EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

7/28/2019 EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMA Y ADMINISTRACIN

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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LADERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMA Y

ADMINISTRACIN

DERIVADASProduccin y productividad

1. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fbricaindica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habr

ensamblado radio transistores x horas despus.En que momento de la maana esta actuando el trabajador conmxima eficacia?

Cantidad de radios producida por hora=Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos enque hora el trabajador alcanza su mayor nivel de produccin, paraello derivaremos la funcin de produccin e igualaremos la primeraderivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es lamxima produccin calcularemos la segunda derivara, la cual debeser negativa para demostrar el mximo nivel de produccin.

t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar enunidades negativas

Ahora comprobaremos que es la mxima productividad..

y como

2. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dlares cada una y, aeste precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillaspor mes. El fabricante deseara elevar el precio y estima que por cadadlar de incremento en el precio se vendern 1,000 bombillas menoscada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4dlares por bombilla. A qu precio debera vender el fabricante lasbombillas para generar al mayor beneficio posible?

P1=6 Q1=6000


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P2=6+x Q2=6000-1000x C = 4x

Ahora estableceremos la funcin beneficio la cual la derivaremos parapoder calcular el mximo beneficio y si la 2da derivada es negativacomprobaremos lo dicho.

y

Entonces diremos que el fabricante para obtener ms beneficios loque debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998

3. Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60naranjos, la produccin media por rbol ser de 400 naranjas. Laproduccin media decrecer en 4 naranjas por rbol adicional plantadoen la misma extensin. Cuntos rboles debera plantar el cultivadorpara maximizar la produccin total?

rboles de naranja= AN1= 60 Produccin media= PM1 = 400

AN2= 60 + x PM2= 400 4x

Produccin total = PT = (60 + x)( 400 4x)

PT = 2400 + 160x 4x2

Para maximizar PT

PN = 60 + x = 60 + 20 = 80

Oferta y demanda


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4. Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p +

200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y elcorrespondiente nmero de unidades ofertadas y demandadas, y dibujelas curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.

S(p)=4p + 200 D(p)= -3p +480

En punto de equilibrio: S(p) = D(p)

4p + 200 = -3p +480 7p =280 p = 40

S(40)=4(40) + 200=360 D(40)= -3(40) +480=360

5. Suponga que las funciones de oferta y demanda de un cierto artculoson S(p) = ap + b y D(p) = cp + d, respectivamente.

a) Qu puede decir sobre los signos de los coeficientes a, b, c y dsi las curvas de oferta y demanda estn orientadas como muestrael siguiente diagrama?

Si S(p) = ap + b tiene el comportamiento de una oferta yconsiderando que en el eje de las ordenadas se encuentra q y en elde las abcisas p, concluimos que:

a > 0 y b < 0


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Mientras que D(p) = cp + d tiene el comportamiento de unademanda, tenemos que:

c < 0 y d > 0

b) Exprese el precio de equilibrio en trminos de los coeficientes a, b,c y d.

En equilibrio S(p) = D(p)a p + b = c p +

d

c) Use su respuesta de la parte b) para determinar que le sucede alprecio de equilibrio cuando a crece.

Si

d) Use su respuesta de la parte b) para determinar qu le sucede alprecio de equilibrio cuando d crece.

Si

6. 21. La demanda de consumo para un cierto artculo es D(p) = -200p+ 12.000 unidades por mes cuando el precio de mercado es de pdlares por unidad.

a) Dibuje esta funcin de demanda.


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b) Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el

artculo como una funcin de p. (El gasto total mensual es lacantidad total de dinero gastado por los consumidores cada mes enel artculo.)

GT = p (-200p + 12000)

GT = - 200p2+12000p

c) Dibuje la funcin gasto total mensual.

e) Use el grfico de la parte c) para estimar el precio de mercado

que genera el mayor gasto de consumo.

Para determinar con que precio se obtendr el mayor gastotendremos que derivar el gasto.

As tambin se demuestra en el grafico de c

Costos

7. Un camin est alquilado para transportar mercancas desde una fbricaa un almacn. El salario del conductor ha sido fijado por horas y as esinversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camin. Lacantidad de gasolina gastada es directamente proporcional a lavelocidad a la que conduce el camin, y el precio de la gasolinapermanece constante durante el viaje. Demostrar que el coste total esmenor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al

coste de la gasolina usada.


