Ejercicios Resueltos
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xy
z
124
482
1
6
12
x
y
z
x
y
z
124
482
1
6
12
Solucin:
Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un slido:
[ ]
=6121842412
T
Se pide:- Dibujar, sobre el punto elstico de la figura, y en las caras ms alejadas del
origen de coordenadas, la direccin y sentido de cada una de las componentes tensionales que, sobre dichas, caras actan.
-Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.
MPa
Ejercicio 1.1
-
Vector normal al plano:
( )
=
=
++=
75
18
31
31
31
31
6121842412
kji31u
*z
*y
*x
rrrr
Tensin normal:
( ) MPa67,63207518
31u*n ==+== rr
Tensin tangencial:
MPa39,949,4467,1322n2* === r
-
Ejercicio 1.2
Determinar las tensiones principales sabiendo que el tensor de tensiones viene definido por:
102530253040304020= MPa
-
Solucin:
zyzzx
zyyxy
zxxyx
=
102530253040304020= MPa
1
2 2 22
2 2 23 2
x y z
x y x z y z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
I
I
I
= + += + + = +
= 20 + 30 10 = 40 MPa
= -3025 MPa
= 89500 MPa
3 21 2 3 0I I I + =
-
0322
13 =+ III
MPaMPaMPa
8,515,263,65
3
2
1
===
Resultado:
-
En un problema bidimensional, el punto elstico de la figura se encuentra sometido al estado tensional que se indica. Se pide:a) Expresin del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,yb) Expresin del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y(e (el eje x forma un ngulo de 35, en sentido antihorario, con el eje x).
40 MPa
15 MPa
25 MPa
x
y
La expresin, en x-y, del tensor de tensiones es:
[ ]
=25151540
T
La expresin de dicho tensor en ejes x-y la podemos obtener como:
[ ] [ ] [ ][ ]RTR'T T=
[ ]
=
35cos35sen35sen35cos
R
Siendo:
[ ]
=48,1067,3567,3552,4
'T
Ejercicio 1.3
-
Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C1, C2 y C3 para que la siguiente distribucin de tensiones puede existir en un slido en equilibrio:
( ) 0yCzxCyCC0zCyxC2
yz3xz32
21xy
z2
2y1x
==+====
SOLUCIN:Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0)
)cumplese(0zyx
0CzC0zyx
0CxC2yC20zyx
zzyzx
33yzyyx
111xzxyx
=+
+
===+
+
===+
+
C2 puede tomar cualquier valor, por lo que el estado tensional tendra la forma:
0000zC0
yzxzxy
z2
2yx
======
Ejercicio 1.4
-
El tensor de tensiones en un punto de un slido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:
1.- Determinar de forma analtica:a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensionesb) Los valores de las tres tensiones principalesc) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principalesd) La tensin tangencial mxima que se produce en las proximidades del punto considerado
[ ]
=
0000202002050
T
600202050
7020502
2
1
===+=
IIa) b) Una de las tensiones principales (z) es nula. Las otras dos las calcularemos
resolviendo:
106002020
20500 21 ===
= IT
Por tanto, las tensiones principales son: 01060 321 === y
c) Como el eje z es una direccin principal ( ), las otras dos las calcularemos resolviendo:kurr =3
=
00
20202050
2
1
uu
Direccin principal 1: jiuaa rrr 4473089430
00
40202010
12
1 ,, =
=
Direccin principal 2: jiuaa rrr 8943044730
00
10202040
22
1 ,, +=
=
d) La tensin tangencial mxima ser: ( ) 30530252
102
602
1060 ==
= ,,max,,maxmax
Ejercicio 1.5
-
2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar grficamente: e) El crculo de Mohr f) Las coordenadas (,) del polo de dicho crculo g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho crculo h) Los dos planos sobre los que acta la tensin tangencial mxima i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensin forma el mayor ngulo posible con la normal a dichos planos. j) El plano al que representa el polo del crculo de Mohr
-
Plano Y
Plano X 50
20
20
x
y
-
POLO
Plano Y
Plano X 50
20
20
x
y
-
POLO
Planoprincipal IPlano
principal II
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
60
10
x
y
-
POLO
Planoprincipal IPlano
principal II
Plano demxima tensin tangencial
Plano demxima tensin tangencial
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
35
25
x
y
35
-
POLO
Plano en el queel vector tensin formael mayor ngulo posiblecon la normal
Plano en el queel vector tensin formael mayor ngulo posiblecon la normal
-
POLO
Plano correspondienteal polo del crculo de Mohr
-
El vector desplazamiento en un punto genrico de un slido cargado viene dado (referido a un sistema cartesiano de referencia) por:
( ) ( )kazaxiazax rrr 2322 ++= donde a es una constante conocida. Se pide:
a) Expresin del tensor de deformaciones en un punto genrico del slido b) Es, fsicamente, posible este campo de desplazamientos? c) Qu lectura proporcionara una banda extensomtrica situada en la direccin de
la bisectriz del primer cuadrante del sistema cartesiano que se utiliza?
