Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial e Integrales de línea.

1.- Determine el valor de , si y .

Solución:

2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una

partícula desde el punto al a lo largo de la curva .

Solución:

3.- Sea . Demuestre que es independiente de

la trayectoria que pasa por dos puntos dados.

Solución:

4.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la frontera,

tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y .

Solución:

5.- Demuestre que:

Solución:

6.- Sea , donde y . Determinar

el valor de la integral.

Solución:

7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:

Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva con .

Solución:

Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

Aquí:

Se tiene:

8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.

Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .

Solución:

Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:

Integrando con respecto a se tiene:

Se tiene:

9.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por

. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son

continuas. Demuestre que:

Solución:

10.- Sea

a) Demuestre que es un campo conservativo

Solución:

b) Encuentran el potencial escalar

Solución:

c) Calcule donde está dada por:

Solución:

11.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las

gráficas de y .

Solución:

12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:

Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.

Solución:

Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

13.- Calcule la integral de línea ∫ +C

xyxy dyxedxye , donde C es la curva formada por los

siguientes segmentos de rectas:

Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→Punto Final

Solución:

Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que

),()( xyxyxyxy yey

xyeexex ∂

∂=+=

∂∂

se tiene que la integral de línea es independiente de la

trayectoria, y por lo tanto:

22

1

1

2 12e

edte

dyxedxyedyxedxye

t

xy

C

xy

C

xyxy

+−=−=

+=+

∫

∫∫

−

+

Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ

14.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible

afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?

Solución:

15.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a

lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin utilizar una función de potencial.

Solución: