Ejercicios resueltos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias UFRO

Prólogo

Cuando un alumno cursa una asignatura, en este caso, Ecuaciones Diferenciales, loque se espera básicamente de él es, primero, que logre una comprensión adecuada de losconceptos centrales de la asignatura y segundo, que sea capaz de aplicar este conocimientoa la resolución de problemas.

Para alcanzar el primer objetivo se espera que un buen estudiante asista y participeregularmente en las clases llamadas de cátedra y consulte los muy buenos textos que tiene adisposición en la biblioteca. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en laresolución de los problemas mismos no son claras para el alumno y se le dificulta alcanzarel segundo objetivo, pues los textos generalmente ponen el énfasis en los conceptos y losproblemas resueltos que contienen son más bien simples.

Este texto está pensado como una herramienta que ayude al alumno que ya haestudiado y entendido un tema dado, a que logre una destreza adecuada en la resolución deproblemas y sus aplicaciones. Por lo mismo, cada tema contiene al principio solo unresumen de las definiciones y teoremas más importantes, y luego, una cantidad deproblemas de diversos grados de dificultad, muchos de los cuales se han propuesto enalguna prueba o examen de la asignatura en semestres anteriores. Finalmente, incluimosuna selección de preguntas de alternativa.

Indice

I Ecuaciones de primer orden ................................................................................... Þ " Problemas resueltos .................................................................................... 6

II Aplicaciones de ecuaciones de primer orden ....................................................... 19Þ Problemas resueltos .................................................................................. 1#

III Ecuaciones de orden superior ............................................................................... 39Þ Problemas resueltos .................................................................................. 48

IV Sistemas de ecuaciones .......................................................................................... 83Þ Problemas resueltos ................................................................................... 87

V Transformada de Laplace ..................................................................................... 105Þ Problemas resueltos .................................................................................. 09"

VI. Prueba de Alternativas ......................................................................................... 130

1

ECUACIONES DIFERENCIALESDE PRIMER ORDEN

Definición.

Una es cualquier relación en la que interviene una o más variables ecuación diferencial dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o más variablesindependientes.

Una ecuación diferencial es una si en ella intervienenEcuación Diferencial Ordinaria sólo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, decimos que la ecuacióndiferencial es una .Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales

El de una ecuación diferencial está dado por la derivada de orden más alto queordenaparezca en ella.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden se representa mediante la identidad8JÐBß Cß C ßá ß C Ñ œ !Þw Ð8Ñ

Solución ( o integral) de una ecuación diferencial ordinaria.

Una función real con al menos derivadas definida en un intervalo es unaC œ ÐBÑ 8 M:solución explícita de la ecuación en si y sólo siJÐBß Cß C ßá ß C Ñ œ ! Mw Ð8Ñ

J ÐBß ÐBÑß ÐBÑßá ß ÐBÑÑ œ !: : :w Ð8Ñ .

Una relación es una de la ecuaciónKÐBß CÑ œ ! solución implícitaJÐBß Cß C ßá ß C Ñ œ ! M C œ ÐBÑw Ð8Ñ en si y sólo si existe al menos una función que:satisface la relación y la ecuación diferencial en .K M

Por lo general una solución de una ecuación diferencial tiene una o más constantesarbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuación, es decir, es una familia -8paramétrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos unasolución particular de la ecuación. Si toda solución de la ecuación se obtiene asignandovalores a las constantes de la familia -paramétrica, decimos que ella es la 8 solucióngeneral solución singular de la ecuación. Una es una solución de la ecuación diferencialque no puede obtenerse asignándole valores a las constantes de la familia -paramétrica de8soluciones.

ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

2

Definición.

Un es una ecuación diferencial para la cual seProblema de valor inicial (P.V.I.)especifican los valores e la función y algunas de sus derivadas en cierto punto llamadopunto inicial. Un es una ecuación diferencial en laProblema de contorno o de fronteracual se dan valores por lo menos para dos puntos de la función o alguna de sus derivadas.

P.V.I. de primer orden. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema de Picard.

Si y son funciones de dos variables continuas sobre un rectángulo cerrado0ÐBß CÑ 0 ÐBß CÑC

V ÐB ß C Ñ V, entonces por cada punto del interior de pasa una y sólo una curva integral (o! !

curva solución) de la ecuación C œ 0ÐBß CÑÞw

Variables Separables.

Toda ecuación que se puede escribir de la forma se resuelve por1ÐCÑ .C œ 2ÐBÑ .Bintegración directa.

Ecuaciones exactas.

Sean y funciones de dos variables continuas y con primeras derivadas parcialesQ Rcontinuas en una región abierta del plano .V \]

Toda ecuación de la forma es una ecuación exacta si y sólo siQÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !existe una función de dos variables tal que y .J J ÐBß CÑ œ QÐBß CÑ J ÐBß CÑ œ RÐBß CÑB C

Una ecuación es exacta si y sólo si Q ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑÞC B

La solución de la ecuación diferencial exacta está dada por , dondeJÐBß CÑ œ G

JÐBß CÑ œ QÐBß CÑ.B 1ÐCÑ œ RÐBß CÑ.C 2ÐBÑÞ' 'Factor Integrante.

Si una ecuación no es exacta, a veces es posible transformarla en exacta multiplicando porun factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, . En tal caso, debe cumplirse:.ÐBß CÑ

. . .C B B CQ R œ ÐR Q Ñ

Ecuaciones Diferenciales de primer orden

3

Caso 1: Si es una función que sólo depende de , entonces el Factor Integrante es. B

/' 2ÐBÑ.B "R, donde .2ÐBÑ œ ÐQ R ÑC B

Caso 2: Si es una función que sólo depende de , entonces el Factor Integrante es. C

/' 2ÐCÑ.C "Q, donde .2ÐCÑ œ ÐR Q Ñ B C

Caso 3: Si con entonces el Factor Integrante es ,?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß D œ B Cß /' 2ÐDÑ.Ddonde 2ÐDÑ œ Þ

R QQRB C

Caso %: Si con entonces el Factor Integrante es ,?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß D œ B Cß /' 2ÐDÑ.Ddonde 2ÐDÑ œ Þ

Q RQRC B

Caso &: Si con entonces el Factor Integrante es , donde?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß D œ B † Cß /' 2ÐDÑ.D2ÐDÑ œ Þ

R QBQCR

B C

Ecuaciones lineales.

Una ecuación lineal de primer orden es de la forma , con y C TÐBÑ C œ UÐBÑ T Uw

funciones continuas en un intervalo abierto de . Su solución es:‘

CÐBÑ œ / ÐG UÐBÑ / .BÑ TÐBÑ.B T ÐBÑ.B' ''

Ecuaciones de coeficientes homogéneos.

Una ecuación diferencial de la forma se dice (deQÐBß CÑ .B RÐBß CÑ .C œ !coeficientes) homogénea(os) si existe un número real tal que y! ! ! !QÐ Bß CÑ œ QÐBß CÑ8

RÐ Bß CÑ œ RÐBß CÑ! ! !8 .

En este caso, se hace la sustitución , obteniéndose la ecuación de variablesC œ ?Bseparables:

.BB QÐ"ß?Ñ?RÐ"ß?Ñ

RÐ"ß?Ñ .?œ

Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de la forma y y funcionesC TÐBÑC œ UÐBÑC ß 8 − T Uw 8 ‘continuas en un intervalo abierto de , se conoce como ecuación de Bernoulli. La‘sustitución transforma la ecuación en una ecuación lineal y su solución es:D œ C"8

C œ / ÐG Ð" 8ÑU/ .BÑÐ"8Ñ Ð"8ÑT.B Ð"8ÑT.B' ''


4

Ecuaciones de la forma C œ 0Ð+B ,C -ÑÞw

Mediante la sustitución la ecuación se transforma en una ecuación deD œ +B ,C -variables separables y su solución es:

.B œ .D, 0ÐDÑ+

Ecuaciones de la forma C œ 0 Þw Š ‹+ B, C-+ B, C-" " "

# # #

Caso 1: Si la ecuación es de coeficientes homogéneos.- œ - œ !" #

Caso 2: Si , se obtiene por lo que la ecuación se+ , œ + , + B , C œ 5Ð+ B , CÑ" # # " # # " "

transforma en una ecuación de la forma C œ 1Ð+ B , CÑÞw" "

Caso 3: Si se utiliza la sustitución , donde y se+ , Á + , ? œ B 2ß @ œ C 5 2 5" # # "

obtienen resolviendo el sistema: + 2 , 5 - œ !

+ 2 , 5 - œ !" " "

# # #

Mediante la sustitución dada se obtiene una ecuación de la forma que.@.? + ?, @

+ ?, @œ 0Š ‹" "

# #

es una ecuación de coeficientes homogéneos.

Ecuación de Riccati.

Una ecuación de la forma con y funcionesC TÐBÑC UÐBÑC VÐBÑ œ ! T ß U Vw #

continuas en un intervalo abierto de , se conoce como ecuación de Riccati. Si se conoce‘

una solución particular de esta ecuación, la sustitución , transforma laC ÐBÑ C œ C " ""D

ecuación original en la ecuación lineal:

D ÐT ÐBÑ #C UÐBÑÑD œ UÐBÑw"

La sustitución C œ :Þw

Hay varias maneras en que esta sustitución puede ser útil. A veces, permite transformar laecuación diferencial en una ecuación algebraica a la cual es posible encontrar sus raíces.Esto generalmente lleva a resolver varias ecuaciones diferenciales más sencillas, todas ellassolución de la ecuación diferencial original.

En otros casos, la sustitución permite cambiar las variables involucradas derivandoC œ :w

con respecto a o según convenga. Ver, por ejemplo, el problema 18.Bß C :


5

Ecuación de Clairaut.

Una ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma . SuC œ BC 0ÐC Ñw w

solución general es . Haciendo la sustitución , se obtiene la soluciónC œ -B 0Ð-Ñ C œ :w

singular de la ecuación de Clairaut:

œ C œ :0 Ð:Ñ 0Ð:ÑB œ 0 Ð:Ñ

w

w

Sustituciones usando diferenciales.

A veces es posible usar fórmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustituciónadecuada para resolver una ecuación diferencial. Algunas de estas fórmulas diferencialesson:

.ÐB CÑ œ .B .C .ÐBCÑ œ C .B B.C

.Ð Ñ œ .ÐB C Ñ œ #B.B #C .CBC C

C .BB.C# # #

.Ð+<->+8Ð ÑÑ œ .Ð68Ð ÑÑ œB BC B C C BC

C .BB.C C .BB.C# #


6

Ejercicios resueltos

"Þ C BC œ +Ð" B C Ñß CÐ"Ñ œ #+Þ Resolver el P. V. I. w # w

Ordenando la ecuación tenemos y usando fracciones parciales:.CC+ B+B

.Bœ # .C

C+ B +B"+œ Ð .B1 Ñ Þ

Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos:

68ÐC +Ñ œ 68B 68Ð+B "Ñ 68G

Usando las propiedades del logaritmo: C + œ G B+B" Þ

Reemplazando las condiciones iniciales, .G œ +Ð+ "Ñ

Así, la solución del P.V.I. es .CÐBÑ œBÐ#+ +Ñ+

+B"

#

#Þ ÐB #C %Ñ Ð#B C #ÑC œ ! Resolver la ecuación .w

Reoordenando la ecuación tenemos: . C œw #CB%#BC#

Intersectando las dos rectas involucradas , obtenemosB #C % œ !#B C # œ !

B œ !ß›C œ # ? œ B ß @ œ C #, por lo que hacemos la sustitución , y obtenemos laecuación homogénea: ,.@ #@?

.? #?@œ

Mediante la sustitución tenemos e integrando por@ œ D?ß œ .Dß.? #D? D "#

fracciones parciales obtenemos:

." $# #68 D " 68 D " œ 68? 68G¸ ¸ ¸ ¸

Utilizando las propiedades de logaritmo, Ê D"D"a b$ œ G?Þ

Así, la solución en las variables iniciales es : Ê B C#B BÐC#BÑ

# # $

$ œ GBÞ


7

$Þ œ ß CÐ"Ñ œ /Þ Resolver el P.V.I. .C.B B

C Ð68 C 68B"Ñ

Sea . Entonces, C œ ?B C œ ? B ?Þw w

Reemplazando, , es decir ? B ? œ ?Ð68 ? "Ñ ? B œ ? 68?Þw w

Se trata de una ecuación de variables separables, por lo que escribimos:

..? .B? 68 ? Bœ

Integrando, 68Ð68 ?Ñ œ 68B 68G Ê 68? œ G B Ê 68 C œ G B 68BÞ

Como tenemos que .CÐ"Ñ œ /ß G œ "

Así, la solución del P.V.I. es: C œ B / ÞB

Otra forma de resolver este problema es escribir la ecuación como:

C Ð68 Ð Ñ "Ñ.B B.C œ ! CB

y mostrar que se trata de una ecuación homogénea (pues y son funcionesQ Rhomogéneas de grado 1). Entonces y QÐ"ß ?Ñ œ ?Ð68 ? "Ñ RÐ"ß ?Ñ œ "Þ

De aquí obtenemos como antes..B .?B ? 68 ?œ

%Þ BC œ C BC " ß CÐ!Ñ œ ! Resolver el P.V.I.: .w È Hacemos la sustitución . Entonces .? œ BC " ? œ C BCw w

Reemplazando en la ecuación, , o equivalentemente,? C œ C ?w È.??È œ .B.

Luego, , es decir, .# ? œ B G # BC " œ B GÈ ÈReemplazando la condición inicial, y tenemos que la solución de laG œ #ecuación es:

.# BC " œ B #È


8

&Þ @ œ C =/8B Usar la sustitución para resolver la ecuación:È C œ C =/8B -9= Bw È

Analicemos primero el caso .@ Á !