Ejercicio 2.2
-
a) El tensor de deformaciones se obtiene del campo de desplazamientos como sigue: ( )
( )( )
0yw
zv
aa3a2xw
zu
0xv
yu
a2xw
0xv
a2xu
az2ax3z,y,xww0z,y,xvv
az2ax2z,y,xuu
yz
xz
xy
z
y
x
=+
=
=+=+
=
=+
=
==
==
==
+====
==
El tensor de deformaciones es:
[ ]
=
a202/a0002/a0a2
D
-
b) Para que el campo de desplazamientos, o el de deformaciones que de l se derivan,sea fsicamente posible, debemos comprobar que se satisfacen las ecuaciones decompatibilidad de deformaciones:
+
=
=+
+
=
=+
+
+
=
=+
zyxzyxzxxz
zyxyxzzyyz
zyxxzyyxxy
xyxzyzzxzzx
xyxzyzyyzzy
xyxzyzxxyyx
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
En estas ecuaciones slo aparecen derivadas segundas de las deformaciones, por lo quese verifica automticamente al ser el campo deformaciones lneal. Por tanto, el campode desplazamientos dado es fsicamente posible.
-
c) El vector unitario de la bisectriz del primer cuadrante del es:
)( kjiurrrr ++=
31
El vector deformacin unitaria sera:
{ } [ ]{ }
=
==
2/a502/a5
31
31
111
a202/a0002/a0a2
uD* rr
La deformacin longitudinal correspondiente (la medida de la banda) es:
a35
2a5
2a5
31
31
111
2/a502/a531u* =
+=
== rr
-
En un pilar vertical de seccin cuadrada hueca, tal como se indica en la figura (cotas enmetros),
x
y
1 1 1 1
1111
x
y
1 1 1 1
1111
el tensor de deformaciones viene dado por:
[ ]( )
( ) 410200003203243
+
++= yx
yxxD
Calcular: a) la variacin de longitud del pilar, indicando si ste se alarga o se acorta,
sabiendo que, su altura inicial era de 5 m b) la variacin del ngulo, en el plano x,y, que se produce en el vrtice de la
seccin de coordendas (2,2), indicando si el ngulo final en dicho vrtice (que inicialmente era recto) aumenta o disminuye respecto de su valor inicial.
c) El cambio de volumen que experimenta el pilar, indicando si aumenta o disminuye el volumen inicial del mismo.
Ejercicio 2.3
-
a) nto)(alargamie105102102 344 mhh zz ====
b) ( ) ( ) 44 106410322 +=+= yxyxxy Para el punto (2,2), ( ) rad104102624 44xy =+= (el ngulo disminuye) c) ( ) 41063 +=++= xe zyxV
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 342
14
1
141
24
pilarV
m1036054dx106x3
52dx106x354dx106x3dVeV
=++
++++==
(el volumen del pilar aumenta)
dx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdx
x
y
z
dx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdxdx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdx
x
y
z
-
Ejercicio 2.1Dado el tensor de deformaciones:
encontrar la deformacin unitaria segn la direccin:( ) 3/kjim rrrr ++=
[ ]mDm rr =mr
[ ]
=002000020000200010002000100030
,,,,
,,,D
000330
31
31
31
002000020000200010002000100030
31
31
31 ,
,,,,
,,,=
=m
-
dxPP
x
L
e
Determinar el desplazamiento relativo entre las dos seccionesextremas de la barra de la figura:
P = 50.000 N, E = 2x107 N/cm2e = 1 cm, b1= 5 cm, b2= 10 cm, L = 40 cmDatos:
Ejercicio 3.1
b1
b2
-
Consideremos una rebanada de longitud dx a una distancia x de laseccin b1. El canto ser:
1,
= + = +
= b b b
Lx b ax
a b bL
12 1
1
2 1
El rea (Ax) de la seccin escogida ser: (b1+a.x)eSi esta rebanada experimenta una elongacin du, su deformacin ser:
xAEP
dxdu
=
-
La elongacin total, u, que experimenta la barra ser:
u PA E
dx Pb ax e E
dx
u Pe E
dxb ax
PaeE
b ax
u Pa e E
b a Lb
x
L L
L
= = += + = +
= +
01
0
10 1
1
1
( )
ln
ln
1
100
lnb
LabEea
PdxAEPduu
L
x
L +=== 0
L
-
Substituting back for K,
u Pb bL
e E
bb
= ( )
ln2 1
2
1
e = 1 cm, b1= 5 cm, b2 = 10 cm, L = 40 cm,
P = 50.000 N, E = 2 x 107 N/cm2
u. .
cm= =50 000
10 540
1 2. 10
105
0 013867
.