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Si: salario del conductor : cantidad de gasolinagastada:G=kv

Precio de gasolina = = coste de la

gasolina usada: .G

CT= + .G = + kv

Se pide demostrar que cuando el coste total es menor, el salariodel conductor es igual al coste de la gasolina usada, cuando lavelocidad minimiza el costo.

Es decir que >0, entonces = kv

, pero tambin lo podemos expresar

as: = kv

Con esto queda demostrado.

8. Suponga que el coste total (en dlares) de fabricacin de q unidades

viene dado por la funcin C (q) = 3q2 + q + 48.

a. Exprese el coste medio de fabricacin por unidad como unafuncin de q.

Cme =b. Para qu valor de q es menor el coste medio?

c. Para qu valor de q es igual el coste medio al coste marginal?Compare este valor con su respuesta de la parte b).

Primero hallamos el costo marginal

Ahora igualamos el Cme y el Cmg


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Podemos deducir que el valor obtenido es del mismo valor que enla pregunta b), con lo cual se puede deducir que el punto en el que seintercepta el costo marginal con el costo medio es justo cuando el

costo medio esta en su mnimo.

d. En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de costetotal, coste marginal y coste medio.

9. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250metros cbicos. El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2dlares por metro cuadrado y el material para los lados cuesta un dlarpor metro cuadrado. Puede construirse la caja por menos de 300

dlares?

V = a2b = 250 ab=250/aCT = costo de base + costo de lados


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CT= s/.2 (2xa2) + s/.1(4xab)

CT= 4a2+2x = 4a2 +

10. Una empresa manufacturera recibe un pedido de q unidades de cierto

artculo. Cada una de las mquinas de la empresa puede producir nunidades por hora. El costo de puesta en marcha es s dlares pormquina y el costo de operacin es p dlares por hora.

a) Obtenga una frmula para hallar el nmero de mquinas quedeben emplearse para mantenerse costo total lo ms bajoposible.

SOLUCIN

C total = Costo de puesta en marcha + Costo de operacin.

Tambin x = nmero de mquinas.El costo de puesta en marcha de es = sx.Adems el costo de operacin = k/x.Ntese que q artculos a n artculos por hora resulta (q art.) / (n art./h)= q/n horas y en p horas qp/n por lo que el costo de operacin es=qp/nx.

b) Demuestre que el costo total es mnimo cuando el costo de puestaen marcha de las mquinas sea igual al costo de operacin de stas.Costo total es entonces = sx + (qp)/(nx) donde la variableindependiente es x.La primera derivada es C' = s - (qp)/(nx) = 0qp/nx = s

qp/nx = sxes decir que el costo de operacin = costo de puesta en marcha

11. Una empresa de artculos electrnicos utiliza 600 cajas de transistorescada ao. El costo de almacenamiento de una caja durante un ao es 90centavos, y los gastos de envo son $30.00 por pedido. Cuntas cajasdebe solicitar la empresa en cada envo para mantener el costo total en

un mnimo?

SOLUCIN

En 600 cajas a x cajas por pedido el nmero de pedidos es = 600/x.Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18,000/x.El costo de almacenamiento = (x/2)(.90)= .45xEl costo total es C = .45x + (1800/x).Su derivada es C = .45 - (1800/x) = 0

.45x = 1800

x = sqr(18000/.45) = 200 cajas


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Probaremos que este valor hace un mnimo en C:La segunda derivada es C'' = 36,000/x y si hacemos x=200, resulta C''>0 que es la condicin necesaria y suficiente para hacer un mnimo.

12. Por medio de sus estaciones autorizadas, una compaa petroleradistribuye 16,000 mapas de carreteras cada ao. El costo de poner enmarcha una impresora para editar los mapas es $100.00 por cadajornada de produccin. Adems, los costos de produccin son 6centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos pormapa al ao.

Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el ao y seimprimen en lotes iguales, espaciados, de manera que cada unollega justo cuando el anterior se ha agotado. Cuntos mapas debeimprimir la compaa petrolera en cada lote para minimizar elcosto?

