EjerciciosresueltosdeCALCULOAgustnValverdeRamos LOIIADOI EditadoelectronicamenteporAgustnValverdec _AgustnValverdeRamosDpto.deMatematicaAplicadaEscuelaTecnicaSuperiordeIngenieraInformaticaUniversidaddeM alagaBvd.LouisPasteur,s/n(CampusdeTeatinos)29071MalagaIntroduccionNotaciondeejercicios:cap.ej(apart)ocap.ejoej(apart)oejiiiIndicegeneralivCaptulo1El cuerpodelosn umeroscomplejos1Elcuerpodelosnumeroscomplejos 2Problema1Hallarel m oduloyel argumentodecadaunodelossiguientesn umeros:3 + 4i; (3 + 4i)1; (1 +i)5;73 + 4i; [3 + 4i[Recordemosque elrecorridoconsideradoparalafuncionarc tges(/2, /2);ademas,estafuncionesimparyvericalasiguienteigualdad:arc tg x + arc tg1x=2 [3 + 4i[ =32+ 42= 5arg(3 + 4i) = arc tg4/3Utilizamoselapartadoanterior:[(3 + 4i)1[ = [3 + 4i[1=1/5arg((3 + 4i)1) = arg(3 + 4i) = arc tg4/3ResolvemosesteapartadodeunaformaalternativautilizandolanotaciondeEulerylaformuladeMoivre(1 +i)5= (2(12+12i))5= (2(cos 4+i sen 4))5= 42(cos 54+i sen 54)Portanto, [(1 +i)5[ = 42yarg(1 +i)5=54EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 3Dadoque [3 +4i[ = 5, [73 + 4i[ =75.Porotraparte,unn umero complejotienenracesnesimasdistintascuyosmoduloscoinciden; si =arc tg43esel argumentode3 + 4i, entonceslosargumentosdelas7racesseptimasson17 +27kparak = 0, 1, . . . , 6.Dadoque [3 + 4i[ = 5esunn umerorealpositivo,coincideconsuvalorabsolutoysuargumentoes0.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 4Problema2Expresarcadaunodelossiguientesn umeroscomplejosenlaformaa +bi:ei/2; 2ei/2; 3ei; ei; i +e2i; ei/4; ei/4ei/4;1 ei/21 +ei/2ei/2= cos2+i sen2= i.2ei/2= 2i.3ei= 3. ei= 1.i +e2i= i + 1.ei/4=12+i12.ei/4ei/4= 2iIm(ei/4) = 2i sen/4 = 2i12= i2

1 ei/21 +ei/2=1 i1 +i=12(1 i)2= iEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 5Problema3Encadacaso,hallartodoslosvaloresdexeyquesatisfacenlarelaci ondada:x +iy= xeiy; x +iy= yeix; ex+iy= 1;1 +i1 i= xeiyx +iy= xeiy:Six=0, entoncesy=0; six ,=0, ydadoquexeiy=xcos y + ixsen y,debeocurrirquecos y=1y, entalcaso,seny= 0ey= xsen y= 0.Portanto,lassolucionessontodosloscomplejosconparteimaginarianula.x + iy=yeix: Si y=0, entonces x=0; si y ,=0, ydadoqueyeix=y cos x + iy sen x, debeocurrirquesen x = 1yentalcasocos x = 0yx = y cos x = 0;nalmente,dado quelaigualdady= iyno esposibleparaning uny ,= 0,deducimosquela unicasoluciones(0, 0).Dadoque 1 = ei,lassolucionesdelaecuacionex+iy= 1son:x = 0ey= + 2kDadoque1 +i1 i= i = ei/2,lassolucionesdelaecuacion1 +i1 i= xeiyson:x = 1ey=2+ 2kEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 6Problema4Resolverlasecuacionessiguientes:1. x2+ix + 1 = 0; 2. x4+x2+ 1 = 0; 3. x3x2x 2 = 0; 4.___ix (1 +i)y= 3(2 +i)x +iy= 41. x2+ix + 1 = 0 x =12(i 1 4)Portanto,lasdossolucionesdelaecuacionsonx1=12(5 1)iyx2= 12(5 + 1)i.2. Estaesunaecuacionbicuadrada:x4+x2+ 1 = 0x2=12(1 1 4) =12(1 i3)Portanto,lasdossolucionesdelaecuacionenx2son:y1=12(1 +i3) = cos 23+i sen 23y2=12(1 i3) = cos 43+i sen 43EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 7Lascuatrosolucionesdelaecuaciondelenunciadosonlasdosracescuadradasdey1ylasdosdey2:x1= cos 3+i sen 3=12(1 +i3)x2= cos 43+i sen 43= 12(1 +i3)x3= cos 23+i sen 23=12(1 +i3)x4= cos 53+i sen 53=12(1 i3)3. Dado que el polinomio x3x2x2 tiene grado impar, al menos una de las tres soluciones es real; comprobandolosdivisoresdelterminoindependiente,encontramosque2esestasolucion; lasotrasdos, sonlassolucionesdelaecuacionx2+x + 1 = 0quehemosresueltoenelapartadoanterior.Lastressolucionesson:x1= 2 x2=12(1 +i3) x3=12(1 i3)4. Aplicamoselmetododereducci onometododeGauss:_ix (1 +i)y= 3(2 +i)x +iy= 4____ix (1 +i)y= 3ix +i22 +iy=4i2 +i______ix (1 +i)y= 33i2 +iy=i 62 +i___Portanto,y=i 63i=13+ 2iyx =3 + (1 +i)yi= 13(5 + 7i).EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 8Problema5Hallartodaslasracescuartasdeienlaformaa + bisinhacerintervenirningunafunci ontrigo-nometrica.Lascuatroracescuartasdeison:zk= exp_24+24k_,k = 0, 1, 2, 3:z1= cos8+i sen8; z2= cos58+i sen58; z3= cos98+i sen98; z4= cos138+i sen138Lassiguientesigualdadespermitenelcalculoexactodeestasraces:cos8= cos124=_12_1 + cos4_=2+22sen8= sen124=_12_1 cos4_=222Portanto,lasracesson:z1= cos8+i sen8=2+22+i222z2= cos58+i sen58= 2+22+i222z3= cos98+i sen98= 2+22i222z4= cos138+i sen138=2+22i222z1z2iReImz3z48EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 9Problema6Expresarlosn umeroscomplejossiguientesenlaformaa +bi:(1 +i)2; 1/i; 1/(1 +i); (2 + 3i)(3 4i); (1 +i)/(1 2i); i5+i16;12(1 +i)(1 +i8)(1 +i)2= 1 + 2i 1 = 2i.

1i=ii2= i.

11 +i=1 i1 + 1=12 12i.(2 + 3i)(3 4i) = 6 12i2+i = 18 +i.

1 +i1 2i=15(1 +i)(1 + 2i) =15(1 + 3i).i5+i16= (1)2i + (1)8= i + 1.

12(1 +i)(1 +i8) =12(1 +i)(1 + 1) = 1 +i.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 10Problema7Simplicarlasiguienteexpresi onparacadan N1 +i +i2+ +inParasimplicarla,vamosamultiplicarydividirpor(1 i):1 +i +i2+ +in=(1 +i +i2+ +in)(1 i)1 i=1 +i +i2+ +ini i2 inin+11 i=1 in+11 iPorlotanto,estaexpresiondependedelacongruenciadenmodulo4:Sin = 4k, 1 +i +i2+ +in=1 i4k+11 i=1 i1 i= 1Sin = 4k + 1, 1 +i +i2+ +in=1 i4k+21 i=1 + 11 i= 1 +iSin = 4k + 2, 1 +i +i2+ +in=1 i4k+31 i=1 +i1 i= iSin = 4k + 3, 1 +i +i2+ +in=1 i4k+41 i=1 11 i= 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElcuerpodelosnumeroscomplejos 11Problema8Representar el conjunto de todos los complejos z que satisfacen cada una de las condiciones siguientes:1.[2z + 3[ < 1; 2.[z + 1[ < [z 1[; 3.[z i[ [z +i[; 4.[z[ [2z + 1[Lasrepresentaciondeloslugaresgeometricosdeterminadosporlasinecuacioneseslasiguiente:ImReImImReRe3/22/31/31|2z + 3| < 1 |z + 1| < |z 1| |z| |2z 1|ImRe|z +i | |z i |1. [2z + 3[ < 1z +320yN Ntal que [an [ Nyporlotanto, [bn [ = [af(n) [ 0; por las hipotesis, existendos naturales N1 ByN2 Ctales que [bn [ 0,cn+1= a + (cn)24. d1= 0,d2= 1,dn+2=dn+1 +dn21. Evaluando algunos terminos de la sucesion an, podemos intuirque es decreciente. La demostracion la hacemosporinducci on;tenemosqueprobarquean> an+1paratodon N.(i) Paran = 1:a1= 3 > 2 =1 + 3 = a2(ii) Supongamosqueak>ak+1;tenemosqueprobarque,entonces, ak+1>ak+2.Lasiguientesecuenciadedesigualdadescompletalaprueba:ak> ak+11 +ak> 1 +ak+11 +ak>_1 +ak+1ak+1> ak+2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 52Porlotanto,efectivamentean> an+1paratodon N.Ensegundolugar,observamosquelasucesionestaacotadainferiormente,yaquean> 0paratodon N,yporlotanto,lasucesionesconvergente.Si = lman,entonces: = lman+1= lm1 +an=1 +Despejandodelaigualdadanterior,obtenemosque =1 +52.2. Evaluandoalgunosterminosdelasucesion, intuimos quelasucesionescreciente. Hacemoslademostracionporinducci on,esdecir,vamosaprobarquebn< bn+1paratodon N.(i) Paran = 1:b1=2 < 242 = b2(ii) Supongamosquebk 0:a2n=_an12+1an1_2=a2n14+1a2n1+ 1()> 2an121an1+ 1= 2Enelpaso()hemosutilizadoquex2+y2> 2xyparatodox ,= y,EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 59c) anesdecreciente: apartirdeladesigualdadanteriordemostramosestehechofacilmente:a2n> 2a2n2an>22anan2>1anan2+an2>1an+an2an> an+1d) anestaacotadainferiormente: volvemos autilizar ladesigualdaddel segundoapartado: dadoquea2n> 2 > 1,an> 1.De los dos ultimos puntos se deduce que la sucesionan(decrecientey acotada)convergeenR. Seasu lmite;entonces: =2+1dedondesededuceque2= 2.Estasucesionpuede considerarse comoun ejemplo de una sucesion(o conjunto)acotadoque no tienemnimoenQperoslotieneenR.El ejerciciosepuedegeneralizar parademostrarquelasrazcuadradadeunn umeroracional positivoesunEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 60n umeroreal: si aes unn umeroracional positivo, lasucesionb0=1, bn+1=12_bn +aan_es unasucesionden umerosracionalesconlimite a.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 61Problema32Demostrarquelasucesi onsen nnoesconvergente.Hacemos uso de subsucesiones para demostrar este hecho: si la sucesion fuera convergente, toda subsucesion seraconvergentealmismolmite,perovamosaconstruirdossubsucesionesqueentalcasotendrandiferenteslmites.ConsideremoslosintervalosIm=_4+ 2m,34+ 2m, m N. Dadoquelaamplituddeestosintervalosesmayor estrictamente que 1, necesariamente cada uno de estos intervalos contiene un n umero natural: sea mn NInesten umeroyconsideremoslasubsucesionbn=amn. Dadoquesen amn>sen 4=22, si bnfueraconvergente,sulmiteseramayorque22.Delamismaforma,conlosintervalosJm=_54+ 2m,74+ 2m,encontraramosunasubsucesionque,deserconvergente,tendraunlmitemenor 22.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 62Problema33Hallarlossiguienteslmites.1. lmx6x26xx27x + 62. lmx2_1x 2 6x2+ 2x 8_3. lmt0_4t 1_t4. lmx32x + 64x2365. lmh01h_(x +h2)3x3_6. lmx0_1x4 1x_7. lmx0sen x2x38. lmx[4x[ +[x 1[x9. lmxxsen1x21. lmx6x26xx27x + 6=lmx6x(x 6)(x 1)(x 6)=lmx6xx 1=652. lmx2_1x 2 6x2+ 2x 8_=lmx2_1x 2 6(x 2)(x + 4)_3. lmt0_4t 1_t = lmt0(4 t) = 44. lmx32x + 64x236=2(x + 3)4(x + 3)(x 3)= 1125. lmh0(x +h2)3x3h=lmh0x3+h6+ 3x2h2+ 3xh4x3h=lmh0(h5+ 3x2h + 3xh3) = 06. lmx0_1x4 1x_=lmx0_1 x3x4_= +EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 637. lmx0sen x2x3= lmx0x2x3= lmx01x= 8. lmx[4x[ +[x 1[x=lmx4x +x 1x= 59.10. lmxxsen1x2= 0:productodefuncionconvergentea0porfuncionacotada.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 64Problema34Resolverlossiguienteslmites1. lm0(2cosec2) 2. lmx01 cos2xx23. lmx/2sen(cos x) 4. lmtcos_t22t _1. lm0(2cosec2) =lm02sen2=lm022= 12. lmx01 cos2xx2=lmx0(1 cos x)(1 + cos x)x2=lmx0x22(1 + cos x)x2= 13. lmx/2sen(cos x) = 04. lmtcos_t22t _=lmtcos (t +) = cos 2= 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 65Problema35Hallarlossiguienteslmites.1. lmu5u + 4 3u 5; 2. lmh0x +h xh; 3. lmx14 x + 15x214. lmx9x2+ 65x 1; 5. lmx5x2+ 6x + 3x4+x2+ 11. lmu5u + 4 3u 5=lmu5(u + 4 3)(u + 4 + 3)(u 5)(u + 4 + 3)=lmu5(u + 4) 32(u 5)(u + 4 + 3)=lmu51u + 4 + 3=162. lmh0x +h xh=lmh0(x +h x)(x +h +x)h(x +h +x)=lmh0x +h xh(x +h +x)=lmh01x +h +x=12x3. lmx14 x + 15x21=42(x + 15)(x21)(4 +x + 15)=1(x + 1)(4 +x + 15)= 1164. lmx9x2+ 65x 1=lmx_9 +6x25 1x=95=355. lmx5x2+ 6x + 3x4+x2+ 1= 5.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 66Problema36Estudiarlaexistenciadelossiguienteslmites1. lmx0_2 + sen1x_; 2. lmx0x2 + sen1x; 3. lmx0x1 sen1x1. Esteprimerlmitenoexiste:lassucesionesxn=1neyn=2(1 + 4n))convergena0pero2 + sen1xn= 2 + sen(n) = 2 y 2 + sen1yn= 2 + sen_2+ 2n_= 32. Estudiamosestelmiteviendoquelafuncionesel productodeunafuncioconvergentea0porunafuncionacotada:demostremosque12 + sen1xestaacotada:1 < sen1x< 11 = 2 1 < 2 + sen1x< 2 + 1 = 313 1laserieconvergeysic 1laseriediverge.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 72Problema39Sea anunasucesi ondeterminospositivos. Probarquesin=1anesconvergente, entoncesn=1a2ntambienloes.Esciertoel resultadosilaserienoesdeterminospositivos?Esciertoel recproco?Dadoquelaserieesdeterminospositivos,podemosaplicarelcriteriodecomparacionporpasoallmite:lm a2nan= lman= 0Este lmite efectivamente vale 0 por la condicion necesaria. Dado que la serie asociada a la sucesion del denominadoresconvergente, elcriteriodecomparacionpermitededucirquelaserieasociadaalnumeradortambien.El quelaserieseadeterminos positivos es unacondicionnecesaria: laserien=1(1)nnes convergente, peron=1_(1)nn_2=n=11nnoloes.Porotraparte, el recprocotampoco es cierto:la serien=11n3=n=1_14n3_2es convergente,peron=114n3noloes.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 73Problema401. Demostrarquesin=anesconvergenteyn=bnesdivergente,entoncesn=(an +bn)esdivergente.2. Darunejemplodedosseriesdivergentescuyasumaseaconvergente.1. Sin=(an + bn)fueraconvergente, entoncesn=bn=n=(an + bn an)tambienlosera, econtradiccionconlosupuesto.2. Laseriesn=1_1n2 1n_yn=11nsondivergentesmientrasquen=1_1n2 1n+1n_=n=11n2esconvergente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 74Problema41Consideremoslaserien=1P(n)Q(n)dondePyQsondospolinomiosdegradospyqrespectivamente;demostrarqueentonces:1. Siq p 1laseriediverge.2. Siq p > 1laserieconvergeEl resultado es consecuencia del criterio de comparacion, ya que la serie propuesta tiene el mismo caracter que laserie(q p)-armonica,1nqp.Debemosobservar,sinembargo,quepodemosaplicarelcriteriodecomparacion;teniendo en cuenta que la serie es un cociente de polinomios, podemos concluir que numerador y denominador tienensigno constante a partir de un natural N, cualquier natural mayorque todas las races de los polinomios Py Q. Porlotanto,elcocienteessiempre positivoosiempre negativoapartirde estenatural N,ypodemos aplicarelcriteriodecomparacion.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 75Problema42Aplicarel ejercicioanteriorparadecidirel car acterdelassiguientesseries.1.n(n + 1)32.(9 a2)n3+ 3n2+ 17n413.4n2n + 3n3+ 2n4.n + 2(n + 1)n + 35.n +n2n316.n + 3(n 1)n 1 n7.13n211.n(n + 1)3esconvergente.2.(9 a2)n3+ 3n2+ 17n41esconvergentesiysolosia2= 93.4n2n + 3n3+ 2nesdivergente.Enlascuatroseriesrestantesnopodemosutilizardirectamenteel ejercicioanterior, puestoquelaexpresionesnosonpolinomicas;enellasaparecenexpresionesconracesquetienenuncomportamientosimilar.4.n + 2(n + 1)n + 3tieneelmismocaracterque1n,queesdivergente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 765.n +n2n31tieneelmismocaracterque1n2,queesconvergente.6.n + 3(n 1)n 1 ntieneelmismocaracterque1n,queesdivergente.7.13n21tieneelmismocaracterque1n2/3,queesdivergente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 77Problema431. Demostrarque si R es una funci on racionaly [r[ , = 1, entonces la serien=1R(n)rnconverge si y solo si [r[ < 1.(Parael casor = 1,verel ejercicio??.)2. Demostrar quelaserien=1(1)nP(n)Q(n)dondeP esunpolinomiodegradopyQunpolinomiodegradoqverica:a) Siq p 21laserieconvergeabsolutamente.b) Siq p = 1laserieconvergecondicionalmente.c) Siq p 0laseriediverge.1. SupongamosqueR(n) =P(n)Q(n)dondePesunpolinomiodegradopyQunpolinomiodegradoq.Entonces,porelejercicio??severicaque:lmP(n)Q(n)rn= lmnpq(en)log |r|= lm_nen_log |r|= 0 siysolosi [r[ < 1Ademas,enestecasolaserieconvergeabsolutamente,loquesedemuestraconelcriteriodelcociente:lmP(n + 1)Q(n)rn+1Q(n + 1)P(n)rn= [r[ < 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 782. Consideremoslaserien=1(1)nP(n)Q(n)dondePesunpolinomiodegradopyQunpolinomiodegradoq:Siq p 2laserieconvergeabsolutamente:ejercicio??.Siq p 01laseriediverge,yaquenovericalacondicionnecesaria.Si q p = 1 la serie convergecondicionalmente;estose razonapor el criteriode Leibniz: En primer lugarobservamos que lmP(n)Q(n)= 0; ademas, por ser cocientede polinomios, la funcionP(x)/Q(x) es positivaonegativaenunintervalo[N, +)yporlotanto,P(x)/Q(x)escreciente, yporlotantonegativa, en[N, +)oesdecreciente, yporlotantopositiva, en[N, +); encualquieradeloscasos, lasucesionP(n)Q(n)esdecrecienteparan N.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 79Problema44Determinarel car acterdelassiguientesseries.1.n2+ 1n5n2.3nn5n3.2n1(3n + 2)n4/34.2nn2+ 15.n2en6.n + 1an7.ann8.nanTodasestasseriessoncasosparticularesdel ejercicioanterior; utilizaremosel criteriodel cocienteenlostresprimerosapartadosyelejercicioanteriorenelresto.1.n2+ 1n5nesconvergente:lm((n + 1)2+ 1)n5n(n + 1)5n+1(n2+ 1)=15< 12.3nn5nesconvergente:lm3n+1n5n(n + 1)5n+13n=35< 13.2n1(3n + 2)n4/3esdivergente:lm2n(3n + 2)n4/3(3n + 5)(n + 1)4/32n1= 2 > 14.2nn2+ 1esdivergente.5.n2enesconvergente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 806.n + 1anesabsolutamenteconvergentesi [a[ >1ycondicionalmenteconvergentesi a= 1; enlosotroscasos,esdivergente.7.annesabsolutamenteconvergentesi [a[ < 1ycondicionalmenteconvergentesia = 1;enlosotroscasos,esdivergente.8.n anes absolutamente convergente si [a[ < 1 y condicionalmente convergentesi a = 1; en los otros casos,esdivergente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 81Problema45Estudiarel car acterdelassiguientesseries.1.n!nn2.(n!)2 4n(2n)!3.(a + 1)(a +n)n!4.log nan!5.n!annn6.nan!7.nnn!8.nan(n + 1)!9.xnn!10.(n!)2(2n)!11.(n!)c(3n)!12.(n!)3(an)!1.n!nnesconvergente,seg unestableceelcriteriodelcociente:lm(n + 1)!nn(n + 1)n+1n!= lm(n + 1)nn(n + 1)n+1= lmnn(n + 1)n=1e< 12.(n!)2 4n(2n)!esdivergente,aunqueelcriteriodelcocientenolodecide:lm ((n + 1)!)24n+1(2n)!(2n + 2)!(n!)24n= lm4(n + 1)2(2n + 2)(2n + 1)= 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 82Sinembargo,delcalculorealizadodeducimosque:an+1an= lm4(n + 1)2(2n + 2)(2n + 1)= lm4n2+ 8n + 44n2+ 6n + 2)> 1y en consecuencia la sucesi on es creciente y no puede converger a 0. Podemos deducir esto directamente usandolaf ormuladeStirling:lm (n!)2 4n(2n)!= lm(nnen2n)24n(2n)2ne2n22n= lm2n2ne2nn4n24nn2ne2nn= lmn = +3.(a + 1)(a +n)n!;estudiamoselcaracterseg unelvalordea:Siaesunenteronegativononulo,apartirdellugarN= a,todoslosterminosseanulan,yportantolaserieesunasumanita.Paraa = 0laseriees12nn!=1,yportantodivergente.Solonosquedaestudiarelcaracterparaa , Z 0;elcriteriodelcocientenodecideelcaracter,lm an+1an= lm (a + 1)(a +n)(a +n + 1) n!(n + 1)! (a + 1)(a +n)= lm n +a + 1n + 1= 1perolasimplicacionpermitededucirquesetratadeunaseriehipergeometrica,queesconvergentesiysolosia < 1.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 834.log nan!esconvergente, seg unestableceel criteriodel cociente(hacemosusodelosinnitosequivalentesdelejercicio??):lm an+1an= lm a log(n + 1)(n + 1)!n!a log n= lmlog(n + 1)(n + 1) log n= lm1n + 1= 0 < 15.n!annnconverge si y solo si [a[ < 1. Utilizamos el criterio del cociente para estudiar la convergencia absoluta:lm[an+1[[an[= lm (n + 1)![a[n+1(n + 1)n+1nnn![a[n= lm[a[_nn + 1_n= [a[ePortanto,si [a[ < elaserieconverge;ademas,delcalculoanteriordeducimosque[an+1[[an[= [a[_nn + 1_n> [a[eyporlotanto,si [a[ > e,laserienoconvergepornovericarlacondicionnecesaria.Finalmente,paraa = etampocosevericalacondicionnecesaria:lm n!ennn= lm nnen2n ennn= lm2n = +6.nan!esconvergenteparatodoa,seg unestableceelcriteriodelcociente:lm an+1an= lm (n + 1)a(n + 1)!n!na= lm_n + 1n_a1n + 1= 0 < 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 847.nnn!esdivergente,seg unestableceelcriteriodelcociente:lm an+1an= lm (n + 1)n+1(n + 1)!n!nn= lm_n + 1n_n= e > 18.nan(n + 1)!esabsolutamenteconvergenteparatodoa.Si a=0, laserieesconstantementenulayportantoconvergente. Paraa ,=0, estudiamoslaconvergenciaabsolutaconelcriteriodelcociente:lm[an+1[[an[= lm (n + 1)[a[n+1(n + 2)!(n + 1)!n [a[n= lm[a[(n + 1)n(n + 2)= 09.xnn!esabsolutamenteconvergenteparatodox,seg unestableceelcriteriodelcociente:lm[an+1[[an[= lm[x[n+1(n + 1)!n![x[n= lm[x[n + 1= 010.(n!)2(2n)!esconvergente, seg unestableceelcriteriodelcociente:lm ((n + 1)!)2(2n + 2)!(2n)!(n!)2= lm(n + 1)2(2n + 1)(2n + 2)=14< 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 8511.(n!)c(3n)!;utilizamoselcriteriodelcociente:lm an+1an= lm ((n + 1)!)c(3n + 3)!(3n)!(n!)c= lm(n + 1)c(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)= Sic < 3,entonces = 0ylaserieconverge.sic = 3,entonces =1/27 < 1ylaserieconverge.Sic > 3,entonces = +ylaseriediverge.12.(n!)3(an)!;paraquetengasentidolaserie,adebeserunn umeronatural;utilizamoselcriteriodelcociente:lm an+1an= lm ((n + 1)!)3(an +a)!(an)!(n!)3= lm(n + 1)3(an +a)(an + 1)= Sia > 3,entonces = 0ylaserieconverge.Sia = 3,entonces =1/27 < 1ylaserieconverge.Sia = 1oa = 2, = +ylaseriediverge.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 86Problema46Estudiarel car acterdelassiguientesseries.1.a1+12++ 1n2.135(2n 1)24(2n)3.1 +12+ +1nn34.2 + 4 + 8 + + 2n3n5.1 + 21+ + 2n4n6.n + 2n + +n2n51.a1+12++ 1n, a>0; estudiamoslaconvergenciausandoel criteriodeRaabe(usamosinnitesimosequiva-lentesparaelcalculodellmite):lmn_1 an+1an_= lmn_1 a1/n+1_= lm nlog an + 1= log aPortanto,sia >1e,laseriedivergeysia 1,entonceslm11 +an= 0yseguimosestudiandolaserie.Paraa > 1,laserietieneelmismocaracterque1an,queesconvergente:lm 1 +anan= lm_1an+ 1_= 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 95Problema49Estudiarel car acterdelassiguientesseries.1.(1)n2n2.(1)n1nlog n3.(1)n1n54.(1)nlog nn5._1n 1n!_6.(1)n (n!)2(2n)!7.n!(2)n8.(1)nn +n + 19.(1)n_n(n + 1)1.(1)n2nescondicionalmenteconvergente,yaque12nesdivergenteperolaserieconvergeporelcriteriodeLeibniz:an=1nesdecrecienteyconvergentea0.2.(1)n1nlog nescondicionalmenteconvergente.Porelcriteriodecondensacion,laserie1nlog ntieneelmismocaracterque1k(log 2)queesdivergente; porotraparte,lassucesionan=1nlog nesdecrecienteyconvergentea0yporlotanto,porelcriteriodeLeibniz,laserieesefectivamenteconvergente.3.(1)n1n5noesconvergente,yaqueellmitelm (1)n1n5noexiste.4.(1)nlog nnes condicionalmente convergente. El criterio de condensacionpermite armar que laserienoconvergeabsolutamente. Por otraparte, enel ejercicio ??demostramosquelasucesionan=log nnesEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 96convergentea0 y,ademas,es decreciente:bastaobservarque lafuncion f(x) =log xxes decrecienteen[3, )yaquef(x) =1 log xx2< 0eneseintervalo;porlotanto,elcriteriodeLeibniz,permitearmarquelaserieescondicionalmenteconvergente.5._1n 1n!_. Laserie1nesdivergenteylaserie1n!esconvergente(ejercicio??(??)parax=1);entonces,seg unseestableceenelejercicio??,laseriepropuestaesdivergente.6.(1)n (n!)2(2n)!esabsolutamenteconvergente: verejercicio??(??).7.n!(2)nesdivergente,yaquenovericalacondicionnecesaria(hacemosusodelaformuladeStirling):lmn!2n= lm ennn2n2n= lm2n_n2e_n= +yporlotanto,ellmitelmn!(2)nnoexiste.8.(1)nn +n + 1escondicionalmenteconvergente. Laseriedevaloresabsolutostieneelmismocaracterque1n, que es divergente, pero la serie propuesta verica las condiciones del criterio de Leibniz: las sucesionesn yn + 1 son crecientesy divergentes a innito, y por lo tanto,1n +n + 1es decrecientey convergentea0.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 979.(1)n_n(n + 1)escondicionalmenteconvergente. Laseriedevalores absolutostieneel mismocaracter que1n,queesdivergente,perolaseriepropuestavericalascondicionesdelcriteriodeLeibniz:lassucesionesnyn + 1soncrecientesydivergentesainnito,yporlotanto,1_n(n + 1)esdecrecienteyconvergentea0.