ejercicios resueltos de iop

8/17/2019 ejercicios resueltos de iop

1/362

E j e r c i c i o sresueltos deinvestigación o pe r a t i v a

Exámenes propuestos en la

Facultad de Ciencias Económicas y

Empresariales

Belén Castro

ÍñigoHenar Diez

SánchezAna Marta UrrutiaCareaga

EKONOMIA ETA

ENPRESA ZIENTZIEN

FAKULTATEA

F AcULT Ad dE cIENcIAS EcONóMIc AS


2/362

y EMPRESARIALES

ISBN: 978-84-694-5889-1


3/362

© Servicio Editorial de la Universidad del País VascoEuskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua

ISB! "#$%$&%'"&%($$"%)

Bilbao* +ulio ,-))

... /a r gitalpenak/e0u/es

http://www.argitalpenak.ehu.es/http://www.argitalpenak.ehu.es/http://www.argitalpenak.ehu.es/http://www.argitalpenak.ehu.es/http://www.argitalpenak.ehu.es/


4/362

1ndice

Intr oducci2n

E345enes a6o ,--(

E3traordinario 7e br ero /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////8

9onvocatoria :unio ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////))

9onvocatoria Septie5bre //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////,&

E345enes a6o ,--'

E3traordinario 7ebrero //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////88

9onvocatoria :unio ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////&8

9onvocatoria Se ptie5 br e ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////()

E345enes a6o ,--#

E3traordinario 7e br ero ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////'-

9onvocatoria :unio ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////#)

9onvocatoria Se ptie5 br e ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////$)

E345enes a6o ,--$E3traordinario 7ebrero //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////"&

9onvocatoria :unio //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)-8

9onvocatoria Se ptie5 br e /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////))8

E345enes a6o ,--"

E3traordinario 7e br ero /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////),,

9onvocatoria :unio /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)8,

9onvocatoria Septie5bre ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)&,

E345enes a6o ,-)-

E3traordinario 7e br ero /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)(8

9onvocatoria :unio //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)'8

9onvocatoria Se ptie5 br e /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////)#8


5/362

Intr oducci2n

;a asignatura Investigaci2n lti5os

a6os en el tercer curso de la ;icenciatura de Ad5inistraci2n ? @irecci2n de E5presas

;/A/@/E/ en la 7acultad de 9iencias Econ25icas ? E5presariales de la U/P/V/

Esta publicaci2n recoge los proble5as resueltos propuestos en los e345enes de las

distintas convocatorias entre los a6os ,--( ? ,-)-/

El te5ario o=icial de la asignatura desglosado por te5as es el siguiente!

)/ Progra5aci2n lineal enter a

)/) 7or5ulaci2n de proble5as de Progra5aci2n ;ineal Entera/

)/, CDtodo de ra5i=icaci2n ? acotaci2n Branc0 and Bound/

)/8


6/362

e= er encias Bi bliogr 4= icas!

EPPE* G/@/ G


7/362

8

IVESFIGA9I5ero 543i5o de anuncios ue se pueden e5itir es )(* )-* ,(* & ? 8- de tv5*

tvn* per* sup ? rad* respectiva5ente/ ;a in5obiliaria* aconse+ada por una agencia de

publicidad* decide utilizar al 5enos )- anuncios en la televisi2n* alcanzar por lo

5enos (---- clientes potenciales* no gastar 54s de )$--- euros en anuncios en

televisi2n ? si se 0acen anuncios en el peri2dico entonces no 0acer anuncios en la

televisi2n por la noc0e/ El presupuesto 543i5o para la ca5pa6a publicitaria es de

8---- euros/ Codelizar* sin resolver* 5ediante progra5aci2n lineal entera el

proble5a de c25o debe plani=icar la ca5pa6a si se desea 5a3i5izar la calidad de

la e3posici2n de todos los anuncios de la ca5pa6a publicitaria/


8/362

S olu c i2n !

@e=ini5os las variables de decisi2n siguientes!

3)

T n>5ero de anuncios a e5itir en tv5

3,T n>5ero de anuncios a e5itir en tvn

38T n>5ero de anuncios a e5itir en per

3&T n>5ero de anuncios a e5itir en sup

3(T n>5ero de anuncios a e5itir en rad

) si se 0acen anuncios per ?

- en caso contrario

;a 5odelizaci2n ueda co5o sigue!

Ca3 '(3)

3)

3& 3(

"-3,

)(

&

8-

&-38 '-3& ,- 3(

3) 3, )-

s/a

)---3) )(--3))(--3

,---3,

8---3,

8---3,

)(--38

)$---

&-- 38

,(--3&

)---3&

8--3(

)--3(

(----

8---- 38

3, 3i

,( ?

)- )% ?

- ? enteras i

- * )

)*///* (

,/ )- Puntos esolver el proble5a siguiente/Cin ; ?) * ?, * ?& * ?8

s/a

3) 3) 3)

, 3, ?)

?) 3, ?,

?, 3, ?8

?8

$ )

) ,

& 8

3, ?& ?&

, &

?i -*

3) -*

?i -

3, -

i )*⋯ * (

)

?


9/362

S oluci2n!

P)≡

Cin ?−

+ −

3)+

,3,−

?)

+

?) =

$ )

s/a 3)≥ -*

3,≥ -

− +?) ≥ -* ?) ≥ -

Soluciones 2pti5as! A

Valor 2pti5o! -

P, ≡ Cin ?+

+ −

3)+ ,3,−

?)

+ ?) = $ )

3)≥ -*

3,≥ -

− +s/a ?)

= -* ?) ≥ -

+ −

3)− 3,− ?,+ ?, = −) ,

− +

?, ≥

-* ?,≥

-

Soluciones 2pti5as! B

Valor 2pti5o! -

P8 ≡ Cin ?+

+ −

3)+ ,3,−

?)

+ ?) = $ )

3)≥ -*

3,≥ -

− +? = -*

?) ≥ -

+ −s/a 3)− 3,− ?,

+ ?, = −) ,

− +

?, ≥ -* ?, = -

+ −

3,− ?& + ?& = , &

− +?& ≥ -* ?& ≥ -

Soluci2n 2pti5a!

Valor 2pti5o! )

,* 8

)

,

&

)


10/362

P& ≡ Cin ?+

+ −

3)+ ,3,−

?)

+ ?) = $ )

3)≥ -*

3,≥ -

− +? = -*

?) ≥ -

+ −

3)− 3,− ?,+ ?, = −) ,

− +s/a ?,

≥ -* ?, = -

+ −

3,− ?& + ?& = , &

− +

?& ≥ -* ?& = )

+ −3)+ 3,−

?8

+ ?8 = & 8

− +?8 ≥ -* ?8 ≥ -

Soluci2n 2pti5a!

Valor 2pti5o! )

,* 8

9onclusi2n! la soluci2n 2pti5a es ,*8/ En las 5etas )M ? ,M no 0a? ni e3ceso ni

+ − + −de=ecto ?) = -*

?)

= -* ?, = -* ?, = - / En la 5eta 8M ? en la &M 0a? un e3ceso

+ − + −de )

?8

= )*

?8

= -* ?& = )*

?&

= - /

8/ ;a directora de un centro educativo debe asignar la docencia de ( asignaturas* A)*

A,* A8* A& ? A( a & pro=esores* P)* P,* P8 ? P& teniendo en cuenta las valoraciones

de las encuestas 0ec0as por los alu5nos ? unas restricciones i5puestas por un nuevo

regla5ento/ En base a las encuestas de a6os anteriores* se tienen las siguientes

valoraciones pro5edios escala! - 5ala* ( e3celente!

8

)


11/362

A) A, A8 A& A(

P) ,/# ,/, 8/& ,/$ 8/'

P, , 8/' 8/& ,/$ 8/'

P8 8/, 8/$ ,/8 )/" ,/'

P& ,/' ,/( )/$ &/, 8/(

El nuevo regla5ento dice ue el pro=esor P8 no puede i5partir las asignaturas A) ?

A,/ ;as asignaturas no se pueden co5partir ? se 0an de i5partir todas/ ing>n

pro=esor puede uedar sin asignaturas/ Al pro=esor P) sola5ente se le debe asignar

una asignatura/

a ( puntos Codelizar co5o un proble5a de progra5aci2n lineal entera con el

ob+etivo de obtener la asignaci2n ue 5a3i5ice la valoraci2n 5edia total/

b ( puntos Indicar a uD tabla 0abría ue aplicar el 5Dtodo 0>ngaro para

deter5inar la asignaci2n 2pti5a/

S olu c i2n !

a @e=ini5os las variables de decisi2n siguientes!

) si al pro=esor i se le asigna la asignatura +3

i+T - en caso contrario

con iT)**& ? +T)**(


Ca3 ,/#3)) ,/,3), /// 8/'3)( ,3,) 8/'3,, /// 8/'3,( /// 8/(3&(

3)) 3), 3)8 3)& 3)( )


12/362

3i))


13/362

3i , 3i8 3i & 3i( , i ,* 8* &

s/a 3) + 38) 38,

3, +

-

-

38 + 3& + ) + )*///* (

3i+ -* ) i )*///* & + )*///* (

b Aplicare5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!


14/362

A) A, A8 A& A( 7 7

P) %,/# %,/, %8/& %,/$ %8/' C C

P, %, %8/' %8/& %,/$ %8/' C C

P, %, %8/' %8/& %,/$ %8/' - -

P8 C C %,/8 %)/" %,/' C C

P8 C C %,/8 %)/" %,/' - -

P& %,/' %,/( %)/$ %&/, %8/( C C

P& %,/' %,/( %)/$ %&/, %8/( - -

9on C positivo su=iciente5ente grande/

&/ ;a siguiente red representa un pro?ecto donde el valor de cada arco indica la

duraci2n de cada actividad en días!

8 (

8 & #

&

#t)*8 (

$ (

,

t$*"

)&

, ( $ "

$t)*'

#

'

a & puntos @eter5inar para uD valores de t)*8* t)*' ? t$*" se cu5plen las

tres condiciones siguientes!

;a duraci2n prevista del pro?ecto es de ,8 días/

;a actividad ,*' es crítica/

El 5argen de la actividad 8*& es &/

b ' puntos Hallar el los ca5inos críticos del pro?ecto ? la tabla de

actividades para los valores obtenidos en a

(


15/362

So lu c i 2n !

a

@ado ue la actividad ,*' es crítica ? P ' Ca3 ),* t )*

'

* se tiene

ue P ' ), ? en consecuencia t )* ' ),/

9o5o la duraci2n prevista del pro?ecto d/p/p/ es de ,8 días ? la

actividad ,*' es crítica* se sabe ue! ,8T),# t $* " / ;uego

t $* " &/

@ado ue el 5argen de la actividad 8*& es

C 8* & & P 8 t 8* & * se tiene ue & )' P 8 8 ? por

tanto P 8 " / 9o5o P 8 Ca3 "* t )* 8"

entonces t )* 8 "/

t)*8

"

88

&

)-

&(

),(

,-

#

)' ,),

#

- & & $

) ,- &

$t)*'

)8 (

()&

#

),

'

),

)" t$*"T& ,8

$ ")" ,8

(

b Si t )* ' ), * el ca5ino crítico es )*,*'*$*"/

Si t )* ' ), los ca5inos críticos son )*,*'*$*" ? )*'*$*"/

;a tabla de actividades correspondiente a este pro?ecto es!


16/362

)-

i* + ti* + 9CFi* + 7CFWi* + Ci* +

)*, & - & -W

)*8 t)*8 - )- )-% t)*8)*' t)*' - ), ),% t)*'

,*8 ( & )- )

,*( $ & )& ,

,*' $ & ), -W

8*& 8 " )' &

8*( & " )& )

&*# ( ), ,) &

(*# # )8 ,) )

(*$ ( )8 )" )

'*$ # ), )" -W

'*" ( ), ,8 '

#*" , ,- ,8 )

$*" & )" ,8 -W

@onde!

t i* + es la duraci2n de la actividadi* +

9CF i* + es el co5ienzo 54s te5prano de la actividad i* +

7CF W

i* + es el =inal 54s tardío de la actividad i* +

C i* + es el 5argen de la actividad i* +


17/362

IVESFIGA9I


18/362

S olu c i2n !


3iT n>5ero de +uguetes producidos diaria5ente del tipo i iT)*,*8

) si se pone en 5arc0a el +uguete tipo i?i - en caso contrario

) si se produce en la planta +z +

- en caso contrario

i T )* ,* 8

+ T )* ,* 8


Ca3)-3),(--- ?) )(3, 8(--- ?, )838 8---- ?8

?)

3i

?, ?8

C?i

)

i )* ,* 8

s/a

(3)& 3) 83)

& 3,

,3,

83,

'38

,38

,

38

(--

'--

'8-

C )

C )

C )

z)

z,

z8

z z

z8 )

3i - ? enteras iT)* ,* 8

? z +

-* )

-* )

iT)* ,* 8

+ T)* ,* 8


b @e=ini5os la variable de decisi2n siguiente!

) si 38 () p


- en caso contrario

Ca3 )838 8----) p &---- p

() p 38 p z8

(- ) p Cp

s/a

'38, 38, 38

(--

'--

'8-

C )

C )

C )

z)

z,

z8 z z z8 )

38

- ? entera

-* )

zi -* ) iT)*,*8


,

)

i

) ,

p


19/362

,/ En una industria panadera se uiere introducir la elaboraci2n de dos nuevos tipos de

pan! integral ? de centeno* ?a ue se tiene asegurada la venta de su producci2n/

Estos panes se elaboran principal5ente a base de tres ingredientes! salvado integral*

0arina de trigo ? 0arina de centeno/ Para elaborar ) kg de pan integral se necesitan

8(- g de salvado integral ? )(- g de 0arina de trigo ? para la elaboraci2n de ) kg de

pan de centeno se necesitan se necesitan ,(- g de 0arina de trigo ? ,(- g de 0arina

de centeno/ ;a disponibilidad diaria de salvado integral es de ,)- kg* ))( kg de

0arina de trigo ? )-- kg de 0arina de centeno/ El bene=icio ue de+a cada kg de pan

integral es de -/&- X ? -/'- X cada kg de pan de centeno/

9alcular la elaboraci2n diaria de pan integral ? de centeno* si se 0an puesto las

siguientes 5etas por orden de prioridad!

Prioridad )/ Se desea obtener un bene=icio de al 5enos ,&- X diarios/

Prioridad ,/ Se desea ue la cantidad elaborada diaria5ente de pan integral sea

al 5enos el doble ue la de centeno/

Prioridad 8/ Se desea ue la cantidad elaborada diaria5ente de pan de centeno

no sea in=erior a 8-- kg/

YuD 5etas de las propuestas se 0an cu5plido

S olu c i2n !


3)T kg de pan integral elaborado diaria5ente

3,T kg de pan de centeno elaborado diaria5ente


Cin ; ?−

* ?−

* ?−

-/8(3)≤ ,)- )-/,(3, ≤ )-- ,-/)(3 + -/,(3 ≤ ))( 8

+ −-/&3)+ -/'3,− ?) + ?) = ,&- &

s/a+ −

3)− ,3,− ?,

+ ?, = - (

+ −3,− ?8

+ ?8 = 8-- '

3)≥ -* 3,≥ -

− +?i

≥ -* ?i

≥ - i = )* ,* 8

) , 8

) ,


20/362

El con+unto [ de soluciones =actibles del proble5a es!

P)≡ Cin ?−

-/8(3) ≤ ,)- )

-/,(3

,≤ )-- ,

-/)(3 + -/,(3 ≤ ))( 8s/a

+ −-/&3)+ -/'3,− ?)

+ ?) = ,&- &

3)≥ -* 3,≥ -

− +?) ≥ -* ?) ≥ -

P, ≡ Cin ?−


Valor 2pti5o! -

-/8(3) ≤ ,)- )-/,(3, ≤ )-- ,-/)(3 + -/,(3 ≤ ))( 8

+ −-/&3)+ -/'3,− ?)

+ ?) = ,&- &

s/a3 ≥ -* 3 ≥ -

) ,

− +

?) = -* ?) ≥ -

+ −

3)− ,3,− ?, + ?, = - (

− +?, ≥ -* ?, ≥ -

)

) ,

,

) ,


21/362


22/362

tanto* la )M ? la ,M 5eta ? no la 8M/ ?8 = "-/"-"*

?8

= -/ Se cu5plen* por lo


23/362


24/362

En el siguiente gra=o se observa ue el ca5ino 54s corto del nodo 8 al nodo #

es 8*'*# cu?o valor es )-/

( ' "

,

# )-

'

8 -&

' &

En el siguiente gra=o se observa ue el ca5ino 54s corto del nodo & al nodo #

es &*'*# cu?o valor es #/

( 8 "

&,

& - # #

), '

8 ,&

' )

;uego necesaria5ente la ruta 54s corta del nodo ) al nodo # debe ser alguna

de las siguientes!

)*,*&*'*# cu?o valor es a$/

)*8*'*# cu?o valor es )&/)*&*'*# cu?o valor es )&/

Para ue la ruta 54s corta pase obligatoria5ente por el nodo , se debe cu5plir

ue a$ )&/ ;uego a '* ? la ruta 54s corta es )*,*&*'*#/

Si a T ' las 8 rutas anteriores tienen el 5is5o valor/

b Parti5os del =lu+o nulo!

,

8*-

)*-

(

"*-

(*-

#*-

&*-,*-

) & #


25/362

&*- ,*-

8

&*-

)*-

'

'*-

9onsidera5os la cadena de creci5iento del origen al destino )*,*(*#/

=)* ,* (* # 5in (* 8* " 8 ? llega5os al siguiente =lu+o cu?o valor es 8/

(*8

,

#*-

8*8

)*-

(

&*-,*-

"*8

) & #

&*- ,*-

8

&*-

)*-

'

'*-

9onsidera5os la cadena de creci5iento )*,*&*(*#/

=)* ,* &* (* # 5in ( 8*)* &* " 8

)? llega5os al siguiente =lu+o cu?o

valor es &/

(*&

,

#*-

8*8

)*)

(

&*) ,*-

"*&

) & #

)*-

&*- ,*-

8

&*-

'*-

'

9onsidera5os la cadena de creci5iento )*8*'*#/

=)* 8* '* # 5in &* &* '

&? llega5os al siguiente =lu+o cu?o valor es $/

(*&

,

#*-

8*8

)*)

(

&*),*-

"*&

) & #

)*-

&*& ,*-

8

&*&


26/362

'*&

'

9onsidera5os la cadena de creci5iento )*&*(*#/

= )* &* (* # 5in #* & )* " &8

? llega5os al siguiente =lu+o cu?o valor

es ))/


27/362


28/362

Actividad @ur aci2n Pr ecedentes In5ediatas

A , %%

B , %%

9 ' A@ F@ A

E ) B

7 , B

G & @* E

H FH @* E

I , 7* H

: , G* I* 9

N 8 7* H

a 8 puntos Elaborar un gra=o ue represente a dic0o pro?ecto/

b ( puntos Sabiendo ue las actividades críticas del pro?ecto son A* 9* @* G*

H* I ? : calcular la duraci2n prevista del pro?ecto* los ca5inos críticos ? las

duraciones de las actividades @ ? H/c , puntos 9alcular el 5argen de las actividades no críticas/

S olu c i2n !

a ;a siguiente red representa a este pro?ecto!

9

, ':

@A

GI

) & #

HE

B

N

8 (

7


29/362

b

,

A ,

)

B ,

9 '

@ F@

&

E )

G &

H FH

'

I ,

: ,

#

N 88 (

7 ,

Si A* 9* @* G* H* I* ? : son críticas entonces!9a5inos críticos! )*,*'*#* )*,*&*'*# ? )*,*&*(*'*#

@uraci2n prevista del pro?ecto d/p/p/!

Valor del ca5ino )*,*'*# , ' , )- días/

@uraci2n de la actividad @! , F@

& , )-⇒ , días/

@uraci2n de la actividad H! , F@

FH

, , , , FH

, , )-

⇒ FH

c

, días

,

,

A , ,

-

)

-

B , ,

8

8

9 '

@ ,

&

&

&

E )

7 ,

H ,

G &

(

$

'

$

I ,

'

'

: ,

)-

#

)-

N 8

:

:


30/362

Ci*+T7CFWi*+%9CFi*+%ti*+T+%Pi%ti*+

C)*8T8%-%,T) día

C8*&T&%,%)T) día

C8*(T'%,%,T, días

C(*#T)-%'%8T) día


31/362

IVESFIGA9I5ero de pro=esores no debe de ser in=erior al de

ad5inistrativos/ ;a 5ezcla de los no5inados en las siguientes categorías es co5o

sigue!

9ategor ía Per sonas

Cu +eres A* B* 9* @* E

Ho5bres 7* G* H* I* :

Estudiantes A* B* 9* :

Ad5inistrativos E* 7

Pro=esores @* G* H* I

Codelizar sin resolver co5o un proble5a de progra5aci2n lineal entera* si se trata

de ue la co5isi2n sea lo 54s reducida posible/

S olu c i2n !