SOLUCIN

16,000 mapas a x mapas por jornada, resulta un nmero de jornadas= 16,000/xCosto de puesta en marcha = 100 (16,000/x) = 1'600,000/xCosto de produccin = (.06) (16,000) = $ 960.00Costo de almacenamiento = (x/2)(.20) = .1xCosto total C = 960 + (1'600,000 /x) + .1x

La derivada es C' = 0 - (1'600,000/x) + .1 = 01'600,000 /x = .1x = sqr (1'600,000 / .1)x = 4,000 mapas

13. Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar q unidades de ciertoartculo es

R(q) = -2q+68q-128a) En qu nivel de ventas el ingreso medio por unidad es igual al

ingreso marginal?

b) Verifique que el ingreso medio sea creciente si el nivel de ventases inferior al nivel del literal a) y decreciente si el nivel de ventas essuperior al del literal a).Revisaremos si el ingreso medio es creciente y decreciente en unintervalo donde q>8 y donde q


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2q - 128 /q = 02q = 128, q = 64q = 8

SOLUCIN DE LA b)

Rm = -2q + 68 -128/q

R'm = -2 + 128 / q = 0Probemos para q> 8, digamos 9R'm (9) = -2 + 128/81 = -2 + 1.58 = cifra negativa, por lo tanto Rm esdecreciente.Probemos para q


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A que nivel de produccin ser menor el coste medio porunidad.?

Costo medio = costo totalQ

A ( q ) = C( q ) = 3 q3 + 5 q + 75 = 3q +5 + 75q q q

El costo medio por unidad mnimo cuando se producen 5unidades.

17. Los labradores pueden obtener dos dlares por bushel de patatas elprimero de julio, y despus el precio cae en dos centavos por bushel porda. El primero de julio un labrador tien 80 busheles de patatas en elcampo y estima que la produccin esta creciendo a un ritmo de unbushel por da. Cuando debera recoger el labrador las patatas paramaximizar los ingresos?

Ingreso = 80*2 dlares el primeo de julio X = das transcurridos

Precio = P = 2 0.02 X produccin = Q = 80 +X

Ingreso total = IT = ( 2 0.02 X ) ( 80 +X )

I T = 160 + 2X 1.6 X 0.02 X2 = 160+0.4 X 0.02 X2

Para encontrar el maximo ingreso debemos derivar el ingreso total.

= 0.4 = 0.04 X X = 10


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Debern de pasar 10 das desde el primero de julio para que alcancelos mximos beneficios es decir deber recoger las patatas el 11 de

julio.Para comprobar que son los mximos beneficios hallamos la segundaderivada que debe ser negativa.

18. Una firma de plsticos ha recibido un pedido del departamento de recreode la ciudad para fabricar 8000 tablas de polietileno para su programade natacin de verano. La firma posee diez mquinas, cada una de lascuales puede producir 30tablas por hora. El coste de puesta a punto delas maquinas para producir las tablas es de 20dolares por maquina. Unavez puestas a punto las maquinas, la operacin es totalmenteautomtica y puede ser supervisada por un supervisor de produccin

que gana 4.80 dlares por hora

a) Cuantas maquinas deberan usarse para minimizar el coste deproduccin?b) Cuanto ganara el supervisor durante la marcha las maquinarias sise usa el numero optimo de maquinas?c) Cuanto costara poner a punto el nmero ptimo de maquinarias?

Solucin

Total de tablas a fabricar = 8000

Total de maquinas = 10

Produccin de cada maquina por hora = 30

Costo de puesta a punto = 20 * maquina

Costo del supervisor = 4.8 * hora

Numero de horas = X numero de maquinas = Y

30 * Y * X = 8000 y =

CT = 20 Y + 4.8 X


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CT = 20 * + 4.8 XPara obtener el mnimo costo derivamos el costo total e igualamos acero.

16000= 14.4 X2 X = 33.3

Reemplazando X = 33.3 en Y , se obtiene Y = 8

Entonces se concluye que

a) se deberan usar 8 maquinas para poder minimizar el coste

b) lo que ganara el supervisor es 4.8 por hora esto es 4.8 * 33.3 ,lo cual da como resultado 160 dlares.

c) El coste de poner a punto las maquinas es de 20dolares pormaquina, esto es 20 * 8 , lo que resulta 160 dlares por todaslas maquinas

19. Una taberna local espera gastar 800 botellas de bourbon este ao. Elbourbon cuesta 4 dlares por botella, los gastos del pedido son de 10dlares por cargamento y el costo de almacenaje del bourbon es de 40centavos por botella cada ao. El bourbon se consume a un ritmoconstante a lo largo del ao y cada cargamento llega justo cuando elcargamento anterior ha sido gastado.

a) Cuntas botellas debe pedir el tabernero en cada cargamentopara minimizar el coste?

b) Con que frecuencia debe pedir el bourbon?c) Cmo cambian las respuestas a las partes a) y b) si el coste

del bourbon aumenta a 4,30 por botella?