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 98Problema50Sumarlassiguientesseriesaritmetico-geometricasygeometricas.1.n=22n + 110n; 2.n=12n+33n; 3.n=1(1)n+112n; 4.n=3(1)n+1n2nEnlugardeaplicarlascorrespondientesformulasutilizaremoselcorrespondientemetodo.1.Sn=5102+7103+ +2n + 110nSn10=5103+7104+ +2n + 110n+19Sn10=5102+2103+2104+ +210n 2n + 110n+19Sn100=5103+2104+2105+ +210n+1 2n + 110n+29Sn109Sn100=81100Sn=5102 3103 2n 310n+1+2n + 110n+2n=22n + 110n=10081lm_5102 3103 2n 310n+1+2n + 110n+2_=10081_5102 3103_=47810EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 992.Sn=243+2532+ +2n+23n1+2n+33n23Sn=2532+2633+ +2n+33n+2n+43n+113Sn=2432n+43n+1n=12n+33n= 3 lm_2432n+43n+1_= 24= 163.Sn=12 122+ + (1)n12n1+ (1)n+112n12Sn=122 123+ + (1)n12n+ (1)n+112n+132Sn=12+ (1)n+112n+1n=1(1)n+112n=23 lm_12+ (1)n+112n+1_=13EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 1004.Sn=323 424+ + (1)nn 12n1+ (1)n+1n2nSn2=324 425+ + (1)nn 12n+ (1)n+1n2n+13Sn2=323 124+125+ + (1)n+112n+ (1)n+1n2n+13Sn4=324 125+126+ + (1)n+112n+1+ (1)n+1n2n+23Sn2+3Sn4=9Sn4=323+224+ (1)n+1n + 12n+1+ (1)n+1n2n+2n=3(1)n+1n2n=49 lm_323+224+ (1)n+1n + 12n+1+ (1)n+1n2n+2_=29EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 101Problema51Determinarcualesdelassiguientesserieshipergeometricassonconvergentesysumarlas.5.n=414n216.n=41(4n 1)(4n + 3)7.n=1(a + 1)(a + 2)(a +n)n!8.n=2a(a + 1)(a + 2)(a +n)b(b + 1)(b + 2)(b +n)9.n=3n! an(1 +a)(1 + 2a)(1 +na)1.n=414n21=n=41(2n + 1)(2n 1);an+1an=(2n + 1)(2n 1)(2n + 3)(2n + 1)=2n 12n + 3;(2n + 3)an+1= (2n 1)an:11a5 + 13a6 + + (2n + 1)an + (2n + 3)an+1= 7a4 + 9a5 + + (2n 3)an1 + (2n 1)an2a5 + 2a6 + + 2an + (2n + 3)an+1= 7a42Sn + (2n + 3)an+1= 9a4=963=17n=414n21= lm_127 12(2n + 3)an+1_=114EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 1022.n=41(4n 1)(4n + 3);an+1an=(4n 1)(4n + 3)(4n + 3)(4n + 7)=4n 14n + 7;(4n + 7)an+1= (4n 1)an:23a5 + 27a6 + + (4n + 3)an + (4n + 7)an+1= 15a4 + 19a5 + + (4n 5)an + (4n 1)an8a5 + 8a6 + + 8an + (4n + 7)an+1= 15a48Sn + (4n + 7)an+1= 23a4=231519=23285n=41(4n 1)(4n + 3)= lm_238285 18(4n + 7)an+1_=2322803.n=1(a + 1)(a + 2)(a +n)n!;seg unvimosenel ejercicio??(??), estaserieconvergesiysolosi a< 1yeshipergeometricasiademas,a , Z;enestecaso:(n + 1)an+1= (n +a + 1)anyporlotanto:2a2 + +nan + (n + 1)an+1= (2 +a)a1 + (3 +a)a2 + + (n + 1 +a)an(n + 1)an+1= (2 +a)a1 + (1 +a)a2 + + (1 +a)an(n + 1)an+1= a1 + (1 +a)Sn= a + 1 + (1 +a)Snn=1(a + 1)(a + 2)(a +n)n!= lm_11 +a(n + 1)an+11_= 14.n=0a(a + 1)(a +n)b(b + 1)(b +n) .Enprimerlugarobservamosque:EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 103Elterminogeneraldelaserienotienesentidosib Z 0.Sia Z 0,laserieesconstantementenulay,enconsecuencia,convergentea0.Sia, b , Z 0;enestecasolaserieeshipergeometrica,a(a + 1)(a +n)(a +n + 1)b(b + 1)(b +n)(b +n + 1)b(b + 1)(b +n)a(a + 1)(a +n)=n +a + 1n +b + 1yesconvergentesiysolosib > a + 1,casoenelquecalculamoslasuma:(2 +b)a2 + + (n +b)an + (n + 1 +b)an+1= (2 +a)a1 + (3 +a)a2 + + (n + 1 +a)an(n + 1 +b)an+1= (2 +a)a1 + (1 +a b)a2 + + (1 +a b)an(n + 1 +b)an+1= (1 +b)a1 + (1 +a b)Snn=1a(a + 1)(a +n)b(b + 1)(b +n)= lm_(n + 1 +b)an+11 +a b(1 +b)a(a + 1)(1 +a b)b(b + 1)_=a(a + 1)b(b a 1)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesnumericas 104Problema52Estudiarel car acterysumarensucasolassiguientesseries.1.n=1(1)n1(2n + 1)n(n + 1)2.n=112n(n + 1)3.n=2log n_1 +1n_n+1(log(n + 1)n+1) log nn4.n=12n+n(n + 1)2n+1n(n + 1)5.n=1log(n + 1)2n(n + 2)1.n=1(1)n1(2n + 1)n(n + 1)=n=1_(1)n1n(1)nn + 1_= 1(serietelescopica).2.n=112n(n + 1)=n=1_12n 12(n + 1)_=12(serietelescopica).3.n=2log n_1 +1n_n+1(log(n + 1)n+1) log nn=n=2_1log nn 1log(n + 1)n+1_= log 4(serietelescopica).4.n=1_2n+n(n + 1)2n+1n(n + 1)_=n=112n(n + 1) +12n+1=12 + 12= 1.El primer sumando eslaserie telescopicasumadamasarribayelsegundosumandoesunaseriegeometricaderazon1/2.5.n=1log(n + 1)2n(n + 2)=n=1_log n + 1nlog n + 2n + 1_= log 2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCaptulo3Sucesionesyseriesfuncionales105Sucesionesyseriesfuncionales 106Problema53Estudiarlaconvergenciadelassiguientesucesi ondefunciones.fn(x) = x +(1 +nx)21 +n2x2Calculamosenprimerlugarellmitepuntual:lmn+_x +(1 +nx)21 +n2x2_= x + 1Mostramosacontinuacionlarepresentaciongracadelasseisprimerasfuncionesdelasucesionydellmite.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 107-1-111EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 108Problema54Estudiarlaconvergenciadelassiguientessucesionesdefunciones.1. fn(x) = 2n2x2n3+x fn(x) = n2(1 x)xnfn= xenxfn= nxenxfn=(1 +nx)21 +n2x2fn(x) =1n_(1 x)n2+1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 109Problema55Sumarlassiguientesseries1.14 16+18 110+ +(1)k2k+ 2.k=0k32kEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 110Problema56Sumarlassiguientesseriesdel tipop(n)/n!1.n=1n(n + 1)!2.n=1n2n!3.n=2n2+ 3n 1n!EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 111Problema57Comprobarquelaserien=1x4n14n 1convergeuniformementeentodointervalocerradocontenidoen(1, 1).Aplicarestehechoparademostrarquesusumavale14 log 1 +x1 x 12 arc tg xEl teorema ??nos dice que unaserie de potencias converge uniformemente encualquier intervalo cerradocontenidoensucampodeconvergencia. Portanto, elproblemaquedararesueltosidemostramosqueelcampodeconvergenciaes(1, 1).Sihacemoslaidenticacionm=0amxm=n=1x4n14n 1deducimosquelasucesiondecoecienteseslasiguiente:am=___1msim = 4n 10 enotroscasosPor tanto, no podemos aplicar la proposicion??, ya que el cocienteamam+1no esta denido para todo m, y la sucesionmamnoesconvergente.Aplicamos,entonces,elcriteriodelcocientealaseriedepotencias:lmx4n+34n + 34n 1x4n1= [x4[EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 112Deducimosquelaserieesconvergentepara [x[ 1,yporlotanto,sulmitenoes0.ElteoremadeAbelyelestudioanteriornosllevaacompletarladeterminaciondelcampodeconvergenciadelaseriebinomia;paralaserien=0_n_xncon , 1, 0, 1Si > 0:convergeparax [1, 1]Si 1 < < 0:convergeparax (1, 1]Si < 1:convergeparax (1, 1)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeSucesionesyseriesfuncionales 148Problema78Vamosaestudiarlaconvergenciadelaseriedepotencias:_1 +1n_n2(1 +x)nPorel criteriodelaraizdeducimosqueel radiodeconvergenciaesr = 1/e;paraestablecersilaserieconvergeenlosextremostenemosqueestudiarlasseries1en_1 +1n_n2(1)nen_1 +1n_n2Ningunadelasdosseriesconverge;lodemostramosusandolacondicionnecesariadeconvergencia:lm1en_1 +1n_n2= lmexp_n +n2log_n + 1n__= e1/2,= 0yaque:lmn +n2log_n + 1n_= lm1n+ log_1 +1n_1n2= 12yaque:lmx0x + log(1 +x)x2= 12Aunquenoes signicativoparael estudiodelaserie, es facil comprobar que laserie determinos positivos esdecreciente:an+1an=1e_n2+ 2nn2+ 2n + 1_n2__n + 2n + 1_n+1_2n + 1n + 2 0;probarquelavelocidadderecorridoesconstanteyquelalongituddelacurvaen[t0, t1]esigual alavelocidadmultiplicadaporel tiempo(t1t0).Lacurvapropuestaesunacircunferenciaderadioaycentroen(b, d)).Lacoordenadasdelvectorvelocidadencadainstante,v(t) = (x(t), y(t)),son:x(t) = a sen t y(t) = a cos tPortanto,lavelocidadderecorrido,esdecir,elmodulodelvectorvelocidadencadainstantees:[[v(t)[[ =_[x(t)]2+ [y(t)]2=_a2sen2t +a2cos2t = aPortanto,lalongituddelacurva(circunferencia)entrelosinstantest0yt1es:_t1t0[[v(t)[[ dt =_at_t1t0= a(t1t0)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 162Problema86Unobjetosemuevedeizquierdaaderechaalolargodelacurvay= x3/2avelocidadconstante.Siel puntoest aen(0, 0)al mediodayen(1, 1)alaunadelatarded ondeseencontrar aalaunaymedia?Elespaciorecorridoentrelospuntos(0, 0)y(a, a3/2)es:_a0_1 + (y)2dx =_10_1 +94xdx =_23_(1 +94x)3_a0=23__1 +94a_3/21_Dadoquelavelocidadesconstante, suvalor coincideconel espaciorecorridoentreel mediodaylauna, es decir, el valor de la expresionanterior paraa =1: v =112(8 + 1313). Alaunaymedia, el objetoseencontraraenunpunto(a, a3/2)talque23__1 +94a_3/21_=32112(8 + 1313)0 1 15EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 163Problema87Hallarlaecuaci ondelarectatangentealacurvaparametrizadax = 2 cos ey= sen cuando = /2.Para = /2,elpuntodescritoes(0,2 1).Paracada,unvectortangentees(x(), y() = (2 sen , 1 cos )Portanto,para = /2elvectortangentees(2, 1)ylarectatangente:X2= Y 2+ 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 164Problema88Hallar unacurvaparametrizadax=f(t), y =g(t) quepase por los puntos (1, 1), (2, 2), (4, 2),(5, 1),(3, 0)y(1, 1)talquefygseanfuncioneslinealesatrozos,conlocuallacurvaesunpolgonocuyosverticessonlospuntosdadosenesemismoorden.1. Hallarlalongituddelacurvamediantelaf ormuladeducidaanteriormenteydespuesusandogeometraele-mental.2. Hallarlasupercieyel volumenderevoluci ondel s olidoobtenidoal girarel polgonoalrededordel ejeOY .Elpolgonodelenunciadoapareceenlagurasiguiente.(2,2)(4,2)(5,1)(3,0)(1,1)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 165Unaparametrizaciondelacurvaes:(f, g)(t) =___(t 1)(1, 1) + (1, 1) t [1, 2](t 2)(2, 0) + (2, 2) t [2, 3](t 3)(1, 1) + (4, 2) t [3, 4](t 4)(2, 1) + (5, 1) t [4, 5](t 5)(2, 1) + (3, 0) t [5, 6]=___(t, t) t [1, 2](2t 2, 2) t [2, 3](t + 1, 5 t) t [3, 4](2t + 13, t + 5) t [4, 5](2t + 13, t 5) t [5, 6]Laderivadadeestaparametrizaciones:(f, g)(t) =___(1, 1) t (1, 2)(2, 0) t (2, 3)(1, 1) t (3, 4)(2, 1) t (4, 5)(2, 1) t (5, 6)LaLongituddelpolgonoes:L =_211 + 1 dt +_324 + 0 dt +_431 + 1 dt +_544 + 1 dt +_654 + 1 dt=2 + 2 +2 +5 +5 = 25 + 22 + 2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 166LasuperciederevolucionalgiraralrededordelejeOY es:S=_212[t[1 + 1 dt +_322[2t 2[4 + 0 dt +_432[t + 1[1 + 1 dt+_542[ 2t + 13[4 + 1 dt +_652[ 2t + 13[4 + 1 dt= 32 + 12 + 92 + 85 + 45ElvolumenderevolucionalgiraralrededordelejeOY es:V=_612f(t)g(t)f(t) dt=_212t2dt +_322(4t 4)24 + 0 dt +_432(t + 1)(5 t)1 + 1 dt+_542(2t + 13)(t + 5)(2)4 + 1 dt +_652(2t + 13)(t 5)(2)4 + 1 dt=143 + 24 +403 263 103 = 30EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 167Problema89Sedeneel centrodecurvaturaCenunpunto(a, b)deunacurvacomoelextremodel vector rntrasladadoal punto(a, b),dondereselradiodecurvatura.LacircunferenciaderadiorcentradaenCestangentealacurvaenel punto(a, b)(tieneel mismovectortangente)yrecibeel nombredecircunferenciaosculatriz.Sepuededemostrarquelascoordenadas, (, )del centrodecurvaturadelagr acadeunafunci ony=f(x)dosvecesderivableydecurvaturanonulaen(a, b)son = a f(a)1 +_f(a)2_f(a)2= b +1 +_f(a)2_f(a)2Usarestasf ormulasparahallarlacircunferenciaosculatrizalassiguientescurvasenlospuntosqueseindican:y= x2enel punto(1, 1).y= tg xen(/4, 1).x(t) = t2, y(t) = t3ent = 1.y= x2enelpunto(1, 1);y= 2x,y= 2: = 1 21 + 44= 1 52= 1 +1 + 44= 1 54EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 168y= tg xen(/4, 1);y= 1 + tg2x,y= 2 tg x(1 + tg2x): =4 21 + 416=4 58= 1 +1 + 416= 1 +516x(t) = t2, y(t) = t3ent = 1;elpuntoes(a, b)= (1, 1); eliminandoelparametrodeducimoslarepresentacioncartesianay= f(x) = x3/2,x 0;f(x) =32x1/2,f(x) =34x1/2: = 1 +321 +94916=263= 1 +1 +94916=529EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 169Problema90El conjuntodecentros decurvaturadeunacurvadadarecibeel nombredeevolutadelacurva,mientrasquelacurvadadaeslainvolutadel conjuntodecentrosdecurvatura. Unacurvas olotieneunaevoluta,perounconjuntodepuntospuedetenermuchasinvolutas: cu al eslaevolutadeunacircunferencia?, cu alessonlasinvolutasdeunpunto?Enel ejercicio??,demostramosquelacurvaturadeunacircunferenciaencadapuntocoincideconel radiodelacircunferencia; deaqu sededucequelaevolutadeunacircunferenciasereduceaun unicopunto: sucentro.Portanto, cualquiercircunferenciacentradaenel mismopunto, tendralamismaevoluta, yestasserantodaslasevolutasdelpunto.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 170Problema91Hallarunaecuaci onparametrizadaparalaevolutadelapar abolay= x2.Delejercicio??,sededucequeelcentrodecurvaturaenelpunto(t, t2)es:(t) = t 2t1 + 4t24= 2t3+12t(t) = t2+1 + 4t24= 2t2+14Estas ecuaciones dan la parametrizacionde la evoluta. Enlaguramostramoslasdoscurvasjuntas.Observesequelas parametrizacionesde las dos curvas usan elmismo pa-rametro,laprimera coordenadadelpuntode laparabola.Einteresante saber comoserecorrenlas curvas y, paraello, indicamosconcabezasdeecha,ladireccionenquese recorren, ymostramos comose localiza el centrodecurvaturacorrespondienteaunpuntodelaparabola(elpunto(x(1), y(1))).t=1t=1 EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 171Problema92Trocoide.Uncrculoderadiorruedasindeslizarseporunarecta(ejeOX).Hallarlasecuacionesdelatrayectoriadeunpuntounidorgidamenteal crculoyqueseencuentraaunadistanciaddel centrodeeste.Estacurvarecibeel nombredetrocoide; si r=d, lacurvasedenominacicloide; si r d, se denominacicloide corta.En lagura??se muestranlasgr acasde estasdos ultimas.Darejemplosdeobjetosque,al moverse,describentalescurvas.r()j()::Enlaguramostramoscomosedescribeunpuntodeunacicloidelarga,peropuedeobservarse,queelrazona-mientoesvalidoparacualquiercaso.Como parametroelegimoselangulo de giro del crculo,; ademas, suponemos que enelinstante inicialel puntodereferenciaestasobreel ejeOY (esdecir, para=0, el puntodelacurvaes(0, r d)). Cuandoel crculohagiradounangulo, ladistanciadel centrodelamismaal ejeOY esr(yaqueruedasindeslizarse); apartirdeEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 172Figura4.1:Trocoides.Ejercicio14EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 173estaobservacionydeldibujo,sededucefacilmenteque:x() = r d sen y() = r d cos Los signos que aparecen en las dos ecuaciones estan, aparentemente,justicados por la posicion elegidaen la gura;observeseque,encualquierotraposicion,lossignossonigualmentecorrectos.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 174Problema93Epicicloide. Cuandounacircunferenciaruedasindeslizarseporel exteriordeotracircunferencia(por ejemplo cuando se gira unamoneda sobre otra) cada punto P de la primera circunferencia describe unacurvallamada epicicloide. Sup ongase que la circunferencia ja tiene radio ay sucentro est a enel origendecoordenadas; sup ongasetambienquelacircunferenciam ovil tieneradiobyquelaposici oninicial del puntoPes(a, 0).Compruebesequelasecuacionesparametricasdelaepicicloideasdescritasonx() = (a +b) cos b cos_a +bb_y() = (a +b) sen b sen_a +bb_dondeesel anguloformadoentreel ejeOXylalneaqueuneloscentrosdeambascircunferencias.Lagura??muestraalgunosejemplosdeepicicloides.Indicaci on:H allese primerod ondese encuentrael centrode lacircunferencia m ovil. Que representa(a+b)/b?la parte inferior de la gura?? de la pagina?? se observa como se describe un punto de la epicicloide. En primerlugarobservamosquea=b, yaquelacircunferenciaruedasindeslizarse, yportanto, =ab.Porotraparte,cuandolacircunferenciamovilhagiradounangulo,elcentrodeestaseencuentraen((a +b) cos , (a +b) sen ).Apartirdeaqu,laguranosayudaadeducirque:x() = (a +b) cos b cos( +)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 175(o +/) sen EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 176y() = (a +b) sen b sen( +)Sustituyendoporab,obtenemoslasecuacionesdelenunciado.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 177Problema94Setomandosmonedasdel mismotama noy,jandounadeellas,segiraunaalrededordelaotra.Cu antasvueltasdasobresmisma?(larespuestanoesuna)ysiel radiodelamonedaquegiraesunterciodelaqueest aja?Indicaci on:Querepresenta(a +b)/b?En elejercicioanteriorvimos que si giramoslacircunferencia movilun angulo alrededorde la ja, lacircunfe-renciamovilgiraunangulo(a +b)/bsobresimisma.Sirodamoslacircunferenciamovilhastavolveralpuntodepartida, estamosdando una vueltaalrededorde la circunferenciaja y un angulo2a(2)/a = 4sobre si misma,esdecir,dosvueltas.Si el radio de moneda movil es un tercio de la que esta ja, el angulo de giro sobre si misma es: (3b+b)(2)/b = 8,esdecir,cuatrovueltas.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 178Problema95Hipocicloide. En este problema se hace rodaruna circunferencia por el interior de una circunferenciaja.Enlasmismaship otesisqueenelproblema15sepidecomprobarquelasecuacionesparametricasdel puntoPson:x() = (a b) cos +b cos_b ab_y() = (a b) sen +b sen_b ab_Dondeaesel radiodelacircunferenciajayb < aesel radiodelam ovil.Lagura??muestraalgunosejemplosdehipocicloides.Enlaparteinferiordelagura??delapagina??mostramoscomosedescribeunpuntodelahipocicloide.Enprimerlugarobservamosquea = b(elsignosedebeaqueelangulocreceensentidocontrarioa) yportanto, = aby + =bab.Porotraparte,cuandolacircunferenciamovilhagiradounangulo,elcentrodeestaseencuentraen((a b) cos , (a b) sen ).Apartirdeaqu,laguranosayudaadeducirque:x() = (a b) cos +b cos( +)x() = (a b) sen +b sen( +)Sustituyendopor ab,obtenemoslasecuacionesdelenunciado.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 179EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 180Problema96Compruebesequelaastroidex(t) = a cos3t,y(t) = a sen3tesunahipocicloideenlaqueb = a/4.LasformulasdeMoivrenosdicenque:cos 3 = 4 cos3 3 cos sen 3 = 3 sen 4 sen3Dedondeseobtieneque:cos3 =14(cos 3 + 3 cos )sen3 =14(3 sen sen 3)Conestasformulaspodemosreescribirlasecuacionesdelastroide:x(t) = a cos3t =3a4cos t +a4 cos 3ty(t) = a sen3t =3a4sen t a4 sen 3tY, efectivamente,las nuevasecuacionesson lasecuacionesde una hipocicloide;a es elradiode lacircunferencia jayyb =a4elradiodelacircunferenciaquerueda:(a b) =3a4ybaa= 34.Observesequenohemosparametrizadolascurvadedosformasdistintas,solohemostransformadoalgebraica-mentelasecuaciones.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 181Problema97Considereselacurvaparametrizadadadaporx(t) = cos mtey= sennt,paravaloresenterosdemyn.Unacurvatal sedicequeesunaguradeLissajous1. Esbozarlacurvaparam = 1yn = 1, 2, 3, 4.2. Describirel comportamientogeneral delacurvasi m=1paracualquiervalorden.Esimportantesinesparoimpar?3. Esbozarlacurvaparam = 2yn = 1, 2, 3, 4, 5.4. Esbozarlacurvaparam = 3yn = 4, 5.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 182Problema98OC1`CisoidedeDiocles.(vergura).Seaunacircunferenciacondi ametroOAdelongitud2aylatangenteaellaenel puntoA. Desdeel puntoOsetrazaunarectaOCysedenotaporBel puntodecorteconlacircunferencia.Sedeneel puntoMdetal formaqued(O, M)=d(B, C). Al girarlarectaOCalrededor del puntoO, el puntoMsedesplazaporunatrayectoriaquesedenominacisoidedeDiocles. Hallarlaecuaci ondeestatrayectoriaencoordenadaspolares.Si r=f()eslarepresentacionpolardelacurva, f()=d(OM)=d(BC); esdecir, tenemosqueobtenerladistanciad(BC)enfuncionde.EltrianguloOBAesrectanguloenB(propiedadelemental delascircuferencias);portanto,d(BA) = 2a sen .Dado que el angulo enAdel triangulorectangulo ABCes , se tiene que f() =d(B, C) =d(A, B) tg =EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 1832a sen tg .EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 18411 21Figura4.4:ovalosdeCassini.Ejercicio21.Problema99ovalosdeCassini. Escribirlaecuaci ondel lugargeometricoconstituidoportodos lospuntoscuyoproductodedistancias ados puntos dados, F1yF2tales qued(F1, F2) =2b, es unamagnitudconstantementeigual aa2. Estas curvas sedenominan ovalos deCassini ; parael casoparticular a=b, lacurvaquesedenesedenominalemniscatadeBernouilli. Enlagura ??semuestransimult aneamente varios ovalos, los dos m asexternoscorrespondeaa > b,eldoblelazo(conforma )eslalemniscataylasdoscurvasinteriorespertenecenaunmismo ovalocona < b.Parasimplicarloscalculos, suponemosquelosfocosestansobreel ejeOXysonF1=(b, 0)yF2=(b, 0).EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 185LasdistanciasdeunpuntoarbitrarioM= (x, y)aestosfocosson:d(F1, M) =_(x +b)2+y2d(F2, M) =_(x b)2+y2Portanto,lospuntospertenecientesalovalodeCassinisonaquellosquevericanlaecuacion_(x +b)2+y2_(x b)2+y2= a2,queesequivalentea[(x +b)2+y2][(x b)2+y2] = a4Suprimiendo parentesisysimplicandostaecuacioncartesianasellegaa:(x2+y2)22b2(x2y2) = a4b4Para a = b la curva obtenida se denomina lemniscatade Bernouilli; esta curva admite las siguientes representacionesenformacartesianayenformapolar(paraesta ultimabastahacerx = r cos ey= r sen enlaprimera):(x2+y2)2= 2b2(x2y2) r2= 2a2cos 2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 186Problema100CurvadeAgnesi.Sealacircunferenciax2+_y a2_2=a24centradaen(0, a/2)yderadioa/2ylarectatangentealamismaporel puntoC(0, a).Desdeel puntoOsetrazaunarectacuyospuntosdecorteconlacircunferenciaylarectatangentesedenotanporDyE, respectivamente.Por el puntoEse trazauna paralelaaleje OY , y porel puntoDse trazauna paralelaal eje OX; estasdosrectassecortanenunpuntoM.AlgirarlarectaOEalrededordelpuntoOelpuntoMdescribeunacurvaquesedenominacurvadeAgnesi.(Vergura)OC11`jro/2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 187Elegimos como parametro el angulo que forma el segmento OEcon la eje OX(observeseque esto no nos dauna representacion polar, ya que el punto no esta sobre dicho segmento); entonces, la recta que contiene al segmentoOEesY =X tg . Lacoordenadax()delacurva, eslacoordenadaXdel puntoE, esdecir, a=tg x(); portanto,x() = a cotg La coordenada y() de lacurva, es lacoordenada ydel punto D, esdecir, cotg2y()2+(y() a2)2=a24 ,de dondeseobtiene:y() =a1 + cotg2= a sen2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 188Problema101o//ConcoidedeNicomedes.Porel punto(0, a)setrazaunarecta, r,paralelaal ejeOX.Unarectaarbitrariaquepaseporel origencortar aa ren un puntoK. Se tomanen rlospuntosM1y M2que distande Kunamagnitud ja.Al girarlarectaralrededordel puntoO, lospuntosM1yM2describendoscurvasquesedenominanconcoidedeNicomedes. Darunaparametrizaci on(encoordenadas polares) decadaunadelascurvas. Enlagura??semuestranlascurvaspara < a, = ay > arespectivamente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 189Dadaunarectaarbitrariaquepaseporel poloyformeconel ejepolarunangulo, ladistanciadel poloalpuntodecorteconlarectaY =aes(a/ sen ), portanto, larepresentacionpolardecadaunadelascurvasquecomponenlaconcoidees:r =asen + r =asen EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 190Problema102Esbozarlassiguientescurvasencoordenadaspolares:r = a cos 2 r = a sen 3 r = a sen /2r = a cos 3/2 r2= a2cos 2 r2= a2cos 3r = a(4 cos 2) r = a(2 + cos 3) r = aeLaseccion??explicacondetallelospasosaseguirpararepresentarunacurvapolar. Porello, enesteejerciosolomostramos, paracadafuncion,larepresentacioncartesianaylarepresentacionpolar; todoslosdetallesdelarepresentacionestanexplicadosendichaseccionyesconvenienteleerlaatentamenteantesdeabordarestetipodeproblemas.En las paginas?? y?? vemos la representacionde seis de las nueve curvas. Las puntas de echa ayudan a seguirelrecorridodelasmismassiguiendoeln umeroquelasacompa na.Lascurvasrepresentadasson:1. r = a cos 2:esunarosadecuatropetalos.2. r = a sen2: la funcion es periodica de periodo 4 por lo que es necesario representar el recorrido para [0, 4]paracompletarla.3. r=a cos32 : lafunciontieneperiodo43y, portanto, necesitamosdosvueltas, [0, 4], pararecorrerlacompletamente.4. r2=a2cos 3: enrealidad, estaecuacionrepresentadoscurvaspolares, r=acos 3yr= acos 3; deellas solo representamos la primera; observese que el dominio de la curva contenido en [0, 2] son los intervalos[0,6],[36,56],[76,76]y[116, 2].EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 1915. r = a(2 + cos 3).6. r=ae: esunaespiral; lacurvapolarquesemuestraenlaguranocoincideexactamenteconestaespiral,yaqueelrapidocrecimientodelafuncionexponencialnosobligaraahacerungracomuchomasgrande.Por ultimo, observesequelacurvar2=a2cos 2eslalemniscatadeBernouilli ysemuestraenlagura??(verproblema21).EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 192)() = oooooocos 2)() = o sen 243425474: = o12345 3 4 2: = o123 456=5 6EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 193: = o)() = ocos 3)() = o(2 + cos 3)366256769611632234353: = o142312oo2oEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 194Problema103Hallarel areadelasregionesqueseindicanusandointegraci onencoordenadaspolares:Laregi onacotadaporr = 3 + 2 cos .Laregi onacotadaporunahojadelarosar = a cos 2.Laregi ontotal interiorar2= a2sen 2.Laregi ondel semiplanodeladerechalimitadaporr = a sen /2.Lacurvar = 3 + 2 cos esuncaracol dePascal(vergura??,pagina??).Elareaencerradaporlacurvaes:_2012[r()]2d =_2012(3 + 2 cos )2d =_112 + 6 sen +12 sen 2_20= 11Lacurvar = a cos 2serepresentaenelejercicioanterior(verpagina??).Elareadeunodelospetaloses:2_/4012[r()]2d =_/40a2cos22 d=_a2(12 +18 sen 4)_/40=8a2Lacurvar2=a2sen 2 es lalemniscatadeBernouilli giradasobreel origen/4radianes, yaque: r2=a2sen 2 = a2cos(2( 4))(verejercicio21).Portanto,elareatotaldeestacurvaes:4_/2/412[r()]2d = 2_/2/4a2sen 2 d=_a2cos 2_/2/4= a2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 195Lacurvar =a sen /2estarepresentadaenlapagina??ylaregioncuyaareadebemos calcular aparecesombreada.Porlascondicionesdesimetradelacurva,estearealapodemoscalcularcomo2_/212[r()]2d 2_/2012[r()]2d =_/2a2sen22 d _/20a2sen22 d=_a22( sen )_/2_a22( sen )_/20= a2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 196Problema104Hallarlapendientedelaespiral r = cuando = /2.Representamosestacurvaporecuacionesparametricas:x() = cos y() = sen Laderivadadeestaparametrizacionesx() = cos sen y() = sen + cos Para = /2elvectorvelocidades(/2, 1)yportanto,lapendientedelarectatangentees 2/.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 197Problema105Hallartodoslospuntosdel caracol r = 1 + 2 sen quetienentangentehorizontal.El ejercicio podra resolverse gracamente a partir de la gura?? teniendo en cuenta que el caracol r = 1+2 sen seobtienegirando/2radianeselcaracolr = 1 + 2 cos .Lasecuacionesparametricasdelcaracolson:x() = (1 + 2 sen ) cos = cos sen 2 y() = (1 + 2 sen ) sen = sen + 2 sen2Laderivadedeestaparametrizaci ones:x() = sen 2 cos 2 y() = cos + 4 sen cos = cos (1 + 4 sen )Lospuntosdetangenciahorizontal correspondenalosangulos,,talesquey() = 0,esdecir,talesquecos = 0osen = 1/4.Loscuatropuntosson(0, 1), (0, 3) paracos = 0; (3817, 18), (3817, 18) parasen = 14EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 198Problema106Hallarel anguloagudoqueformalacurvapolarr = a cos /2conel ejeOY cadavezquelocortaenunpuntodistintodel origen.Dadoquer=a cos /2= a sen((1/2)( )), lacurvacoincideconladelacurvar=a sen /2(pagina??)perorecorridasiguiendolasechas2-3-4-5-6-1-2.Apartirdelasecuacionescartesianasdelacurvapolar,podemosobtenerunvectortangenteacadapuntoylatangentedelangulo,,queformaconelejeOY :x() = f() cos y() = f() senx() = f() cos f() sen y() = f() sen +f() cos tg =x()y()=f() cos f() senf() sen +f() cos Paralacurvadelenunciado,setienex() = a2 sen 2 cos a cos 2 sen , y() = a2 sen 2 sen +a cos 2 cos tg =a2 sen2 cos a cos2 sen a2 sen2 sen +a cos2 cos EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 199LospuntosdondelacurvacortaalejeOY peronosonelorigen,correspondenalosagulos =2+k,yenestospuntos,laecuacionanteriorsesimplicabastante:tg =12 cotg 2Dado que la funcion es periodica de periodo 4, hay cuatro agulos posibles, /2, 3/2, 5/2 y 7/2, correspondientesalospuntos:(0, f(/2)) = (0, a22) (0, f(3/2)) = (0, a22)(0, f(5/2))= (0, a22) (0, f(7/2)) = (0, a22)ylastangentesdelosangulosqueformanconelejeOY susrespectivasrectastangentesson:tg 1=12 cotg 4= 2 tg 2=12 cotg 34= 2tg 3=12 cotg 54= 2 tg 4=12 cotg 74= 2Esdecir,lascuatrorectastangentesformanunangulodearc tg 2 634conelejeOY .EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 200Problema107Probarquelaespiral r= eformaun anguloconstanteconlarectaradial encadapunto. Hallareste angulo.Recordemos que la tangente del angulo formado por la recta radial y la recta tangenteen un punto de una curvapolarvienedadapor:tg =f()f()Paralacurva r = f() = e,setienequef() = ey paracadapuntolatangentedelanguloes:tg =ee= 1;esdecir,encualquierpunto,elanguloes/4.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 201Problema108Probarqueel anguloqueformael radiovectordecualquierpuntodelacardioider = a(1 cos )conlacurva,eslamitaddel queformael radiovectorconel ejepolar.Si f() = a(1cos ), f() = a sen ; la tangente del angulo formado por la recta tangente a la curva en (f(), )ysuradiovector(orectaradial)estg =a(1 cos )a sen =1 cos22+ sen222 sen2 cos2=sen222 sen2 cos2= tg 2Portanto,efectivamente,severicaque=2.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 202Problema109Una partcula se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj sobre la cardioide r = 4(1+cos ),cond/dt = /6rad/s. Expresarsuvelocidadyaceleraci onenterminosdeuryu.Recordemosquelosvectoresuryuparacadasonlossiguientesvectoresunitarios:ur() = (cos , sen ) u() = (sen , cos )Severicaque:durd= udud= urEl enunciado del ejerciciodice que la posicionde un particulaencada instantet vienedada por la funcion vectorialF(t) = f((t))ur((t)) = 4(1 + cos (t))ur((t))dondeesunfuncionvericandoddt(t) =6.Engeneralsetienequeelvectorvelocidadencadainstantees:F(t) = f((t))(t)ur((t)) +f((t))(t)u((t))Paralafuncionpropuesta:F(t) = 4 sen (t)6ur((t)) + 4(1 + cos )6u()Abreviadamente:v = 23sen ur +23(1 + cos )u.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 203Derivandolafuncionvelocidadobtenemoslaaceleracion;derivandodirectamenteenlaexpresiondevysimpli-candoobtenemos:a =_2923_cos ur_29+23_senuEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 204Problema110Hallarlalongituddelaespiral parab olicar = a2cuando [0, 2].Lalongitudes:L =_20_[f()]2+ [f()]2d =_20_a24+ 4a22d=_13a_(a22+ 4)3_20=83a((a22+ 1)3/2+ 1)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 205Problema111Hallarel areadelasregionessombreadasdelagura,cadacircunferenciatieneradiouno.Lacircunferenciacentradaenel origenserepresentaencoordenadas polares por r =1ylacircunferenciacentradaen(1, 0)serepresentaporr = 2 cos (Ejercicio3).Estascircunferenciassecortanenelangulotalque1 = 2 cos ,esdecir,para = /3.Elareadelapartedelaregioncontenidaenelprimercuadranteeslacuartapartedelareatotalyvienedadapor:A/4 =_/2/3d _/2/32 cos d =24+341 -1YAEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 206Problema112Tres estaciones de navegaci on situadas, en coordenadas polares, en los puntos (a, 0), (0, 0) y (a, /4)emitensimult aneamentese nalesderadio. Unbarcoquerecibelasse nalesobservaquelasdelasegundayterceraestaci onlleganaa/2vsegundosdespuesquelasdelaprimera.Siveslavelocidaddeunase nal deradio,cu al es,encoordenadaspolares, lalocalizaci ondel barco?Lasse nalesqueprovienendelasestacionessituadasen(0, 0)y(a, /4)llegansimultaneamentealbarcoyportanto, se encuentran a la misma distancia de este, es decir, sobre la mediana de estos puntos: Y=a2X; haciendoX= r cos eY= r sen ,obtenemoslarepresentacionpolardeestarecta:r =a22(sen + cos )(4.1)El teoremadeloscosenosnospermitehallarladistancia, d, entreunpuntodelarecta(r, ), yel tercerpunto,(a, 0):d2= a2+r22ar cos . (4.2)El tiempoquetardalase nal al punto(a, 0) est=dvyseg unel enunciado, el tiempoquetardaenllegar alpunto(0, 0)est=dv+a2v.Portanto,ladistanciadelbarcoalpunto(0, 0)esr = vt= d +a2;despejando ddeestaigualdadysustituyendoen??,obtenemoslasiguienterelacion:a2+r22ar cos = (r a2)2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 207Dedonde,simplicando,seobtieneque:r =3a4(2 cos 1)(4.3)Delasecuaciones??y??EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 208Problema113Ros aceas.Sellamaros aceaacualquiercurvadenidaencoordenadaspolaresporunaecuaci ondelaformar = a sen n r = a cos mdondea > 0ynesunenteropositivo.Paran = 1seobtienencircunferencias. Comprobarquesinesparentonceslacurvaesunarosade2nhojas,ysinesimparentoncesesunacurvaconnhojas.Lagura??muestraalgunosejemplosderos aceas.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 209Problema114Caracol dePascal. Sellamacaracol dePascal acualquiercurvadenidaencoordenadas polaresporunaecuaci ondelaformar = a b sen r = a b cos lagura??muestradistintostiposdecaracoles.Comprobarlassiguientesarmaciones:1. Seg unloscasos,lacurvaessimetricarespectodel ejeOXorespectodel ejeOY .2. Sia bel arcoessimple;el polonopertenecealacurvasia > byspertenecesia = b.3. Sia < bel poloesel unicopuntodoble.4. Comprobar quelasgr acasdelasfuncionesr=2a cos yr=2a sen soncircunferenciasderadioaquepasanporel origenyconcentrosobrealgunodelosejescoordenados.5. Deducci ondelasimplicaci ondelaf ormula(??):a) Aplqueselaf ormuladel cosenodeunasumaaU cos_2tTd2tnTd_yded uzcaseQ = U cos 2tnTdy R = U sen 2tnTdEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 210b) useselarelaci onfundamental delatrigonometraparaobtenerlasiguienteexpresi ondeU:U=1 cos2_2n365_sen2c) Deducirunaf ormulaparalapuestadesol apartirdelaf ormula(??).d) Que anguloformael Sol conel horizonteenPars(latitud49)alastresdelatardedel 15deEnero?yenM alaga?EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 211Problema115LasiguientecurvaparametrizadaseconocecomoFoliodeDescartes:x(t) =3t1 +t3y(t) =3t21 +t3Dib ujala, demuestraquetieneunaasntotaenlarectaY+ X+ 1= 0ydemuestraqueessimetricarespectodelarectaY= X.Laspropiedadesdelacurvaquedandeterminadasporlasfuncionesx(t),y(t)yp(t) =x(t)y(t)Lasdosprimerasseccionesestandedicadasalarepresentaciongracadecurvasdenidasporecuacionespa-rametricas ycurvaspolares. Encadacasoestudiaremos las caractersticas quenos ayudenarealizar unesbozobastantepreciso;nosbasaremosenlarepresentaciongracadefuncionesrealesdevariablereal.Queremosrepresentarunacurvadescritaporecuacionesparametricas, (x(t), y(t)), t IconIintervalo. Paraseguirmasfacilmentelosdistintospasosdelmetodo,haremosparalelamenteelestudiodeunejemploconcreto,enestecaso,elFoliodeDescartes,x(t) =3t1 +t3y(t) =3t21 +t3enlosintervalos(, 1)y(1, )Recorrido de la curva. En primer lugar debemos hallar los puntos crticos de las funciones x e y, lo que nos dara lospuntos de tangencia vertical y horizontal, y estudiaremos los lmites de ambas funciones en los extremos del intervaloI.Elprimerpasodelarepresentacionserarepresentarestoslmitesylospuntosdelacurvacorrespondientesalosvaloresdelparametroquesonpuntoscrticosdexoy.