( )ln ,
Sustituyendo el valor de a:
En el problema:
-
Ejercicio 4.1
Para la barra prismtica de la figura, que se encuentra sometida a la accin de su propio peso, determinar el campo de tensiones, de deformaciones, de desplazamientos y la energa elstica acumulada
VolumenPeso=
z
x
y
BD
Lg
-
00
0
00
======
xz
yz
xy
z
y
x
z
Tensiones:
z
x
y
bc
L
0
0
0
1
====
=
=
xz
yz
xy
z
y
x
zE
zE
zE
Deformaciones:z
z
z
Peso
===
zzAPesoA
z
z
-
( )[ ]22222
LyxzE
w
yzE
v
xzE
u
++=
=
=
Desplazamientos:
( )22
1 222 zEE z ==
Densidad de energa:
EALAdzz
EdVU
V
L 32
0
22
62 ===
Energa elstica almacenada en la barra:
-
Una placa rectangular se encuentra sometida a las acciones indicadas en la figura.Determinar la funcin de Airy que resuelve el problema.
x
y
L
h
22
1 1x
y
L
h
222
11 11
La funcin de Airy ser: 223223 gyfxycxdycxyybxax ++++++= fcybx
yxebyax
xgdycx
yxyyx =
=++==++=
= 22226262 22
2
2
Imponiendo que: en x=0, 112 += y
hx ; en x=0, 0=xy ; en y=0, 0=y Se obtienen las constantes del polinomio, resultando:
21312
26yy
h +=
Ejercicio 5.1:
-
Ejercicio 5.2:
Un tubo de pared gruesa tiene un radio interior 1r y exterior 2r y se encuentra sometido a una presin interior de valor p. Suponiendo que trabaja en condiciones de tensin plana, determinar el cambio de longitud que experimenta el radio interno del tubo al aplicar la presin p.Supngase conocidos los valores de E y del material.La distribucin de tensiones en el tubo es:[ ] [ ] p
rrrr
prprrr
pprprrrr 21
22
22
212
22
121
22
22
212
122
11+=+===
+
+==
+
+== 21
22
22
211
11121
22
22
21
rrrr
Epr
rrrrrrr
Ep
Er
-
lLlL DBCB 8060 ,, ==Por condiciones de equilibrio:
PFPF DBCB 8060 ,, =+=
De la geometra de la estructura:
Energa de deformacin:
( ) ( )[ ]AElP
AElP
AELF
AELFU DBDBCBCB
2332
22
36402
806022
,,, =+=
+=
Igualdad entre trabajo de las cargas externas y energa elstica almacenada:
AEPld
dPAELPU
WU
B
B
7280
3640 212
,
,
=
===
Calcular el desplazamiento vertical que experimenta el punto B del sistema articulado de la figura, formado por dos barras del mismo material (mdulo de elasticidad E) y la misma seccin transversal (rea=A).
Ec. (1)
C
P
lB
D
34
3
4
Ejercicio 6.1
-
Determinar los coeficientes de influencia, de la siguiente viga sometida a las acciones indicadas.
F1=P F2=2P
6 m3 m
2 m
sabiendo que est realizada con un material de mdulo de elasticidad Ey que el momento de inercia de su seccin transversal es I.
DATOS:
Ecuacin de la elstica:
( ) lxalxl
la-
EIxlFlad
axlx
lb
EIFlbxd
=
=
para 1 6
0 para 16
2
2
2
2
2
2
2
F
la
x
y b
Ejercicio 6.2
-
16 m2 m
x
y 4 m
3 m2 m
6 m
1 2
EI13,56
62
641
62461
2
2
2
2
11 =
=
EId
( )EI
-EI
d 183,36
36621
636261 2
2
2
21 =
=
F1=P F2=2P
-
16 m
2 m
x
y 4 m
1 2
EI13,83
62
631
62361
2
2
2
2
12 =
=
EId
EI14,5
63
631
63361
2
2
2
2
22 =
=
EId
3 m 3 m
-
Determinar, haciendo uso del concepto de coeficiente de influencia, la energaelstica almacenada por la siguiente viga sometida a las acciones indicadas.
