 kgf

( ) ( ) 22222 18,445,74

;9,1232,8154

cmAcmA StrAl ====

AlSTStAl 8,29,565000.2518,449,123 ==+Suponiendo ambos elementos en compresin:

( ) ( ) BrTPStTPBrSt +=++=+ 025,0025,0

3050102,22107,050

025,030025,501011101,2

025,50 66

66 +

=++

AlSt

6,344343,7125,208.882,23 ==+ AlStAlSt De donde: 5,8Al = 910,5 2/157 cmkgAl = , en compresin

St = 126,4 kg/cm2 en compresin, como se supuso.

36. En el problema anterior determinar la disminucin de temperatura necesaria para que toda la carga la resista el acero.SOLUCION: En este caso: PSt = 25.000 kgf; PAl = 0;St = 565,84 kg/cm2

( ) ( ) BrTStTPBrSt =++=+ 025,0025,0

16

Bro

nce

35. Un tubo recto de aliminio (E = 0,7 x 106 kg/cm2; = 22,2 x 10-6 1/C), de 150 mm de dimetro exterior y 82 mm de dimetro interior rodea a un cilindro macizo de acero (E = 2,1 x106 kg/cm2; = 11 x 106 1/C) de 75 mm de dimetro; el aluminio es 0,25 ms largo que el acero antes de aplicar ninguna carga. El conjunto tiene una longitud de 0,5 m. Determinar la. tensin en cada material cuando la temperatura desciende 30 C y acta toda la carga.SOLUCION:Por condiciones de equilibrio: PSt + PBr = 25.000

Acero

75 mm

TT =++ 50102,22025,0025,501011101,2

025,5084,565 666

( ) == CTT 75,68025,5011502,2212,479.38

37. Determinar las tensiones en el problema 35 si no hay cambio de temperatura.SOLUCION:

AlST 8,29,565 =Suponiendo ambos elementos en compresin:

( ) ( ) BrPStPBrSt =++=+ 025,0025,0

66 107,050

025,0101,2

025,50

=+

AlSt

5,049.1343,71000.2582,23 ==+ AlStAlSt De donde: 2/5,2784,615.18,5 cmkgAlAl == , en compresin, como se supuso.

St = - 213,96; Este resultado es imposible, puesto que ninguno de los dos componentes puede

trabajar en traccin. Por lo tanto St = 0 y 2/78,201

9,123000.25 cmkgAl == .

El resultado anterior se explica porque 025,00144,0107,05078,2016

20 cm 15 cmA B C

X 12.000 kgf

SOLUCION:DCL:

PSt = 1,2St PBr = 3Br PCu = 1,8Cu

12.000 kgf

=+= 01508,1000.129030 CuBrA xM (a) =++= 08,13000.122,10 CuBrStyF (b)Como la barra es rgida y permanece horizontal los alargamientos de los tres cables son iguales.

( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt +=+=+==

14201016102,1

201415107,17

1098,015

14251011101,225 6

66

66

6 +

=+

=+ CuBrSt

De la ltima ecuacin se obtiene:18,11286,113331,159,11 == BrStBrSt (c)

94,524,163067,169,11 +== CuStCuSt (d)Resolviendo el sistema de ecuaciones b, c y d:

222 /748.1;/1,951.1;/15,500.2 cmkgcmkgcmkg CuBrSt === De la ecuacin a):

,23,83000.12

748.12701,951.1270 cmX =+= a la derecha de A.

40. Resolver el problema anterior considerando que la temperatura disminuye 14 C.SOLUCION: Se supondr que la barra ABC desciende con respecto a su posicin inicial. Por tanto:

( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt ====

14201016102,1

201415107,17

1098,015

14251011101,225 6

66

66

6

=

= CuBrSt

694,878,018,11286,113331,159,11 =+=+= StBrBrStBrSt

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cmAcero 1,2 2,1 11Bronce 3 0,98 17,7Cobre 1,8 1,2 16

18

81,37714,094,524,163067,169,11 +=== StCuCuStCuSt Reemplazando en la ecuacin de suma de fuerzas verticales:

222 /35,807.1;/4,924.1;/35,478.2 cmkgcmkgcmkg CuBrSt ===

,96,83000.12

35,807.12704,924.1270 cmX =+=

D E

120 120

90 cm A B C

SOLUCION:DCL:

Ay PCu = 12Cu PSt = 6St

Ax

Cu St

== 00 xx AF

CuStStCuStCuAM ==+=+= 002406120120Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de tringulos:

( ) ( )CuTPStTPCuStStCu +=+=

=

22240120

409010162102,1

90240901011

101,290 6

66

6 +

=+ CuSt

CuCuStCuSt =+=+= 7,764.15,3840667,1476,0De donde: Cu = - 392,2 kg/cm2, en compresin; St = 392,1 kg/cm2, en traccin.

D E

120 120

90 cm

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cmCobre 12 1,2 16Acero 6 2,1 11

19

41. La barra ABC es completamente rgida e inicialmente est horizontal. La barra DB es de cobre y la CE es de acero. Determinar las tensiones en cada barra cuando la temperatura aumenta 40 C..

42. La barra ABC es completamente rgida e inicialmente est horizontal. El peso de ABC es de 5.000 kg. La barra DB es de cobre y la CE es de acero. Determinar las tensiones en cada barra cuando la temperatura aumenta 40 C..

A B C

SOLUCION:DCL:

Ay PCu = 12Cu PSt = 6St

Ax

Cu St 5.000

== 00 xx AF

33,2080240660000.5120120 =+=+= StCuStCuAM Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de tringulos:

( ) ( )CuTPStTPCuStStCu +=+=

=

22240120

409010162102,1

90240901011

101,290 6

66

6 +

=+ CuSt

7,764.15,3840667,1476,0 +=+= CuStCuSt De donde: Cu = - 345,9 kg/cm2, en compresin; St = 554,2 kg/cm2, en traccin.

43.

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cmCobre 12 1,2 16Acero 6 2,1 11

20