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 212LospuntoscrticosdelasfuncionesdividenelintervaloIensubintervalosdondelossignosdelasderivadas,xey, sonconstantes; deestaformapodemosrepresentarlacurva, entrelospuntosantesdibujados, comoechasindicandoladireccionconstantequecorrespondealintervalo.TodolodichohastaahoraseseguiramasfacilmenteconlasgracasdexeyloquehacemosenelejemplodelFolio:1131,232r(t) =3t1 +t3j(t) =3t21 +t3Apartirdeestas,hacemosunatabladondeindicamoslospuntosse naladosylosintervalosdedireccionconstante;porejemplo,parat (3_1/2,32),x(t)< 0ey(t)> 0,yenconsecuencialadirecciondelvectorvelocidaddelospuntoscorrespondientesaeseintervaloes :EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 213(, 1) (1, 0) (0,3_1/2) (3_1/2,32) (32, )(0, 0)(+, ) (, +)(0, 0) (0, 0)(34,32) (34,32)(32,34) (32,34)(0, 0) Enlaprimeralaaparecenlos subintervalos destacados; enlasegundalaaparecenlos puntos delacurvacorrespondientesalosextremosdelossubintervalosoel lmitedelafuncionvectorial endichosvalores; yenlaterceralaapareceladirecciondelosvectoresvelocidadenelintervalocorrespondiente.ElprimeresbozodelFolioapareceenlagura??.Concavidady convexidad.Comopodemos observar, elesbozo logradoconelestudio de laprimera seccionno estodaviasatisfactorio:necesitamosconvertirlasechasencurvas.Conelestudiode laseccionanteriorsabemos quelasechascorresponden asegmentosregularesde lacurva,esdecir,quedeberemosdibujarloscomocurvassuaves.Igualmente,sabremossialgunodelospuntosyadibujadosesunpuntodenoregularidad,entalcaso,lacurva podrapresentarunpicoendichopunto.Sinohemosencontradoning unpuntodenoregularidad,todoeltrazadodebehacersesuave.Parahacer latransformaciondeechas acurvas, solonos hacefaltareconocer los tramos deconcavidadyEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 214convexidaddelacurva.Parahaceresto,vamosautilizarunatercerafuncion,lafunci onpendiente,estoes,p(t) =y(t)x(t),quenosdalapendientedelarectatangenteencadapunto:1. Six(t0)=0ey(t0) ,=0, t0noestaenel dominiodelafuncionp, perosabemosquelacurvaesregularenestepuntoylatangenteesvertical.2. Six(t0)=0yy(t0)=0,el puntodeterminadoport0esunpuntodondelacurvapuedenoserregular. Enestecaso,elestudiodeloslmites lmtt+0p(t)y lmtt0p(t)nosdeterminaranelcomportamiento.Laformadelacurvaencadasubintervalovienedeterminadaporlasiguientetabla:pcreciente, xcreciente: convexapcreciente, xdecreciente: concavapdecreciente, xcreciente: concavapdecreciente, xdecreciente: convexaEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 215Esdecir,latransformacionechacurvaserepresentaporelsiguienteesquemaj crecientej decrecienteEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 216RepresentamosacontinuacionlagracadepparaelFolioyelsegundoesbozodelacurva:t 1+t 11t t +t = 0t =31,2t =3231,232j(t) = 2t t41 2t3Asntotas. Laexistenciadeasntotas es otraimportantecaractersticadeunacurva. Debemos estudiar si lacurva tieneuna asntotacuando elparametro t tiende at0(brevemente:ent t0) si t0es un extremodel intervalo(puedeserunn umerorealo ).1. Si lmtt0x(t) = ylmtt0y(t) = m R,larectaY= mesunaasntotahorizontalparalacurvaent t0.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 2172. Si lmtt0y(t) = ylmtt0x(t) = m R,larectaX= mesunaasntotaverticalparalacurvaent t0.3. Si lmtt0y(t) = ylmtt0x(t) = ,lacurvapuedetenerunaasntotaoblicuaent t0.Siloslmiteslmtt0p(t) = m lmtt0y(t) mx(t) = nexistenysonn umerosreales,entoncesefectivamentetieneunaasntota:larectaY= mX +n.LarectaY= X 1esunaasntotaoblicuadelFolioent 1:lmt12t t41 2t3= 1 lmt13t21 +t3+3t1 +t3= 1Simetras. Identicarsimetrasenunacurvanoessiempresencillo, perounavezhechoslosprimerosesbozos,esposibleintuir algunauobservarlaimposibilidaddeellas. Encasodecreerquelacurvatienealgunasimetra,debemosvericarlo.En el ejemplo de Foliopareceque tenemosuna simetra respecto de la rectaY= X; para comprobarlo, tenemosquedemostrarqueparacadavalordel parametro, t, existeotrovalor, s, tal que(y(t), x(t))=(x(s), y(s))(cadasimetrasetraduciraenunaigualdaddeestetipo)3s21 +s3=3t1 +t31 +t31 +s3=ts23s1 +s3=3t21 +t31 +t31 +s3=t2s___ts2=t2s1s= tEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 218Portanto,efectivamentelospuntos((x(t), y(t))y(x(1/t), y(1/t))sonsimetricosrespectodelarectaY= X.TerminamosestaseccionconlarepresentacioncompletadelFoliodeDescartesY = A 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 219Problema116Dibujalacurvapolar:f() = 1 + 2 cos Recordemos que una curva polar es la representaciongraca de una funcion, f, en coordenadas polares, es decir,elconjuntodepuntos (f(), )descritosporcoordenadaspolares.Paraesbozarlagracapolardeunafuncionnosvamosabasarenlarepresentacioncartesianadelamismafuncion. El metodoconsistesimplementeensabercomosetransforma unarepresentacioncartesianaenunare-presentacionpolar.Apartedeesto,puedeser utilexpresarlacurvapolarenecuacionesparametricasyutilizarlaspropiedadesdeestas.Esterecursopuedeserespecialmenteconvenientecuandoqueremosidenticarlacurvapolarconotracurva,comopuedeserunarecta,unacircunferencia,unaparabola,etc.Enlarepresentacioncartesiana, cuandolavariablecrece, nosmovemosporel ejeOXhacialaderecha; enlarepresentacionpolar, cuadolamismavariablecrece, giramosalrededordel poloendireccioncontrariaalasagujasdelreloj.Enlarepresentacioncartesiana,elvalordelafuncionencada,f(),esladistanciadelpuntodelagracaalejeOX;enlarepresentacionpolar,elvalordelafuncionenunangulo,esladistanciadelpuntodelagracaalpolo.Teniendoencuentaesto,sededucelareglaprincipalparalatransformacionquebuscamos:Si fes positiva y crecienteenun intervalo[, ],los puntos de la representacionpolarde fse alejandel polo.Sifespositivaydecrecienteenunintervalo[, ],lospuntosdelarepresentacionpolardefseacercandelpolo.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 220Enlosintervalosdondelafunci onesnegativasevericaunareglaparecida;teniendoencuentaquesif() < 0,elpuntoqueserepresentaes(f(), +),sededuceque:Si f esnegativaycrecienteenunintervalo[, ], lospuntosdelarepresentacionpolardef seacercandelpolosobrelosradioscorrespondientesa[ +, +].Si fes positiva y decreciente en un intervalo [, ],los puntos de la representacionpolar de fse alejan al polosobrelosradioscorrespondientesa[ +, +].Con estas cuatro reglas ya podramos hacer un primer esbozo de cualquier curva polar, pero necesitamos jarnosenmascaractersticasdefparaanar maslarepresentacion.Lasprincipalescaractersticasson:1. Periodicidad: nosinteresaprincipalmentesabersilafuncionesperiodicaconperiodo2k,entalcaso,bastaestudiarlagracaenel intervalo[0, 2k]. Si lafuncionesperiodicadeperiodo(2k + 1), necesitaramoselintervalo[0, 2(2k+ 1)] paralarepresentacioncompleta. (Cualquier otroperiodopuedeser utilizadoparadeterminarposiblessimetrasdelacurvaaunquelasconclusionessonmenosgenerales).2. Simetras:Lassimetrasdelagracacartesianasetransformanensimetrasdelagracapolar;conocer,portanto,lasprimerasesfundamentalparadarmayorprecisionalarepresentacionpolar.3. Puntosdederivadanula:estospuntossonmuyimportantesporlasiguienteregla:Si larectaY =f(0)estangentealarepresentacioncartesianaen0, lacircunferenciaR=f(0)estangentealarepresentacionpolaren0.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 2214. Puntosdecorteconel ejeOX:losvaloresqueanulanlafuncioncorrespondenalosvaloresdelanguloenlosquelacurvapolarpasaporelpolo.Peroademas,enestospuntoshayqueseguirotraimportanteregla:Sif(0) = 0,larectaradial = 0estangentealarepresentacionpolarenelpoloparaelangulo0.5. Asntotasverticales:Lasasntotasverticalesdelarepresentacioncartesianapuedencorresponderaasntotasdelarepresentacionpolar:Asntotas:Esdecir,si lm0f() = ,lacurvapuedetenerunaasntota:1. Si0= /2 + k,y lm0f() cos = m R,lacurvatieneunaasntotavertical paratendiendoa0;estarectaesX= m.2. Si 0= k, y lm0f() sen = m R, la curva tieneuna asntotahorizontalpara tendiendo a 0; estarectaesY= m.3. Si0 ,= /2 + ky lm0f()(sen tg 0 cos ) =n R,lacurvatieneunaasntotaparatendiendoa0;estarectaesY= tg 0X +n.Parailustrarel metodo, mostramosenlapagina??el procesodeconstrucciondelacurvar=1 + 2 cos queEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 222explicamosacontinuacion.Enprimerlugardibujamoslagracacartesianadelafuncionf() = 1 + 2 cos 1324/32/32111. Lafuncionesperiodicadeperiodo2yportanto,bastarepresentarlapara [0, 2].2. Ademas, la graca cartesiana es simetrica respecto de recta X= lo que en la representacion polar se traduceenunasimetrarespectodelejeOX.3. f(0)=3yf(0)=0; portanto, en=0lacurvapolarestangentealacircunferenciar=3. En(0, 2/3)lafuncionfesdecrecienteyportanto, lacurvapolarsevaacercandoalpolohastaalcanzarloen= 2/3.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 223(Encualquiervalorintermedioquetomemos, lacurvapolarcortarano-tangencialmentealacircunferenciacorrespondiente).4. f(2/3) =0yf(2/3) =0; por tanto, lacurvapolar es tangente alarecta=2/3enel polopara = 2/3.5. En el intervalo (2/3, )la funcion es negativa, y en consecuencia, los puntos correspondientes a estos angulosserepresentansobrelosradios(2/3 +, +).Porotraparte,enesteintervalolafuncion fescreciente,yportanto,lospuntossealejandelpolo,hastallegara = .6. f() = 1yf() = 0;portanto,lacurvapolarestangentealacircunferenciar = 1.7. Lagracasepuedeterminarporsimetra,osepuedeseguiranalizandocomoenlospuntosanteriores.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 2242-111 3-11-13-227-4-14: = 1 + cos t: = 1 + 2 cos t: = 2 + cos t: = 4 + 3 cos tFigura4.7:CaracolesdePascal.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 225-1 1-111-1-11Figura4.8:Gracasder = sen 7yder = sen 4.