@ œ C =/8B Ê œ Ê C œ #@ -9= B ÞÈ .@ [email protected] #@ .B

C -9=Bww

Reemplazando en la ecuación, . Como obtenemos , de#@ œ @ @ Á !ß # .@ œ [email protected]

donde , es decir:#@ œ B G

# C =/8B œ B G C œ ÐB GÑ =/8BÈ , o bien "%

#

Ahora, si también es solución de la ecuación pues@ œ !ß C œ =/8BC œ -9= B C œ =/8Bw . Por lo tanto, corresponde a una solución singular de laecuación. Note que por el Teorema de Picard hay una única solución que pasa porcualquier punto de a excepción de los puntos para los cuales‘# ÐBß CÑC œ =/8B.

'Þ .B Ð$/ #BÑ.C œ ! ß CÐ "Ñ œ !Þ Resolver el P.V.I.: C

Como la ecuación no es lineal en la variable , pero sí en la variable , escribimos:C B.B.C #B œ $/C

De aquí, , y la solución es:TÐCÑ œ #ß UÐCÑ œ $/C

B œ / Ð $/ / .C GÑ œ / Ð/ GÑ#C C #C #C $C'Reemplazando la condición inicial obtenemos , por lo que la soluciónG œ #del P.V.I. es : B œ / #/C #C

Un segundo método es buscando un factor integrante:

Como , tenemos que es un F.I. R QQ "

#B C œ / œ /# .C #C'

La ecuación es exacta./ .B / Ð$/ #BÑ.C œ !#C #C C

J ÐBß CÑ œ / .B œ B/ 1ÐCÑÞ' #C #C

Como , ,J œ R J ÐBß CÑ œ #B/ 1 ÐCÑ œ #B/ $/C C#C w #C $C


9

de donde . Luego 1 ÐCÑ œ $/ 1ÐCÑ œ / GÞw $C $C

Por lo tanto, la solución general es , que es equivalente a laB/ / œ G#C $C

anterior.

(Þ .B #C Ð68 $=/8 CÑ .C œ ! Resolver la ecuación: $CBÐB$Ñ B$

&B#

Q ÐBß CÑ œC'C

BÐB$Ñ y

R ÐBß CÑ œ #CÐ Ñ œ œ ÞBB$ "&&B ÐB$Ñ ÐB$Ñ &B BÐB$Ñ

&ÐB$Ñ&B #C 'C† †#

Luego la ecuación es exacta y:

JÐBß CÑ œ .B œ $C .B œ C 68 1ÐCÑ' '$CBÐB$Ñ $ B B$ B$

" " " B#

# #Ð Ñ

Como ,J œ RC

J ÐBß CÑ œ #C 68 1 ÐCÑ œ #CÐ68 $=/8 CÑÞCwB &B

B$ B$

Luego, , de donde1 ÐCÑ œ #C 68 & 'C =/8 Cw

1ÐCÑ œ C 68 & ' C=/8 C .C Ê 1ÐCÑ œ C 68 & 'Ð C -9= C =/8 CÑ G # #'Así, la solución general de la ecuación es:

C 68 'C -9= C '=/8 C œ G# &BB$

)Þ Ð#C $BÑ.B #BC .C œ ! Resolver la ecuación: .#

QÐBß CÑ œ #C $B Ê Q ÐBß CÑ œ %CRÐBß CÑ œ #BC Ê R ÐBß CÑ œ #C

Q Á R#

C

BC B

.

La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante:

Q RR #BC B

#C "C B .BBœ œ B œ B, sólo depende de . Luego, es factor integrante./'

Ahora, la ecuación es exacta.Ð#BC $B Ñ.B #B C .C œ !# # #


10

JÐBß CÑ œ #B C .C œ B C 2ÐBÑ J œ Q À' # # #B y como

J ÐBß CÑ œ #BC 2 ÐBÑ œ #BC $B ÞB# w # #

Luego, 2ÐBÑ œ B GÞ$

Así, la solución de la ecuación es B C B œ GÞ# # $

*Þ ÐC C -9= BCÑ.B ÐB B -9= BCÑ.C œ ! Resolver

Caso 1: Dividiendo por , obtenemos la ecuación" -9= BC Á !Þ " -9= BCC.B B.C œ ! BC œ G Þ cuya solución es

Caso 2: , que está incluida en la solución anterior," -9= BC œ !ß BC œ Ð#5 "Ñ1por lo que la solución de la ecuación es .BC œ G

Un segundo método es mostrar que la ecuación es exacta:

Q ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑ œ " -9= BC BC =/8BCC B

Entonces, JÐBß CÑ œ ÐC C-9= BCÑ.B œ BC =/8BC 1ÐCÑÞ'Como , .J œ R B B -9= BC 1 ÐCÑ œ B B -9= BCC

w

Esto significa que , es decir es constante y la solución general de la1 ÐCÑ œ ! 1w

ecuación es .BC =/8BC œ G

Aparentemente, esta solución es distinta de la que obtuvimos con el primer método.Sin embargo, notemos que si , entonces , esBC œ G BC =/8BC œ G =/8Gdecir, constante. Por otro lado, la función es estrictamente0ÐDÑ œ D =/8 Dcreciente, pues y es igual a sólo en puntos aislados. Eso0 ÐDÑ œ " -9= D ! !w

significa que es inyectiva, por lo que implica que es constante. Por0 0ÐDÑ œ G Dlo tanto, implica , por lo que ambas soluciones sonBC =/8BC œ G BC œ G!

equivalentes.Otro método de solución es usar el hecho que la diferencial de un producto es.ÐBCÑ œ C .B B.C ? œ BC, por lo que haciendo la sustitución , obtenemosÐ" -9= ?Ñ .? œ ! ? =/8? œ G, es decir, , que corresponde a la soluciónanterior.


11

"!Þ CÐ'C B "Ñ.B #B.C œ ! Resolver la ecuación: #

La ecuación se puede escribir como , la que corresponde aC C œ Cw $B" $#B B

una ecuación de Bernoulli cuya solución es:

, es decir, C œ / G ' .B œ G '/# B .B' B"B

B"B .B

# BÒ Ó Ò Ó' / " "B C B/

'

Por lo tanto, la solución de la ecuación es C œ „ ÞÉ B/G'/

B

B

""Þ CÐ" #B / C Ñ.B B.C œ ! ß B !ß C ! Dada la ecuación diferencial .$ #B #

Encontrar una función y una constante tal que sea un+Ñ 2ÐBÑ , ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC. ,

factor integranteÞ

Multiplicando la ecuación por el factor integrante tenemos que:

QÐBß CÑ œ Ð" #B / C Ñ2ÐBÑC$ #B # ,"

Q ÐBß CÑ œ Ð, "Ñ2ÐBÑÐ" #B / C ÑC %B / 2ÐBÑCC$ #B # , $ #B ,#

RÐBß CÑ œ B2ÐBÑC,

R ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC B2 ÐBÑCB, w ,

Calculamos la diferencia y la igualamos a para que la ecuación seaQ R !C B

exacta:

Q R œ C Ð, "Ñ2ÐBÑÐ" #B / C Ñ %B / 2ÐBÑC 2ÐBÑ B2 ÐBÑC B, $ #B # $ #B # wÒ Ó

œ C 2ÐBÑÐÐ, "ÑÐ" #B / C Ñ %B / C "Ñ B2 ÐBÑ, $ #B # $ #B # wÒ Ó

œ C 2ÐBÑÐ, #Ð, $ÑB / C Ñ B2 ÐBÑ, $ #B # wÒ Ó Podemos elegir y entonces , œ $ $2ÐBÑ B2 ÐBÑ œ !Þw

Para encontrar debemos resolver la ecuación diferencial:2ÐBÑ

.2 ÐBÑ2ÐBÑ B

$w

œ

Luego , de donde es el factor integrante buscado2ÐBÑ œ B ÐBß CÑ œ B C Þ$ $ $.


12

Encontrar la solución general de la ecuación.,Ñ

Multiplicando por el factor integrante que encontramos en la parte obtenemos la+Ñecuación:

(B C #/ Ñ.B B C .C œ !Þ$ #B $2 2

Entonces JÐBß CÑ œ B C .C œ B C 1ÐBÑÞ' $ #"#

2 2

Ahora, , luego , es decir,J œ Q J ÐBß CÑ œ B C #/B B$ #B2

B C 1 ÐBÑ œ B C #/ # w $ #B3 2

De aquí, y por lo tanto de donde la solución de la1 ÐBÑ œ #/ 1ÐBÑ œ /w #B #B

ecuación es:

B C / œ GÞ"#

# #B2

Determinar la solución particular que verifica y el intervalo-Ñ CÐ#Ñ œ /$

# #È #

máximo donde ella está definida.

Utilizando la condición inicial, tenemos que .G œ /)*%

Luego la solución particular es , lo que es equivalente a B C / œ /" )# *

# #B %2

CÐBÑ œ "

B #/ /É #B %"'*

Þ

Para encontrar el intervalo máximo donde está definida la solución, debemosconsiderar À

B Á ! • #/ / !#B %"'*

Resolviendo la desigualdad, Luego, el intervalo buscado esB # 68 Þ" )# *‘ # 68 ß _" )

# * .

"#Þ C Ð" ÑC ÐB Ñ/ œ ! Resolver la ecuación: y probar que hay dosw B" "B B

soluciones particulares para la ecuación tales que una es la derivada de la otra.

Como la ecuación es lineal :

CÐBÑ œ / G ÐB Ñ/ / .B' 'Ð" Ñ.B Ð" Ñ.B"

B

" "B BÒ Ó' B


13

CÐBÑ œ B/ G ÐB Ñ/ .BB BÒ Ó' " /B B

B

œ B/ G Ð" Ñ.B ßBÒ Ó' "B#

Así, la solución es CÐBÑ œ / ÐGB B "ÑÞB #

Consideremos dos soluciones particulares e . Es decir:C C" #

y C ÐBÑ œ / ÐEB B "Ñ C ÐBÑ œ / ÐFB B "ÑÞ"

B # B #2

Entonces y como C ÐBÑ œ / ÐEB B "Ñ / ÐE #BÑß C ÐBÑ œ C ÐBÑw B # B w" " 2

tenemos que .E œ !ß F œ # Así, 1 e C ÐBÑ œ / Ð B Ñ C ÐBÑ œ / Ð" #B B Ñ Þ

"B # B #

2

" Þ œ /3 Usar un factor integrante de la forma para resolver la ecuación:. +B,C

Ð#B #C B #BCÑ.B Ð#B %BC #BÑ.C œ !Þ# #

Utilizando el factor integrante tenemos que À

Q ÐBß CÑ œ / ÐÐ#,B #,C ,B #,BC # #BÑC+B,C #

R ÐBß CÑ œ / Ð#+B %+BC #+B %B %C #ÑB+B,C #

Como queremos que la ecuación resulte exacta, debemos tener que :Q R œ !C B

Ð, #+ÑB #Ð, " +ÑB #Ð# ,ÑC #Ð#+ ,ÑBC œ !#

de donde y . Luego :+ œ " , œ # JÐBß CÑ œ / Ð#B %BC #BÑ.C' B#C #

œ / ÐB #BCÑ 0ÐBÑB#C #

Derivando,

.J ÐBß CÑ œ / Ð#BC B #B #CÑ 0 ÐBÑ œ RÐBß CÑBB#C # w

Así , de donde Por lo tanto, la solución de la ecuación es:ß 0 ÐBÑ œ ! 0ÐBÑ œ GÞw

/ ÐB #BCÑ œ GB#C #


14

" Þ C TÐBÑC œ UÐBÑC 68 C4 Demostrar que la ecuación puede resolverse mediante elw

cambio de variable .D œ 68 C

Claramente, C !Þ

Ahora, D œ 68 C Ê œ Ê œ C Þ.D " .D.B C .B .B .B

.C .C

Reemplazando, , de donde C TÐBÑ C œ UÐBÑ C D UÐBÑ D œ TÐBÑ.D .D.B .B

es lineal por lo que la solución de la ecuación es:

68 C œ ÐG TÐBÑ .BÑÞ/ /' 'UÐBÑ .B UÐBÑ .B'

"&Þ Aplicar el método del ejercicio anterior para resolver la ecuación:

BC œ #B C C68 C ß B !w #

Dividimos por en la ecuación y obtenemosB À

C #BC œ C 68 CÞw "B

Entonces, , y la solución de la ecuación es:TÐBÑ œ #Bß UÐBÑ œ "B

68 C œ / Ð #B / .B GÑ' '" "

B B.B .B' œ BÐ # B / .B GÑ' 68B

œ BÐ#B GÑ

"'Þ C C C œ "ß CÐ!Ñ œ % Resolver el P.V.I.: "Î# w $Î#

Como claramente , pues no es solución, dividimos por yC ! C œ ! C"Î#

obtenemos la ecuación , que es una ecuación de Bernoulli conC C œ Cw "Î#

8 œ "Î#Þ

Entonces C œ Ð .B GÑ œ Ð GÑ œ G "$Î# / / / / / B B B B B$#

$ $ $ $ $# # # # #'

Reemplazando la condición inicial, obtenemos .G œ (

Luego, la solución del P.V.I. es : C œ Ð( "Ñ Þ/ B$# #Î$


15

"(Þ C / œ Ð" # / ÑC C Resolver la ecuación sabiendo que tiene una soluciónw #B B #

particular C œ / Þ"B

Esta es una ecuación del tipo Ricatti, y en este caso se usa la sustitución À

C œ / ÞB "D

Como obtenemos la ecuación C œ / Àw B D

D

w

#

/ / œ Ð" # / ÑÐ / Ð / ÑB #B B B B #D " "D D D

w

# Ñ o, equivalentemente: cuya solución es :D D " œ !ßw

D œ / ÒG / .BÓ œ ÐG / Ñ .B .B B' '' /B

Luego CÐBÑ œ Þ/ G/ /G/

B B #B

B

")Þ C Ð%BC "ÑC %B ÐC Ñ œ ! Resolver la ecuación: # w # w #

Como esta es una ecuación algebraica, ordenando tenemos:

C %BC C %B ÐC Ñ C œ !ß# w # w # w

cuya solución es

.C œ œ #BC „ ÐC Ñ%BC "'B C "'B C %C

#

w # w # w w# #Èw w "

#

Para resolver la ecuación consideremos la sustitución .C œ #BC ÐC Ñ C œ :w w w"#

Entonces:.C.B .B .B

.: .:œ #: #B : ß"

#"

#

de donde .: Ð#B : Ñ œ !"

#"

#.:.B

Como esta ecuación no es lineal en la variable , pero sí en la variable ,: Bescribimos:

: #B : œ !.B.:

"#

"#

de donde, , cuya solución es:.B # "

.: : # : B œ !È $


16

B œ / G .: œ ÐG : Ñ#68: " "# $

$Ò Ó' / ": :

#68:

$ #È È La ecuación se resuelve en forma análoga (note que sólo cambiaC œ #BC ÐC Ñw w "

#

un signo). Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

Ú ÚÛ ÛÜ ÜÈ ÈB œ G B œ G

C œ #:B : C œ #:B :

" ": $ : $

: :# #

$ $

Ð Ñ Ð ÑÈ È

Notemos que también podríamos haber resuelto la ecuación algebraica para C Àw

, y entonces%B ÐC Ñ Ð" %BCÑC C œ ! À# w # w #

C œ œw "%BC Ð"%BCÑ "'B C)B )B

"%BC ")BC È È# # #

# #

Hacemos la sustitución , de donde ? œ " )BC ? œ )ÐC BC ÑÞw w

Reemplazando y despejando, obtenemos la ecuación en variables separables: #B? $? œ " # ?w È

Resolviendo:

.? .B" # ?$? #B È œ

Ê # " .B$ # B

?.?

Ð ? "ÑÐ ?… Ñ' 'ÈÈ È "

$

œ

Ê 68Ð ? "Ñ Ð ?… Ñ œ 68B 68G" " "' $ #Ò ÓÈ È $

!

Ê Ð ? "Ñ ?… œ GBÈ ÈÉ $ "$

Luego, las soluciones son:

Ð )BC " "Ñ )BC " œ GBÈ ÈÉ$ "$

Ð )BC " "Ñ )BC " œ GBÈ ÈÉ$ "$

Eliminando en las soluciones paramétricas obtenidas con el primer método se:obtienen las soluciones cartesianas anteriores.


17

1 Dada la ecuación: *Þ

C / C Ð" %B #B ÑC œ Ð" B #B B Ñw #B # # # $" /B B

#B

Encontrar la solución particular de la forma:+Ñ

C ÐBÑ œ / ÐEB FÑ"#B

,C ÐBÑ œ / ÐEB FÑ Ê C ÐBÑ œ #/ ÐEB FÑ / E"

#B w #B #B"

Reemplazando en la ecuación y simplificando tenemos:/#B

#ÐEB FÑ E ÐEB FÑ Ð" %B #B ÑÐEB FÑ# #"B

œ Ð" B #B B Ñ"B

# $

de donde

F Ð#F F ÑB Ð#E #EF #FÑB Ð#E E ÑB œ " B #B B# # # $ # $

Así , y , luego la solución particular es:F œ " E œ "

C ÐBÑ œ / ÐB "ÑÞ"#B

Determinar la solución general de la ecuación.,Ñ

Como se trata de una ecuación de Riccati, consideremos la sustituciónC œ / ÐB "Ñ #B "

D .

Entonces, y reemplazando en la ecuación y simplificando,C œ / Ð#B $Ñ w #B DD

w

#

obtenemos la ecuación lineal:

.D Ð ÑD / œ !w #B"#BB

La solución de esta ecuación es À D œ / G / / .B .B .B' '"#B "#B

B B’ “' #B

.D œ G /B

B#

#B ’ “ Reemplazando tenemos D CÐBÑ œ /

#BÐB"ÑÐ#GB Ñ#GB

#

##B


18

2 Mostrar que la ecuación diferencial se reduce a una ecuación!Þ #B CC C œ %B% w % '

homogénea mediante la transformación para cierto Resuelva laC œ D ß 8Þ8

ecuación.

Sea entonces y reemplazando en la ecuación tenemos:C œ D ß C œ 8D D ß8 w 8" w

.#8B D D D œ %B% 8" w %8 '2

Para que esta ecuación sea homogénea se debe tener y de#8 " œ % %8 œ 'ß

donde Por lo tanto:8 œ Þ$#

.D %B D.B $B Dœ

' '

% #

Utilizando el cambio de variable , obtenemos:D œ B?

? B? œ % ? ßw %#

" "$ ?Ò ÓŠ ‹

es decirß œ.B $? .?

B ? $? %

#

' $

Separando en fracciones parciales e integrando nos queda À

68B œ ß" $? .? $? .?& ? " ? %’ “# #

$ $

.œ 68Ð? "Ñ 68 ? % 68G"& ’ “a b$ $

Luego, , de donde .G ? " %GB

B ? % B G& $ &

$ &

œ ? œ$

Por lo tanto .D œ B? œ BŠ ‹%GBB G

&

&

"$

Reemplazando nuevamente, tenemos que la solución de la ecuación es:

CÐBÑ œ B$#Š ‹%GB

B G

&

&

"#

19

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMERORDEN

Trayectorias ortogonales.

Sea la familia de curvas definida por la ecuación diferencial para > JÐBß Cß C Ñ œ !ß ÐBß CÑw

en una región abierta del plano . La familia , ortogonal a está definida por laH \] > >w

ecuación diferencial JÐBß Cß Ñ œ !Þ"Cw

Proporcionalidad directa.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por es\Ð>Ñ(directamente) proporcional a la cantidad presente en un instante , entonces la ecuación>diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como:

.\.> œ 5\

donde es la constante de proporcionalidad. Si es positivo, entonces crece en el5 5 \tiempo; si es negativo, está disminuyendo y si , es constante.5 \ 5 œ ! B

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es ,\Ð>Ñ œ \! /5 >

donde \ œ \Ð!ÑÞ!

Proporcionalidad inversa.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por es\Ð>Ñinversamente proporcional a la cantidad presente en un instante , entonces la ecuación>diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como:

.\ 5.> \œ

donde es la constante de proporcionalidad.5

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es:

\ Ð>Ñ œ #5 > \ \ œ \Ð!ÑÞ# #! !, donde


20

Proporcionalidad conjunta.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por es\Ð>Ñconjuntamente proporcional a la cantidad presente en un instante y a cierta cantidad>E \Ð>Ñ, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresarcomo:

.\.> œ 5\ÐE \Ñ

donde es la constante de proporcionalidad.5

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es À

donde \E\ E\

E5 > \œ G ß G œ/ !

!

Análisis de compartimientos.

Un sistema de un compartimiento está constituido por una cierta cantidad de material\Ð>Ñen el compartimiento, y dos funciones y que representan respectivamente elIÐ>Ñ WÐ>Ñritmo de entrada y el ritmo de salida de material al sistema.

Ò ÒIÐ>Ñ WÐ>Ñ

\Ð>Ñ

La ecuación que modela este fenómeno se puede expresar como:

.\.> œ I W

El tipo de ecuación diferencial que resulta depende en general de las funciones y . EnI Wel caso de mezclas, por ejemplo, corresponde a la cantidad total de sustancia queIÐ>Ñingresa al sistema, así, si entra agua pura, . Por otro lado, el ritmo de salida IÐ>Ñ œ ! WÐ>Ñes la cantidad de litros que sale del sistema por unidad de tiempo por la concentración de lasustancia en cada instante, vale decir dividido por el volumen total, .\ \ Z Ð>Ñ

Obsevación. Si la cantidad de litros que entra al sistema es igual a la cantidad que sale, elvolumen es constante.

Si la cantidad de litros que entra al sistema es distinta a la cantidad que sale, el volumentotal está variando y se expresa por , donde representa el volumenZ Ð>Ñ œ Z Ð+ ,Ñ > Z! !

inicial , representa la cantidad de litros que entra al sistema y , la cantidad de litros que+ ,sale de él.

Aplicaciones de l s Ecuaciones de primer orden+

21


"Þ Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface lacondición: La porción de la tangente limitada por los ejes tiene como punto centralal punto de tangencia.

En primer lugar buscamos la ecuación diferencial de la familia dada.

Sea un punto cualquiera de una curva perteneciente a la familia. Entonces,ÐBß CÑlos puntos y pertenecen a la recta tangente a la curva en el puntoÐ#Bß !Ñ Ð!ß #CÑÐBß CÑÞ

La pendiente de esta recta es entonces 7 œ ÞCB

Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada de la función en elpunto, tenemos que la familia satisface la ecuación diferencial À

C œ w CB

En particular, si resolvemos esta ecuación, obtenemos la familia de hipérbolasBC œ G , lo que corresponde a la familia de curvas que cumple la condición dada.

Para obtener las trayectorias ortogonales debemos resolver la ecuación C œ Þw BC

Separando variables obtenemos la familia de hipérbolas:

.C B œ G# #

#Þ Hallar la ecuación diferencial de la familia de todos los círculos con centros en la

recta , que son tangentes a ambos ejes.B œ C

La familia buscada tiene ecuación: ÐB GÑ ÐC GÑ œ G Þ# # #

Derivando, obtenemos , de donde#ÐB GÑ #ÐC GÑC œ ! Àw

ÐB GÑ œ C ÐC GÑw

Despejando, G œBC C"C

w

w Þ

De aquí, ÐB Ñ ÐC Ñ œ Ð ÑBC C BC C BC C"C "C "C

w w w

w w w# # #


22

Luego, ÐB BC B CC Ñ ÐC CC B CC Ñ œ ÐB CC Ñw w # w w # w #

Por lo tanto, ÐB CÑ C ÐC BÑ œ ÐB CC Ñ# w # w ##

y la ecuación diferencial de la familia es:

ÐC BÑ Ð" C Ñ œ ÐB C C Ñ Þ# w w ##

$ . Encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de círculos tangentesal eje en el origen.S]

La familia de círculos tangentes al eje en el origen está dada porS]ÐB GÑ C œ G# # #

es decir,B C œ #BGÞ# #

Derivando implícitamente y despejando , obtenemos la ecuación diferencialGasociada:

C œw C B#BC

# #

Para encontrar la familia ortogonal debemos encontrar la solución general de laecuación diferencial:

.C #BC

.B B Cœ # #

Escribiendo la ecuación de la forma: , podemos observar#BC .B ÐC B Ñ.C œ !# #

que tiene un factor integrante que depende de Cß ÐBß CÑ œ / œ Þ. .C "

C

' #C

#

Obtenemos la ecuación exacta: #B BC C.B Ð" Ñ.C œ !Þ

#

#

de donde JÐBß CÑ œ 1ÐCÑß J œ 1 ÐCÑÞB B

C C

# #

#Cw

Por lo tantoß 1 ÐCÑ œ " Ê 1ÐCÑ œ CÞw

Luego, la solución general es o bien, BC

#

C œ #Gß B C œ #CGÞ# #

Así, la familia de trayectorias ortogonales es la familia de círculos tangentes al ejeS\ en el origen.


23

%Þ Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasanpor los puntos yÐ"ß "Ñ Ð "ß "ÑÞ

Primero debemos formular el problema matemático que representa esta situación.

Como , tenemos que:.ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß "ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð "ß "Ñ

Ð2 "Ñ Ð5 "Ñ œ Ð2 "Ñ Ð5 "Ñ# # # #

de donde . Así, el centro de la circunferencia es y su radio,2 œ ! Ð!ß GÑG #G #Þ#

Luego, la familia de circunferencias es :

B ÐC GÑ œ G #G #ß# # #

y derivando implícitamente, obtenemos: #B #ÐC GÑC œ !Þw

Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial:C œw #BÐC"Ñ

C B #C## # .

Entonces, la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es:C œ C B #C # .B Ð#B #BCÑ.C œ !Þw # #C B #C#

#BÐC"Ñ

# #

ß o bien a b Notemos que es factor integrante..ÐBÑ œ / œ .B' #

B#"B

Ahora multiplicando por se obtiene la ecuación exacta:.

Š ‹C #C #CB B B B B

# ##

# # # " .B Ð Ñ.C œ !ß

JÐBß CÑ œ Ð Ñ.C œ 1ÐBÑ' #

B B B B#C #C C#

J ÐBß CÑ œ 1 ÐBÑ œ " Bw#C C C #C

B B B B B#

# # # # #

# #

Luego, , de donde 1 ÐBÑ œ " 1ÐBÑ œ B w # #B B#

La solución de la ecuación es: #C CB B B

# B œ #G#

que corresponde a la familia de circunferencias:

ÐB GÑ ÐC "Ñ œ G " Þ# # #


24

&Þ Ð"ß !Ñ Ð!ß "ÑÞ Sea la familia de circunferencias que pasan por los puntos y>

Encontrar la ecuación diferencial que define .+Ñ >

Sea el centro de una circunferencia cualquiera de la familia.Ð2ß 5Ñ

Entonces, de donde.ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß !ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð!ß "Ñß

Ð2 "Ñ 5 œ 2 Ð5 "Ñ# # # #

Despejando, obtenemos , es decir el centro de la circunferencia está sobre la2 œ 5recta , digamos C œ B ÐGßGÑÞ

Así, la familia de circunferencias es

ÐB GÑ ÐC GÑ œ # G #G "ß# # #

de donde derivando implícitamente, obtenemos

#B #G #ÐC GÑC œ !Þw

Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencialbuscada:

B #GB C #GC #G " œ ! Ê G œ# # "B C#Ð"BCÑ

# #

B G CC GC œ ! Ê G œw w BCC"C

w

w

Por lo tanto, , de donde ."B C BCC C B #BC#B"#Ð"BCÑ "C C B #BC#C"

# # w # #

w # #œ C œw

Hallar las trayectorias ortogonales de .,Ñ >

La ecuación de las trayectorias ortogonales es:

œ.B.C C B #BC#C"

C B #BC#B"# #

# #

o bien, ÐC B #BC #C "Ñ .B# #

ÐC B #BC #B "Ñ .C œ !# #


25

Como la ecuación no es exacta, calculamos:

Q RQR ÐBCÑÐBC"Ñ ÐBCÑ

#ÐBC"Ñ #C B œ œ

Luego, es F.I."ÐBCÑ#

Multiplicando por el factor integrante la ecuación se transforma en exacta, por lotanto JÐBß CÑ œ Q .B À'

JÐBß CÑ œ .B' ÐC B #BC#C"ÑÐBCÑ

# #

#

œ " .B' Ð ÑÐC"ÑÐBCÑ ÐBCÑ

C#

# #

#

œ B 1ÐCÑÐC"ÑBC BC

C# #

Por otra parte, JÐBß CÑ œ R.C À' JÐBß CÑ œ .C' ÐC B #BC#B"Ñ

ÐBCÑ

# #

#

œ " .C' Ð ÑÐB"ÑÐBCÑ ÐBCÑ

B#

# #

#

œ C 2ÐBÑÐB"ÑBC BC

B# #

Igualando:

B 1ÐCÑ œ C 2ÐBÑÐC"Ñ ÐB"ÑBC BC BC BC

C B# ## #

ÐB"Ñ ÐC"ÑBC BC BC BC

B C# # # #

B 1ÐCÑ œ C 2ÐBÑ

ÐBCÑÐBC#Ñ ÐBCÑÐBCÑBC BC B 1ÐCÑ œ C 2ÐBÑ

B C # B C B 1ÐCÑ œ C 2ÐBÑ B C # 1ÐCÑ œ 2ÐBÑ Luego, 2ÐBÑ œ B #ß 1ÐCÑ œ C


26

Así, la solución de la ecuación es: ÐC"ÑBC BC

C# #

B C œ G

Resolviendo, obtenemos:

ÐC "Ñ C B C œ GÐB CÑ# # # #

C #C " B GB GC œ !# #

ÐC Ñ ÐB Ñ œ " G# G G# # % %

ÐG#Ñ# ## #

Así, las trayectorias ortogonales de son las circunferencias:>

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑC B œ G "G# G G# # #

# #

'Þ Para hacer un buen diagnóstico oftalmológico, ayer a las 20:00 horas se leadministró a Nicolás cierta droga que dilata la pupila. El médico explicó que ladroga tiene una semivida de 6 horas y que Nicolás presentaría molestias visualeshasta que se hubiera eliminado el 80% del medicamento. Cuando Nicolás se levantóesta mañana a las 7, se quejó de tener aún la vista borrosa. ¿Era por efecto delmedicamento? Justifique.

Sea la cantidad de droga presente en un instante .HÐ>Ñ >

Entonces, , donde es la cantidad de droga administrada.HÐ>Ñ œ H / H! !5>

La semivida de una sustancia corresponde al tiempo que demora en desintegrarse lamitad de ella.

Luego, , por lo que , de donde HÐ'Ñ œ œ H / 5 œ 68 # HÐ>Ñ œ H ÞH# #

" >Î'!! !

'5 "' Ð Ñ

El tiempo que demora en eliminarse el % del medicamento se puede expresar)!como:

HÐ>Ñ œ !ß #H œ H! !Ð Ñ"#>Î'

es decir, > œ ¸ "%Þ' 68 &

68 #

Luego, el medicamento dejará de producir molestias aproximadamente a las 10:00de la mañana, por lo que las molestias de Nicolás se debían aún al efecto de ladroga.


27

(Þ TÐ>Ñ Suponga que la población en un lago es atacada por una enfermedad al tiempo> œ !, con el resultado que los peces cesan de reproducirse y el índice demortalidad (muerte por semana por pez) es de ahí en adelante proporcional aÈ"ÎT . Si originalmente había 900 peces en el lago y 6 semanas después quedaban441, ¿cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago?

Claramente, , de donde 2T œ 5 T œ 5> GÞw "Î#"

TÈ T

Como , tenemos que y deTÐ!Ñ œ *!! G œ '! T Ð'Ñ œ %%" Ê %# œ '5 '!ßdonde: 35 œ

Luego, (60TÐ>Ñ œ $>Ñ Þ"#

#

Igualando la función a !ß T Ð>Ñ œ ! Í > œ #!

Por lo tanto, en semanas ya no quedarán peces en el lago.#!

)Þ Un escalador de montañas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medidaque trepa, la fatiga y la falta de oxígeno se hacen sentir de modo que la rapidez conla cual aumenta su elevación es inversamente proporcional a la elevación. Almediodía está a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a la cima dela montaña, que está a 20.000 pies. ¿Qué tan alto era su campamento base?

Sea la altura del escalador en un instante .2Ð>Ñ >

Entonces, , donde es constante.2 Ð>Ñ † 2Ð>Ñ œ 5 5w

Resolviendo esta ecuación, , de donde:2 .2 œ 5 .>

, o bien, 2 Î# œ 5> - 2 œ #5> GÞ# #

Ahora bien, y 2Ð'Ñ œ "*Þ!!! 2Ð)Ñ œ #!Þ!!!Þ

Reemplazando:"* † "! œ #5 † ' G# '

#! † "! œ #5 † ) G# '

Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos :G

, es decir, "! Ð#! "* Ñ œ %5 5 œ "! † $*Î%Þ' # # '

Reemplazando en la primera ecuación: G œ "! Ð"* $ † $*ÑÞ' #


28

Así, en el instante (a las 6:00 de la mañana):> œ !

, de donde:2 œ G œ "! Ð$'" ""(Ñ œ "! † #%%# ' '

.2 ¸ "! † "&ß '$

Por lo tanto, el campamento base se encontraba aproxima-damente a pies de"&Þ'!!altura.

*Þ ")!! Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene pies cúbicos deaire libre de monóxido de carbono. En el instante varias personas empiezan a> œ !fumar. El humo, que contiene un seis por ciento de monóxido de carbono, seintroduce en la habitación a razón de pies cúbicos por minuto, y la mezcla,!ß "&removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta.¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxidode carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de ? (!ß !!!")68 !ß **( ¸ !ß !!$ ).

Sea la cantidad de monóxido de carbono presente en la habitación en unGÐ>Ñinstante .>

El ritmo de entrada es !ß "& † !ß !' œ * † "! Þ$

El ritmo de salida es !ß"&†GÐ>Ñ &GÐ>Ñ

")!! '†"!œ Þ%

Entonces, G Ð>Ñ œ * † "! w $ &GÐ>Ñ'†"!% .

Como esta es una ecuación lineal, la solución es:

GÐ>Ñ œ Ð * † "! .> GÑ/ /' '& .> &.>'†"! '†"!% %' $

œ Ð* † "! .> GÑ/ / & > & >'†"! '†"!% %$'

œ G&%†"!&

/& >

'†"!%

Como GÐ!Ñ œ !ß GÐ>Ñ œ "!)Ð" / ÑÞ & >

'†"!%

Finalmente, si denota la concentración de monóxido de carbono presente en laGÐ>Ñsala en un instante , tenemos que:>


29

GÐ>Ñ œ œ Ð" / ÑÞGÐ>Ñ")!! ")!!

"!) & >'†"!%

Luego, , de donde") † "! œ Ð" / Ñ& "!)")!!

& >'†"!%

> œ 68Ð" Ñ'†"! ") †"!& ")†'

% # $

œ 68Ð" !ß !!$Ñ'†"!&

%

œ $'

Por lo tanto, una persona prudente debería abandonar la fiesta a los minutos.$'

"!Þ Según la Ley de Torricelli, la rapidez con que baja el agua en un tanque en forma decilindro vertical que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidaddel agua en el tanque. Inicialmente, el agua tiene una profundidad de 9 pies y untapón es retirado en el tiempo (horas). Después de una hora la profundidad ha> œ !descendido a pies. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir del tanque?%

Sea la altura del agua en el tanque en el instante .2Ð>Ñ >

Entonces, , de donde 2 œ 5 2 # 2 œ 5> GÞw È È Como , tenemos que y como , 2Ð!Ñ œ * G œ ' 2Ð"Ñ œ % 5 œ #Þ

Así, Finalmente, 2Ð>Ñ œ Ð' #>Ñ œ #Ð$ >Ñ Þ 2Ð>Ñ œ ! Í $ > œ ! Í > œ $Þ"#

# #

Por lo tanto, el tanque demorará 3 horas en vaciarse.

""Þ Un tanque con capacidad para 400 galones está parcialmente lleno con 100 galonesde salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con media libra de salpor galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque, bien mezclado, sale de él arazón de 4 gal/min.

Calcule la cantidad de sal después de 30 minutos.+Ñ

Sea la cantidad de sal en el tanque en el instante .BÐ>Ñ >

Entonces, B Ð>Ñ œ $ Þw %BÐ>Ñ"!!#>

Esta es una ecuación lineal, por lo tanto:


30

BÐ>Ñ œ Ð $ .> GÑ œ Ð$ Ð&! >Ñ .> GÑ/ / "Ð&!>Ñ

' '%.> %.>"!!#> "!!#>

#' ' #

œ ÐÐ&! >Ñ GÑ"Ð&!>Ñ#

$

Como , de donde BÐ!Ñ œ "! œ &! G † &! G œ %! † &!# #

Así, BÐ>Ñ œ &! > Þ%!†#&!!Ð&!>Ñ#

Reemplazando para , tenemos que a los minutos, la cantidad de sal es:> œ $! $!

libras)! œ )! œ )! "&ß '#& œ '%ß $(&%!†#&!! "#&Ð)!Ñ )#

Determinar después de cuántos minutos el tanque empezará a derramarse.,Ñ

minutos."!! #> œ %!! Ê > œ "&!

Determinar la concentración de la sal en el instante en que el tanque comienza a-Ñderramarse.

La concentración de la sal es la cantidad presente por galón de mezcla, por lo quedividimos la cantidad total por el contenido de mezcla en el tanque.

libras de sal.BÐ"&!Ñ œ #!! œ #!! #ß & œ "*(ß &%!†#&!!Ð#!!Ñ#

La concentración es entonces libras de sal por galón.G œ œ !ß %*"*(ß&%!!

"#Þ La rapidez con que aumenta el número de supermercados que emplea cajascomputarizadas en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad desupermercados que ya las emplean y a la cantidad que aún no lo hace. Si en el paíshay 2001 supermercados, inicialmente uno sólo adopta el sistema y después de unmes lo hacen 3, calcule el número de supermercados que adoptará el sistemadespués de 10 meses. ¿En cuántos meses aproximadamente, todos lossupermercados del país tendrán cajas computarizadas?

Sea el número de supermercados que emplea cajas computarizadas en unWÐ>Ñinstante (en meses). La cantidad de supermercados que aún no adopta el sistema>en un instante dado es .> #!!" WÐ>Ñ

Entonces, .WÐ!Ñ œ "ß WÐ"Ñ œ $


31

La ecuación se expresa como: W œ 5 WÐ#!!" WÑw

" W#!!" #!!"W68Ð Ñ œ 5> G

Para y para > œ !ß 68Ð Ñ œ G > œ "ß " "#!!" #!!!

" $ " " " #!!!#!!" "**) #!!" #!!! #!!" '''68Ð Ñ œ 5 68Ð Ñ Ê 5 œ 68Ð Ñ

Reemplazando tenemos:

" W > "!!! " "#!!" #!!"W #!!" $$$ #!!" #!!!68Ð Ñ œ 68Ð Ñ 68Ð Ñ

Ê œ Ð Ñ Ê WÐ" Ð Ñ Ñ œ Ð Ñ W " "!!! " "!!! #!!" "!!!#!!"W #!!! $$$ #!!! $$$ #!!! $$$

> > >

Luego,

WÐ>Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ#!!" "!!! #!!!†$$$ #!!"†"!!!#!!! $$$ #!!!†$$$ "!!! #!!!†$$$ "!!!

>> >

> > > >

En 10 meses, WÐ"!Ñ œ ¸ "*$'#!!"†"!!!$$$ #!!!"!!!

"!

"! "!

WÐ>Ñ œ #!!! Ê #!!! œ Ð Ñ Ð Ñ Ê 68 % † "! œ > 68"!!! " "!!!$$$ #!!! $$$

> '

Por lo tanto, > œ ¸ "$ß )#68#'68"!$68"!68$$$

En meses ya todos los supermercados tendrán cajas computarizadas."%

"$Þ Suponga que una población dada puede dividirse en dos grupos: los que padecencierta infección y los que todavía no la padecen, pero que son susceptibles deadquirirla por contagio de los anteriores. Si e son las proporciones de poblaciónB Cinfectada y no infectada, entonces . Suponga que el ritmo de propagaciónB C œ "( es conjuntamente proporcional a e ..BÎ.>Ñ B C

Determine la proporción de personas infectadas en el tiempo en función del+Ñ >número inicial de infectados (y el tiempo ).B ß >!

.B B B.> "B "Bœ 5 BÐ" BÑ Ê 68 œ 5 > G Ê œ G/ Þ!

5>

Ahora, , luego, =B B"B "B B

! !

! ! !œ G BÐ>Ñ Þ/

/

5>

5>


32

Si la población es de 100 personas e inicialmente hay una persona contagiada, y,Ñal día siguiente hay 10 personas, determine en cuánto tiempo estará infectada todala población. ( Use ).68 $ œ "ß " à 68 "" œ #ß %

Como inicialmente hay una persona contagiada de 100 en total, B œ !ß !"Þ!

Reemplazando, =BÐ>Ñ œ Þ!ß!"/

!ß**!ß!"/ **//5>

5> 5>

5>

Como , tenemos que BÐ"Ñ œ œ 5 œ 68 ""Þ/ "**/ "!

5

5

Luego, .BÐ>Ñ œ ""**""

>

>

Notemos que toda la población estará infectada cuando , es decir,BÐ>Ñ œ """ œ ** ""> >, lo cual nos lleva a una contradicción, por lo que debemos buscarotro camino.

Ahora bien, la población entera se habrá contagiado cuando , es decir,BÐ>Ñ **"!!

"" ****"" "!!

>

>

"" Ð Ñ > " **"!! "!!

#

> œ ¸ %# 68 **68 "" #ß%

#Ð#ß##ß%Ñ

Por lo tanto, en 4 días se habrá contagiado toda la población.

"%Þ Un profesor escribe los apuntes de su asignatura con una rapidez proporcional al

número de hojas escritas. Por otra parte uno de sus alumnos es capaz de leer estosapuntes con una rapidez constante. Al comenzar el curso (que es de carácter anual),el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las vaproporcionando a medida que las escribe. Si este alumno en particular, al final deltercer mes llevaba un atraso en la lectura de los apuntes de 20 páginas y al finalizarel sexto mes llevaba un atraso de 70 páginas.

Determine el número de páginas que entregó el profesor al finalizar el noveno+Ñmes.

Sea el número de hojas escritas por el profesor en el instante , entonces:LÐ>Ñ > ..LÐ>Ñ

.> œ 5LÐ>Ñ Ê LÐ>Ñ œ G/5>

La condición inicial implica que , por lo tanto:LÐ!Ñ œ "!ß G œ "!


33

10 .LÐ>Ñ œ /5>

Por otra parte, si es el número de hojas leídas por el alumno, como la rapidezPÐ>Ñ

de lectura es constante, digamos , entonces:7

.PÐ>Ñ.> œ 7 PÐ>Ñ œ 7> GÖ "Þ

Como entonces . Así, .PÐ!Ñ œ !ß G œ ! PÐ>Ñ œ 7>"

Además las relaciones À LÐ$Ñ œ PÐ$Ñ #! LÐ'Ñ œ PÐ'Ñ (! implican

10e$5 œ $7 #!10e'5 œ '7 (!Þ

Resolviendo el sistema tenemos que de donde:5 œ ß68$

$

10 .LÐ>Ñ œ /68$$ >

Luego la cantidad de páginas que entregó el profesor al noveno mes esLÐ*Ñ œ #(!Þ

Si el curso duraba meses ¿Cuántas páginas le faltaron por leer al alumno?,Ñ *

30 por lo que le faltaron páginas porœ $7 #! Ê 7 œ Ê PÐ*Ñ œ $!ß #%!"!$

leer.

"&Þ Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litrosde solución salina en la que se han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solución salina con concentración desal de kilos por litro."

#5 En el instante se abren simultáneamente las llaves A, B, C y D. Por A entra> œ !

solución con concentración de kilos por litro a 10 litros por minuto. Por B pasa"10

la solución del tanque 1 al tanque 2 a 10 litros por minuto. Por C entra agua pura a2 litros por minuto y por D sale solución a 6 litros por minuto.


34

Tanque 2

Tanque 1

A

B

D

C

Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo .+Ñ >

Sea la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante El ritmo de entrada alBÐ>Ñ >Þ

tanque 1 es de kilos de sal por minuto y el ritmo de salida es de 10 litros por""! † "!

minuto por BÐ>Ñ#!! Þ

Luego , , que corresponde a una ecuación es lineal, por lo tantoB Ð>Ñ œ " Àw BÐ>Ñ

#!

BÐ>Ñ œ G .> Ê BÐ>Ñ œ G #! Þ/ / / / ' '.> .> > >#! #! #! #!Ò Ó Ò Ó'

Como entonces luego:BÐ!Ñ œ %!ß G œ #!ß

BÐ>Ñ œ #! " ÞÒ Ó/>#!

Determinar el instante en que se llena el tanque 2.,Ñ >"

El tanque 2 tiene capacidad para 400 litros. La llave B aporta 10 litros por minuto yla llave C, 2 litros por minuto. Por la llave D salen 6 litros por minuto, luego,"!! '> œ %!! > œ &!, de donde , es decir, el tanque 2 se llena a los 50 minutos.

Determinar la cantidad de sal en el tanque 2 en un tiempo -Ñ ! > >".

Sea la cantidad de sal en el tanque en el instante La sal que entra en elCÐ>Ñ # >Þtanque proviene toda del estanque 1. Entonces,

.C Ð>Ñ œ "! † w #!Ð"/ Ñ 'CÐ>Ñ#!! "!!'>

>#!

Como esta ecuación es lineal tenemos:


35

CÐ>Ñ œ G Ð" Ñ .>/ / / .> .>' '' '

"!!'> "!!'>>#!Ò Ó'

œ G Ð" ÑÐ"!! '>Ñ.>"

"!!'>Ò Ó' /

>#!

œ G "!!> $> Ð%%!! "#!>Ñ Þ"

"!!'>Ò Ó# /

>#!

Como la concentración de sal en el instante inicial es kilos por litro tenemos"#5 À

"# "!!

CÐ!Ñ5 œ CÐ!Ñ œ % G œ %)!!ÞÖ Ö

Así, CÐ>Ñ œ %)!! "!!> $> Ð%%!! "#!>Ñ Þ"

"!!'>Ò Ó# /

>#!

Determinar la concentración de sal en cada tanque en el instante en el cual el.Ñsegundo tanque comienza a derramarse.

La concentración de sal en el tanque 1 es .BÐ>Ñ#!! "!

" œ "Ò Ó/>#!

Luego, a los 50 minutos la concentración es de ""!

Ò Ó/&# " Þ

La concentración en el tanque 2 a los 50 minutos es:

CÐ&!Ñ"!!'†&! Ð%!!Ñ

"œ %)!! &!!! (&!! / Ð%%!! '!!!Ñ#

&#Ò Ó

œ Ð"($ "!% ÑÞ""'!

/&#

"'Þ Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a unatemperatura constante de 5ºC. Mientras se encontraba realizando una autopsia de lavíctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la víctima,robado. A las 9:00 A.M. el ayudante descubre su cadáver a una temperatura de21ºC. A mediodía, su temperatura es de 13ºC. Suponiendo que el forense tenía envida una temperatura normal de 37ºC, ¿a qué hora fue asesinado?

Fijemos a las 9:00 horas.> œ !

Sean la temperatura del cuerpo en un instante , y la temperatura ambiente.X Ð>Ñ > E Entonces y X Ð!Ñ œ #"ß X Ð$Ñ œ "$ E œ &Þ


36

Queremos encontrar tal que > X Ð>Ñ œ $(Þ

Sea Por la ley del enfriamiento de Newton,?X œ X EÞ . X.> ? œ 5 X X œ G / Þ? ?, de donde 5 >

Luego, X Ð>Ñ œ G/ E œ G/ &Þ5> 5>

Reemplazando en las condiciones iniciales: , de donde X Ð!Ñ œ #" œ G & G œ "'Þ

Ahora, , es decir , de donde X Ð$Ñ œ "$ œ "'/ & 68# œ $5 5 œ 68#Þ$5 "$

Así, .X Ð>Ñ œ "'/ & œ "'Ð#Ñ & 68 #>

$ >Î$

Ahora, .$( œ "'Ð#Ñ & Ê # œ # Ê > œ $>Î$ >Î$

Por lo tanto, el forense fue asesinado tres horas antes que se encontrara el cuerpo, esdecir, a las 6:00 de la mañana.

"(Þ Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un flujo constante de 1000m /seg, el cual va a dar a la única entrada de un lago que tiene un volumen de3

10 . Suponga que en el tiempo , la fábrica de papel comienza a bombear9 37 > œ !contaminantes en el río a razón de , y que la entrada y salida de agua son"7 Î=/13

constantes.

¿Cuál será la concentración de contaminantes en cualquier instante?+Ñ

Tenemos que el volumen total es , la velocidad de entrada y de salida esZ œ "!*

"!!"7 Î=/1$ , la concentración de contaminantes que entra al lago es . Luego11001

la ecuación queda: o bien ..BÐ>Ñ BÐ>Ñ

.> "! "!Bœ "!!" † † "!!" B † "!!" œ "1

1001 * *w

La solución de esta ecuación lineal es: BÐ>Ñ œ G .>/ / .> .>' '"!!" "!!"

"! "!* *’ “' BÐ>Ñ œ G / / > >"!

"!!"

"!!" "!!""! "!* *

*’ “ Como tenemos , es decir,BÐ!Ñ œ ! G œ !"!

"!!"

*


37

G œ "!"!!"

*

Luego, BÐ>Ñ œ Ð" ÑÞ"!"!!"

>* "!!""!*/

Así, la concentración es BÐ>ÑZ "!!"

" >œ Ð" Ñ/

"!!""!*

Suponga que la fábrica de papel deja de contaminar el río después de una hora.,ÑHalle una expresión para la concentración de contaminantes en el lago en cualquiertiempo .>

Después de 1 hora (3.600 segundos) el ritmo de entrada es y la ecuación queda:! , de donde:B œ w B

"!'

BÐ>Ñ œ G/>

"!'

Como , tenemos que:BÐ$Þ'!!Ñ œ Ð" Ñ"!

"!!"* "!!"

"!(/ $'

G œ Ð" Ñ Þ"!"!!"

* "!!" $'"! "!( %/ /$'

Así, para , la concentración es:> $Þ'!!

10BÐ>Ñ /

"!!"

*

$Þ'!!>"!'

$'!$'"!(œ Ð" Ñ/

y para es la que se encontró en la parte .> $Þ'!! +Ñ


38

39

ECUACIONES DIFERENCIALESDE ORDEN SUPERIOR

Operador diferencial lineal.

Sea el espacio vectorial de todas las funciones reales que admiten derivadas G ÒMÓ8

continuas en al menos hasta el orden , , el espacio vectorial de las funcionesM 8 GÒMÓcontinuas en . Una transformación lineal se dice que es un operadorM P À G ÒMÓ Ä GÒMÓ8

diferencial lineal de orden si puede expresarse de la forma:8

P œ + ÐBÑH + ÐBÑH á + ÐBÑH + ÐBÑ8 8" " !8 8"

donde son funciones reales continuas en algún intervalo y+ ß + ßá ß + ß + ß M8 8" " !

+ ÐBÑ Á ! B − MÞ8 para todo

Los operadores diferenciales lineales con coeficientes variables no se pueden multiplicaralgebraicamente usando las propiedades usuales del álgebra de polinomios. En cambio,cuando tienen sólo coeficientes constantes se comportan como si fueran polinomios en .H

Por ejemplo,

,ÐH BÑÐH BÑÐCÑ œ ÐH BÑÐC BCÑ œ C C B Cw w #w

y en cambio, .ÐH B ÑÐCÑ œ C B C# # w #w

Ecuación lineal de orden superior.

Una ecuación diferencial lineal de orden es una ecuación de la forma:8

PÐCÑ œ 0ÐBÑ

donde es un operador diferencial lineal definido en algún intervalo real y unaP M 0función real definida en MÞ

Si en , decimos que la ecuación es homogénea.0 ´ ! M

Para una ecuación lineal de orden un P.V.I. tiene además condiciones iniciales8ß 8CÐB Ñ œ C ß C ÐB Ñ œ C ßá ß C ÐB Ñ œ C Þ! ! ! ! 8"

w Ð8"Ñ"


40

Teorema de existencia y unicidad.

Si es un operador diferencial lineal definido en un intervalo real . El P.V.I.P MPÐCÑ œ 0ÐBÑ C ÐB Ñ œ C ß 3 œ !ßá ß 8 " sujeto a las condiciones iniciales , Ð3Ñ

! 3 tiene unaúnica solución en el intervalo .CÐBÑ M

Principios de superposición.

Ecuaciones homogéneas: Sean soluciones de la ecuación diferencialC ßá ß C" 5

homogénea de orden . Entonces toda combinación lineal8ß PÐCÑ œ !C œ G C á G C ß G ß 3 œ "ßá ß 5ß" " 5 5 3donde cada es una constante arbitraria, estambién solución de la ecuación.

Ecuaciones no homogéneas: Sea una solución particular de la ecuación no homogéneaC:3PÐCÑ œ 0 ÐBÑß 3 œ "ßá ß 5 C œ C á C3 : : :. Entonces es una solución particular de la

" 5

ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0 ÐBÑ á 0 ÐBÑÞ" 5

Wronskiano.

Sean . Se define el Wronskiano de las funciones como elC ßá ß C − G ÒMÓ C ßá ß C" 8 " 8Ð8"Ñ

determinante:

[ÐC ßá ß C Ñ œ

C C â CC C â Cã ã ã

C C â C

" 8

" # 8

" # 8w w w

" #Ð8"Ñ Ð8"Ñ Ð8"Ñ

8

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âCriterio para soluciones linealmente independientes.

Si C ßá ß C" 8 son soluciones de la ecuación homogénea de orden entonces8ß PÐCÑ œ !ßel conjunto { C ßá ß C 6Þ3Þ [ C ßá ß C Á" 8 " 8} es si y sólo si ( ) 0.

Conviene notar que es o bien idénticamente igual a o nunca es cero en [ÐC ßá ß C Ñ ! M" 8

por lo que muchas veces resulta más cómodo evaluar primero las funciones y sus derivadasen algún punto del intervalo y luego calcular el determinante.B M!

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

41

Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n.

Si son soluciones de la ecuación de orden en un intervalo ,C ßá ß C 6Þ3Þ 8ß PÐCÑ œ ! M" 8

entonces decimos que es un y laÖC ßá ß C ×" 8 sistema fundamental de solucionessolución general de la ecuación en está dada por:M

CÐBÑ œ G C á G C ß" " 8 8

con constantes reales arbitrarias.G ßá ßG" 8

Diremos que dos ecuaciones diferenciales son si tienen el mismo sistemaequivalentesfundamental de soluciones.

Todo conjunto linealmente independiente es el sistema fundamental deÖC ßá ß C ×" 8

soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden definida por:8

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

C C â C

C C â Cã ã ã

C C â C

œ !

w Ð8Ñ

" "w

"Ð8Ñ

8 8w

8Ð8Ñ

La solución general de la ecuación lineal no homogénea de orden está8ß PÐCÑ œ 0ÐBÑdada por:

CÐBÑ œ C ÐBÑ C ÐBÑß2 :

donde es la solución general de la ecuación homogénea e es unaC ÐBÑ PÐCÑ œ ! C ÐBÑ2 :

solución particular de la ecuación no homogénea.

Fórmula de Abel.

Conociendo una solución de una ecuación homogénea de segundo orden, la fórmula deAbel nos permite encontrar una segunda solución 6Þ3Þ

Sea en un intervalo , una solución no trivial de la ecuación diferencial de segundoC Á ! M"

orden . Entonces la solución general de la ecuación está dadaC + ÐBÑ C + ÐBÑ C œ !w ww" !

por:

CÐBÑ œ G C ÐBÑ G C ÐBÑ" " # # ,

donde C ÐBÑ œ C ÐBÑ .B# "' /

C ÐBÑ

+ ÐBÑ.B"'"#


42

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. En tal caso, seP Pcomporta como un polinomio real en la variable y por tanto puede escribirse comoHproducto de factores lineales y/o cuadráticos irreducibles en , digamos ‘ P œ P † P â" #

P ß 5 − P P ÐCÑ œ !5 3 3 ‘ y irreducible en . Entonces toda solución de la ecuación lineal ,3 œ "ßá5ß PÐCÑ œ ! es también solución de .Caso 1. Si , entonces tiene una solución:P œ ÐH Ñ P3 3!

C ÐBÑ œ3 /!B

Caso 2. Si es irreducible en con raíces complejas , entoncesP œ H +H , 33# ‘ ! "

P 6Þ3Þ3 tiene las dos soluciones :

, C ÐBÑ œ / -9= B C ÐBÑ œ / =/8 BÞ3B ‡ B

3! !" "

Caso 3. Si entonces tiene soluciones :P œ ÐH Ñ ß : "ß P : 6Þ3Þ3 3:!

C ÐBÑ œ3" / ß C ÐBÑ œ B/ ß á ß C ÐBÑ œ B /! ! !B B :" B3# 3:

Caso 4. Si irreducible en con raícesP œ ÐH +H ,Ñ ß : "ß H +H ,3# : # ‘

complejas , entonces tiene soluciones :! " 3 P #: 6Þ3Þ3

C ÐBÑ œ / -9= B C ÐBÑ œ / =/8 B3"B ‡ B

3"! !" "

C ÐBÑ œ B/ -9= B C ÐBÑ œ B/ =/8 B3#B ‡ B

3#! !" "

ã ã

C ÐBÑ œ B / -9= B C ÐBÑ œ B / =/8 B3::" B ‡ :" B

3:! !" "

Solución particular de una ecuación no homogénea con coeficientes constantes.Método del Aniquilador.

Sea un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y una función definidaP 0‡

en un intervalo . Si decimos que es un de . DistinguimosM P Ð0ÐBÑÑ œ ! P 0‡ ‡ aniquiladorlos siguientes casos:

El operador diferencial aniquila todo polinomio de grado menor o igual a .H 8 "8

El operador diferencial aniquila toda función de la forma , donde ÐH Ñ :ÐBÑ :ÐBÑ! 8 /!B

es un polinomio de grado menor o igual a .8 "

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

43

El operador diferencial , con irreducible en con raícesÐH +H ,Ñ H +H ,# 8 # ‘complejas , aniquila toda función de la forma , con! " " " 3 / Ð:ÐBÑ -9= B ;ÐBÑ =/8 BÑ!B

: ; 8 " y polinomios de grado menor o igual a .

Algoritmo para encontrar una solución particular .C ÐBÑ:

Consideremos la ecuación no homogénea .PÐCÑ œ 0ÐBÑ

Paso 1: Encontrar la solución de la ecuación homogénea y un aniquiladorC ÐBÑ PÐCÑ œ !2

P 0‡ de la función .

Paso 2: Aplicar el operador a la ecuación y obtener la solución generalP PÐCÑ œ 0ÐBÑ‡

C ÐBÑ P PÐCÑ œ !‡ ‡de la ecuación homogénea .

Paso 3: Eliminar de todos los términos que se repiten en la solución . La combinaciónC C‡2

lineal con los términos restantes es , la solución particular de la ecuación originalC ÐBÑ:

PÐCÑ œ 0ÐBÑ.

Paso 4: Calcular e igualar a para despejar las constantes en . La soluciónPÐC Ñ 0ÐBÑ C: :

general de la ecuación es entonces .CÐBÑ œ C ÐBÑ C ÐBÑ2 :

Solución particular de una ecuación lineal no homogénea. Método de variación deparámetros.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de orden :8

C + ÐBÑ C á + ÐBÑ C + ÐBÑ C œ 0ÐBÑÐ8Ñ Ð8"Ñ w8" " !

con definidas en un intervalo . Si la solución de la ecuación+ ß á ß + ß + ß 0 M8" " !

homogénea asociada es:C ÐBÑ œ G C ÐBÑ á G C ÐBÑ2 " " 8 8

entonces, una solución particular de la ecuación no homogénea está dada por:

C ÐBÑ œ ÐBÑ C ÐBÑ á ÐBÑ C ÐBÑ: " " 8 8. .

donde las funciones se determinan resolviendo el sistema:.w3ÐBÑ


44

. ." 8w w

" 8ÐBÑ C ÐBÑ á ÐBÑ C ÐBÑ œ ! . ." " 8 8

w w w wÐBÑ C ÐBÑ á ÐBÑ C ÐBÑ œ !

ã ã ã ã

. ." 8w w

"Ð8#Ñ Ð8#Ñ

8ÐBÑ C ÐBÑ á ÐBÑ C ÐBÑ œ !

. ." 8w w

"Ð8"Ñ Ð8"Ñ

8ÐBÑ C ÐBÑ á ÐBÑ C ÐBÑ œ 0ÐBÑ

Notas.

1) Al hacer variación de parámetros hay que tener muy presente que el coeficiente deC " + ÐBÑÞÐ8Ñ

8 debe ser . Si no es así, hay que dividir primero la ecuación por

2) Como buscamos una solución particular de la ecuación, para cada función al calcular.3

la integral consideramos la constante aditiva que se obtiene igual a .' .w3ÐBÑ .B !

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Ecuación(equidimensional) de Euler.

Llamamos (homogénea) a toda ecuación diferencial lineal de la forma:ecuación de Euler

+ B C + B C á + BC + C œ !8 8" " !8 Ð8Ñ 8" Ð8"Ñ w

con constantes reales para y .+ 3 œ "ßá ß 8 B Á !3

La sustitución si o , si , transforma la ecuación de Euler enB œ / ß B ! B œ / B !> >

la ecuación lineal de orden con coeficientes constantes:8

Ð+ HÐH "ÑâÐH 8 "Ñ â + HÐH "Ñ + H + ÑCÐ>Ñ œ !8 # " !

Una vez que se ha resuelto esta ecuación, la solución de la ecuación homogénea de Euler seobtiene reemplazando cada por .> 68 Bk kEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler nohomogénea.

Existen dos maneras estándar de obtener una solución particular de la ecuación de Euler nohomogénea:

+ B C + B C á + BC + C œ 0ÐBÑ8 8" " !8 Ð8Ñ 8" Ð8"Ñ w

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

45

Método 1. Trabajar con la variable . >

En este caso, resolvemos completamente la ecuación no homogénea con coeficientesconstantes:

Ð+ HÐH "ÑâÐH 8 "Ñ â + H + ÑÐCÐ>ÑÑ œ 0 Ð>Ñ8 " !‡

donde se obtiene reemplazando en la función la variable por (ó ).0 Ð>Ñ 0 B / B œ /‡ > >

Una vez encontrada la solución general , reemplazamos la variable porÐ C Ð>Ñ C Ð>Ñ Ñ >2 :

68 Bk k.Método 2. Trabajar con la variable .B

En este caso, debemos encontrar primero la solución de la ecuación homogéneaC ÐBÑ2

asociada Primero, escribimos la ecuación en la forma:Þ

C á œÐ8Ñ + B C + B C + C+ B + B + B

0ÐBÑ+ B

8" " !8" Ð8"Ñ w

8 8 88 8 8

88

y usamos variación de parámetros.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Método de series depotencias.

Recordemos que una función es analítica en un punto si y sólo si admite un desarrollo0 B!

en serie de potencias:

!8œ!

_

8 !8- ÐB B Ñ

que representa a la función en alguna vecindad de . En tal caso,0 B!

0 ÐBÑ œ 8 - ÐB B Ñw 8"

8œ"

_

8 !!

' 0ÐBÑ .B œ ÐB B Ñ G!8œ!

_

!8"-

8"8

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes variables: C + ÐBÑ C á + ÐBÑ C + ÐBÑ C œ ! Ð‡ÑÐ8Ñ Ð8"Ñ w

8" " !

Entonces, si todas las funciones son analíticas en el punto , diremos que + ßá ß + ß + B B8 " ! ! !

es un de la ecuación diferencial. Si no es un punto ordinario, diremospunto ordinario B!

que es un punto singular de la ecuación diferencial.


46

Teorema. Sea un punto ordinario de la ecuación diferencial lineal homogénea conB!

coeficientes variables:

C + ÐBÑ C á + ÐBÑ C + ÐBÑ C œ !Ð8Ñ Ð8"Ñ w8" " !

y sean constantes arbitrarias. Entonces existe una única función analítica! !! 8"ßá ß CÐBÑen que satisface la ecuación anterior y las condiciones inicialesB!

CÐB Ñ œ ßá ß C ÐBÑ œ! ! 8"Ð8"Ñ! ! . Además, si las representaciones en series de potencias

de las funciones son válidas para todo tal que ,+ ÐBÑß 3 œ !ßá8 "ß B B B V3 !k kentonces también lo es el desarrollo en serie de potencias de la solución.En lo que sigue, consideraremos , pues en caso contrario hacemos el cambio deB œ !!

variables en la ecuación.? œ B B!

Aún cuando el teorema vale siempre que las funciones son todas analíticas, trabajaremos+3

sólo el caso donde todas las funciones son funciones polinomiales.+3

La clave del método de resolución usando series de potencias consiste en suponer que laecuación admite una solución de la forma:Ð‡Ñ

CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88

Entonces se obtienen derivando la serie término a término. Reemplazando cadaC ßá ß Cw Ð8Ñ

uno de los desarrollos en serie en e igualando coeficientes podemos determinar cadaÐ‡Ñuno de los coeficientes de las soluciones.-8 Método de Fröbenius.

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientesvariables:

C +ÐBÑC ,ÐBÑC œ ! ß B !w ww

Diremos que es de la ecuación si las funciones y! B +ÐBÑun punto singular regularB ,ÐBÑ !# son ambas analíticas en , es decir admiten ambas desarrollo en serie de potenciasen torno a :B œ !

y B+ÐBÑ œ + B B ,ÐBÑ œ , B! !8œ! 8œ!

_ _

8 88 # 8

La asociada a la ecuación diferencial anterior es:ecuación indicial

<Ð< "Ñ + < , œ !! !

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

47

Teorema de Fröbenius. Si es un punto singular regular de la ecuación!C +ÐBÑC ,ÐBÑC œ !w ww , entonces de la forma:existe al menos una solución

C ÐBÑ œ B - B ß - œ "" 8 !< 8

8œ!

_" !

en donde el número es la mayor de las soluciones de la ecuación indicial.<"

Sean y las dos soluciones de la ecuación indicial. Para encontrar la segunda solución< <" #

6Þ3Þ consideramos los siguientes casos:Caso 1: Si entonces las dos soluciones de la ecuación son de la forma:< < Â 6Þ3Þ" # ™

e C ÐBÑ œ B - B C ÐBÑ œ B . B" 8 # 8< 8 < 8

8œ! 8œ!

_ _" #! !

con - œ . œ "Þ! !

Caso 2: Si es un entero positivo entonces la segunda solución es de la forma:< < 6Þ3Þ" #

C ÐBÑ œ GC ÐBÑ 68 B B . B# " 8< 8

8œ!

_# !

con y , una constante que puede ser igual a . œ " G !Þ!

Caso 3: Si entonces la segunda solución es de la forma:< œ < 6Þ3Þ" #

C ÐBÑ œ C ÐBÑ 68 B B . B ß . œ "Þ# " 8 !< 8

8œ!

_# !

Nota. La segunda solución también se puede obtener a menudo usando la fórmula de6Þ3ÞAbel.


48


"Þ Resolver la siguiente ecuación homogénea y demostrar que la solución obtenida es,efectivamente, la solución general de la ecuación y luego resolver el P.V.I. dado:

C C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ C Ð!Ñ œ !Ð3@Ñ w w ww w w

La ecuación característica asociada es:

H " œ ÐH "ÑÐH "ÑÐH "Ñ œ !% #

Luego, la solución general está dada por:

C ÐBÑ œ G -9= B G =/8B G / G /2 " # $ %B B

Para demostrar que es la solución general, nos basta verificar queC2ÐH "ÑÐC ÐBÑÑ œ ! Ö-9= Bß =/8 Bß / ß / × 6Þ3Þ% B B

2 y que es un conjunto Como losoperadores se comportan como polinomios, podemos usar linealidad por un lado yconmutatividad por otro para verificar que:

ÐH "ÑÐH "ÑÐH "ÑÐC ÐBÑÑ œ !#2

Usamos el Wronskiano para verificar la independencia lineal de las 4 funciones:

[ œ

-9= B =/8B / / =/8B -9= B / / -9= B =/8B / /=/8B -9= B / /

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

B B

B B

B B

B B

œ œ ) Á !Þ

-9= B =/8B " # =/8B -9= B " !

! ! # %! ! # !

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âAhora buscamos las constantes:

C ÐBÑ œ G -9= B G =/8B G / G / Ê CÐ!Ñ œ " œ G G G2 " # $ % " $ %B B

C ÐBÑ œ G =/8B G -9=B G / G / Ê C Ð!Ñ œ " œ G G G2w B B w

" # $ % # $ %

C ÐBÑ œ G -9=2w w

"

B G =/8B G / G / Ê C Ð!Ñ œ ! œ G G G# $ % " $ %B B ww

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

49

C ÐBÑ œ G =/8B G -9=B G / G / Ê C Ð!Ñ œ ! œ G G G2w B B ww ww w

" # $ % # $ %

Resolviendo el sistema matricialmente:

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

" ! " " " " ! ! ! "Î#! " " " " ! " ! ! "Î# " ! " " ! ! ! " ! !! " " " ! ! ! ! " "Î#

µ

Luego, G œ ß G œ ß G œ !ß G œ Þ" # $ %" " "# # #

Por lo tanto, la solución (única) del P.V.I. es: CÐBÑ œ Ð-9= B =/8B / Ñ"#

B

#Þ Resolver los siguientes P.V.I.:

+Ñ C $C $C C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ !Þ w w w w ww w ww

Primero resolvemos la ecuación homogénea usando la ecuación característicaasociada:

H $H $H " œ ÐH "Ñ$ # $


C ÐBÑ œ ÐG G B G B Ñ/2 " # $# B

Ahora encontramos las constantes:

C ÐBÑ œ ÐG G B G B Ñ/ Ê C Ð!Ñ œ " œ G2 " # $ 2 "# B

C ÐBÑ œ Ð" G ÐG #G ÑB G B Ñ/2w # B

# # $ $

Ê C Ð!Ñ œ " œ " G Ê G œ #2w

# #

C ÐBÑ œ Ð" % #G ÐG %G ÑB G B Ñ/2w # Bw

$ # $ $

Ê C Ð!Ñ œ ! œ $ #G Ê G œ $Î#2w w

$ $

Luego, la solución (única) es: CÐBÑ œ Ð" #B B Ñ/ Þ$#

# B

,Ñ C C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ C Ð!Ñ œ !Þ Ð3@Ñ w w w ww w w

Como H H œ HÐH "ÑÐH H "Ñß% #


50

C ÐBÑ œ G G / / ÐG -9= B G =/8 BÑ2 " # $ %B B"#

È È$ $# #

Ahora calculamos constantes:

C ÐBÑ œ G G / / ÐG -9= B G =/8 BÑ2 " # $ %B B"#

È È$ $# #

Ê CÐ!Ñ œ " œ G G G" # $

C ÐBÑ œ G / / ÐÐG $G Ñ-9= B Ð $G G Ñ=/8 BÑ2w B

# $ % $ % B"

# # #$ $"

# È ÈÈ È

Ê C Ð!Ñ œ " œ G ÐG $G Ñw# $ %

"#

ÈC ÐBÑ œ G / / ÐÐG $G Ñ-9= B Ð $G G Ñ=/8 BÑ2w Bw

# $ % $ % B"

# # #$ $"

# È ÈÈ È

Ê C Ð!Ñ œ ! œ G ÐG $G Ñww# $ %

"#

ÈC ÐBÑ œ G / / ÐG -9= B G =/8 BÑ Ê C Ð!Ñ œ ! œ G G2w B ww ww w

# $ % # $ B"#

È È$ $# #

Por lo tanto, la solución es:

CÐBÑ œ " / / Ð -9= B $=/8 BÑ" "$ $ # #

$ $B B"#È ÈÈ

-Ñ C #C C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ "ß Ð3@Ñ w ww

C Ð!Ñ œ C Ð!Ñ œ !w ww ww

La ecuación característica asociada es:

H #H " œ ÐH "Ñ% # # #

Luego, la solución general de la ecuación homogénea es:

C ÐBÑ œ ÐG G BÑ-9= B ÐG G BÑ =/8B2 " # $ %

Ahora buscamos el valor de las constantes:

C ÐBÑ œ ÐG G BÑ-9= B ÐG G BÑ =/8B Ê CÐ!Ñ œ " œ G2 " # $ % "

C ÐBÑ œ ÐG G G BÑ -9=B ÐG G G BÑ=/8B2w

# $ % " % #

Ê C Ð!Ñ œ " œ G Gw# $

C ÐBÑ œ ÐG #G G BÑ-9=B Ð#G G G BÑ =/8B2w w

" % # # $ %

Ê C Ð!Ñ œ ! œ " #Gww%

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

51

C ÐBÑ œ Ð$G G G BÑ-9=B ÐG G G BÑ =/8B2w ww

# $ % " % #

Ê C Ð!Ñ œ ! œ $G Gwww# $

Luego, CÐBÑ œ Ð" BÑ-9= B Ð BÑ =/8B" $ "# # #

$Þ +Ñ B C B C %B C œ " Determinar la solución general de la ecuación ,% w $ w #w

sabiendo que es una solución particular de la ecuación homogéneaC œ B"#

asociada.

Como la ecuación es de segundo orden, nos basta encontrar una segunda solución6Þ3Þ para obtener la solución general de la ecuación homogénea. Escribimos primerola ecuación de manera apropiada:

C C C œw ww " % "B B B# %

y usamos la Fórmula de Abel:

C œ B .B œ B † œ Þ## #' /

.BB

'B %B

" "%B% % #

Así, C ÐBÑ œ G B Þ2 "# G

B##

Para encontrar la solución particular usaremos variación de parámetros:B œ !# w

"..#w

#B

#B œ."w #

B"B

.#w

$ %

De aquí, . ."

w"œ Ê œ " "

%B "'B& %

. .#w

#œ Ê œ 68B" "%B %

Así, .C ÐBÑ œ 68B:" "

"'B %B# #

Finalmente, la solución general de la ecuación es:

CÐBÑ œ G B Ð 68BÑ"# G

B %B %" "#

# #


52

,ÑResolver la ecuación si se sabe queÐB "ÑC #BC #C œ 'ÐB "Ñ ß# w w # #w

C ÐBÑ œ B" es una solución particular de la ecuación homogénea asociada. La ecuación anterior la podemos escribir como

C C œ B "w w #w #BB " B "

#C# # 6( )

Por la fórmula de Abel sabemos que una segunda solución de la ecuación6Þ3Þhomogénea asociada está dada por:

C ÐBÑ œ B .B œ BÐB Ñ œ B "##' /

' #BB "# .B

B B"

#

Luego, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: C ÐBÑ œ EB FÐB "ÑÞ2

#

Ahora, usamos variación de parámetros para encontrar la solución particular de laecuación no homogénea, que es de la forma À

.C ÐBÑ œ EÐBÑB FÐBÑÐB "Ñ:#

Debemos resolver el sistema:

E ÐBÑB F ÐBÑÐB "Ñ œ !w w #

6( )E ÐBÑ #F ÐBÑB œ B "w w #

Multiplicando por la segunda ecuación y sumándola a la primera, obtenemos BF ÐBÑ œ 'B FÐBÑ œ $B Þw #, de donde

Reemplazando en la primera ecuación, obtenemos À

.E ÐBÑ œ ' 'B Ê EÐBÑ œ 'B #Bw # $

Así, la solución general es: CÐBÑ œ EB FÐB "Ñ $B B# # %

%Þ C &C 'C œ -9= Bß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ ! Resolver el P.V.I: w w ww

La ecuación característica asociada es: H &H ' œ ÐH $ÑÐH #Ñ œ !#

Luego, la solución de la ecuación homogénea asociada es: C ÐBÑ œ G / G /2 " #$B #B

Para encontrar la solución particular usamos el método de aniquiladores. H "#

aniquila la función , luego:-9= B

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

53

ÐH "ÑÐH $ÑÐH #Ñ œ !#

de donde:C ÐBÑ œ G / G / G -9=B G =/8B‡ $B #B

" # $ %

Como es la solución de la homogénea, la solución particular es de laG / G /" #$B #B

forma:

C ÐBÑ œ G -9=B G =/8B: $ %

Para encontrar las constantes, debemos derivar y reemplazar en la ecuaciónoriginal:

C ÐBÑ œ G =/8B G -9= B:w

$ %

C ÐBÑ œ G -9=B G =/8B:w w

$ %

Ð&G &G Ñ-9=B Ð&G &G Ñ œ -9= B$ % $ %

G œ ß G œ Ê C ÐBÑ œ -9=B =/8BÑ$ % :" " ""! "! "! Ð

CÐBÑ œ G / G / -9= B =/8BÑ Ê CÐ!Ñ œ " œ G G " # " #$B #B " "

"! "!Ð

C ÐBÑ œ $G / #G / =/8B -9= BÑ Ê C Ð!Ñ œ ! œ $G #G w $B #B w" # " #

" ""! "!Ð

Así, G G œ" #*"!

$G #G œ" #""!

Luego, y , por lo tanto la solución esG œ G œ À" # "( "$"! &

CÐBÑ œ / / -9= B =/8BÑ Ð"( "$ ""! & "!

$B #B

&Þ Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas:

+Ñ C %C %C œ "!B /w w # #Bw

Como la ecuación característica es , la solución de laH %H % œ ÐH #Ñ# #

homogénea es:C ÐBÑ œ ÐG G BÑ/2 " #

#B

La solución particular podemos encontrarla por aniquiladores o por variación deparámetros.


54

Método 1. Aniquiladores:

ÐH #Ñ "!B /$ # #Baniquila a la función

Luego, , que tiene como solución general:ÐH $Ñ ÐH #Ñ œ !# #

C ÐBÑ œ ÐG G B G B G B G B Ñ/‡ # $ % #B" # $ % &

Descartando la parte de solución que corresponde a la homogénea, tenemos que lasolución particular es de la forma:

C ÐBÑ œ ÐG B G B G B Ñ/: $ % &# $ % #B

Derivando:

C ÐBÑ œ Ð#G B Ð$G #G ÑB Ð%G #G ÑB #G B Ñ/:w # $ % #B

$ % $ & % &

C ÐBÑ œ Ð#G Ð'G )G ÑB #Ð'G #G 'G ÑB Ð%G )G ÑB:w # $w

$ % $ % $ & % &

%G B Ñ/&% #B

Reemplazando en la ecuación original:

C %C %C œ Ð#G 'G B "#G B Ñ/ œ "!B /w w # #B # #Bw$ % &

Ê G œ G œ ! ß G œ$ % &&'

Luego, la solución general es: CÐBÑ œ ÐG G B B Ñ/" #% #B&

'

Método 2. Variación de parámetros:

La solución particular es de la forma À

C ÐBÑ œ ? ÐBÑ/ ? ÐBÑB/: " ##B #B

[ œ œ // B/

#/ Ð #B "Ñ/º º#B #B

#B #B%B

Entonces:? œ .B œ "!B .B œ B à"

$ %' '0ÐBÑ C ÐBÑ[ #

&#

? œ .B œ "!B .B œ B## $' '0ÐBÑ C ÐBÑ

[ $"!"

Así, , como antes.C ÐBÑ œ B /:% #B&

'

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

55

,Ñ C C œww #// /

B

B B

La solución de la homogénea es: C ÐBÑ œ G / G /2 " #B B

Aquí estamos obligados a usar variación de parámetros. La solución particular es dela forma: C ÐBÑ œ ? / ? /: " #

B B

[ œ œ #/ // /º ºB B

B B

? œ .B œ .B œ +<->+8 / à"B' '" /

/ / / "B B #B

B

? œ .B œ .? œ / +<->+8 /#B B' '/ ?

/ " ? "

$B #

#B #

Luego, C ÐBÑ œ / +<->+8 / / Ð/ +<->+8 / Ñ:B B B B B

, de donde:œ Ð/ / Ñ +<->+8 / "B B B

CÐBÑ œ G / G / Ð/ / Ñ+<->+8 / "" #B B B B B

-Ñ C #C C œ / 68 Bw w Bw k k Resolviendo la ecuación característica obtenemos que la solución de la ecuación

homogénea asociada es: C ÐBÑ œ ÐG G BÑ/2 " #B

Ahora usamos variación de parámetros para calcular la solución particular, que esde la forma C ÐBÑ œ ? / ? B/ Þ: " #

B B

[ œ œ // B/ / Ð B "Ñ/º ºB B

B B#B

y ? œ B 68 B .B œ B Ð68 B Ñ ? œ B68 B .B œ B Ð68 B "Ñ" ##' 'k k k k k k k k" "

# #

Luego, de donde:C ÐBÑ œ Ð 68 B ÑB / ß:# B$ &

# %k k CÐBÑ œ ÐG G B Ð 68 B ÑB Ñ/" #

# B$ &# %k k

'Þ Resolver la ecuación C $C #C œw ww ""/B

La ecuación característica asociada es: ( )ÐH #Ñ H " œ !Þ


56

Luego, la solución de la ecuación hmogénea asociada es:

C ÐBÑ œ E/ F/2B #B

Encontraremos la solución particular de la ecuación no homogénea utilizandovariación de parámetros.

La solución particular es de la forma:

C ÐBÑ œ EÐBÑ/ FÐBÑ/:B #B

Las funciones se obtienen resolviendo el sistema:EÐBÑß FÐBÑ

E ÐBÑ/ F ÐBÑ/ œ !w B w #B

E ÐBÑ/ #F ÐBÑ/ œw B w #B ""/B

Así, F ÐBÑ œ Ê FÐB œ B 68Ð/ "Ñw B/ "

/ " /

B

B BÑ E ÐBÑ œ Ê EÐBÑ œ B 68Ð/ "Ñw B"

/ "B Luegoß C ÐBÑ œ / Ð/ / ÑÐ68Ð/ "Ñ BÑ:

B B #B B

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es:

CÐBÑ œ E/ F/ / Ð/ / ÑÐ68Ð/ "Ñ BÑB #B B B #B B

(Þ C &C %C œ $ )B #-9=Ð#BÑ Resolver la ecuación: w w #w

Resolvemos primero la ecuación homogénea:

H &H % œ ÐH %ÑÐH "Ñ œ !#

Luego C ÐBÑ œ G / G /2 " #%B B

Ahora buscamos la solución particular por dos métodos.

