1

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES

Ejercicios resueltos 3

1. La ecuación 04242 222 zyxzyx

a. ¿Qué superficie representa?

b. Determine los puntos de corte con los ejes coordenados

c. Determine las ecuaciones de la traza respecto el plano XY y de la sección plana para 1z

d. Esboce su gráfica

Solución:

a) Completando cuadrados se obtiene:

15

2

5

1

5

12222

zyx

, es hiperboloide de una

hoja.

b) Con el eje x 0,0,2,0,0,02,00 xxzy

Con el eje y 0,2,0,0,0,02,00 yyzx

Con el eje z 4,0,0,0,0,04,00 zzyx

c) Traza con plano XY

11

1

1

1222

yx

, es una hipérbola.

Sección plana z=1

14

1

2

122

yx

, es una hipérbola.

d)

2

2. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro 32 yx , por debajo del plano

4 zx y a la derecha del plano xy 2 . Luego describa el sólido como un conjunto de

puntos zyx ;; de R3.

Solución

En el plano xy

xy

yx

2

32

013

0322

xx

xx

2;1 yx

xzxyxxzyxE 40;32;10/;; 2

También

232;40;10/;; xyxxzxzyxE

3. E es el sólido limitado por 0:,0:;2:,3: , 4: 5432

22

1 zSxSxySzySyxS

a) Trace el sólido E.

b) Describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y, z) de R3.

Solución:

x

0;2;1

4

3

3

z

1

z

3 y

y

y

3

z

2

2

x

3

2

x

y

2

2tan2tan 1 x

y

xy 2

5

4,

5

2

3

y-3z0;x-4y2;5

2x0/,, 2xzyxE

rsen-3z0;y-2r0;2

2t/,, 1anzrE

4. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro 22 yx , por debajo del plano

4 zx y a la derecha del plano xy . Luego describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y,

z) de R3.

Solución

En el plano xy

yx

yx

22

012

022

xx

xx

11 y;x

xz;xyx;x/z;y;xE 40210 2

x

2

z

4

2

y

11;

4

z

x 2

5

y

1

5. Dada las superficies 2:,1: 2

2

1 zxSxyS

a. Esboce la gráfica de la región del primer octante limitada por las superficies dadas y los planos

coordenados y descríbala en forma ordenada.

b. Dibuje una gráfica similar a la anterior donde resalte la curva intersección C de las superficies

dadas.

c. Determine una función vectorial que describe la curva C.

Solución:

a.

xzxyxRzyxE 20;10;20/,, 2

b.

20:

2

12

t

tz

ty

tx

c. 20;2;1; 2 tttttr

C

x

2

z

y

5

6. Considere las superficies 0: 2

1 yxS y 2: 2

2 zxS

a. Encuentre una función vectorial para la curva de intersección de 1S y 2S

b. Trace la curva para 0z

c. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función de la parte (a) en

el punto donde zx .

Solución

a) 22

1 0: xyyxS

22

2 22: xzzxS

Sea: Rt

tz

ty

tx

2

2

2

22 2;; tttt r

b) 22020 2 ttz

c)

2

1012022 22

t

tttttttzx

Considerando 1t

1;1;11 r

2;2;11'22;2;1' rr ttt

R

z

y

x

L

;

21

21

1

:

0;2;2

0;2;2

6

7. Dada la función 12

,2

xy

yxyxf

a. Encuentre y trace el dominio de la función.

b. etermine la ecuación de la curva de nivel para k = 2 y grafíquela.

Solución:

a. xyyxRyxfxy

yx

,2/;Dom

0

02 22

2

b. 2k 022212

, 2

2

xyy

xy

yxyxf , es una parábola

8. Dada la función real 222,, zyxzyxf . ¿Qué figuras representan las superficies de nivel para:

1;0;1 kkk

Solución:

11;1 222222 zyxzyxk Hiperboloide de dos hojas

0222 zyxk Cono

1;1 222 zyxk Hiperboloide de una hoja

y

x 2 1

K=2

7

9. Considere las superficies del cilindro 4: 22

1 yxS y la superficie xyzS :2

a. Encuentre una función vectorial que representa la curva de intersección de 1S y 2S

b. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función de la parte (a)

en el punto donde x = y

Solución:

Sea: tseny

tcosx

2

2

entonces, tcostsenz 4

tsen;tsen;tcostr 2222

tcos;tcos;sentt'r 2422

Si 4

ttcossentyx

2224

;;r

022

4;;'r

Ru;

uz

uy

ux

:L

2

22

22

8

10. Un móvil se desplaza de acuerdo a la función 03

4;2;

2

2/32

tt

tt

tr . Donde t está en segundos

y las componentes en metros.

a. ¿Cuánto recorre en los primeros 10 segundos?