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 226t 1+t 1t t +t = 0t =31,2t =32Figura4.9:PrimeresbozodelFolioEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeElespaciometricoRn.Curvasparametrizadas 227 = 6 = 26 = 23 = 56: = 1: = 2: = 3EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCaptulo5Calculoenvariasvariables228Calculoenvariasvariables 229Problema117Demostrar quelanoci ondediferenciabilidaddecampos escalares esindependientedelanormautilizada.Hablaremosde ||-diferenciabilidadparareferirnosaladiferenciabilidadutilizandolanorma ||.Sean ||y ||dosnormasequivalentesenRnysealaconstanterealestrictamentepositivatalque:|v| |v|Seaf :RnRuncampovectorial ||-diferenciable.lmh0f(a +h) f(a) dfa(h)|h|lmh01f(a +h) f(a) dfa(h)|h|= 0Enconsecuencia,ftambienes ||-diferenciable.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 230000AY7)(r, j) =1rj050510-202YA)(r, j) = log(r +j)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 231-2-1012-10010-5-2.502.55XZYAY)(r, j) =jr22Y)(r, j) = senh(r2+j2)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 232Problema118Indicarel dominioylaimagendelossiguientescamposydescribirsuscurvasdenivel:a) f(x, y) = 1/xy b) f(x, y) = log (x +y) c) f(x, y) =_4 x2y2d) f(x, y) = y/x2e) f(x, y) = exyf) f(x, y) = senh (x2+y2)a) f(x, y) = 1/xy.Eldominiodelafuncionestaformadoporaquellospuntos(x, y)talesquexy ,= 0;esdecir:Domf= RRLafuncionpuedetomartodoslosvaloresdistintosde0,esdecir,Imf= R.Las curvas denivel vienendadas enformacartesianapor xy =c, es decir, sontodas las hiperbolas conasntotasenlosejescoordenados.b) f(x, y) = log(x +y).Eldominiodelafuncionestaformadoporaquellospuntos(x, y)talesquex +y> 0;esdecir:Domf= (x, y)[x +y> 0Lafuncionpuedetomartodoslosvaloresreales,yportanto,suimagenesR.Lascurvasdenivelvienendadasenformacartesianaporx + y= c,c > 0,esdecir,sonrectasparalelasalarectax +y= 0,bisectrizdelsegundoycuartocuadranteyfronteradeldominio.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 233c) f(x, y) =_4 (x2+y2).Eldominiodelafuncionestaformadoporlospuntos(x, y)talesquex2+ y2 4,esdecirsonlospuntosinterioresaal circunferenciax2+y2= 4.Portanto,0 x2+y2 4y0 f(x, y) 2;esdecir,laimagendefeselintervalo[0, 2].Ademas,dadoque[f(x, y)]2+y2+x2= 4,severicaquelagracadefesunasemiesferaderadio2.Lascurvasdenivel vienendadasenformacartesianaporx2+ y2=4 c2=r2ysoncircunferenciasconcentrocom un(0, 0)yradior [0, 2].d) f(x, y)=y/x2. El dominiodelafuncionestaformadoporaquellospuntoscuyaprimeracoordenadaesnonula:Domf= RRLafuncionpuedetomarcualquiervalorreal,esdecir,laimagendefesR.Lascurvasde nivelvienendadas enformacartesianapor y= cx2,yportanto,sonlasparabolascuyoverticeeselorigenysuejeeselejeOX.e) f(x, y) = exy.EldominiodelafuncionestaformadoportodoslospuntosdeR2.Lafuncionpuedetomarcualquiervalorpositivo,yportanto,laimagendefesR+.Lascurvasdenivel vienendadasenformacartesianaporx y=log c=d, esdecir, sontodaslasrectasparalelasalarectay= x,bisectrizdelprimerytercercuadrante.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 234f) f(x, y) = senh(x2+y2). El dominio de la funcion esR2. Dado que x2+y2 0 para todo (x, y), se verica quesenh (x2+y2) 0 y ademas, la imagen de la funcion es [0, ). Las curvas de nivel son todas las circunferenciasdecentro(0, 0).Enlas paginas ??y??mostramos las curvas denivel ylas gracas correspondientes alas funcionesdelosapartadosa),b),d)yf).EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 235Problema119Hallarloslmites(siexisten):a) lm(x,y)(1,1)log [1 +x2y2[ b) lm(x,y,z)(1,2,6)_1x+1y+1z_c) lm(x,y)(0,4)xyd) lm(x,y)(0,/2)sec xtg y e) lm(x,y)(0,0)cosx2+y2x +y + 1f) lm(x,y)(1,0)xsen yx2+ 1g) lm(x,y)(0,2)_cos x 1x2__y 2y24_h) lm(x,y)(2,2)xy +y 2x 2x + 1i) lm(x,y)(1,1)x3y31xy 1a) lm(x,y)(1,1)log [1 +x2y2[ = log [1 + 1[ = log 2.b) lm(x,y,z)(1,2,6)_1x+1y+1z_=11+12+16=53c) lm(x,y)(0,4)xy=02= 0d) lm(x,y)(0,/2)sec xtg y. Este lmite noexiste: si loconsideramos sobre y /2,ellmitevale .e) lm(x,y)(0,0)cosx2+y2x +y + 1= cos 01= 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 236f) lm(x,y)(1,0)xsen yx2+ 1=101 + 1= 0g) lm(x,y)(0,2)_cos x 1x2__y 2y24_= lm(x,y)(0,2)_x2/2x2__1y + 2_= 1214= 18h) lm(x,y)(2,2)xy +y 2x 2x + 1=01= 0i ) lm(x,y)(1,1)x3y31xy 1= lm(x,y)(1,1)(x2y2+xy + 1) = 3EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 237Problema120Considerandodiferenteslneasdeaproximaci on, demostrarquelasfuncionessiguientesnotienenlmitecuando(x, y)tiendea(0, 0):f(x, y) =x yx +y; g(x, y) =x_x2+y2; h(x, y) =xy[xy[.Bastaconsiderarellmitesobrerectas:lm(x,y)(0,0)y=xx yx +y=lmx0(1 )x(1 +)x=1 1 +Dado que estos lmitesdependen de , es decir, del camino por el que nos acercamosal origen, deducimos queellmitepropuestonoexiste.lm(x,y)(0,0)y=xx_x2+y2=lmx0xx2+2x2=11 +2Portanto,ellmitepropuestotampocoexiste.h(x, y) =xy[xy[=___1 sixy> 01 sixy< 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 238Portanto:lm(x,y)(0,0)y=xh(x, y) =lmx01 = 1 lm(x,y)(0,0)y=xh(x, y) =lmx01 = 1yellmitenoexiste.Enlapagina??mostramoslasgracasdelasfuncionesfyg.Enlasuperciedelamismasepuedenobservarlasimagenesdelasrectasquehemostomadoparaprobarlanoexistenciadelosdoslmites.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 239-202-202-1-0.500.51-2-202-5-2.502.55ZZYYXX)(r, j) = r jr +jp(r, j) =rr2+j2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 240Problema121HallarD1f= f/xyD2f= f/yenlasfuncionessiguientes:a) f(x, y) = x2+y2b) f(x, y) = excos y c) f(x, y) = arc tg (y/x);d) f(x, y) = cosh (y/x) e) f(x, y) = y f) f(x, y) =_9 x2y2g) f(x, y) = x/(x2+y2) h) f(x, y) = (x + 2)(y + 3) i) f(x, y) = ex log yj) f(x, y) = tgh (2x + 5y) k) f(x, y) = log [ sec xy + tg xy[l ) f(x, y) = 5xy7x2y2+3x6y+2Todas las funciones que apareceneneste ejercicioviene expresadas enterminos de operacionesalgebraicasentrefuncioneselementales;portanto,podemosobtenersusderivadasparcialesderivandoformalmente.Estonoocurreenelapartadof(vernotaenlapagina??)ytendremosquecalcularlasparcialesenlospuntosdondeseanulalarazusandoladenici on.a) f(x, y) = x2+y2.D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2yb) f(x, y) = excos y.D1f(x, y) = excos y D2f(x, y) = exsen yc) f(x, y) = arc tg (y/x)D1f(x, y) =yx21 +y2x2= yx2+y2D2f(x, y) =1x1 +y2x2=xx2+y2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 241d) f(x, y) = cosh (y/x)D1f(x, y) = yx2senh yxD2f(x, y) =1x senh yxe) f(x, y) = yD1f(x, y) = 0 D2f(x, y) = 1f) f(x, y) =_9 x2y2.Si(x, y)estalquex2+y2,= 9setiene:D1f(x, y) = x_9 x2y2D2f(x, y) = y_9 x2y2Sea(a, b)talquea2+b2= 9,esdecir,f(a, b) = 0:D1f(a, b) =lmt0+1t(f(a t, b) f(a, b))=lmt0+_9 (a t)2b2t2=lmt0+_1 +2at= +D2f(a, b) =lmt0+1t(f(a, b t) f(a, b))=lmt0+_9 a2(b t)2t2=lmt0+_1 +2bt= +Los lmitesestantomadosenceroporladerechapara poder armarque los puntos (a t, b)y (a, b t) estaneneldominiodef.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 242g) f(x, y) = x/(x2+y2)D1f(x, y) =(x2+y2) 2x2(x2+y2)2=y2x2(x2+y2)2D2f(x, y) = 2xy(x2+y2)2h) f(x, y) = (x + 2)(y + 3)D1f(x, y) = y 3 D2f(x, y) = x + 2i ) f(x, y) = exlog yD1f(x, y) = ex log ylog y D2f(x, y) = ex log yxyj) f(x, y) = tgh (2x + 5y)D1f(x, y) = 2(1 tgh2(2x + 5y)) D2f(x, y) = 5(1 tgh2(2x + 5y))k) f(x, y) = log [ sec xy + tg xy[ = log(1 + sen xy) log [ cos xy[D1f(x, y) =y cos xy1 + sen xy+y tg xy D2f(x, y) =xcos xy1 + sen xy+xtg xyl ) f(x, y) = 5xy 7x2y2+ 3x 6y + 2D1f(x, y) = 5y 2y 6 D2f(x, y) = 5x 14x + 3EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 243Problema122Calcularlasderivadasparcialesdelafunci ondadarespectoacadavariable:a) f(x, y, z) = z cosec (y/x) b) f(r, , z) =r(2 cos 2)r2+z2c) f(u, v, w) = (u2+v2+w2)1/2d) f(x, y, z) = (xy)ze) f(x, y, r, s) = sen 2x cosh 3r+senh3y cos 4sa) f(x, y, z) = z cosec(y/x)D1f(x, y, z) =yx2cos yx cosec2yxD2f(x, y, z) = 1x cos yx cosec2yxD3f(x, y, z) = cos yxb) f(r, , z) =r(2 cos 2)r2+z2fr(r, , z) =(2 cos 2)(r2+z2) 2r2(2 cos 2)(r2+z2)2=(2 cos 2)(z2r2)(r2+z2)2f(r, , z) =2rr2+z2sen 2fz(r, , z) = 2zr(2 cos 2)(r2+z2)2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 244c) f(u, v, w) = (u2+v2+w2)1/2fu(u, v, w) = u(u2+v2+w2)3/2fv(u, v, w) = v(u2+v2+w2)3/2fw(u, v, w) = w(u2+v2+w2)3/2d) f(x, y, z) = (xy)z= ez log xy.EldominiodeestafuncionesDomf= (x, y, z)[xy> 0 (x, y, z)[xy= 0, z> 0, z ,= 1Lasparcialesson:fx(x, y, z) = ez log xyzxfy(x, y, z) = ez log xyzyfz(x, y, z) = ez log xylog xye) f(x, y, r, s) = sen 2x cosh 3r + senh 3y cos 4s.fx(x, y, r, s) = 2 cos 2xcosh 3rfy(x, y, r, s) = 3 cosh 3y cos 4sfr(x, y, r, s) = 3 sen 2x senh3rfs(x, y, r, s) = 4 senh3y sen 4sEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 245Problema123Enlossiguientesapartados, hallarel vectordeintensidadelectricaE= V paracadafunci ondepotencial V enel puntodado:a) V= 2z33(x2+y2)z, (1, 1, 1)b) V= log_x2+y2, (3, 4, 0)c) V= e3x+4ycos 5z, (0, 0, /6)a) V= 2z33(x2+y2)z, (1, 1, 1):fx(x, y, z) = 6xzfy(x, y, z) = 6yzfz(x, y, z) = 6z23(x2+y2)Evaluandoenelpuntoindicadoobtenemos.E(1, 1, 1) = V (1, 1, 1) = (6, 6, 3)b) V= log_x2+y2, (3, 4, 0):fx(x, y, z) =xx2+y2fy(x, y, z) =yx2+y2fz(x, y, z) = 0Evaluandoenelpuntoindicadoobtenemos.E(3, 4, 0) = V (3, 4, 0) = (325, 425, 0)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 246c) V= e3x+4ycos 5z, (0, 0, /6)fx(x, y, z) = 3e3x+4ycos 5zfy(x, y, z) = 4e3x+4ycos 5zfz(x, y, z) = 5e3x+4ysen 5zEvaluandoenelpuntoindicadoobtenemos.E(0, 0, /6)= V (0, 0, /6)= (332, 23, 52)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 247Problema124HallarladerivadadefenP0yenladirecci ondel vectorqueseindica:a) f= x2+y2, P0(1, 0), i jb) f= cos xy, P0(2, /4), 4i jc) f= x2+ 2xy 3y2, P0(1/2, 1/2),3i +jd) f= xy +yz +zx, P0(1, 1, 2), 10i + 11j 2kLasderivadasdireccionalessecalculanconsiderandovectoresunitarios, portanto, apartirdelosvectoresdelenunciadotomaremosvectoresunitariosdesumismadireccionysentido. Porotraparte, todaslasfuncionessonderivablesenlospuntosse naladosyportanto,podemosusarladiferencialparahallarlasderivadasdireccionales:a) f(x, y) = x2+y2, P0(1, 0),v= (1, 1),u = (12, 12).D1f(x, y) = 2x; D2f(x, y) = 2y; f(1, 0) = (2, 0)Duf(1, 0) = f(1, 0)(12, 12) =12b) f(x, y) = cos xy, P0(2, /4),v= (4, 1),u = (417, 117).D1f(x, y) = y sen xy D2f(x, y) = xsenxy f(2, /4) = (4, 2)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 248Duf(2, /4) = (4, 2)(417, 117) =2 17c) f(x, y) = x2+ 2xy 3y2, P0(1/2, 1/2), v = (3, 1),u = (3/2, 1/2)D1f(x, y) = 2x + 2y D2f(x, y) = 2x 6y f(1/2, 1/2) = (2, 2)Duf(1/2, 1/2) = (2, 2)(3/2, 1/2)=3 1d) f(x, y, z) = xy +yz +zx, P0(1, 1, 2),v = (10, 11, 2), u = (23,1115, 215).D1f(x, y, z) = y +z D2f(x, y, z) = x +zD3f(x, y, z) = y +x f(1, 1, 2) = (1, 3, 0)Duf(1, 1, 2) = (1, 3, 0)(23, 1115, 215) =4315EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 249Problema125Hallarladirecci onenlacual f crecem asr apidamenteenP0, ylaraz ondecambiodef enesadirecci on:f(x, y, z) = exy+z2, P0(0, 2, 3)Recordemosqueladireccionenlacualfcrecemasrapidamenteesladadaporelvector f, yademas,latasadecambioenesadirecciones |f|.D1f(x, y, z) = yexy; D2f(x, y, z) = xexy; D3f(x, y, z) = 2z; f(0, 2, 3) = (2, 0, 6).Siueselvectorunitarioenladirecciondelgradiente,latasadecambioenestadirecciones:Duf(1, 1, 2) = |f(1, 1, 2)| =40 = 210EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 