EI13,5611 =d
EId 183,321 =
EI13,8312 =d EI
14,522 =d
( )[ ]22221121121 1
2222
121 dPdPPdPPdP
EIFFdWU ji
n
iij
n
j+++===
= =
EIPU
244,18 =
( ) PPdPdd =+= 22,11212111- Determinar el desplazamiento vertical experimentado por la seccin sobre la queacta la carga P.
6 m3 m
2 m
F1=P F2=2P
Ejercicio 6.3
-
Determinar, en funcin de los desplazamientos verticales (flechas) que experimentanlas secciones sobre las que se aplican las cargas exteriores, la energa elsticaalmacenada en la viga
niniii FdFdFdd +++= ........2211
njnjjj dkdkdkF +++= ........2211
En nuestro caso:
2221212
2121111
FdFddFdFdd+=+= EI
13,5611 =d EId183,321 =
EI13,8312 =d EI
14,522 =dResolviendo el sistema:
[ ]( ) [ ]212
211
0047602555022555030
ddEIPFddEIPF
,,,,
+====
EIk 3011 ,= EIk 2555012 ,= EIk 2555021 ,= EIk 00476022 ,=
Ec. (2)
Ejercicio 6.4
-
[ ][ ]221221
221221
21
2
1
2
1
0047605110302
0047602555025550302
21
ddddEI
ddddddEI
ddkWUj m
mjjm
,,,
,,,,
+=
=+=
=== = =
-
lLlL BDBC 8,06,0 ==
De la geometra de la estructura:
Resolver la estructura de la figura aplicando el P.T.V.
C
P
l B
D
3
43
4
C
P
l B
D
3
43
4
B
Desplazamiento virtual: B B
Ejercicio 6.5
-
CBCB L
cos=
DBDB L
cos=Deformacionesvirtuales:
C
P
l B
D
B
C
B
cos B
-
( )dVoldfdVolf
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V V
+++++=
=+
rrrr
0=+ dfdVolfV V rrrr
( )( ) ( )DB
DBDBCB
CBCB
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
LAL
LAL
dVol
+=
=+++++
coscos
( ) ( ) 0=+ DBDB
DBCBCB
CB LALLA
L coscos
T.T.V.
Trabajo virtual fuerzas exteriores:
Trabajo virtual tensionesinternas:
-
( ) ( ) 0=+ DBDB
DBCBCB
CB LALLA
L coscos
coscoscoscos CBDBDBCB ==+ 0
Por condiciones de equilibrio, habamos obtenido previamente:
PFPF DBCB 8060 ,, =+=
CBCBDB 34
535
4==
CBCBDB FFF 34
6080 ==,,
Si multiplicamos por A los dos miembros de esta ltima ecuacin:
CBDBCBDB FFAA 34
34 ==
-
En el sistema articulado de la figura formado por tres barras deidntico material y siendo las reas de sus respectivas secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para la barra BD, determinar, cuando, sobre l acta la carga P:a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada una de las barrasb.- La energa elstica que almacena el sistemac.- El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del nudo D.
Ejercicio 6.6
B D
C
l l
l/2
P
reas:Barra BD: 2ABarras BC y CD: A
-
ASPECTOS GEOMTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA
B D
C
l l
l/2
P
VB VD
llCBCD
ll
118,1cos
565,262/arctan
===
=
=
-
NUDO B NUDO C
NBC=NCD por simetra
RESOLUCIN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:
B
VB
NBD
NBC
C
VB
NDCNBC
P
PPNPNN
PsenN
BD
BCDC
CD
====
=
cos118,1118,1
2
-
B D
C
RESOLUCIN DE LA ESTRUCTURA POR EL P.T.V.:
Desplazamientos virtuales:B y C no se desplazanD lo hace hacia su izquierdauna magnitud
B D
C
l l
l/2
P
VB VD
-
B D
C
D
cos
ll BDCD 2cos ==
( ) ( )( )
+=+=
=+=+=
BDCDBDCD
BDCDBDBDCDCD
NNlAlA
NAllA
N
lAl
lAl
lAlAW
cos2222
cos
222
cos22int
Trabajo fuerzas actuantes: Wext=0Trabajo fuerzas internas:
0coscos0int
=++==
BDCD
BDCDext
NNNNWW
-
AEPld
AElPPd 796,3898,1
21 2 ==
WU =NUDO C:
NUDO D:
( ) ( )EAlP
EAlP
EA
Plu BD
====2
222w
AElP
EAlP
EAlP
EAlPUUUU CDBCDB
2
22
2
898,12
)118,1()118,1(2
)118,1()118,1()2(2)2(
=
=++
+=++=
-
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
AEPl
AEPl
PUd 796,32898,1 ==
=
-
Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la estructura articulada del problema anterior el desplazamiento vertical del punto C cuando acta la carga Q que se observa en la figura:
Ejercicio 6.7
QB D
C
l l
l/2
-
SISTEMA I
SISTEMA IIB D
C
l l
l/2
P
QB D
C
l l
l/2
-
( ) ( )= III uQdPEAlPu I =w
( ) ( )EA
lQuPQd III ==
-
AEPl
AEPl
PUdB 728,0364,02 ==
=
AElPU
2
3640,=
EJEMPLO DE APLICACIN DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
Sabiendo que la expresin de la energa elstica almacenada en el sistemaarticulado de la figura (ver Ec. (1)) es:
determinar el valor del desplazamiento vertical queexperimenta el nudo B.