Costo = costo por + gastos del + costo deTotal botella pedido almacenaje

X = numero de botellas por pedido

Numero de pedidos =


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Promedio de almacenaje = costo de

almacenaje =

CT = 4 ( 800 ) + +

X2 = X = 200

Respuestas:

a) como x era el nmero de botellas por pedido, entoncesconcluimos que debe de pedir 200 botellas para obtener el

mnimo costo.

b) Se sabe que el numero de pedidos viene dado por ,entonces reemplazamos. Y tenemos que el numero de pedidosdebe ser 4

c) Simplemente no varan, ya que al momento de derivar elaumento del precio no afecta a ninguna variable.

20. Un camin esta alquilado para transportar mercancas desde una fabricaa un almacn. El salario del conductor ha sido fijado por horas y es asinversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camin.

La cantidad de gasolina gastada es directamente proporcional ala velocidad a la que conduce el camin, y el precio de lagasolina permanece constante durante el viaje. Demostrar queel coste total es menor a la velocidad para la cual el salario delconductor es igual al coste de la gasolina usada.

Sea P: precio de la gasolina (cste) X: n de horasconducidas

G: n de galones consumidos

Salario del conductor por horas: S = k1V

Cantidad d gasolina gastada: G = k2 * v

Coste total = salario + gasolina


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C = X * S + P * G C = X * + P * k2 * v

Se pide demostrar: X * = P * k2 * v

= 0

=

= que es lo que se quera demostrar

> 0 mnimo costo

21. Un fabricante de bicicletas compra 6000 llantas al ao a un distribuidor yesta tratando de decidir la frecuencia de sus pedidos. Los gastos depedido son de 20 dlares por cargamento, el coste de almacenaje es de96 centavos por llanta y por ao y cada llanta cuesta 25 centavos.Suponga que las llantas se usan a un ritmo constante a lo largo del aoy que cada cargamento llega justo cuando el cargamento precedente ha

sido terminado. Cuantas llantas debera pedir cada vez el fabricantepara minimizar el coste?

Coste = Coste de + coste de + coste de lastotal Almacenaje pedidos llantas

X = n de llantas por cargamento

C( X ) = coste total

Coste de = X ( coste de almacenar una llanta un ao )Almacenaje 2

Coste de = X ( 0.96 ) = 0.48 XAlmacenaje 2

Coste total = coste del pedido * nmero dedel pedido por cargamento cargamentos


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Coste del pedido =

Coste de = numero total * coste porlas llantas de pedidos llanta

Coste de = 6000 ( 0.25 ) = 1500las llantas

C ( X ) =

0.48 =

X = 500

Para minimizar el coste, el fabricante debe pedir las llantas en lotesde 500

22. Un almacn vende monopatines al precio de US$40 por unidad. A esteprecio las personas han comprado 50 monopatines al mes. El propietariodel almacn desea aumentar el precio y estima que por cada incrementode US$1 en el precio se vendern 3 monopatines menos cada mes. Si

cada monopatn tiene un costo de US$25 para el almacn, a quprecio debera vender los monopatines para maximizar las utilidades?

SOLUCION

Se pide maximizar las utilidades, por lo que disearemos la ecuacinque define las utilidades. Utilidad es igual a ingresos menos costos.

Cantidad de venta mensual = 50 - 3(x - 40)Ingresos = x [ 50 - 3 (x-40)]Costos = 25 [50 - 3 (x-40)]Utilidad = (x-25) [50-3(x-40)= U = -3x2 + 245x + 450 y su derivavadaes:

U` = -6x+245 = 0, de donde al despejar x, se tiene x= 245/6 = x=$41.00 que debe ser el precio de venta de los monopatines.

