Ejercicios resueltos de estadística. Colegio La Salle Envigado
Ejercicios Resueltos de Estadística Bidimensional
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5/24/2018 Ejercicios Resueltos de Estad stica Bidimensional
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ING.ESTAD.VILLENA ZAPATA, LUIGI
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADSTICA BIDIMENSIONAL
1.- Escriba sobre una lnea, V si el enunciado es verdadero o F si es falso:
1.1.- La covarianza mide la relacin lineal entre dos variables, pero depende de las
unidades de medida utilizadas.( )1.2.- Para encontrar las frecuencias relativas marginales de la variable columna en una tabla
de contingencia, se debe dividir el total de la columna por el tamao muestral.( )
1.3.- Al calcular las frecuencias relativas condicionales de la variable columna dada la
variable fila de una tabla de contingencia, las celdas se dividen por el total columna( )
Solucin:El orden de las respuestas son: 1.1.- V; 1.2.- V; 1.3.- F
2.- Se ha observado conjuntamente "la edad" y "la antigedad" de los trabajadores de una
empresa. De los datos resulta que el 18% de los trabajadores tienen menos de 30 aos y 2
aos de antigedad. Este 18% es:
a)Una frecuencia relativa de la variable antigedad condicionada a la variable edadb) Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigedad.c) Una frecuencia relativa de la variable edad condicionada a la variable antigedad.d) Una frecuencia relativa marginal de la variable edad.Solucin:
b) Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigedad.3.- La siguiente distribucin corresponde a 210 ciudadanos considerado su opininciudadana agrupada en tres categoras (a favor, en contra e indeciso) en la construccin de
una autopista segn sexo.
Sexo (X)
Opinin (Y)
Total
A favor En contra Indeciso
Hombres 41 39 20 100
Mujeres 40 43 27 110
TOTAL 81 82 47 210
a) Construir las distribuciones de frecuencias marginales para las variables X e Y
respectivamente. Adems interpretar.2
f y3.
f .
b) Construir las distribuciones de frecuencias relativas bidimensionales para las variables X
e Y. Adems interpretar:22
f y 23h
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c) Construir las distribuciones de frecuencias relativas marginales de X e Y
respectivamente. Adems interpretar: .1h y 3.h .
4.- Los siguientes datos representan las calificaciones de los estudiantes del 5to
grado de la
I.E. 25014, en los cursos de matemtica (X), y comunicacin (Y). Los datos hipotticos
son:
X Y X Y X Y
9 13 12 12 12 13
11 12 16 18 10 16
14 17 14 14 13 16
11 13 10 16 10 12
16 15 11 14 13 13
13 11 14 15 10 14
15 14 6 8
Presentar dichos datos mediantes una tabla de distribucin bidimensional de frecuencias.Considere para cada caso k=5 (nmero de intervalos).
Solucin:Construiremos un cuadro de frecuencias bidimensionales con intervalos:
Para X:
2
5/10/
10
616minmax
A
kRA
R
XXR
Construyendo el cuadro de frecuencias bidimensionales:
X/Y [8-10> [10-12> [12-14> [14-16> [16-18] Total[6-8> 1 0 0 0 0 1[8-10> 0 0 1 0 0 1[10-12> 0 0 3 2 2 7[12-14> 0 1 3 0 1 5[14-16] 0 0 0 4 2 6Total 1 1 7 6 5 20
Para Y:
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5.- La tabla de frecuencias que se presenta a continuacin es el resultado de una muestra
aleatoria de parejas de padre e hijo.
Menos de1.60 m
De 1.60 a1.80 m
Ms de1.80 m Total
Menos de 1.60 m 50 400 10 460De 1.60 a 1.80 150 2000 200 2350Ms de 1.80 5 300 60 365
Total 205 2700 270 3175
Hallar:a)La distribucin marginal.b)La tabla de distribucin absoluta acumulada.Solucin:
En a)
Distribucin Marginal de la talla del hijo:
Condicin X .if .ih
Menos de 1.60 m 460 0.145De 1.60 a 1.80 2350 0.740
Ms de 1.80 365 0.115Total 3175 1.000
Distribucin Marginal de la talla del padre:
Condicin Y jf. jh.