250Problema126Enlossiguientesapartados, hallarladirecci onenlacual f decrecem asr apidamenteenP0, ylaraz ondecambiodefenesadirecci on:a) f(x, y) = x2+xy +y2, P0(1, 1)b) f(x, y, z) = z log (x2+y2), P0(1, 1, 1)Recordemosqueladireccionenlacualfdecrecemasrapidamenteesladadaporelvector f,yademas,latasadecambioenesadirecciones |f|.a) f(x, y) = x2+xy +y2, P0(1, 1)D1f(x, y) = 2x +y D2f(x, y) = x + 2y f(1, 1) = (1, 1)Siueselvectorunitarioenladireccionde f(1, 1),latasadecambioenestadirecciones:Duf(1, 1) = |f(1, 1)| = 2b) f(x, y, z) = z log (x2+y2), P0(1, 1, 1)D1f(x, y, z) =2zxx2+y2D2f(x, y, z) =2zyx2+y2D3f(x, y, z) = log (x2+y2) f(1, 1, 1) = (1, 1, log 2)Siueselvectorunitarioenladireccionde f(1, 1),latasadecambioenestadirecciones:Duf(1, 1, 1) = |f(1, 1, 1)| = _2 + (log 2)2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 251Problema127Enquedosdireccionesseanulaladerivadadef(x, y) = (x2y2)/(x2+y2)enP0(1, 1)?Hallamosenprimerlugarelvectorgradienteenelpunto:D1f(x, y) =2x(x2+y2) 2x(x2y2)(x2+y2)2=4xy2(x2+y2)2D2f(x, y) = 2y(x2+y2) 2y(x2y2)(x2+y2)2= 2(x3+y3)(x2+y2)2f(1, 1) = (1, 1)Paraencontrarlasdireccionesenlasqueseanulaladerivadabastabuscarunvectorvtalque(1, 1)u=0;lasdireccionesbuscadasseranuy u.Enestecasolasdireccionessecalculanfacilmenteyson(1, 1)y(1, 1).EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 252Problema128Enlossiguientesapartados, esbozarlacurvadenivel def(x, y)quepasaporel puntoP0yhallarel vectornormal alacurvaenP0:a) f(x, y) = x2/3 + 3y2/4, P0(2, 25/3)b) f(x, y) =_x2y, P0(1, 0)Recordemos que un vectornormal a una curva de nivel en un punto, viene dado por el gradiente de la funcion endichopunto;teniendoencuentaesto,bastacalcularelgradientedelasfuncionesenlospuntosdadosparaobtenerlosvectorespedidos. Enlagura??aparecenrepresentadaslasgracasdelasdosfunciones ascomolascurvasdenivelpedidasylasrectastangenteynormalenelpuntoindicado.a) f(x, y) = x2/3 + 3y2/4, P0(2, 25/3):D1f(x, y) =23x D2f(x, y) =32y f(2, 25/3) = (43,5)b) f(x, y) =_x2y, P0(1, 0).D1f(x, y) =x_x2yD2f(x, y) =1_x2yf(1, 0) = (1, 12)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 253-202-2001234-1012-2-101200.511.5ZXY)(r, j) = r23+ 3j24)(r, j) =r2j1 , 253)Q(1 0)(2EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 254Problema129Enlos siguientes apartados, escribir las ecuaciones del plano tangente y la recta normal alasuperciedenivel dadaenel puntoP0:a) z2x2y2= 0, P0(3, 4, 5)b) z log (x2+y2) = 0, P0(1, 0, 0)c) x2+ 2xy y2+z2= 7, P0(1, 1, 3)a) z2x2y2= 0, P0(3, 4, 5).Essuperciedeniveldelafuncionf(x, y, z) = z2x2y2.D1f(x, y, z) = 2x D2f(x, y, z) = 2y D3f(x, y, z) = 2zf(3, 4, 5) = (6, 8, 10)Portanto,elplanotangentealasupercieylarectanormalalamismasonrespectivamente:6(X 3) 8(Y 4) 10(Z + 5) = 0X 3 = 6Y 4 = 8Z + 5 = 10EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 255b) z log (x2+y2) = 0, P0(1, 0, 0). Escurvadeniveldelafunciong(x, y, z) = z log (x2+y2):D1g(x, y, z) = 2xx2+y2D2g(x, y, z) = 2yx2+y2D3g(x, y, z) = 1g(1, 0, 0)= (2, 0, 1)Portanto,elplanotangentealasupercieylarectanormalalamismasonrespectivamente:2(X 1) +Z= 0X 1 = 2Y= 0Z= c) x2+ 2xy y2+z2= 7, P0(1, 1, 3).Essuperciedeniveldelafuncionh(x, y, z) = x2+ 2xy y2+z2D1h(x, y, z) = 2x + 2y D2h(x, y, z) = 2x 2y D3h(x, y, z) = 2zh(1, 1, 3) = (0, 4, 6)Portanto,elplanotangentealasupercieylarectanormalalamismasonrespectivamente:4(Y+ 1) + 6(Z 3) = 0X 1 = 0Y+ 1 = 4Z 3 = 6EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 256Problema130Enlossiguientesapartados,determinarelplanotangenteylarectanormal alasuperciedadaenel puntodado:a) z= x2+y2, (3, 4, 25)b) z= x/_x2+y2, (3, 4,35)c) z= (x +y)/(xy 1), (1, 2, 3)d) y= 4 x24z2, (0, 0, 1)Enesteejerciciovamosahallarplanosyrectastangentesagracasdefunciones.Paraello,bastarecordarqueelvector(D1f(x, y), D2f(x, y), 1)esunvectorperpendicularalagracadefenelpunto(x, y).a) z= x2+y2, (3, 4, 25). Eslagracadelafuncionf(x, y) = x2+y2D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2yPor tanto, el vector (6, 8, 1) es perpendicularalagracadef en(3, 4, 25); el planotangenteylarectanormalsonrespectivamente:6(X 3) + 8(Y 4) (Z 25) = 0X 3 = 6Y 4 = 8Z 25 = EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 257b) z= x/_x2+y2, (3, 4,35).Lasupercieeslagracadelafuncionf(x, y) =x_x2+y2:D1f(x, y) =x2(x2+y2)3/2D2f(x, y) =xy(x2+y2)3/2Entonces f(3, 4) = (9125, 12125 )yelvector(9125, 12125, 1)esperpendicularalagracadefen(3, 4,35);elplanotangenteylarectanormalsonrespectivamente:9125(X 3) 12125(Y+ 4) (Z 35) = 0X 3 =9125Y+ 4 = 12125Z 35= c) z= (x +y)/(xy 1), (1, 2, 3).Lasupercieeslagracadelafuncionf(x, y) =x +yxy 1:D1f(x, y) = y2+ 1(xy 1)2D2f(x, y) = x2+ 1(xy 1)2Entonces f(1, 2) = (5, 2) y el vector (5, 2, 1) es perpendicular a la graca de fen (1, 2, 3);el plano tangenteylarectanormalsonrespectivamente:5(X 1) + 2(Y 2) (Z 3) = 0X 1 = 5Y 2 = 2Z 3 = EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 258d) y= 4 x24z2, (0, 0, 1).Esunasuperciedeniveldelafunciong(x, y, z) = 4 x24z2y.D1g(x, y, z) = 2x D2g(x, y, z) = 1 D3g(x, y, z) = 8zEntonces, g(0, 0, 1)= (0, 1, 8)esunvectornormalalasupercieenelpunto(0, 0, 1); lasecuacionesdelplanotangenteydelarectanormalsonrespectivamente:Y 8(Z 1) = 0X= 0Y= Z 1 = 8EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 259Problema131Determinarlospuntosdelasupercie(y +z)2+ (z x)2= 16enlosquelanormal esparalelaal planoY Z.Lasupercie essupercie deniveldelafunciong(x, y, z) = (y +z)2+ (z x)2;unvectornormalalasupercieenunpunto(x, y, z)delasuperciees f(x, y, z).ParaqueestevectorseaparaleloalplanoY Zdebeocurrirquelaterceracoordenadadelvector f(x, y, z)seanula.D3f(x, y, z) = 2(x z)Portanto,lospuntos(x, y, z)quebuscamossonaquellosqueverican:x z= 0 y (y +z)2+ (z x)2= 16Elconjuntodeestospuntossonlasrectas:y +z= 4x = zyy +z= 4x = zEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 260Problema132Hallarlospuntosdelasuperciexy +yz +zx x z2= 0enlosqueel planotangenteesparaleloal XY .La supercie es supercie de nivel de la funcion f(x, y, z) = xy +yz +zxxz2= x(y +z 1) +z(y z). Paraquedosplanosseanparalelosdebeocurrirquelosrespectivosvectoresnormalesseanparalelos. Como f(x, y, z)esnormalal planotangente, y(0, 0, 1)esnormal al planoXY , lodichoantesesequivalenteaqueD1f(x, y, z)=D2(x, y, z) = 0;D1f(x, y, z) = y +z 1 D2f(x, y, z) = x +zPortanto,lospuntos(x, y, z)buscadossonaquellosquevericany +z 1 = 0 x +z= 0 x(y +z 1) +z(y z) = 0Estospuntoscoincidenconlarectax = y= zEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 261Problema133Paralafunci onf(x, y) = x2y + 2y2x,enel puntoP0(1, 3),hallara) ladirecci ondemayorcrecimientoenf,b) laderivadadefenladirecci ondemayorcrecimientoenf,c) lasdireccionesenlasqueladerivadadefescero,d) laecuaci ondel planotangentealasuperciez= f(x, y)en(1, 3, 21).a) Ladirecciondemayorcrecimientocorrespondealadirecciondelvectorgradiente:D1(x, y) = 2xy + 2y2D2(x, y) = x2+ 4yx f(1, 3) = (14, 13)b) Siueselvectorunitarioenladireccionysentidodelvectorgradiente,laderivadadefenladireccionuesDuf(1, 3) = [[f(1, 3)[[ =_142+ 132c) Si v= (v1, v2)es unvectorunitario,Dvf(1, 3) = f(1, 3)v= 14v1 +13v2. Portanto,laderivada direccionalseanulaenladirecciondelvector(13, 14).d) El plano tangente a la supercie z= f(x, y) en (1, 3, 21) es perpendicular al vector (D1f(1, 3), D2f(1, 3), 1) =(14, 13, 1)yportanto,suecuaciones14(X 1) + 13(Y 3) (Z 21) = 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 262Problema134Hallarlasrectastangentesalascurvassiguientesenlospuntosdados:a) x2+y2= 4, P0(2,2)b) x2+xy +y2= 7, P0(1, 2)c) x5+ 4xy33y5= 2, P0(1, 1)Comoyasabemos, f(x0, y0)es unvectornormal alacurva de nivelf(x, y) = f(x0, y0),por tanto,laecuaciondelarectatangenteesD1f(x0)(X x0) +D2f(x0, y0)(Y y0).a) x2+y2= 4, P0(2,2);D1f(x, y) = 2x D2f(x, y) = 2yRecta: 4(X 2) + 22(Y 2) = 0b) x2+xy +y2= 7, P0(1, 2);D1f(x, y) = 2x +y D2f(x, y) = x + 2yRecta: 4(X 1) + 52(Y 2) = 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 263c) x5+ 4xy33y5= 2, P0(1, 1);D1f(x, y) = 5x + 4y3D2f(x, y) = 12xy2+ 15y4Recta: 9(X 1) + 27(Y 1) = 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 264Problema135Lafuerzagravitacional ejercidasobreunobjetodemasamsituadoenel punto(x, y, z) por unobjetodemasaMsituadoenel origenes,porlaleydelagravitaci onuniversal,F=GMmr3rdonder=xi + yj+ zkyr= [[r[[. Comprobar queR= V paraalg uncampoescalarV (V recibeel nombredepotencial gravitacional) ycomprobar tambienqueFesortogonal alassuperciesdenivel deV . (Indicaci on:comprobarprimeroque (1/r) = (1/r3)r).Laindicacionnosdicequieneslafuncionpotencial;considerandof(r) = f(x, y, z) = 1r= 1_x2+y2+z2tenemosque:D1f(x, y, z) = x(x2+y2+z2)3/2=xr3D2f(x, y, z) = y(x2+y2+z2)3/2=yr3D3f(x, y, z) = z(x2+y2+z2)3/2=zr3Portanto,V (x, y, z) = GMmx2+y2+z2. El hechode que F= Vsea ortogonala lassupercies de nivelde Ves unapropiedadfundamentaldelvectorgradiente.EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 265Problema136Enlassiguientesfunciones,hallarlasderivadasparcialesdesegundoordenf(x, y) = exlog(3 y2); g(x, y) = (x y)/xy; h(x, y, z) = xy +yz +zx.f(x, y) = exlog(3 y2).D1f(x, y) = exlog(3 y2) D2f(x, y) = 2yex3 y22fx2(x, y) = exlog(3 y2)2fy2 (x, y) = 2exy2+ 3y232fxy(x, y) =2fyx(x, y) = 2yex3 y2g(x, y) = (x y)/xy:D1f(x, y) =1x2D2f(x, y) = 1y22fx2(x, y) = 2x32fy2(x, y) =2y32fxy(x, y) =2fyx(x, y) = 0EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 266h(x, y, z) = xy +yz +zx:D1f(x, y) = y +z D2f(x, y) = x +z D3f(x, y) = y +x2fx2(x, y) = 02fy2(x, y) = 02fz2 (x, y) = 02fyx(x, y) = 12fzx(x, y) = 12fzy(x, y) = 1EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCalculoenvariasvariables 267Problema137ComprobarqueD1,2w = D2,1wparaw = arc tg (y/x) y zw = exsenhy + cos (2x 3y)w = arc tg (y/x)D1w(x, y) = yx2+y2D1w(x, y) =xx2+y2D2,1w(x, y) = D2(D1w)(x, y) = (x2+y2) 2y2(x2+y2)2=y2x2x2+y2D1,2w(x, y) = D1(D2w)(x, y) =(x2+y2) 2x2(x2+y2)2=y2x2x2+y2w = exsenh y + cos (2x 3y):D1w(x, y) = exsenh y 2 sen (2x 3y) D2w(x, y) = excosh y + 3 sen (2x 3y)D2,1w(x, y) = D2(D1w)(x, y) = excosh y 6 cos (2x 3y)D1,2w(x, y) = D1(D2w)(x, y) = excosh y 6 cos (2x 3y)EjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeCaptulo6Optimizacionno-lineal268Optimizacionno-lineal 269Problema138Enlossiguientesapartadoshallardw/dt,primeroexpresandowexplcitamentecomofunci ondetydiferenciando,yluegopormediodelaregladelacadena:(a) w =xyx2+y2, x = cosh t, y= senht(b) w = xey+y sen x, x = t, y= t2(a) w =xyx2+y2, x = cosh t, y= senht;w(t) =cosh t senhtcosh2t + senh2t=12 tgh 2typortanto,dwdt (t) = 1 tgh22t =1cosh22tParausarlaregladelacadenaconsideremosf(u, v) =uvu2+v2;entoncesw = f (x, y)ydwdt (t) =fu(x, y)dxdt(t) +fv(x, y)dydt(t) = yy2x2(x2+y2)2senht +xx2y2(x2+y2)2cosh t= senh2tcosh22t+cosh2tcosh22t=1cosh22tEjerciciosresueltosdeCalculo. c AgustnValverdeOptimizacionno-lineal 270(b) w = xey+y sen x, x = t, y= t2;w(t) = tet2+t2sen typortanto,dwdt (t) = et2+ 2t2et2+ 2t sen t +t2cos t =Seaf(u, v) = ue