23. Una librera puede obtener del editor determinado libro a un costo de

US$3 por unidad. La librera ofrece el libro a un precio de US$15 porejemplar y, a este precio, ha vendido 200 ejemplares por mes. La librera


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planea bajar el precio para estimular las ventas y calcula que por cadareduccin de UN $1 en el precio se vendern 20 libros ms cada mes.A qu precio debera la librera vender el libro para generar la mximautilidad posible?

SOLUCIN

Se pide maximizar las utilidades.Cifras ofrecidas por el libro: Costo $3; Precio de Venta $x; utilidad = x-3UITLIDAD TOTAL = [UTILIDAD POR LIBRO] * [CANTIDAD DELIBROS VENDIDOS].U = [200+20(15-x)][x-3] = (200+300-20x)(x-3) = U = 20 (-x2 +28x-75),que define la funcin de la utilidad y cuya derivada es:U = 20 (-2x+28) = 0, de donde x = (28/2) = x = $14.00

24. Un almacn de estampas de bisbol puede obtener las del novato MelSchlabotnik un costo de $5.00 cada una. El almacn ofrece lasestampas a $10.00 cada una y, a este precio, ha vendido 50 por mes. Elalmacn planea bajar el precio para estimular las ventas y estima quepor cada 50 centavos de reduccin en el precio se vendern 5 estampasms cada mes. A qu precio debera vender el almacn paramaximizar la utilidad total mensual?

SOLUCIN

Se pide maximizar las utilidades. Para el almacn se tiene un costounitario de $5, un Precio de Venta actual de $10 y un precio de ventadesconocido x. Decir 5 estampas por 50 centavos es lo mismo que 10estampas por $1.00 de manera que:

La cantidad total de ventas es: 50 + 10 (10-x)

La Utilidad U = (x-5) [50 + 10 (10-x)] = (x-5) (50 + 100 - 10 x] = -10x+200x-750.

Al derivarla se obtiene U = -20x + 200 = 0, de donde se despejax = 200/20 = x= $10.00

25. Un cultivador de fritas ctricas de Florida estima que si plantan 60naranjos la produccin media por rbol ser 400 naranjas, la cualdisminuir en 4 naranjas por rbol si se planta un rbol adicional en lamisma rea. Cuntos rboles debera plantar el cultivador paramaximizar la produccin total?.

SOLUCION


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Lo que se pide es maximizar la Produccin, por lo que hallaremos laecuacin que describe la produccin P.Los rboles en total son 60 ms los que se aadan, es decir, = 60 + x.Cada rbol produce 400 menos 4 por rbol aadido, es decir, = 400 -4xLa produccin total P = [PRODUCCION POR ARBOL]*[TOTAL DE

ARBOLES]= P = (400-4X) * ( 60 + X ) = -4X2 + 160x +2400, que alderivar para maximizar, da:P'= -8x + 160 = 0; de donde al despejar x, se tiene x = 160/8 = 20rboles encima de 60, de manera que el total es 60+20 = 80 rbolesse deben plantar.Cada rbol dar 400 - 4x, o sea 400 - (4)(20) = 320 naranjas con loque se tendrn un mximo de (80 rboles) por (320 naranjas), 25600naranjas como produccin mxima.

26. Una empresa de plsticos ha recibido un pedido del departamento de

recreacin de la ciudad para fabricar 8,000 tablas de plstico para suprograma veraniego de natacin. La empresa posee 10 mquinas, cadauna de las cuales puede producir 30 tablas por hora. El costo de puestaen marcha de las mquinas para producir las tablas es US$20 pormquina. Una vez puestas en marcha las mquinas, la operacin estotalmente automatizada y puede ser vigilada por un solo supervisor deproduccin que gana US$4.80 por hora. Cuntas mquinas deberanemplearse para minimizar el costo de produccin?

SOLUCIN

El costo de la puesta en marcha es 20x. El costo de operacin es1280/x.Horas = 8,000 tablas / 30 tablas por hora = 266.66 horas que a $4.80dan $1,280.00

CT = 20x + 1280/x y su derivada es CT' = 20 - (1280/x) = 01280/x = 20x=128/2x = sqr(64) = 8 mquinas

a) Cunto ganar el supervisor durante la jornada de produccinsi se utiliza el nmero ptimo de mquinas?

Si x= 8, Costo ptimo = 1280/x = $160.00

b) Cunto costar poner en marcha el nmero ptimo demquinas?

20x = 20(8) = $160.00


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27. Suponga que la demanda q y el precio p de cierto articulo estn

relacionadas por la ecuacin: q = 300 p2 ( para )

a) Determine donde la demanda es elstica, inelstica y deelasticidad unitaria con respecto del precio.

b) Utilice los resultados del literal a) para describir el

comportamiento del ingreso total como una funcin del precio.c) Halle la funcin del ingreso en forma explicita y emplee la

primera derivada para determinar sus intervalos de crecimiento ydecrecimiento y el precio al cual se maximiza el ingreso.

Solucin

a)La elasticidad de la demanda es

La demanda es de elasticidad unitaria cuando , es decir, cuando

Del cual solo p = 10 esta en el intervalo pertinente , si

,

Y por consiguiente la demanda es inelstica

Si

Y por consiguiente la demanda es elstica.

b) el ingreso total es la funcin creciente de p cuando la demanda

es inelstica, es decir esta en el intervalo y una fraccindecreciente de p cuando la demanda es elstica, esto es este es el


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intervalo . Al precio de p = 10 de elasticidad unitaria, lafuncin del ingreso tiene un mximo relativo.

Curva de ingreso

R(p)R(p) = p ( 300 p2)

10 p

C) la funcin de ingreso es r = p q

R(p) = p ( 300 p2) = 300p p3

Su derivada es

R(p) = 300 3p2 = 3 ( 10- p ) ( 10 + p )


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Que es cero cuando p = 10, del cual solo p = 10 esta en el intervalo

pertinente .

En el intervalo , R( p) es positiva y por lo tanto R(p) escreciente.

En el intervalo , R( p) es negativa y por lo tanto R ( p ) esdecreciente. En el valor critico p=10 , R(p) deja de ser creciente ycomienza a ser decreciente y por consiguiente tiene un mximorealtivo.

Curva de demanda

q

300Q = 300 p2


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10 p

INTEGRALES

28. Una inversin producir 2400 dlares al ao a perpetuidad, si el dinerose dispensa continuamente a lo largo del ao y el tipo de inters anualpredominante permanece fijo al 12 por 100 compuestos continuamente.Cul es el valor actual de la inversin?


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Valor actual de la inversin= 2400

V.A = =

V.A = =

V.A = 0 +20000 = 20000

El valor actual de la inversin ser de 20000 dlares con una tasa deinters de 12% .

29. Use una integral definida para estimar el valor actual de una anualidadque paga 100 dlares por mes en los prximos 2 aos. Si el tipo deinters que prevalece permanece fijo a un 8 por 100 anual compuestocontinuamente.

Valor actual de la anualidad =

30. Un donante quiere hacer una donacin a un colegio pblico de la cualpuede retirar el colegio 7000 dlares al ao a perpetuidad para soportarel funcionamiento de su centro de clculo. Suponiendo que el tipo deinters anual predominante permanece fijo al 14 por 100compuesto

continuamente. Cuanto debera dar el donante al colegio? Estoes Cul es el valor actual de la donacin?


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31. La cantidad demandada K (en unidades de centena) de las cmarasminiatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y (

en dlares ) como Y = f ( x) = -0.2 x2 + 60, por otro lado la cantidad x (en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a laventa se relaciona con el unitario y en ( dlares ) de la forma Y = g ( x)= 0.1 x2 + x + 40. Si el precio de mercado se establece como el preciode equilibrio, determine el excedente de los consumidores y de losproductores.

Sea f ( x) = -0.2 x2 + 60 la demanda del mercado

y g ( x) = 0.1 x2 + x + 40 la oferta de mercado

en equilibrio se cumple que f ( x) = g ( x)

-0.2 x2 + 60 = 0.1 x2 + x + 40

0.3 x2 + x 40 = 0 3 x2 + 10 x 400 = 0

x1 = 10 y x 2 = - 13.33

en equilibrio x = 10 y P= 60


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Excedentes delconsumidor y el productor

Poferta

E

60

demanda


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10 Q

Excedente del consumidor =

E.C =

EC =

EC = ( -66.6 + 800 ) 600

EC = 733.3 - 600 = 133.3 excedente del consumidor

Excedente del productor =

EP =


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EP =

EP =

EP = 600 - 483.3 = 116.6 excedente del productor

32. Se estima que dentro de t aos una cierta inversin que generaraingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dlares por ao. Si los

ingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominantepermanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente. Halle elvalor actual de la inversin.

Solucin:

Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t

Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0.1 t

V.A =

V.A =

V.A = porpartes

V.A =


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V.A =V.A =

V.A = -80000( 0 1 ) + 400 ( 0 (-100))

V.A = 80000 + 40000 = 120000

33. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses losconsumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio

de P ( x) = dlares por bicicleta cual es el ingreso que el

fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los prximos 24meses?

Qconsumidores = 3000 precio : P ( x) =

Ingreso total = I T = Qc* P(x)

I T = 3000*

IT =

I T =

I T =I T = 3000 ( 1920 + 235.15)

I T = 6 465 453.046

Cuando una empresa genera un flujo de ingresos durante ciertoperiodo (por ejemplo; un plazo de 5 aos) al obtener los ingresosestos se vuelven a invertir y ganan intereses con una tasa fija. El flujode ingresos acumulados futuros durante periodo de cinco aos es lacantidad de dinero que obtiene la empresa al fin de ese periodo. La


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integral de finida se utiliza para calcular el flujo de ingresos futurostotales o acumulados durante cierto tiempo.

Si: R (t) = Tasa de generacin de ingresos en cualquier momentot.

r = Tasa de Inters compuestas en forma

Continua

T = Plazo

0 t1 t2 t3 ..... tn-1 tn = TFigura 1.1

El intervalo de tiempo [o,t] se divide en n intervalos con la misma

longitud t = t/n adems tn = t como se muestra en la figura 1.1Si R es la funcin continua en el intervalo [o,t] entonces R(t) no sermuy distinta de R (t1) en el intervalo [o,t1] siempre que ste seapequeo. Debido a esto el ingreso generado durante el intervalo [o,t1]es aproximadamente:

A1 = R (t1) t dlares

El valor futuro de esta cantidad, dentro de T aos, calculando como sise ganase en el instante T1 es:

A1=[R(t1)t]e=r(T-t1).

Los mismos ocurre con los ingresos durante el intervalo [t1,t2] queobtiene una valor futuro dentro de T aos, de [R(t2)t]e

r(T-T2) dlares

Es por ello que la suma de todos los valores futuros generadosdurante el periodo [O,T] es:

A = R(t1)er(T-T1)

t+R (t2)er(t-t2)T TT R(Tn)er(T-Tn)t

A = er(T)

[R(t1)e-rt1

t1+R(t2)e-rt2

t+ ... t R(tn)e-rtn

t]

La suma anterior es la suma Rieman de la funcin ertR(t)e-n en el

intervalo [o,t] que esta dividido en T1, T2...Tn.Cuando n tiene al infinito se obtiene el valor futuro total despus de unperiodo de T aos, de un ingreso R (t) dlares por aos que ganaintereses a razn de r por ao:

A =


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34.Recientemente Texano compr una mquina automtica para ellavado de autos que se espera que genere $80,000 de ingresopor ao durante los prximos aos. Si los ingresos se reinvierteny texano genera intereses a razn de 10% por ao compuestosen forma continua, determinar el valor total acumulado de esteflujo de ingresos al cabo de cinco aos.

SOLUCIN:

R(t) = 80,000R = 0.10T = 5

A = e0.10(T)

A= eo.T.80,000

El valor futuro de la inversin en cinco aos ser 518 977

35.El dinero se transfiere continuamente a una cuenta a raznconstante de US$ 1,200 por ao. La cuenta gana intereses arazn anual de 8% capitalizado continuamente Cunto habren la cuenta al cabo de 2 aos?

Para aproximar el valor futuro del flujo de ingresos, es necesariodividir el intervalo de tiempo de 2 aos 0 t en n subintervaloriguales de longitud nt aos

SOLUCIN 2-tj aos


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1,200nt 1200e0.

08(2-tj)

0 nt

2t

t1 tj tj+1Dinero depositado = (dlares al ao) (numero de aos) = 1200 An*** se depositar todo el dinero al comienzo del intervalo en el tiempotj, permanecera en la cuenta por 2-tj aos y todo crecera a (1200 nt)

e0.08(2-tj)dlares

Valor Futuro del =

flujo de ingresos

Al cabo de 2 aos habr en la cuenta 2602.66 dlares

Es otra forma de calcular el valor de un flujo de ingresos es considerarsu valor presente.El valor actual de un flujo de ingresos generado continuamente acierta tasa durante un periodo especfico es la cantidad de dinero que

debe depositarse hoy en da a la tasa de inters predominante paragenerar el mismo flujo de ingresos durante el mismo periodo.