Menos de 1.60 m 205 0.065De 1.60 a 1.80 2700 0.850
Ms de 1.80 270 0.085Total 3175 1.000
En b)
La tabla de distribucin de frecuencias absolutas acumuladas:
padrehijo
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281020020001501040050
2600200015040050
20015050
4601040050
45040050
50
232221131211
2
1
3
1
23
22211211
2
1
2
1
22
2111
2
1
1
1
21
131211
1
1
3
1
13
1211
1
1
2
1
12
11
1
1
1
1
11
fffffffF
fffffF
fffF
ffffF
fffF
ffF
i j
ij
i j
ij
i j
ij
i j
ij
i j
ij
i j
ij
3175603005200
20001501040050
29053005200015040050
205515050
333231232221131211
3
1
3
1
33
323122211211
3
1
2
1
32
312111
3
1
1
1
31
ffffffffffF
fffffffF
ffffF
i j
ij
i j
ij
i j
ij
La tabla de distribucin de frecuencias absolutas acumuladas completa es:
Menos de1.60 m
De 1.60 a1.80 m
Ms de1.80 m
Menos de 1.60 m 50 450 460
De 1.60 a 1.80 200 2600 2810Ms de 1.80 205 2905 3175
6.- Dada la variable estadstica bidimensional (X, Y) con la tabla de frecuencias:
X/Y 1 2 4 6
1 2 0 1 13 3 1 0 15 0 1 0 5
Se pide:
a)
3
1
4
1i j
ijf b) 213423 ,, hhh c)
4
1
.
3
1
. ;j
j
i
i ff d) 3/2/ XyYx ji hyh
padrehijo
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Solucin:
En a)
155010101311023
1
4
1
343332312423222114131211
3
1
4
1
i j
ij
i j
ij
f
fffffffffffff
En b)
20.0
15
3
3.015
5
015
0
21
21
34
34
23
23
n
fh
n
fh
n
fh
En c)
157125
15654
4.3.2.1.
4
1
.
3
1
.3.2.1.
fffff
ffff
j
j
i
i
En d)
2/ Yxih
X 2/ Yxif 2/ Yxih
1 0 03 1 5 1
2.2 f 1
3/ Xyjh
Y 3/ Xyif 3/ Xyih
1 0 02 1 1/64 0 06 5 5/6
63. f 1
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7.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Estadstica (E) y
Macroeconoma (M):
E 3 4 6 7 5 8 7 3 5 4 8 5 5 8 8 8 5
M 5 5 8 7 7 9 10 4 7 4 10 5 7 9 10 5 7
a) Hallar la tabla de frecuencias.
b) Hallar las distribuciones marginales, medias y varianzas muestrales de las mismas.c) Covarianza muestral.
Solucin:
En a)Construyendo el cuadro de distribucin bidimensional:
E/M 4 5 6 7 8 9 10 .fi
3 1 1 24 1 1 25 1 4 56 1 17 1 1 28 1 2 2 5
jf. 2 4 0 5 1 2 3 17
En b)
Marginal de X:
X .fi .hi
3 2 0.118
4 2 0.118
5 5 0.294
6 1 0.059
7 2 0.118
8 5 0.294
Total 17 1.000
Marginal de Y:
Y
4 2 0.118
5 4 0.235
6 0 0.000
7 5 0.294
8 1 0.059
9 2 0.118
10 3 0.17617 1.000
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Medias y Varianzas Muestrales:
274.3117824.517629
1
824.5
22
.
2
2
.
n
XnfXS
n
fXX
iiX
ii
375.4
117
717903
1
7
22
.
2
2
.
n
YnfYS
n
fYY
ii
Y
ji
Covarianza:
875.216
46
1
n
YYXXS
ii
xy
8.- Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables:
3.8yxV y 1.10yxV
Hallar la covarianza de ambas variables
Solucin:
IIyxCovyVxVyxV
IyxCovyVxVyxV
......1.10,2
.......3.8,2
Multiplicando a (I) por -1:
45.0,8.1,4
1.10,2
3.8,2
yxCovyxCov
yxCovyVxV
yxCovyVxV
9.- La siguiente tabla de contingencia recoge la informacin sobre la preferencia de los
jvenes sobre conocidas marcas de gaseosas segn edades:
GASEOSA/EDAD Menor de 15 De 15 a 25 De 26 a 35Marca A 150 100 200Marca B 300 125 200Marca C 300 200 300
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Marca la respuesta correcta:
9.1.- La frecuencia marginal relativa porcentual para Edad de 15 a 25 es:
%2.672)a %40.00)b %333.37)c %33.33)d
9.2.- La frecuencia relativa porcentual para gaseosa Marca B y edad menor de 15:
%67.10)a %.676)b %00.16)c %.008)d
9.3.- La frecuencia condicional relativa porcentual de Marca C dado que la persona tiene una eda
de 26 a 35 aos:
%67.24)a %8.572)b %50.37)c %2.864)d
Solucin:
9.1.- %0.40100*1875
750100*% 1.1.
n
fh
9.2.- %0.16100*1875
300100*% 2222
n
fh
9.3.-
%86.42100*700
300100*%
3.