) si se inclu?e la persona i en la co5isi2n3i

- en caso contrarioi T A* B* 9* @* E* 7* G* H* I* :


Cin 3A

3A

37

3A 3E

3B 39 3@ 3E 37

3B 39 3@ 3E )

3G 3H 3I 3: )

3B 39 3: )

37 )

3G 3H 3I 3:

s/a 3@ 3A 3@

3G 3H 3I

3B 39 3@

3G 3H 3I

)

3E 37

3E 37

3G

3H

3I

3:

3i -* ) iTA* B* 9* @* E* 7 * G* H * I * :


32/362

,/ El director de personal de una e5presa debe asignar ( tareas F)* F,* F8* F& ? F(

a & e5pleados E)* E,* E8 ? E& teniendo en cuenta las valoraciones 0ec0as en

base a e3periencias anteriores ue 5uestran la siguiente tabla puntuaci2n! - 5ala*

)- e3celente* J%%K i5posibilidad!

F) F, F8 F& F(

E)

E,

E8

E&

Ade54s* 0a? ue tener en cuenta las siguientes restricciones! los e5pleados no

pueden uedarse sin tarea* al e5pleado E, s2lo se le puede asignar una tarea* ? las

tareas no se pueden co5partir/

a ( puntos Codelizar co5o un proble5a de progra5aci2n lineal entera/

b ( puntos Encontrar una soluci2n 2pti5a aplicando el CDtodo H>ngaro/

S olu c i2n !


) si se asigna al e5pleado E i la tarea F +3i+

- en caso contrarioi T )* ,* 8* &* ( +T)* ,* 8* &


' $ " 8 #

, 8 %% & %%

( ' $ " '

, 8 # $ '


33/362

Ca3 ' 3))

(38)

$3),

'38,

"

3)8

$388

83)&

"38&

#

3)(

'38(

,3,)

, 3&)

83,,

83&,

& 3,&

# 3&8

$3&& '3&(

) 3i)3i , 3i8 3i & 3i( , i )* 8* &

s/a

3,) 3) +

3,8

3,,

3, +

3,(

3,8

38 +

-

3,&

3& +

3,(

)

)

+ )* ///* (

3i+ -*) i )* ,* 8* & +

)*///* (

b Aplica5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!

F) F, F8 F& F( 7) 7,

E) %' %$ %" %8 %# C C

E) %' %$ %" %8 %# - -

E, %, %8 C %& C C C

E8 %( %' %$ %" %' C C

E8 %( %' %$ %" %' - -

E& %, %8 %# %$ %' C C

E& %, %8 %# %$ %' - -

' $ " " #


F) F, F8 F& F( 7) 7,

E) - - - ' - C C

E) - - - ' - - -

E, & ( C ( C C C %&

E8 ) , ) - ) C C

E8 ) , ) - ) - -

E& & ( , ) ) C C %)

E& & ( , ) ) - -



34/362

F) F, F8 F& F( 7) 7,

E) - - - ' - C C

E) - - - ' - - -

E, - ) C ) C C C

E8 ) , ) - ) C C

E8 ) , ) - ) - -

E& 8 & ) - - C C

E& & ( , ) ) - -


Asignaci2n 2pti5a! E) F, ? F8* E, F)* E8 F&* E& F(/

Valor 2pti5o! $","' T 8& puntos/

8/ )- puntos esuelve!

Cin ; ?) * ?, * ?8 * ?&

3) 3,)-- )

,- 3)

$3, ?) ?) )'-- ,

3) 3, ?,

?, - 8

s/a 3, ?8 3

?8 ?8

?& ?&

-* 3,

&( &

)( (

-

?i -* ?i - i )*///* &

S olu c i2n !


)


35/362

P) ≡ Cin ?+

3)+ 3,≤ )-- )

+ −s/a

,-3)+ $3,−

?)

+ ?) = )'-- ,

3)≥ -*

3,≥ -

− +

?) ≥ -* ?)≥

-


Valor 2pti5o! -

P, ≡ Cin ?−

3)+ 3,≤ )-- )

+ −

,-3)+ $3,−

?)

+ ?) = )'-- ,

3)≥ -* 3,≥ -

s/a − + ?)

≥ -* ?) = -

+ −3)− 3,− ?,

+ ?, = - 8

− +?, ≥ -* ?, ≥ -


Valor 2pti5o! -

)

,


36/362

P8 ≡ Cin ?−

3)+ 3,≤ )-- )

+

−,-3)+ $3,− ?)

+ ?) = )'-- ,

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) ≥ -* ?) = -s/a

+ −3)− 3,− ?,

+ ?, = - 8

− + ?,

= -* ?, ≥ -

+ −

3,− ?8 + ?8 = &( &

− +?8 ≥ -* ?8 ≥ -

Soluciones 2pti5as! 9

Valor 2pti5o! -

P& ≡ Cin ?−

3)+ 3,≤ )-- )

+ −

,-3)+ $3,−

?)

+ ?) = )'-- ,

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) ≥ -* ?) = -

+ −

s/a 3)− 3,− ?,

− +

+ ?, = - 8

?,

= -* ?, ≥ -

+ −3,− ?8

+ ?8 = &( &

− +

?8 = -* ?8 ≥ -

+ + − ?8

− ?& +

?& =

)( ( − +?& ≥ -* ?& ≥ -

Soluci2n 2pti5a!

Soluci2n 2pti5a! (-* (-

Valor 2pti5o! )-

+ − + −3)= (-* 3, = (-*

?)

= -*

?)

= ,--* ?, = -* ?, = -*

+ − + −?8 = (*?8

= -* ?& = -* ?& = )-

8

&


37/362

8-

&/ )- puntos En la siguiente tabla se 5uestran el con+unto de actividades ue

co5ponen un pro?ecto* así co5o su duraci2n en días ? las relaciones de

precedencia entre las 5is5as/


A 8 %

B , A

9 ' A

@ , 9

E 8 A

7 8 B

G ( 9

H ) 9

I )/( 7* H

: , I

a 9onstruir un gra=o asociado al pro?ecto ? 0allar la duraci2n prevista del

pro?ecto/ b Elaborar la tabla de actividades del pro?ecto/

c esponder a las siguientes preguntas/

i YuD ocurre con la duraci2n del pro?ecto si la actividad I se retrasa ,

días

ii Y9u4ntos días se puede retrasar la actividad @ sin ue a=ecte a la

duraci2n prevista del pro?ecto

iii YuD duraci2n debería tener la actividad B para ue =uese una actividad

crítica* si la duraci2n de las de54s actividades se 5antiene =i+a


38/362

S olu c i2n !

a El siguiente gra=o representa a este pro?ecto!

B,

'

8

#/(

78

H)

)-

(

)-/(

I)/( ))/(

#

), :,

-A8

) ,

-

89'

"

&

8 "

@, )) )&

' $

)& )&

G(

E8

@uraci2n prevista del pro?ecto d/p/p/! )& días/

9a5ino crítico! )*,*&*$

b ;a tabla de actividades correspondiente a este pro?ecto es!

i* + ti* + 9CFi* + 7CFWi* + Ci* +

A )*, 8 - 8 -W

B ,*8 , 8 #/( ,/(

9 ,*& ' 8 " -W

E ,*$ 8 8 )& $

7 8*( 8 ( )-/( ,/(

H &*( ) " )-/( -/(

@ &*' , " )& 8

G &*$ ( " )& -W

I (*# )/( )- ), -/(

7ic'*$ - )) )& 8

: #*$ , ))/( )& -/(


39/362

c

i Si la actividad I se retrasa , días* dado ue su 5argen es de -/( días* la

duraci2n prevista del pro?ecto se retrasa )/( días/

ii El 5argen de la actividad @ es de 8 días/ ;uego esta actividad se

puede retrasar 0asta 8 días sin ue la duraci2n prevista del pro?ecto se

vea a=ectada/

iii Para ue una actividad sea crítica* debe =or5ar parte de un ca5ino

crítico/ @ado ue la duraci2n de la actividad B es de , días ? su

5argen de ,/( días* su duraci2n debería ser 5a?or o igual ue &/( días

para ue =uese crítica/


40/362

88

IVESFIGA9I


41/362

8&

#(---

)-----

,

-

----

)

s/a

3)a 3

, a

C?)

C?,

3)5

C?)

3, 5 3

)b 3 ,b

3i+

C?,

C?)

C?,

- ? enteras i)* , + a* 5* b

?i -*) i )* ,

9on C positivo su=iciente5ente gr ande/

b @e=ini5os las variables de decisi2n siguientes

3i+

i

?i+

i

n>5ero de lavadoras de la ga5a + producidas en la ubicaci2n i

)* , + a* 5* b

) si se produce en la ubicaci2n i lavadoras de la ga5a +- en caso contrario

)* , + a* 5* b

) si se constru?e la =actoria de la ubicaci2n i

al a6o

zi

- en caso contrario

con iT)*,


Cin )(3)a )83

)5)-

3)b

)'3, a

),3, 5

" 3,b

,------z) )#(----z

,)------ ?

)b

s/a

3)a

3

)5

3)b ?)a

z ) ?

)a ? , a

?

)5

?

, 5

?)b

?,b

3, a

3, 5

3,b

?, a

z,

)

z)

z,

z)

z,

z)

z,

#(---

)-----

,-----

)

3

)a

3, a

3 )5

3, 5

3 )b 3

,b


42/362

8(

3i+

?i+ z

i

C?)a

C?, a

C?)5

C?, 5

C?)b

C?,b

- ? enteras

-* )

-* )

i )* , + a* 5* b

i )* , + a* 5* b

i )* ,


,/ )- puntos Una e5presa dispone de dos tipos de 54uinas A ? B/ Por cada 0ora de

traba+o en la 54uina A se obtienen ,- piezas ? 8- piezas por cada 0ora en la

54uina B/ Por 5otivos de capacidad de la e5presa no se pueden =abricar al día

54s de '-- piezas ni 5enos de ,(-/ Ade54s debido a las características de las dos

54uinas el coste por unidad producida por la 54uina A es de & X ? 8 X por

unidad producida por B/ @eter5inar las 0oras diarias 2pti5as para las dos

54uinas con las siguientes 5etas ? prioridades!

Prioridad )/ El coste total diario no supere los ,--- X/

Prioridad ,/ ;as 0oras de traba+o diarias en las 54uinas A ? B sean iguales/

Prioridad 8/ Ca3i5izar el n>5ero de piezas diarias/


43/362

S olu c i2n !


3)

n>5ero de 0oras diarias de traba+o de la 54uina A

3,

n>5ero de 0oras diarias de traba+o de la 54uina B


+ + −Cin ; ?) *

?,

+ ?, *−,-3)− 8-3,

,-3)+ 8- 3,≥ ,(- ),-3)+ 8- 3,≤ '-- , + −$- 3)+ "-3,− ?)

+ ?) = ,--- 8

s/a+ −

3

)− 3

,− ?

,

+ ?, = - &

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?i ≥ -* ?i ≥ - i = )* ,


P) ≡ Cin ?+

,- 3)

+ 8- 3,

≥ ,(- )

,- 3)+ 8- 3,≤ '-- ,

+ −s/a $-3)+ "-3,− ?)