b. Determine las coordenadas del punto donde se encuentra cuando recorre 30 m.

c. Para el instante t =16 s, determine las componentes tangencial y normal de la aceleración

Solución:

a. 244'2;2;' 22/1 ttttttt rr

7022

2

10

0

210

0t

tdttL En los primeros 10s recorre 70m.

b. 606043022

22

2 22

0

2

0tttt

tt

tdtt

tt

se encuentra en el punto

68;12;186 r

c. 4

17''

4

1;0;116''

1;0;1'' trr

ttr

9

4;

9

1;

9

8

16'

16'

r

rT

19

4;

9

1;

9

8

4

1;0;1'' Trat

4

11

16

17na

Las componentes de la aceleración son: 2m/s1ta

2m/s25.0na

9

11. El vector posición de un objeto que se mueve en el espacio está definido por

kjir tetet tt 2sen22cos 22 . Las componentes están medidas en metros y t en segundos

a. Determine la velocidad, y la aceleración en el punto 0;2;1 .

b. Calcule la rapidez y la distancia recorrida durante el primer segundo.

c. ¿En qué punto se encuentra el objeto cuando ha recorrido metros?

solución:

a. 00;2;1 t

kjirv ttettett tt 2cos2sen202sen2cos2' 22

2;0;2220'0 kirv m/s

kjira tetett tt 2cos802sen8'' 22

8;0;080''0 kra m/s2

b. Rapidez smeettt

t /77,202222' 2

1

2

rv

meedteL t 035,912222 21

0

1

0

22

c.

58,017,122,3ln2

22,32

2

122222

2

00

22

tt

eeedtets

t

tt

ttt

kjir 97.2226,158,0 Se encuentra en el punto 97,2;2;26,1

12. Dada la función real yx

yxyxf

,

a. Halle la derivada de la función yxf , en el punto 1,1A en la dirección dada por el vector

1;1 .

b. La razón de cambio máximo de yxf , en el punto A , ¿puede ser 2?

Solución:

a. 22

2;

2,

yx

x

yx

yyxf

2

1;

2

11,1 f

2

1;

2

1u

2

1

2

1;

2

1

2

1;

2

11,1 fDu

10

La máxima derivada direccional es: 2

1

4

1

4

11,1 f y se da en la dirección del gradiente

1;12

1;

2

1 . Por tanto, no puede ser 2.

13. El vector posición de un objeto que se mueve en el espacio está definido por

kjir tetet tt 2sen22cos 22 . Las componentes están medidas en metros y t en segundos

(a) Determine la rapidez en el punto 0;2;1

(b) Calcule la distancia recorrida entre los puntos 1;00;1 y

(c) Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida desde el punto 0;1 en la

dirección en la que se incrementa t . Exprese la reparametrización en su forma más sencilla.

(d) ¿En qué punto se encuentra el objeto cuando ha recorrido 4

metros?

solución

a. 1

21

1

222

t

t;

ttr

22

2

22 1

22

1

4

t

t;

t

tt'r

1

22

t

t'r 110

001

t;

t;

Luego la rapidez en 01; es 20 'r

b. mtansttandtt

ts

t

21212

1

2 11

0

2

c. ts

tanttans

22 1

2

22

1

2

2

12

22

1

12

2

2222 ssec

stan

;s

secs

tan

stan

;s

tan

sr

ssen;scossr

d. 2

2

2

2

4;r

11

14. Considere la función xyxyyxf )(cos);( 2 .

a. Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto 3;2;1P .

b. Encuentre )2;1(xyf

Solución

a. yxy

xsenxcoxyxf x

)(cos

)()();(

2

2)2;1( xf

xxy

yxf y

)(cos2

1);(

2

2

3)2;1( yf

El plano tangente es:

423422

3123 zyxyxz

b.

1)(cos2

)()();(

232

xy

xsenxcoxyxf xy

1)2;1( xyf

15. Considere la función 22);( xyxyyxf . Determine el plano tangente a la gráfica de

f en el punto 4;0 .

.

Solución:

2

5

2

22);( 4,0

2

xy

xyxyxyxf x

2

1

2

232);( 4,0

2

xy

yxxyxf x

4)4;0( f

0122542

10

2

54 zyxyxz

12

16. Considere la función 22 2ln2);( yxyxyxf .

a. Determine el domino de f y represéntelo gráficamente

b. Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto 1;0;1P .

Solución:

a. 2

2

2

02

xy

yx

2

2

2

02

yx

yx

b. 22 2

1

2 yxyx

xy;xf x

201 ;f x

22 2

2

22

1

yx

y

yxy;xf y

2

101 ;f y

02

1121 yxz

0624 zyx

11;

22 ;

13

17. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy tiene una temperatura dada por:

22 21

100),(

yxyxT

, donde T se mide en ºC y yx; en metros.

a. Trace dos isotermas (curvas de nivel de la temperatura)

b. Determine la razón de cambio de la temperatura en )1;2(P en la dirección del vector

jiv 43

c. ¿En qué dirección cambia la temperatura con mayor rapidez en P?

d. ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?

Solución

a. kyxT ),(

12/99

101210

12/11

21250

2222

2222

yxyxk

yxyxk

b. 49

400)1,2(

21

)2(100),(

222

xx T

yx

xyxT

49

400)1,2(

21

)4(100),(

222

xy T

yx

yyxT

1;149

400T

5

4;

5

3u

mTDu /42,117

80

5

4;

5

31;1

49

400)1,2(

, disminuye a razón de 11, 42 grados

por metro.

c. En la dirección del gradiente, esto es: 1;1 w

d. La razón máxima de cambio en P es el módulo del gradiente, esto es: mT /54,11249

400

k=10

k=50

3 1 x

y

14

18. La temperatura en un punto yx; a menos de 5 metros de una hoguera está dada por

102594

130),(

22

yxyxT .donde T se mide en ºC y yx; en metros.

a. Determine la razón de cambio de la temperatura en )1,2(P en la dirección del vector jiv

b. ¿En qué dirección cambia la temperatura con mayor rapidez en P?

c. ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?

Solución

a.

2322 25942

8130/x

yx

xy;xT

225

5212 ;Tx

2322 25942

18130/y

yx

yy;xT

225

1172 |;Tx

225

117

225

5212 ;;f

2

1

2

1;u

m/C,;TDu 38350

117

50

5212

b. En la dirección de 225

117

225

5212 ;;f

c. m/C,;;f 623225

117

225

5212

15

19. Dada la función 22 122);( yyyxyxf

a. Halle los puntos críticos de f.

b. Clasifique dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.

Solución

a. 0004);( yóxxyyxf x

0)2862);( 22 yyxyxf y

1,01

3

1,0

3

1

011302860 2

y

yyyyyx

0,11

0,110220 2

x

xxy

yyxf xx 4);( xyxf xy 4);( 812);( yyxf yy

22216324848124);( xyyxyyyxH

yxfyxH xx ;);(

SillaHay1601,

SillaHay1601,

SillaHay1610,

mínimohay3

4

3

16

3

1,0

16

20. Dada la función 13);( 323 xyyxyxf . Halle los puntos críticos de f(x, y) y clasifique

dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.

Solución:

a. 3

1,

3

1019);( 2 xxxyxf x

3

2,0023);( 2 yyyyyxf y

3

2;

3

1;0;

3

1;

3

2;

3

1;0;

3

1..CP

0);(

62);(

18);(

yxf

yyxf

xyxf

xy

yy

xx

yxyxD 3136);(

yxyxD 3136);( xyxfxx 18);( Tipo

0;

3

1 12 6 punto de mínimo

3

2;

3

1 -12 punto de silla

0;

3

1 -12 punto de silla

3

2;

3

1 12 -6 punto de máximo

21. Dada la función 14 44 yxxy)y;x(f

a. Halle los puntos críticos de f.

b. Clasifique dichos puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.

Solución

a. 0044 33 xyxyy;xf x

0044 33 yxyxy;xf y

09 xx

110

110

y;y;y

x;x;x Puntos Críticos 111100 ;;;;;

b. 212xy;xf xx

212yy;xf yy

4y;xf xy

silla;D 01600

Máximo;f;;D xx 01211012811

Máximo;f;;D xx 01211012811

17

22. Dada la función yyxxyxf 332 31);( . Halle los puntos críticos de f(x, y) y clasifique dichos

puntos en puntos de máximo, de mínimo o de silla.

Solución:

3

2,0032);( 2 xxxxyxf x

3

2019);( 2 yyyxf y

3

1,

3

2,

3

1,

3

2,

3

1,0,

3

1,0

xyxf xx 62);(

yyxf yy 18);(

0);( yxf xy

xyyxH 3136);(

relativo mínimo23

1,0,12

3

1,0

fH

silla123

1,0

H

silla,123

1,

3

2

H

relativo máximo23

1,

3

2,12

3

1,

3

2

fH

23. Un plato para mascota está formado por dos semiesferas, la parte interior de 6 cm de radio y la de la

parte exterior tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas mostrado. Determine las

ecuaciones de ambas superficies y luego describa la región comprendida entre las superficies y encima

del plano 0z .

Ecuaciones:

De la parte interna:

cos121236666 2222222222 zzyxzyxzyx

De la parte exterior

2672262222 zyx

6 cm

6 cm z

y x

18

Luego

4cos1226

26cos12;24

;20/;;

E