)3526/(
)3526/(
.3
.3
f
fh
Yx
YX
10.- La relacin entre gastos en publicidad (miles de soles) y ventas efectuadas (miles de
unidades) de cierto producto por una empresa viene expresada por la siguiente tabla:
Publicidad 4 4 6 6 6 8 8
Ventas 6 8 6 8 10 8 10
ijf 5 1 1 3 5 4 3
Disponer los datos en forma de tabla de doble entrada y obtener:
a) Hallar e interpretar las Medias
b) Calcular e Interpretar la covarianzac) Calcular e interpretar el gasto medio en publicidad, cuando las ventas realizadas son
ocho mil unidades.
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Solucin:
Primero definimos que X= Publicidad y Y=Ventas luego construimos nuestro cuadro de
distribucin de frecuencias bidimensionales:
X/Y 6 8 10
4 5 1 06 1 3 5
8 0 4 3
En a)
Media de X:
091.6
22
789664.
n
fXX
ii
Interpretacin: El gasto en publicidad promedio en cierto producto por una empresa es deaproximadamente 6 mil soles.
Media de Y:
182.8
22
8108866.
n
fYY
ji
Interpretacin: El nmero promedio de ventas efectuadas en cierto producto por unaempresa es de aproximadamente 8 mil unidades.
En b)
Utilizando la frmula de la covarianza de una muestra para datos agrupados:
506.1,122
182.810091.683...182.86091.645
1,
YXCov
n
YYXXfYXCov
iiij
Interpretacin: Existe una relacin directa positiva entre el gasto en publicidad y lasventas, es decir mientras ms se invierta en publicidad, se vendern ms unidades.
En c)
75.68
483614
2.
8/.8/
ffX
YiY
Interpretacin: El gasto medio en publicidad cuando la cantidad de unidades vendidas son8 mil unidades, es de 6.75 mil soles.
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11.- Supongamos que la tabla de frecuencias relativas dada corresponde a una variable
bidimensional (X,Y).
X/Y 40 45 50 55 60 6538 0.04 0.05 0.05 0.03 0.00 0.05
40 0.06 0.10 0.00 0.07 0.05 0.1042 0.12 0.05 0.05 0.03 0.10 0.05
Teniendo en cuenta que han sido 200 los elementos extrados de la poblacin, se pide:
a) Determinar las distribuciones marginales.
b) Determinar la media y desviacin tpica de X e Y.
c) Determinar la distribucin condicionada de X para Y=55.
d) Determinar la distribucin condicionada de Y para X=42.
Solucin:
En a:Determinamos las distribuciones marginales:
Para X:
iX .ih
38 0.22
40 0.38
42 0.40
Total 1.00
En b:
Determinamos las medias para ambas variables:
36.40
40.04238.04022.038.
X
hXX ii
95.51
20.065...20.04522.040.
Y
hYY ji
Para Y:
40 0.22
45 0.20
50 0.10
55 0.13
60 0.15
65 0.20
Total 1.00
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Determinamos las desviaciones tpicas para ambas variables:
537.1
362.2199
200930.162828.1631
1200
20036.4040.04238.04022.038
1
2
2
22222
.
2
2
X
X
X
ii
X
S
S
S
n
nXhXS
321.9
882.86
199
200802.269825.2785
1200
20095.5120.065...22.040
1
2
2
2222
.
2
2
Y
Y
Y
ji
Y
S
S
S
n
nYhYS
En c:iX 55/ YXh
38 0.231
40 0.538
42 0.231
Total 1.000
Donde:
231.013.0
03.0
4.
1455/1
h
hh YX ; 538.0
13.0
07.0
4.
2455/2
h
hh YX ;
231.013.0
03.0
4.
34
55/3
h
hh YX
En d:
iY 42/ XYh
40 0.300
45 0.125
50 0.125
55 0.075
60 0.25065 0.125
Total 1.000Donde:
30.040.0
12.0
.3
31
42/1
h
hh XY ; 125.0
40.0
05.0
.3
32
42/2
h
hh XY ; 125.0
40.0
05.0
.3
33
42/3
h
hh XY
As sucesivamente