+ ?) = ,--- 8

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) ≥ -* ?) ≥ -


Valor 2pti5o! -

)


44/362

+ −P, ≡ Cin

?,

+ ?,

,-3)+ 8-3,≥ ,(- )

,-3)+ 8-3,≤ '-- , + −$-3)+ "- 3,− ?)

+ ?) = ,--- 8

s/a 3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) ≥ -* ?) = -

+ −3)− 3,− ?,

+ ?, = - &

− +?, ≥ -* ?, ≥ -

Soluciones 2pti5as!

Valor 2pti5o! -

B (* ())/#'(*))/#'(

P8 ≡ Ca3 ,- 3)+ 8-3,

,-3)+ 8- 3,≥ ,(- ),-3)+ 8- 3,≤ '-- , + −$- 3)+ "-3,− ?)

+ ?) = ,--- 8

s/a 3)≥ -* 3,≥ - − +

?) ≥ -* ?) = -

+ −3)− 3,− ?,

+ ?, = - &

− + ?, = -* ?, = -

Soluci2n 2pti5a! ))/#'(*))/#'(

Valor 2pti5o! ($$/,(

;as 0oras 2pti5as de traba+o diarias de la 54uina A son ))/#'( ? de la 54uina Bta5biDn ))/#'(/ Se produce un euilibrio en las 0oras de traba+o al día de cada tipo

+ −de pieza* ?, = -* ?, = - / Se producir4n ,8(/8 piezas de A ? 8(,/"( piezas de B

+ −total ($$/,( con un coste de ,---X ?) = -*

?)

= - /

8/ Una e5presa va a deter5inar su política de ree5plaza5iento de euipo para los

pr23i5os & a6os/ El coste de aduisici2n del euipo para cada uno de los & a6os es

de #--- unidades 5onetarias/ ;os costes de 5anteni5iento ? el valor recuperado


45/362

cuando se ree5plaza el euipo dependen de la edad del euipo ? son los ue se

recogen en la siguiente tabla!

Edad 9oste anual de 5anteni5iento Valor r ecuper ado

) )--- &---

, )--- ,(--

8 ,--- ,---

& 8--- -

a # puntos Elaborar una red para representar las políticas de ree5plaza5iento

posibles/ 9alcular la política de ree5plaza5iento para el periodo ue 5ini5ice

el coste total neto coste de aduisici2n coste de 5anteni5iento % valor

recuperado* teniendo en cuenta ue al inicio del a6o ) se debe co5prar un

euipo nuevo ? ue al =inal del periodo no se desea tener ning>n euipo/

b 8 puntos Parece ue va a entrar en vigor una nueva legislaci2n ue va a e3igir

la revisi2n de un euipo cada dos a6os* sie5pre ue no se ree5place* con un

coste de ,--- unidades 5onetarias por revisi2n/ Y925o debe incluirse esta

in=or5aci2n en la red anterior Y9a5biaría la política de ree5plaza5iento de

coste 5íni5o obtenida en el apartado anterior

S olu c i2n !

a Se trata de un proble5a de ree5plaza5iento de euipo ue tiene co5o ob+etivo

5ini5izar el coste total a lo largo del periodo de plani=icaci2n/ Puede

representarse por la siguiente red en la ue el valor de cada arcoi* + * d i* + *

representa el coste* en 5iles de unidades 5onetarias* de 5antener un euipo

desde el co5ienzo del a6o i 0asta el co5ienzo del a6o +/ Así se tiene ue!

d )* , d ,* 8 d 8* & d &* ( # ) & &

d )*8

d ,* & d 8* ( # ) ) ,/( '/(

d )* & d ,* ( # ) ) , , "

d )* ( # ) ) , 8 )&


46/362


47/362

&-

A0ora la estrategia 2pti5a es >nica ? viene dada por el ca5ino )*8*( de la

red/ 9onsiste en transcurridos dos a6os ca5biar el euipo co5prado

inicial5ente por uno nuevo ? 5antener este >lti5o 0asta el =inal/

9oste 5íni5o! )8--- u/5/

&/ Una e5presa de transporte dispone de & ca5iones ? & rutas/ 9ada ca5i2n debe

0acer una ruta ? cada ruta debe realizarse e3clusiva5ente por un ca5i2n/ ;os

bene=icios de cada transportista para las distintas rutas dependen de las

características del ca5i2n ? de la ruta escogida ? se presentan en la siguiente tabla!

uta ) uta , uta 8 uta &

9a5i2n ) )(- ,-- 8-- )--

9a5i2n , )-- ,,- 8-- ,(-

9a5i2n 8 ,(- )&- ,&- ,&-

9a5i2n & 8-- ,(- )-- 8--

a & puntos @ecidir la ruta ue debe realizar cada ca5i2n para ue el bene=icio

total obtenido sea 543i5o/

b El co5ercial de la e5presa 0a conseguido dos nuevas rutas ? desea probarlas

durante este a6o/ ;os bene=icios obtenidos por cada ca5i2n son!

9a5i2n ) 9a5i2n , 9a5i2n 8 9a5i2n &

uta ( ,-- 8-- ,(- ,(-

uta ' ,'- ,$- ,(- 8,-

i 8 puntos 9onstruir la tabla a la ue aplicaría5os el CDtodo H>ngaro

sabiendo ue cada ca5i2n >nica5ente puede realizar una ruta ? las

nuevas rutas deben realizarse obligatoria5ente/

ii 8 puntos 9onstruir la tabla a la ue aplicaría5os el CDtodo H>ngaro

sabiendo ue se tienen ue realizar todas las rutas* cada ca5i2n puede

realizar 54s de una ruta ? tienen ue utilizarse obligatoria5ente todos los

ca5iones/ Ade54s* el ca5i2n ) podr4 realizar* co5o 5uc0o* &(- k5


48/362

diarios* los ca5iones , ? 8 podr4n realizar* co5o 5uc0o* 8-- k5 diarios

? el ca5i2n &* )'- k5 ? las rutas )* ,* 8* &* (* ' son de ))-* )(-* )8-*

)(-* ),- ? "- k5 respectiva5ente/

S olu c i2n !

a Aplica5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!

) , 8 &

9) %)(- %,-- %8-- %)--

9, %)-- %,,- %8-- %,(-

98 %,(- %)&- %,&- %,&-

9& %8-- %,(- %)-- %8--

8-- ,(- 8-- 8--

) , 8 &

9) )(- (- - ,--

9, ,-- 8- - (-

98 (- ))- '- '- %(-

9& - - ,-- -

) , 8 &

9) )(- (- - ,-- %8-

9, ,-- 8- - (- %8-

98 - '- )- )-

9& - - ,-- -

) , 8

8-

&

9) ),- ,- - )#-

9, )#- - - ,-

98 - '- &- )-

9& - - ,8- -


49/362

Asignaci2n 2pti5a! 9a5i2n ) uta 8* 9a5i2n , uta ,* 9a5i2n 8

uta )* 9a5i2n & uta &/

Bene=icio 543i5o )-#-/

b

i Aplicare5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!

) , 8 & ( '

9) %)(- %,-- %8-- %)-- %,-- %,'-

9, %)-- %,,- %8-- %,(- %8-- %,$-

98 %,(- %)&- %,&- %,&- %,(- %,(-

9& %8-- %,(- %)-- %8-- %,(- %8,-

7) - - - - C C

7, - - - - C C


ii Aplicare5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!

) , 8 & ( ' 7) 7,

9) %)(- %,-- %8-- %)-- %,-- %,'- C C

9) %)(- %,-- %8-- %)-- %,-- %,'- - -

9) %)(- %,-- %8-- %)-- %,-- %,'- - -

9, %)-- %,,- %8-- %,(- %8-- %,$- C C

9, %)-- %,,- %8-- %,(- %8-- %,$- - -

98 %,(- %)&- %,&- %,&- %,(- %,(- C C

98 %,(- %)&- %,&- %,&- %,(- %,(- - -

9& %8-- %,(- %)-- %8-- %,(- %8,- C C



50/362

IVESFIGA9I


51/362

S olu c i2n !

@e=ini5os las variables de decisi2n siguientes

3i

n>5ero de pastillas de +ab2n tipo :i producidas diaria5ente

) si se produce +ab2n del tipo :i

i )*///* &

? i - en caso contrar io

) si se 0ace la a5pliaci2nz

- en caso contrario

con i )*///* &


Ca3 )-3) )83, )(38 ))3& ,-----z

,(-3),&-3

,-- 3,

,)- 3,

,8- 38

,&- 38

)$-3&

,--3&

)(---- (----z

)'---- #----z&,3

)

3)

, 3,

&-3,

,- 38

,(38

)-3&

8(3&

),--- &---z

8--- &--- z

3)

83)

,3,

3,

838

38

3&

83&

,--- )---z

8--- (-- zs/a )

? &

?)

?)

?,

?8

) ?)

?8

z )

?&

8

3i C?i i )* ///* &

3i- ? enteras i )*///* &

?i -* ) i )* ///* &

z T -* )


,/ Una =4brica de cara5elos produce dos tipos de cara5elos 9) ? 9,/ 9ada kg de

cara5elo 9) se vende a ,-- euros ? contiene )-- g de az>car ? ,-- g de =rutas/9ada kg de cara5elo 9, se vende a 8-- euros* contiene &-- g de az>car ? &-- g de

=rutas/ ;a di=erencia entre la producci2n se5anal de 9) ? 9, no sea in=erior a ( kg/

Ade54s* el contenido de =ruta se5anal debe ser al 5enos de )'-- g/

a ( puntos Buscar las soluciones e=icientes ue 5a3i5icen el ingreso ?

5ini5icen el contenido de az>car de la producci2n se5anal/

b , puntos Se sabe ue la reducci2n de ) kg de az>car euivale a un au5ento

de , euros en los ingresos/ Codelizar sin resolver el proble5a ponderado/

)


52/362

c 8 puntos Si el coste de e5bala+e de los cara5elos es de -/) euros por kg para

los cara5elos de tipo 9) ? -/, euros por kg para 9,/ car utilizado a la

se5ana ? 5ini5ice el coste se5anal de e5bala+e/

S olu c i2n !


3iT kg de cara5elos producidos a la se5ana del tipo 9

ii


)* , /

Ca3 ,--3) 8--3, * )--3) &--3,

3)

3,

( )s/a ,--3) &-- 3, )'-- ,

)3

,-

[ = = [

'*)

$* -

)(--* )---

)'--* $--

#* ,

)-* -

,---* )(--

,---* )---

Soluciones e=icientes!