C
P
lB
D
3
43
4
Ejercicio 6.8
-
Determinar la mxima presin p manomtrica interna que puede soportar una vasijacilndrica de pared delgada de espesor e y radio R (R>>e) que contiene gas sabiendo que la tensin de plastificacin del material de la vasija es y . NOTA: Aplquese el criterio de plastificacin de Tresca
Las tensiones en la vasija son: epR
epR
z 2; == , por lo que las tres tensiones
principales resultan ser: 0;; 321 === z El criterio de Tresca resulta:
Re
pepRk
epR yy =====
222131
Ejercicio 7.1
-
Ejercicio 9-10-11.1
La seccin de la figura se encuentra sometida a un momento flector MXde 200kN.m y a un esfuerzo cortante QY de valor -2000 kN. Determinar las mximas tensiones normales y tangenciales que se producen en la seccin.
y
x
3005
0
60
250 Cotas en
mm
-
( )( )2/y60y GG( )( )( ) 2/y25060y250 GG
( )( )( )0
y2502550300 G=
+
mm200yG =
DETERMINACIN DEL C.D.G DE LA SECCIN:Tomando momentos estticos respecto del eje horizontal que pasa por G
x x
300
5
0
60
250 yG
yG /2Cotas enmm
G
-
x x
3005
0
60
250
200
75
75
Cotas enmm
M x = 200 KN.m
487
677
23
23x
mm10x50,210x44,8
10x13,310x44,810x81,7
)75)(50)(300(12/)50)(300(
)75)(250)(60(12/)250)(60(I
=++++=
+++=
Momento de inercia:
IyM mx
mx =
traccin = 200x106 N.mm (200) mm / 2.50 x108 mm4= 160 MPa
compresin = 200x106 N.mm (100) mm / 2.50 x108 mm4= 80 MPa
-
x x
300
5
0
60
250 200
75
25
Momento estticomximo:
En la fibra neutra:a0=60 mm
Qy
Q y = 2000 kN
Me= (300)(50)(75) + (60)(50)(25)
= 1,2 x 106 mm3
(200x103 N) (1,2x106 mm3)(2,50x108 mm4 (60) mm = 16 MPa max =
Cotas enmm
-
Flexin Cortante
80 MPa
160 MPaTraccin
Compresin
max=16 MPa
Fibraneutrax x
3005
0
60
250
G
-
Un rbol de 50 mm de dimetro y 0,7 m de longitud se encuentra sometido a la accin de un momento torsor de 1200 Nm. Calcular la mxima tensin tangencial que se produce y el ngulo que giran entre s las dos secciones extremas. NOTA: G=90 GPa
4944
1059,6133205,0
32mDIO
===
MPaIRM
O
z 89,481059,613025,01200
9max ===
radIGLM
O
z 0152,01059,6131090
7,0120099 =
==
871,023600152,0 ==
Ejercicio 12.1
-
Repetir el ejercicio 12.1 suponiendo que el rbol es un tubo con un dimetro externo de 50 mm e interno de 30 mm.
( ) ( ) 494444 1007,53432
03,005,032
mdDIO===
MPaIRM
O
z 17,561007,534025,01200
9 ===
radIGLM
O
z 0175,01007,5341090
7,0120099 =
==
123600175,0 ==
Ejercicio 12.2
-
El motor de un automvil proporciona una potencia de 100 caballos a 1800 rpm a un rbol de transmisin de 10 mm de radio. Calcular la mxima tensin tangencial que sufre el rbol.
El momento torsor al que se encuentra sometido el rbol es:
( ) ( )mN
srevradrev
hpwhp
angularVelocidadPotenciaM z .396min
6012
min1800
7,745100=
==
La mxima tensin tangencial es:
O
z
IRM= con 2
4RIO=
=252 MPa
Ejercicio 12.3