36.Un exitoso empresario textil esta considerando dos planesalternativos para mejorar su producto. El plan A requiere de un


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desembolso inmediato de $ 350,000, mientras que el planB necesitar un desembolso inmediato de $280,000. se haestimado que la adopcin del plan A significara un flujo neto deingresos generados a razn de:

Y para el plan B representara un flujo neto de ingresos a razn de:

g(t)=680,000 dlares

Durante los prximos tres aos. Si la tasa de inters durante losprximos 5 aos fuese de 10% por ao Cual plan que ms le ms leconviene al empresario?

I) Plan A requiere 350,000 dlaresR (t) = 730,000

r = 0.1t = 3 aos

Plan B: requiere 280,000 dlares

R(t)=680,000

r = 0.1

t = 3 aos

Pv =

Respuesta: El Plan A es el plan que ms le resulta al empresario


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37.Suponga que se espera que una inversin genere ingresos a

razn de:

R (t) = 200,000 por ao

Durante los prximos cinco aos. Encuentra el valor presente de unainversin si la tasa inters predeciente es de 8% por ao compuestaen forma continua.

SOLUCIN:

r = 0.08t = 5 aos

El valor presente de la inversin ser 824 20038.La gerencia de una cadena nacional de heladeras esta

vendiendo una franquicia de 5 aos para operar un nuevo puntode venta en Sullana Piura. La experiencia anterior en sitiossemejantes indica que dentro de y aos la franquicia generar

una utilidad a razn de f(t)= 14,000 + 490t dlares al ao. Si latasa de inters anual predominante permanece fija durante losprximos 5 aos, 7% capitalizado continuamente, Cul es elvalor presente de la franquicia?

Para aproximar el valor presente de la franquicia es necesario dividir elintervalo de 5 aos o t 5 en n subintervalos iguales de longitud ntaos.


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SOLUCIN:

Tj aos

0 nt

5t

t1 tj tj+1

El valor actual de la franquicia es 63,929.4139. La cantidad demandada K ( en unidades de centena ) de las cmaras

miniatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y (en dlares ) como Y = f ( x) = -0.2 x2 + 60, por otro lado la cantidad x (en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a laventa se relaciona con el unitario y en ( dlares ) de la forma Y = g ( x)= 0.1 x2 + x + 40. Si el precio de mercado se establece como el preciode equilibrio, determine el excedente de los consumidores y de losproductores.

Sea f ( x) = -0.2 x2 + 60 la demanda del mercado

y g ( x) = 0.1 x2 + x + 40 la oferta de mercado


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en equilibrio se cumple que f ( x) = g ( x)

-0.2 x2 + 60 = 0.1 x2 + x + 40

0.3 x2 + x 40 = 0 3 x2 + 10 x 400 = 0

x1 = 10 y x 2 = - 13.33

en equilibrio x = 10 y P= 60

Excedentes delconsumidor y el productor


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Poferta

E

60

demanda

10 Q

Excedente del consumidor =

E.C =

EC =

EC = ( -66.6 + 800 ) 600

EC = 733.3 - 600 = 133.3 excedente del consumidor

Excedente del productor =


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EP =

EP =

EP =

EP = 600 - 483.3 = 116.6 excedente del productor

40. Se estima que dentro de t aos una cierta inversin que generaraingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dlares por ao. Si losingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominantepermanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente. Halle elvalor actual de la inversin.

Solucin:

Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t

Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0.1 t

V.A =

V.A =

V.A = porpartes


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V.A =

V.A =

V.A =

V.A = -80000( 0 1 ) + 400 ( 0 (-100))

V.A = 80000 + 40000 = 120000

41. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses losconsumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio

de P ( x) = dlares por bicicleta cual es el ingreso que elfabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los prximos 24meses?

Qconsumidores = 3000 precio : P ( x) =

Ingreso total = I T = Qc* P(x)

I T = 3000*

IT =

I T =

I T =

I T = 3000 ( 1920 + 235.15)

I T = 6 465 453.046


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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

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