9) ? nada de 9,/

3) * - donde

3)

$ es decir* producir $ kg o 54s de

b Ca3 s/a

3 -*


53/362

) ,--3) 8--3,

,

-/)3)

[ -/&3,

c Por el teore5a de Zade0 si da5os pesos positivos a las =unciones ob+etivo*

la soluci2n 2pti5a del proble5a ponderado ser4 una soluci2n e=iciente

del

proble5a 5ultiob+etivo/

))*

,

,*8 )---

Ca3 )

,--3)

s/a

8--3,

, %)--3)

[

&--3,

)-- -/)3)

-/,3,

El proble5a lineal ueda!Ca3 %)--3

) %#--3

,

s/a [

;a soluci2n 2pti5a del proble5a ponderado es $*-/ Por lo tanto producir

se5anal5ente $ kg de 9) ? nada de 9, es una soluci2n e=iciente del

proble5a 5ultiob+etivo/

8/ 9on 5otivo del (R centenario del naci5iento de un cDlebre pintor* un i5portante

5useo 0a decidido restaurar cinco de sus obras* para lo cual 0a contratado tres

euipos de restauraci2n/ 9ada euipo 0a presentado el presupuesto de restauraci2n

para cada una de las obras* co5o se recoge en el siguiente cuadro* en 5iles

de

euros/


54/362

El pri5er euipo restaurador est4 co5puesto por seis personas* el segundo por

cuatro ? el tercero por tres/ En la restauraci2n de cada una de las obras son

necesarias dos personas/ 9ada persona de un euipo s2lo restaura una obra/

a 8 puntos YA uD tabla se debe aplicar el CDtodo H>ngaro para realizar las

cinco restauraciones* con el 5enor coste posible* teniendo en cuenta ue cada

una de ellas debe ser realizada por un >nico euipo restaurador* ? ue los tres

euipos deben participar en dic0as restauraciones

b ' puntos @ado ue el coste de restauraci2n de las cinco obras es 5u?

elevado* la directiva del 5useo decide restaurar >nica5ente tres* asignando una

>nica obra a cada euipo/ @eter5inar* aplicando el CDtodo H>ngaro* todas las

posibles asignaciones ue 5ini5icen el coste total/

S olu c i2n !

a Aplicare5os el CDtodo H>ngaro a la siguiente tabla!


55/362


56/362

&/ @ada la siguiente red!

&*&

-

)

,*,

)*-

,*,

8

,*,

&8*8

8*,

'

&*, &*8

,

,*)

8*-

(

)*)

a , puntos Indicar una cadena de origen a destino ue no sea un ca5ino ? ue

pase por el nodo (/

b & puntos Si los valores de los arcos representan la capacidad del arco izda ?

el valor del =lu+o del arco dc0a* calcular* si es posible* una cadena de

creci5iento no saturada asociada a este =lu+o/

c 8 puntos Partiendo del =lu+o dado* obtener el valor del =lu+o 543i5o/

S olu c i2n !

a ;a cadena -*,*(*&*' es una cadena ue sin ser ca5ino pasa por el nodo (/

b ;a cadena -*,*)*8*' no est4 saturada* es decir sus arcos directos no est4n

saturados ? el inverso no tiene =lu+o nulo/

c 9onsiderando el =lu+o dado* cu?o valor es '* ? la cadena de creci5iento dada en

el apartado b* el valor del =lu+o puede au5entar en!

=-* ,*)* 8* ' 5in & ,* ,*) -* 8 , )

Satura5os la cadena a6adiendo esta cantidad a los arcos directos ? rest4ndosela

a los inversos/ El resultado es el siguiente =lu+o cu?o valor es #!


57/362

(-

&*&

-

)

,*)

)*)

,*,

8

,*,

& 8*8

8*8

'

&*8 &*8

,

,*)

8*-

(

)*)

En esta nueva situaci2n todas las cadenas de origen a destino est4n saturadas*

por tanto el =lu+o ue atraviesa la red es 543i5o ? de valor V = # /

(/ , puntos E3plicar el signi=icado de co5ienzo 54s te5prano ? =inal 54s tardío de

una actividad en la plani=icaci2n de un pro?ecto/

S olu c i2n !

El co5ienzo 54s te5prano de una actividad del pro?ecto es el periodo de

tie5po 5íni5o ue debe transcurrir desde iniciado el pro?ecto para ue sean

realizadas todas sus actividades precedentes ? poder e5pezar dic0a actividad/

El =inal 54s tardío de una actividad del pro?ecto es el periodo de tie5po 543i5o

ue debe transcurrir desde iniciado el pro?ecto para ue sea realizada dic0a

actividad sin alterar la duraci2n prevista del pro?ecto/


58/362

IVESFIGA9I


59/362


Ca3 ,- ?) &- ?, ,- ?8 )( ?& 8- ?(

( ?)

?)

$ ?)

& ?,

# ?,

)- ?,

8 ?8

" ?8

, ?8

# ?&

& ?&

?&

$ ?(

' ?(

)- ?(

,( (z)

,( (z,

,( (z8

s/a z)

?

z, z8 )

) ? 8 ( ?&

?( & , ?) ?,

?i z +

-* ) i

-* ) +

)*///* (

)* ,* 8

,/ )- puntos Una e5presa posee dos cadenas de producci2n para un 5is5o artículo/

;a cadena ) produce , unidades por 5inuto con un bene=icio unitario de 8--- X*

5ientras ue la cadena , produce 8 unidades por 5inuto con un bene=icio de (---

X por unidad/ El coste de al5acena5iento por unidad asciende a )- X/

9alcular el tie5po de producci2n se5anal ue debe asignarse a cada una de las

cadenas* si la e5presa se 0a planteado las siguientes 5etas ? ob+etivos con el

siguiente orden de prioridades/

Prioridad )/ Producir al 5enos 8---- unidades se5anales/

Prioridad ,/ ;os gastos de al5acena5iento no superen los &(---- X se5anales/

Prioridad 8/ El tie5po de producci2n se5anal en la cadena ) sea al 5enos

tanto co5o en la ,* pero no 54s del triple de la ,/

Prioridad &/ Ca3i5izar el bene=icio se5anal/

S olu c i2n !


3)

5inutos de producci2n de la cadena ) a la se5ana

3,

5inutos de producci2n de la cadena , a la se5ana



60/362

− + − +Cin ; ?) * ?, *

?8

+ ?& *−'---3)−)(---3,

+ −

,3)+ 83,−

?)

+ ?) = 8---- )

+ −

)-(,3)+ 83, )− ?,

+ ?, = &(---- ,

+ −s/a

3)− 3,−

?8

+ ?8 = - 8

+ −3)− 83,− ?&

+ ?& = - &

3)≥ -* 3,≥ -

− +

P) ≡Cin ?

−

?i ≥ -*

+ −

?i ≥ - i = )*///* &

, 3)+ 83,−

?)

+ ?) = 8---- )

s/a 3)≥ -*

3,≥ -

− +?) ≥ -* ?) ≥ -


Valor 2pti5o! -

P, ≡ Cin ?+

+ −, 3)+ 83,−

?)

+ ?) = 8---- )

3)≥ -*

3,≥ -

− +s/a/ ?)

= -* ?) ≥ -

+ −

,- 3)+ 8- 3,−

?,

+ ?, = &(---- ,

− +?, ≥ -* ?, ≥ -


)

,


61/362

Valor 2pti5o! -


62/362

− +P8 ≡ Cin ?8

+ ?&

+ −

, 3)+ 83,−

?)

+ ?) = 8---- )

3)≥

-* 3,≥

- − + ?)

= -* ?) ≥ -

+ −

s/a/ ,- 3)+ 8- 3,−

?, − +

+ ?, = &(---- ,

?,

≥ -* ?, = -

+ −

3)− 3,− ?8+ ?8 = - 8

+ −

3)− 83,− ?&+ ?& = - &

− + − +?8 ≥ -* ?8 ≥ -* ?& ≥ -* ?& ≥ -

Soluciones 2pti5as! 9

Valor 2pti5o! -

P& ≡ Ca3 '---3)+)(---3,

+ −

, 3

)+ 83,−

?)

+ ?) = 8---- )

3)≥ -*

3,≥ -

− + ?)

= -* ?) ≥ -

+ −

,- 3)+ 8- 3,− ?,

+ ?, = &(---- ,

− +s/a ?,

≥ -* ?, = -

+ −

3)− 3,− ?8+ ?8 = - 8

+ −

3)− 83,− ?&+ ?& = - &

− +

?8

= -* ?8 ≥ -*

− + ?& ≥ -* ?& = -


63/362

Soluci2n 2pti5a! "---*"---

Valor 2pti5o! )$"------

;os tie5pos 2pti5os de producci2n son de "--- 5inutos se5anales en cada una de

las cadenas/ Se realizan* a la se5ana* &(--- productos no e3iste ni e3ceso ni

de=ecto en la pri5era 5eta con un gasto de al5acena5iento de &(---- X no 0a?

ni e3ceso ni de=ecto en la segunda 5eta ? un bene=icio de )$" 5illones de euros/

8/ )- puntos El due6o de un local se est4 planteando la duraci2n de los contratos de

arrenda5iento de dic0o local/ ;a tabla siguiente recoge los c4lculos de la utilidad

esperada* en cientos de euros* si se arrienda desde el inicio del a6o i 0asta el inicio

del a6o +/

i + , 8 & (

) ), ,, 8$ &-

, %% )8 ,- ,"

8 %% %% )- )"

& %% %% %% ),

El due6o uiere conocer cu4ndo arrendar ? por cu4nto tie5po para 5a3i5izar la

utilidad esperada durante los pr23i5os & a6os/

S olu c i2n !

Este es un proble5a de ree5plaza5iento de contratos para 5a3i5izar la utilidadesperada ? puede ser representado por la siguiente red* en la ue el valor de cada


64/362

(#

arco i* + indica la utilidad esperada de un contrato de arrenda5iento desde el

inicio del a6o i 0asta el inicio del a6o +/

&-8$

)",,

) -),

, ),)8

8 ,()-

& 8$), ( (-

,-

,"

Utilizando el 5Dtodo de la ruta 54s larga a la red anterior se tiene ue el ca5ino

54s largo es el )* &* ( de valor (-/

;a soluci2n 2pti5a es arrendar con un contrato desde el inicio del pri5er a6o 0asta

el inicio del cuarto a6o por tres a6os* ? luego realizar otro contrato desde el inicio

del cuarto a6o 0asta el inicio del uinto por un a6o/ ;a utilidad esperada 2pti5a es

de (--- euros/

&/ )- puntos En la siguiente tabla uedan recogidas las duraciones en días ? las

relaciones de precedencia de las actividades ue =or5an un pro?ecto!


A & %%

B ' %%

9 # %%

@ t A

E ( B*@

7 ) A

G , B*@

H 8 9* E

a Elaborar una red ue represente el pro?ecto/


65/362

b Y9u4l es la duraci2n del pro?ecto si la duraci2n de la actividad @ es 5enor de

dos días Elaborar la tabla de actividades del pro?ecto* se6alando las

actividades críticas/

c ;a actividad @ puede retrasarse 0asta \ día sin alterar la duraci2n del pro?ecto/

Y9u4l es la duraci2n de la activad @

S olu c i2n !

a

A&

,

@t

7)

B'

) 8

G,

(

9# E(H8

&

b Para t , !

A&

&,

'%t

@t

7)

- B'

)-

' G, )&8 (

' )&

9# E( H8

))&

))


66/362

Fabla de actividades!

i*+ ti* + 9CFi* + 7CFWi* + Ci* +

A )*, & - '%t ,%t

B )*8 ' - ' -W9 )*& # - )) &

@ ,*8 t t , & ' ,%t

7 ,*( ) & )& "

E 8*& ( ' )) -W

G 8*( , ' )& '

H &*( 8 )) )& -W

Actividades críticas! B* E* H/

@uraci2n prevista del pro?ecto d/p/p/! )& días/

c @el enunciado se sabe ue el 5argen de la actividad @ es -/( días ? por tanto

no es una actividad crítica/

9o5proba5os en pri5er lugar ue en esta situaci2n se cu5ple ue t, / Oa

ue para t , se tendría ue!

A&

&,

&

@t

7)

- B'

)-

&t8

&t

G, ),t(

),t

9# E(H8

"t

&

"t

Por tanto para t , * los ca5inos críticos serían! )*,*8*&*( ? )*8*&*(* ? para

t , * el ca5ino crítico sería! )*,*8*&*(/ En a5bos casos* @ sería una

actividad crítica ? por tanto su 5argen sería nulo/

;uego si el 5argen de la actividad @ es -/( días se sabe ue t

consecuencia se cu5ple ue!

, ? en

C ,* 8 , t -/( ⇒

t

)/( días/


67/362

'-

IVESFIGA9I


68/362

S olu c i2n !


3i+

unidades producidas al día de P+ en Ui i

) si se elige la ubicaci2n +

)* ,* 8 *

+

)* ,* 8

u + - en cualuier otrocaso

+ )* ,* 8

;a 5odelizaci2n del proble5a ueda co5o sigue!

Cin ;−,3))+ (3,)+ 838)+ &3),+ 83,,+ &38,+ 83)8+ '3,8+ ,388 *

+ + + +* ?) + ?, + ?8 * ?&

3))+ 3,)+ 38)≤ ,--u)3),+ 3,,+ 38,≤ &--u,3 + 3 + 3 ≤ 8--u

u)+ u, + u8 = ) + −-/(3))+ ,3,)+ 38)− ?)

+ ?) = )(- + C )− u)

+ −s/a -/(3),+ , 3,,+ 38,− ?,

+ ?, = ,(- + C )− u,

+ −-/(3)8+ ,3,8+ 388−

?8

+ ?8 = ,-- + C )− u8

+ + + + −,- ?)

+)( ?, +)- ?8 − ?& + ?& = "---

3i+ ≥ -* ? enteras i = )* ,*

8

+ = )* ,* 8

u + = -* )

+ = )* ,* 8

− +?i ≥ -* ?i ≥ - i = )* ,* 8* &


,/ )- puntos Un artista de prestigio 0a concluido & obras de arte/ ;as galerías A* B ?

9 est4n interesadas en aduirirlas ? est4n dispuestas a pagar por cada obra las

cantidades en 5illones de unidades 5onetarias ue se recogen en la siguiente

tabla!


69/362

a ' puntos @eter5inar c25o asignar4 el artista las obras de arte entre las

distintas galerías si lo ue persigue es 5a3i5izar sus ingresos/

b & puntos Codelizar e5pleando la progra5aci2n lineal entera el anterior

proble5a si* ade54s* el artista a6ade la siguiente restricci2n! las obras de arte ,

? & 0an de venderse a la 5is5a galería/

S olu c i2n !



70/362


71/362

elegido se necesita usar en cada una de las 54uinas las 0oras indicadas en la

siguiente tabla!

Pr oceso ) Pr oceso ,

C)

C,

C8

) 8

& ,

8 &

Por una unidad de producto =abricado con el proceso ) se obtienen (( euros ? con

el proceso , se obtienen #( euros/ El coste de una 0ora de 54uina es de ( euros/

9ada 54uina est4 disponible '- 0oras/

;a e5presa propone las siguientes 5etas por orden de prioridad!

Prioridad )/ 5ero de 0oras traba+adas en las 54uinas C) ? C,

coincidan/

Prioridad 8/ El n>5ero de 0oras traba+adas en la 54uina C8 no sea superior a

, veces el n>5ero de 0oras traba+adas en la 54uina C)/

Codelizar* utilizando progra5aci2n lineal* el proble5a de calcular las unidades

2pti5as ue deben asignarse a cada proceso productivo/ esolver el proble5a

rela+ado asociado/

S olu c i2n !


3)

unidades producidas con el proceso ) a la 0ora

3,

unidades producidas con el proceso , a la 0ora

;a 5odelizaci2n del proble5a rela+ado ueda co5o sigue!


72/362

− + − +Cin ; ?) *

?,

+ ?, * ?8

3)+ 83,≤ '- )&3)+ , 3,≤ '- ,83 + &3 ≤ '- 8

+ −

s/a)(3)+ 8-3,−

?)

+ ?) = 8-- &

+ −

3)+ 83,− &3)+ , 3, − ?,

+ ?, = - (

+ −83)+ &3,− , 3)+ 83, − ?8

+ ?8 = - '

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?

i ≥

-*?

i≥ -

i=

)* ,* 8El con+unto [ de soluciones =actibles del proble5a es!

P)≡

s/a

Cin ?−

3)+ 83,≤ '- )

& 3)+ ,3,≤ '- ,83 + &3 ≤ '- 8

) ,+ −

)(3)+ 8-3,− ?)

+ ?) = 8-- &

3)≥ -* 3,≥ -

− +?) ≥ -* ?) ≥ -


Valor 2pti5o! -

) ,

)


73/362

+ −P, ≡ Cin ?, + ?,

3)+ 83,≤ '- )& 3)+ ,3,≤ '- ,83 + &3 ≤ '- 8

+ −)(3)+ 8-3,− ?)

+ ?) = 8-- &

s/a3 ≥ -* 3 ≥ -

) ,

− +

?)

= -* ?) ≥ -

+ −

−83)+ 3,−

?,

+ ?, = - (

− +

?, ≥ -* ?, ≥ -


Valor 2pti5o! -

P8 ≡ Cin ?+

3)+ 83,≤ '- )& 3)+ ,3,≤ '- ,

83 + &3 ≤ '- 8

+ −)(3)+ 8-3,− ?)

+ ?) = 8-- &

s/a 3)≥ -*

?− = -*

3,≥ -

?+ ≥ -

) )

+ −−83)+ 3,− ?,

+ ?, = - (

− +

?, = -* ?, = -

+ −3)− ,3,− ?8

+ ?8 = - '

− + ?8 ≥ -* ?8 ≥ -

Soluciones 2pti5as!

Valor 2pti5o! -

,/$(#* $/(#)&*),

;a soluci2n 2pti5a 3) *

3,

del proble5a rela+ado* es decir el n>5ero 2pti5o de

unidades producida con los procesos ) ? ,* se encuentra en cualuier co5binaci2n

lineal de las siguientes soluciones =actibles! ,/$(#* $/(#)* &*), /

) ,

8

) ,


74/362

&/ )- puntos ;a siguiente red representa un pro?ecto ? los valores asignados a cada

arco las duraciones de las actividades en Dl recogidas en días/

'8 (

"#8 )-

),

) &(

)(

'

(

,

#8

$

&

$

'

a , puntos @eter5inar la duraci2n prevista del pro?ecto ? el ca5ino crítico/

b 8 puntos 9alcular todos los tie5pos 9CF* 9CFW* 7CF ? 7CFW ? el

5argen de las actividades ,*&* &*#* '*# ? '*$/

c ( puntos Se 0a de incorporar en el pro?ecto la nueva actividad ,*' con

duraci2n t ,* ' /

i Si t ,* ' )) * Yvariar4 la duraci2n prevista del pro?ecto* Yse

5odi=icar4 el 5argen de las actividades '*# ? '*$* Yen cu4nto

ii YPara uD valores de t ,* ' es la actividad ,*' crítica 9alcular para

estos valores* la duraci2n prevista del pro?ecto ? ellos ca5inos

críticos/


75/362

S olu c i2n !

a

# ' )88 (

# )8 "8

#)-

-),

)-

)(

),(

&

)$

,8 ,'# $

,8 ,'

' &

' )( $

,(

')8 )$

9a5ino crítico! )*8*(*#*$

@uraci2n prevista del pro?ectod/p/p! ,' días/

b ;a siguiente tabla recoge los tie5pos 9CF ? 7CFW de todas las actividades

ue con=or5an el pro?ecto!

i* + ti* + 9CFi* + 7CFWi* + Ci* +

)*, ' - )8 #

)*8 # - # -W

)*& ), - )$ '

)*' )( - )$ 8

,*& ( ' )$ #

8*& 8 # )$ $

8*( ' # )8 -W

&*# ( ), ,8 '

(*# )- )8 ,8 -W

(*$ " )8 ,' &

'*# & )( ,8 &

'*$ $ )( ,' 8

#*$ 8 ,8 ,' -W

8


76/362

9o5o 7CF i* + 9CF i* + t i* + * 9CF W i* + 7CF W i* + t i* + * ?

C i* + 7CF W i* + 9CF i* + t i* + se tiene ue!

7CF ,* & ' ( ))* 9CF W ,* & )$ ( )8 *C

,* & )$ ' ( #

7CF &* # ), ( )# * 9CF W &* # ,8 ( )$ *C

&* # ,8 ), ( '

7CF '* # )( & )" * 9CF W '* # ,8 & )" *C

'* # ,8 )( & &

7CF '* $ )( $ ,8 * 9CF W '* $ ,' $ )$ *

C

'* $ ,' )( $ 8

c

i Si incorpora5os una nueva actividad ,*' de duraci2n t,* ' )) * se

tiene ue!

# ' )8

8 (# )8 "

8# )-

-),

)-

)(

),(

&)$

,88

,'# $

,8 ,'

' &

' ( )# $, '

# )$))

P ' )# en vez de )(* # ? $ 5antienen su valor ? por tanto

los 54rgenes C '* # # P ' t '* # ?

C '* $ $ P ' t '* $ dis5inu?en en , días/

ii Si la actividad ,*' con tie5po t ,* ' t es crítica se tiene ue!


77/362


78/362

IVESFIGA9I


79/362


Ca3 (3) (3, )- 38 ,- ,( ?) 8( )( ?,

s/a

3) 3)

,3) 3) ?)

3,

3,

3,

,3,

?,

,38

38

38

38

)

)"-

,)-

)#-

,--

C ) ?)

C ) ?)

C ) ?,

C ) ?,

3i ?) ?,

- ? enteras i

)* -

)* -

)* ,* 8


b @e=ini5os la variable de decisi2n siguiente

z) si se =abrica P)- en caso contrario

En la 5odelizaci2n anterior debería5os a6adir las siguientes restricciones!

)- z 3, ,-

(z 3) Cz

C ) z

z -* )


,/ Una agencia de via+es est4 plani=icando un pauete de vacaciones a un destino

turístico 9/ ;os aeropuertos de salida son dos! A) ? A,/ o 0a? vuelos directos/

Posibles aeropuertos en donde se pueden 0acer cone3iones son B)* B,* B8* B&* ?

B(/ ;as plazas en clase turista disponibles en vuelos entre aeropuertos en los ue0a? tie5po su=iciente para 0acer las cone3iones se recogen en la siguiente tabla!


80/362

B) B, B8 B& B( 9

A) &( &- 8- %% %% %%

A, %% %% 8- %% %% %%B) %% %% %% ,- 8- %%

B, %% %% %% ,( %% %%

B8 %% %% %% %% 8( ,-

B& %% %% %% %% %% &-

B( %% %% %% %% %% '(

a ) punto 9onstruir una red asociada al proble5a de plani=icar c25o enviar losturistas a 9/

b " puntos ;a siguiente tabla nos indica una plani=icaci2n para enviar turistas al

destino 9/ Y9u4ntos turistas via+arían al destino 9

B) B, B8 B& B( 9

A) &( ,- ,( %% %% %%

A, %% %% 8- %% %% %%B) %% %% %% ,- ,( %%

B, %% %% %% ,- %% %%

B8 %% %% %% %% 8( ,-

B& %% %% %% %% %% &-

B( %% %% %% %% %% '-

Y9u4ntos turistas 54s se pueden enviar

S olu c i2n !

a Proble5a de =lu+o 543i5o cu?a red asociada es!

&(B)

,-

A)

&- 8-

8-C

B&&-

< B, ,( 9

C '(

B(


81/362

A, 8(

8-B8

,-

b ;a red ue representa esta plani=icaci2n es!

C*"-

A)

8-*,(

&(*&(

&-*,-

B)

8-*,(

,-*,-

B&&-*&-

<

C*8-

B,,(*,-

9

'(*'-

B(

A,

8-*8-

8(*8(

B8

,-*,-

9on esta plani=icaci2n se pueden enviar 0asta ),- turistas desde el origen 0asta

el destino 9 V =

),- /

Una cadena de creci5iento no saturada asociada a este =lu+o es


82/362

a los inversos/ El resultado es el siguiente =lu+o en el ue todas las cadenas de

origen a destino est4n saturadas* por tanto el =lu+o ue atraviesa la red es

543i5o ? de valor V =

),( turistas/

C*"(

A)

8-*,(

&(*&(

&-*,(

B)

8-*8-

,-*)(

B&&-*&-

<

C*8-

B,,(*,( 9

'(*'(

B(

A,

8-*8-

8(*8(

B8

,-*,-

8/ El @irector de personal de una e5presa uiere repartir las vacaciones de verano de

las tres personas ue co5ponen su departa5ento/ 9on el =in de realizar la

asignaci2n lo 5e+or posible 0a decidido con=eccionar un listado de pre=erencias

para los 5eses de :unio* :ulio* Agosto ? Septie5bre* co5o recoge la siguiente

tabla!

:unio :ulio Agosto Se ptie5 br e

P) ( & " %%

P, %% 8 ' #

P8 # ( ( '

Este a6o el @irector de Personal 0a decidido traer a su departa5ento una cuarta

persona de otro departa5ento para los 5eses estivales* con el =in de cubrir las

necesidades 5íni5as de su departa5ento/

a # puntos 9alcular la asignaci2n ue opti5ice el nivel de pre=erencias* si las

pre=erencias de la cuarta persona =uesen las recogidas en la siguiente tabla!


83/362

:unio :ulio Agosto

P& ' %% "

Feniendo en cuenta ue las cuatro personas 0an de dis=rutar sus vacaciones en

los 5eses de :unio* :ulio* Agosto cada uno un 5es co5pleto ? ue en cada

uno de estos tres 5eses debe 0aber al 5enos una persona de vacaciones/

b 8 puntos Habiendo encontrado otra cuarta persona* PW&* cu?a >nica

pre=erencia es traba+ar en el departa5ento de =or5a continua tres de los cuatro

5eses* al @irector de Personal no le parece 5ala idea incluir en su

plani=icaci2n ta5biDn el 5es de Septie5bre/ Plantear la tabla a la ue se le

aplicaría el CDtodo H>ngaro* para calcular la asignaci2n ue opti5ice el nivel

de pre=erencias de las cuatro personas* P)* P,* P8* PW&* si las cuatro 0an de

dis=rutar sus vacaciones en los cuatro 5eses ? cada una en un 5es di=erente/

S olu c i2n !


:unio :unio :ulio :ulio Agosto Agosto

P) %( %( %& %& %" %" "

P, C C %8 %8 %' %' '

P8 %# %# %( %( %( %( #

P& %' %' C C %" %" "

7) C - C - C -

7, C - C - C -



P) & & ( ( - -

P, C C 8 8 - -

P8 - - , , , ,

P& 8 8 C C - -

7) C - C - C -

7, C - C - C -

%,


84/362



P) & & 8 ( - - %)

P, C C ) 8 - - %)

P8 - - - , , ,

P& 8 8 C C - - %)

7) C - C - C -

7, C - C - C -


) )


P) 8 8 , & - -

P, C C - , - -

P8 - - - , 8 8

P& , , C C - -

7) C - C - C )

7, C - C - C )


Asignaci2n 2pti5a! P) Agosto* P, :ulio* P8 :unio* P& Agosto/

b Se aplica el CDtodo H>ngaro a la tabla!

:unio :ulio Agosto Septie5bre

P) %( %& %" C

P, C %8 %' %#

P8 %# %( %( %'

PW& - C C -


&/ En el siguiente gra=o est4n representadas las actividades de un pro?ecto con los

tie5pos opti5ista* 5odal ? pesi5ista en días!


85/362

B)*,*8

)

@(*'*)88

E'*'*'

&

7,*,*,

A,*8*& 9&*))*),

, (

a ( puntos @eter5inar la duraci2n 5edia esti5ada del pro?ecto* varianza de la

duraci2n del pro?ecto ? actividades críticas/ Elaborar la tabla de actividades/

b 9ontestar razonada5ente a las siguientes preguntas!

i ) punto YEn cu4ntos días se puede reducir la duraci2n 5edia de la

actividad 9 para ue la duraci2n 5edia esti5ada del pro?ecto se reduzca

en la 5is5a cantidad

ii , puntos Si se a6ade al pro?ecto inicial una nueva actividad G cu?o

precedente in5ediato es E* Ycu4ntos días co5o 5uc0o debe durar en

5edia para ue no varíe la duraci2n 5edia esti5ada del pro?ecto

calculada en el apartado a

iii , puntos Si la actividad nueva G tiene co5o precedentes in5ediatos a E? a @* Ycu4ntos días co5o 5uc0o debe durar en 5edia para ue no

varíe la duraci2n 5edia esti5ada del pro?ecto calculada en el apartado

a 9onstruir una red asociada a este nuevo pro?ecto/

S olu c i2n !

a Ba+o los supuestos del PEF se esti5a la duraci2n 5edia de cada actividad

t i*

+

&t i* + t i* +

co5o t i* +

o

5

p

'donde to representa la duraci2n

opti5ista* t5

la 5odal ? t p la pesi5ista/ O la varianza de la duraci2n de cada

, t i* + t i* +

actividad se esti5a co5o, p o

i * +

Un gra=o ue representa este pro?ecto es el siguiente* donde el valor de cada

arco es la duraci2n 5edia esti5ada de cada actividad

B,

8@#

)-8 &

& ))

E'7,

- ) A8

/'


86/362

- 8,

8 9)-)8

(

)8

@uraci2n 5edia esti5ada del pro?ecto! )8 días

9a5ino 9rítico! )*,*(

Varianza esti5ada de la duraci2n del pro?ecto!

& , ), & )#

'

'

"

Fabla de actividades!

i* + t i* + 9CFi* + 7CFWi* + Ci* +

A )*, 8 - 8 -W

B )*8 , - & ,

7ict ,*8 - 8 & )

9 ,*( )- 8 )8 -W

@ 8*& # 8 )) )

E 8*( ' 8 )8 &

7 &*( , )- )8 )

b

i Se puede reducir 9 0asta ) día/ A partir de auí el pro?ecto durar4* en

5edia* ), días ?a ue aparece un nuevo ca5ino crítico

ii 9o5o 5uc0o debe durar en 5edia & días* ?a ue este es el 5argen de la

actividad E/

, , ,F t A t 9

, ,


87/362

$-

iii 9o5o 5uc0o 8 días* ?a ue su co5ienzo 54s te5prano es el día )- un

día 54s tarde ue en el apartado ii ? uere5os ue su =inal 54s tardío

sea el día )8

B,

8

@#

)-

8 &

E'7,

-) A8

8,

9)-

)-G(

)8'


88/362

IVESFIGA9I


89/362

P

8 ] , * 8 z

)$

3)

)

P&

9ota T %%%3) ,

P)

&)*8 z

&)#

9ota T )#

Fer5inal

3, ,

), *$]

8

z)

)#/888

9ota T %%% 3, 8

P8 P,

88 * , z

8)'

9ota T )'

Fer5inal

In=actible

Fer5inal

P)

P8


90/362

P&

Soluci2n 2pti5a!

Valor 2pti5o! )#

)* 8

,/ Una e5presa de auto5oci2n produce un artículo dirigido al 5ercado de Jpri5er

euipoK* cu?o bene=icio unitario es de N unidades 5onetarias/ @ic0a e5presa se

est4 planteando introducir su artículo en el 5ercado de Jpiezas de reca5bioK* ?a

ue el bene=icio unitario de su producto se duplica en dic0o 5ercado/ ;a @irecci2n

de la E5presa no se plantea au5entar su capacidad actual de producci2n ue

asciende a un 543i5o de $-- piezas diarias/

a ( puntos Para un pri5er acerca5iento a dic0o 5ercado ? por te5or a perder

la clientela actual* la Gerencia de la E5presa 0a decidido destinar diaria5ente

a Jpri5er euipoK al 5enos el #(^ de la producci2n total ? al 5enos )'-

unidades al 5ercado Jpiezas de reca5bioK/

Codelizar ? deter5inar* resolviendo el proble5a rela+ado* la cantidad diaria

ue se debería destinar a cada uno de los dos 5ercados con los ob+etivos de

5a3i5izar los bene=icios ? destinar la 5a?or cantidad posible de artículos al

5ercado de Jpri5er euipoK/

b ( puntos Un posible cliente del 5ercado de Jpiezas de reca5bioK 0a re5itido

a la @irecci2n de la E5presa un pedido de )$- unidades diarias de 5odo ue la


91/362

Gerencia de la E5presa 0a decidido replantearse la situaci2n con las siguientes

5etas ? ob+etivos* con el siguiente orden de prioridades!

Prioridad )/ ;a cantidad de artículos destinados diaria5ente a Jpri5er

euipoK no sea in=erior al #(^ de la producci2n total/

Prioridad ,/ ;a cantidad de artículos destinados diaria5ente a Jpiezas de

reca5bioK per5ita satis=acer las necesidades del nuevo cliente/

Prioridad 8/ ;a cantidad de artículos destinados diaria5ente a Jpiezas de

reca5bioK no sea superior al ,-^ de la producci2n total/

Prioridad &/ C43i5o Bene=icio/

9alcular* resolviendo el proble5a rela+ado correspondiente* la cantidad diaria

ue se debería destinar a cada uno de los dos 5ercados ? realizar un an4lisis

detallado de la soluci2n obtenida/

S olu c i2n !


3)

unidades diarias destinadas a Lpri5er euipoL

3,

unidades diarias destinadas a Lpiezas de ree5plaza5ientoL

;a 5odelizaci2n ueda co5o sigue!Ca3 3)

N3)

3,

,N 3, * 3)

$--

s/a 3) 3,

3)

-/#( 3)

)'-

-* 3,

3,

- ? enteras

esolvere5os el proble5a rela+ado!

Ca3 N3) ,N 3, * 3)

3) 3,

$-- )

s/a 3)

-/#( 3) 3, ,

3, )'- 8

3) -* 3, -


92/362

VDrtices

[

VDrtices

= [

&$-*)'-

'--* ,--

'&-*)'-

$--N * &$-

)---N *

'--

Soluciones e=icientes! '--*,-- '&-*)'-

b ;a 5odelizaci2n del proble5a rela+ado ueda co5o sigue!

Cin ; ?) * ?, * ?8*

N3) ,N 3,

3) 3,

$-- )

-/,(3)

-/#(3, ?) ?) - ,

s/a 3, ?,

?, )$- 8

-/,3) -/$3, ?8 ?8 - &

3)

?i

-* 3,

-* ?i

-

- i )* ,* 8



93/362

P)≡ Cin ?−

3)+ 3,≤ $-- ) + −

s/a-/,(3)− -/#(3,− ?)

+ ?) = - ,

3)≥ -*

3,≥ -

− + ?) ≥ -* ?) ≥ -

P, ≡ Cin ?−


Valor 2pti5o! -

3)+ 3,≤ $-- )

+ −-/,(3)

− -/#(3,− ?)

+ ?) = - ,

3)≥ -* 3,≥ -

s/a − + ?)

= -* ?) ≥ -

+ −3,− ?,

+ ?, = )$- 8

− +?, ≥ -* ?, ≥ -

)

,


94/362

P8 ≡ Cin ?+


Valor 2pti5o! -

3)+ 3,≤ $-- )

+ −-/,(3)

− -/#(3,− ?)

+ ?) = - ,

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) = -* ?) ≥ -s/a

+ −3,− ?,

+ ?, = )$- 8

− + ?,

= -* ?, ≥ -

+ −−-/, 3)+ -/$3,− ?8

+ ?8 = - &

− + ?8 ≥ -* ?8 ≥ -

Soluci2n 2pti5a! ',-*)$-

Valor 2pti5o! ,-

8


95/362

P& ≡ Cin −N 3)− ,N 3,

3)+ 3,≤ $-- )

+ −-/,(3)− -/#(3,− ?)

+ ?) = - ,

3)≥ -* 3,≥ -

− +

?) = -* ?) ≥ -s/a

+ −3,− ?,

+ ?, = )$- 8

− + ?,

= -* ?, ≥ -

+ −−-/,3)+ -/$3,− ?8

+ ?8 = - &

− +?8 ≥ -* ?8 = ,-

Soluci2n 2pti5a! ',-*)$-

Valor 2pti5o! %"$-N

;a soluci2n 2pti5a consiste en destinar ',- unidades diarias a Jpri5er euipoK

? )$- a Jpiezas de reca5bioK/ ;os artículos destinados diaria5ente al Jpri5er

+ −euipoK son el ##/(^ del total producidos ?) = ,-* ?) = -/ Se satis=acen

las necesidades del nuevo cliente* )$- unidades diarias de Jpiezas de+ −reca5bioK ?, = -* ?, = -/ ;a cantidad de artículos destinados diaria5ente

a J piezas de reca5bioK es el ,,/(^ de la producci2n total* luego la 5eta

+ −asociada a la 8M prioridad no se cu5ple

543i5o es de "$-N unidades 5onetarias/

?8 = ,-* ?8 = -/ El bene=icio


96/362

8/ Un a?unta5iento uiere dise6ar el 5odo de llevar el agua desde el dep2sito

5unicipal @ a # casas rurales* no necesaria5ente de =or5a directa* con el 5enor

coste posible/ ;as posibles conducciones entre los dep2sitos ? las casa con sus

costes correspondientes* en unidades 5onetarias* vienen recogidas en la siguiente

tabla!

@ 9) 9, 98 9& 9( 9' 9#

@ %% )- ), )& %% %% %% %%

9) %% %% %% 8 %% %% %%

9, %% %% , & %% %%

98 %% %% 8 %% %%

9& %% 8 ( '

9( %% # (

9' %% &

9# %%

Por e+e5plo* realizar una conducci2n entre la casa , ? la casa ( tiene un coste de &

unidades 5onetarias/

a " puntos 9alcular todas las =or5as posibles de establecer las cone3iones para

ue el coste total sea 5íni5o/

b ) punto Si en lugar de # casas tene5os $ casas* Ycu4ntas conducciones se

necesitarían azonar la respuesta/

S olu c i2n !

a Proble5a del 4rbol de e3pansi2n 5ini5al cu?a red asociada es!


97/362

"-

9) 8

)-

,),

@ 9,

&

(9& 9'

'8

&

#

)& 9( 9#(

8

98

n el coste ? aplica5os el

algorit5o de Nruskal/ Se tienen dos soluciones 2pti5as cu?o coste total

5íni5o es de 8- unidades 5onetarias/

Soluci2n 2pti5a A!

9) 8

)-

,),

@ 9,

&

(9& 9'

'8&

#

)& 9( 9#(

8

98


98/362

Soluci2n 2pti5a B!

9)8

)-

,),

@ 9,

9&

(

9'

'8

&

& #

)&9( 9#

(

8

98

b Se sabe ue* dado un subgra=o G_ de un gra=o no dirigido G de n nodos* si G_

es un 4rbol de e3pansi2n entonces G_ tiene n%) aristas/

Ve5os ue en el apartado anterior las soluciones 2pti5as tienen # cone3iones*

una 5enos ue el n>5ero de nodos/ Si en lugar de # casas tene5os $* entonces

todas las soluciones 2pti5as tienen $ cone3iones/

&/ & puntos En la siguiente tabla se encuentran representadas las di=erentes

actividades ue co5ponen un pro?ecto ? las relaciones de precedencia entre las

5is5as/

Actividades A B 9 @ E 7 G H I : N ; C

Precedentes

In5ediatas

% % A A A B B @* E* 7 9* @ @ @ @ I* :

Elaborar una red ue represente a este pro?ecto/


99/362

S oluci2n!

I

' #

C9

:@ N

, & $

EA ;

)H

"(

B 7

G

8

(/ ' puntos Sean tres actividades ue vienen representadas en una red por los arcos

8* $* &* $ ? &* "/ Sabiendo ue!

las tres tienen una duraci2n de dos se5anas*

la actividad &*$ debe estar =inalizada al de ,- se5anas de iniciado el pro?ecto

si se desea cu5plir con la duraci2n prevista del pro?ecto*

la actividad &*$ puede retrasarse 0asta 8 se5anas sin ue se retrase la

duraci2n prevista del pro?ecto/

9ontestar razonada5ente a las siguientes cuestiones!

a Y9u4l es el co5ienzo ? el =inal 54s te5prano de la actividad &*"

b Y9u4l es el co5ienzo ? el =inal 54s tardío de la 8*$

S olu c i2n !

Se sabe ue!

t 8* $ t &* $ t &* " ,

7CF W &*$

$ ,-

C &* $ $ P & t &* $ ,- P & , 8

⇒

P & )(


100/362

8,

$

,-

,

)(,& "

a 9CF &* " P & )( ? 7CF &* " 9CF &* " t &* " P & , )#/

b 7CF W 8*

$ $ ,- ? 9CF W 8* $ 7CF W 8*

$

t 8* $ ,- , )$/


101/362

IVESFIGA9I5ero total de personas

atendidas/

b & puntos Se 0a au5entado el presupuesto diario a 8,-- X/ El 0ospital tiene

ue decidir entre abrir un cuarto servicio 5Ddico con ( nuevos 5Ddicos ? con

un coste por paciente de ,, X]día* o au5entar en dos 5Ddicos cada uno de los

servicios ?a e3istentes/ Plantear el proble5a* co5o un proble5a de

progra5aci2n lineal entera* para encontrar cu4ntos pacientes deben ser

atendidos diaria5ente en cada servicio* con el ob+etivo de 5a3i5izar el

n>5ero total de personas atendidas/

S olu c i2n !


3i n>5ero de pacientes diarios atendidos por el Servicio i * iT)*,*8


Ca3

s/a

3)

3)

3,

38

3, 38

)--

'-

&-

)- 3) 3)

,-3,

3, ,38

,(38 ,&--

3) -* 3, -* 38 - ? enteras

b @e=ini5os las variables de decisi2n siguientes


102/362

3&

n>5ero de pacientes diarios atendidos por el Servicio & *

) si se abre el Servicio &z

- no se abre el Servicio &


Ca3 3) 3, 38 3&

s/a

3)

3,

38 3&

)-- ,-) z

'- ,-) z

&- ,-) z

(-z

)-3) 3)

,- 3,

3, , 38

,(38 ,, 3& 8,--

3) -* 3, -* 38 -* 3& - ? enteras z T -* )

,/ Una e5presa desea cubrir un puesto de traba+o con personal eventual durante los

pr23i5os & 5eses/ Para ello utiliza una e5presa de traba+o te5poral ue cobra ,--

euros por cada persona contratada/ El pri5er 5es* la e5presa contrata una persona

? a principios de los siguientes 5eses decide si contrata una nueva persona o sigue

con la contratada anterior5ente/ Se conoce ue el sueldo del pri5er 5es traba+ado

es de "-- euros ? la ganancia proporcionada a la e5presa es de ,---/ El segundo

5es traba+ado el e5pleado tendr4 un sueldo de )--- euros proporcionando una

ganancia de ,)--/ Si el e5pleado traba+a tres 5eses o 54s tendr4 un sueldo de

))-- el tercer

ejercicios resueltos de iop

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