Aniquiladores.Método 1Þ

Como aniquila a y aniquila a , debems usar elH )B $ H % # -9=Ð#BÑ$ # #

aniquilador . Luego,P œ H ÐH %Ñ‡ $ #

C ÐBÑ œ C ÐBÑ EB FB G H-9= #B I=/8 #B‡ #2

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

57

Así, C ÐBÑ œ EB FB G H-9= #B I=/8 #B:#

C ÐBÑ œ #EB F #H=/8 #B #I -9= #B:w

C ÐBÑ œ #E %H -9= #B %I =/8 #Bww:

Por lo tanto, C &C %C œ #E &F %G Ð"!E %FÑB %EB "!I-9= #Bw w #

: :w

:

"!H =/8 #B

Igualando,

#E &F %G œ $"!E %F œ !

%E œ )"!I œ #"!H œ !

Así, H œ !ßI œ ßE œ #ßF œ &ß G œ 'Þ C ÐBÑ œ #B &B ' =/8 #BÞ" "& &:

#

Método 2Þ Variación de parámetros.

. ." #w %B w B/ / œ !

% / / œ $ )B #-9=Ð#BÑ. ." #w %B w B #

De aquí, ."%B # %Bœ Ð / B / -9=#BÑ.B' ) #

$ $%B/

œ / Ð B B -9= #B =/8 #BÑ%B #" # " # "$ $ $ "& "&

.#B # B Bœ Ð/ B / / -9=Ð#BÑÑ .B' ) #

$ $

œ / Ð B B -9= #B =/8 #BÑB #) "' "* # %$ $ $ "& "&

Luego, .C ÐBÑ œ ' &B #B =/8 #B:# "

&Por lo tanto, la solución general de la ecuación es:

CÐBÑ œ G / G / #B &B ' =/8 #B" #%B B # "

&

)Þ C %C %C œ B / w w #Bw

La ecuación característica es ÐH #Ñ œ !Þ#

La solución de la ecuación homogénea asociada es:

C ÐBÑ œ ÐG G BÑ/2 " ##B


58

Como aniquila a y aniquila a , obtenemos la ecuaciónH B ÐH #Ñ /# #B

H ÐH #Ñ œ ! À# $ , cuya solución general es

C œ ÐG G B G B Ñ/ G G B‡ # #B" # $ % &

Descartando la parte que corresponde a la solución de la homogénea, tenemos quela solución particular es de la forma:

C ÐBÑ œ G B / G G B: $ % &# #B

Derivamos para reemplazar en la ecuación:

C ÐBÑ œ Ð#G B #G BÑ/ G:w # #B

$ $ &+

C ÐBÑ œ Ð%G B )G B #G Ñ/:w # #Bw

$ $ $

Así, , de donde:#G / %G %G B %G œ B /$ & & %#B #B

G œ ß G œ ß G œ$ & %" " "# % %

Luego, CÐBÑ œ ÐG G B B Ñ/ ÐB "ÑÞ" ## #B" "

# %

*Þ C C œ B / ß Resolver el P.V.I.: sujeto a las condiciones inicialesÐ%Ñ w Bww

CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ C Ð!Ñ œ C Ð!Ñ œ !Þw w ww w w

La ecuación característica es:H H œ H H " œ !% $ $ ( ) ,

Por lo tanto, la solución de la ecuación homogénea asociada es:

C ÐBÑ œ E FB GB H/2# B

Ahora encontraremos la solución particular de la ecuación no homogénea.

. Aniquiladores.Método 1

Como aniquila a y aniquila a , aniquila a H B H " / H ÐH "Ñ B / Þ# B # Ba b La ecuación se transforma en , cuya solución es:H ÐH "Ñ œ !& #

C ÐBÑ œ E FB GB H/ IB JB KB/‡ # B $ % B

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

59

Así, C ÐBÑ œ IB JB KB/ Þ:$ % B

Derivando, obtenemos: , C œ $IB %JB K/ KB/ C œ 'IB "#JB #K/ KB/w # $ B B w # B B

: :w

, C œ 'I #%JB $K/ KB/ C œ #%J %K/ KB/:w B B B Bww

:Ð%Ñ

y reemplazando en la ecuación:

C C œ #%J 'I K/ #%JB œ B /:Ð%Ñ

:w B Bww

Luego, y y la solución general es:K œ "ß I œ J œ " "' #%

CÐBÑ œ E FB GB H/ B B B/ Þ# B $ % B" "

' #%

Usando las condiciones iniciales tenemos À

EH œ !F H œ "

#G H œ #H # œ !

de lo que se deduce E œ #ß F œ "ß G œ !ß H œ #Þ

Por lo tanto la solución del P V I es Þ Þ Þ CÐBÑ œ # B #/ B/ B BB B %#%

"'

"3

. Variación de parámetros.Método 2


.C ÐBÑ œ EÐBÑ FÐBÑB GÐBÑB HÐBÑ/:# B

Resolvemos el sistema:

E ÐBÑ F ÐBÑB G ÐBÑB H ÐBÑ/ œ !

F ÐBÑ #G ÐBÑB H ÐBÑ/ œ !

#G ÐBÑ H ÐBÑ/ œ !

H ÐBÑ/ œ B /

w w w # w B

w w w B

w w B

w B B

H ÐBÑ œ " B/ Ê HÐBÑ œ B B/ /w B B B


60

G ÐBÑ œ ÐB / Ñ Ê GÐBÑ œ Ð / Ñw B B" "# #

B#

#

F ÐBÑ œ B B/ B / Ê FÐBÑ œ B/ #/w # B B B BB B$ #

$ #

E ÐBÑ œ B B/ B / Êw # B B B B /# #

$ # B

EÐBÑ œ / Ð#B $Ñ ÞB B B B B# # ) $

# # % $

Así, y la solución general es:C ÐBÑ œ B/ $ B B B "ß:

B %/B " " B#% ' #

3 #

CÐBÑ œ E " ÐF "ÑB ÐG ÑB ÐH $ BÑ/ B B" " "# #% '

# B % 3

Utilizando las condiciones iniciales tenemos que yE œ $ß F œ #ß G œ ß H œ ""

#la solución del P V I es igual a la que obtuvimos con el método del aniquilador.Þ Þ Þ

. Sustitución.Método 3

Haciendo la sustitución obtenemos la ecuación lineal de primer orden? œ C ßwww

? ? œ B w /B, cuya solución es: ?ÐBÑ œ G ÐB / Ñ .B/ /' '.B .B’ “' B

œ / ÐG B/ / BÑB B B

Luego, y como , tenemos . C ÐBÑ œ G/ B " B/ ß C Ð!Ñ œ ! G œ "w B B ww ww w

Integrando con respecto a y utilizando las condiciones iniciales para calcular lasBconstantes, tenemos:

C ÐBÑ œ B/ Bw Bw B#

#

C ÐBÑ œ B/ / "w B B B B' #

$ #

CÐBÑ œ ÐB #Ñ/ B #B B B#% '

% $

" Þ B C %B C #C œ ! ß B !Þ0 Resolver la ecuación: $ w # ww ww

La sustitución transforma esta ecuación de Euler en la ecuación lineal conB œ />

coeficientes constantes:

ÐHÐH "ÑÐH #Ñ %HÐH "Ñ #ÑÐCÐ>ÑÑ œ !Þ

Factorizando obtenemos , por lo que la solución es:ÐH #ÑÐH "Ñ œ !#

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

61

CÐ>Ñ œ G / G / G /" # $# > # > >È È

Reemplazando la variable por obtenemos la solución general de la ecuación> 68 B

de Euler: CÐBÑ œ G B G B G B" # $

# # "È È

" Þ 1 Resolver el P.V.I: B C %B C BC C œ ! ß B !ß CÐ"Ñ œ "ß C Ð"Ñ œ !ß$ w # w w ww ww

C Ð"Ñ œ "Þww

Como se trata de una ecuación de Euler, usamos la sustitución para obtenerB œ />

una ecuación lineal cuya ecuación característica es:- - - - - - - - -Ð "ÑÐ #Ñ % Ð "Ñ " œ Ð "ÑÐ # "Ñ#

œ Ð "ÑÐ "Ñ œ !- - #

Así, la solución de la ecuación homogénea asociada es:

CÐ>Ñ œ G / ÐG G >Ñ/" # $> >

Reemplazando obtenemos la solución general:> œ 68 B CÐBÑ œ G B ÐG G 68BÑB" # $

"

Ahora derivamos para calcular las constantes utilizando las condiciones iniciales:

C ÐBÑ œ G G B G B 68B G Bw # # #" # $ $

C ÐBÑ œ #G B #G B 68B $G Bw $ $ $w# $ $

G G œ "" #

G G G œ !" # $

#G $G œ "# $

Así, .G œ "ß G œ "ß G œ !$ # "

Luego, la solución única del P.V.I. es: 1CÐBÑ œ Ð 68BÑB"

"#Þ B C B C $BC œ "' 68 B Resolver la ecuación $ w # ww

Claramente Escribimos la ecuación como:B !Þ

B C BC $C œ 68B# w ww "'B


62

Ecuación de Euler: La sustitución nos convierte la ecuación en la ecuaciónB œ />

lineal no homogénea:

ÐHÐH "Ñ H $ÑÐCÐ>ÑÑ œ "'>/ >

Ahora, , de donde HÐH "Ñ H $ œ H #H $ œ ! H œ " # 3# ÈLuego, la solución de la homogénea (en la variable ) es:>

C Ð>Ñ œ / ÐG -9= # > G =/8 # >Ñ2 " #> È È

La solución particular es de la forma: C Ð>Ñ œ ÐE> FÑ/:>

Derivando y reemplazando en la ecuación:

C Ð>Ñ œ Ð E> ÐE FÑÑ/:w >

C Ð>Ñ œ ÐE> ÐE FÑ EÑ/ œ ÐE> #E FÑ/:w > >w

Ð'E> %E 'FÑ/ œ "'>/ E œ ß F œ> > , por lo tanto .) "'$ *

Luego, , y reemplazandoCÐ>Ñ œ / ÐG -9= # > G =/8 # >Ñ Ð > Ñ/> >" #

È È ) "'$ *

> œ 68 B obtenemos la solución de la ecuación dada:

CÐBÑ œ BÐG -9= # 68 B G =/8 # 68 BÑ Ð$ 68 B #Ñ" #È È )

*B

"$Þ B C $BC "$C œ B =/-Ð$ 68 BÑ ß B − Ð/ ß / Ñ Resolver la ecuación: # w w # Î' Î'w 1 1

Nuevamente una ecuación de Euler y Resolvemos primero la ecuaciónB !Þhomogénea:

HÐH "Ñ $H "$ œ H %H "$ œ ÐH # $3ÑÐH # $3Ñ œ ! #

Luego, , es decirCÐ>Ñ œ / ÐG -9= $> G =/8 $>Ñ À#>" #

CÐBÑ œ B ÐG -9=Ð$68 BÑ G =/8Ð$ 68 BÑÑ#" #

Para encontrar la solución particular tenemos dos caminos:

Camino 1. Seguir en la variable .>

La ecuación quedó de la forma À C %C "$ C œ / =/- $>Þw w #>w

Ahora debemos hacer variación de parámetros.

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

63

/ -9= $> ? =/8 $> ? œ ! Ê ? œ >+8 $> ?#> w w w w" # " #( )

/ Ð#-9= $> $ =/8 $>Ñ? / Ð$ -9= $> # =/8 $>Ñ? œ / =/- $>#> w #> w #>" #

/ Ð-9= $> ? =/8 $> ? Ñ œ ! Ê Ð $ =/8 $> >+8 $> $ -9= $>Ñ ? œ =/- $>#> w w w" # #

? œ Ê ? œ > Ê ? œ >+8 $> Ê ? œ 68Ð-9= $>Ñ# "w w

# "" " "$ $ $

"*

Luego, , de dondeC Ð>Ñ œ / Ð-9= $> 68Ð-9= $>Ñ $> =/8 $>Ñ:#>"

*

C ÐBÑ œ B Ð -9= Ð$ 68 B 68Ð-9= Ð$ 68 BÑÑ $68 B =/8Ð$ 68 BÑÑ:#"

* Ñ

Finalmente,CÐBÑ œ B ÐÐG 68Ð-9= Ð$ 68 BÑÑÑ-9=Ð$68 BÑ ÐG 68BÑ=/8Ð$ 68 BÑÑ#

" #"$

Camino 2. Trabajar con la variable .B

B C $BC "$C œ B =/-Ð$ 68 BÑ# w w #w

Primero dividimos por : B C C C œ =/-Ð$ 68 BÑ# w ww $ "$B B#

Ahora hacemos variación de parámetros:

B -9=Ð$68 BÑ? B =/8Ð$ 68 BÑ? œ !# w # w" #

Ð#B -9=Ð$68 BÑ $B=/8Ð$ 68 BÑÑ? Ð#B=/8Ð$68 BÑ $B-9=Ð$ 68 BÑÑ?" #w w

œ =/-Ð$ 68 BÑ

Ahora, , de donde -9=Ð$68 BÑ? =/8Ð$ 68 BÑ? œ ! ? œ >+8Ð$ 68 BÑ ?" # " #w w w w

Ð$B=/8Ð$ 68 BÑ>+8Ð$ 68 BÑ $B-9=Ð$ 68 BÑÑ? œ =/-Ð$ 68 BÑ#w , es decir,

? œ Ê ? œ 68B#w

#"$B

"$

? œ Ê ? œ 68Ð-9=Ð$ 68 BÑÑ"w

">+8Ð$ 68 BÑ

$B"*

Luego,

C ÐBÑ œ B Ð68Ð-9=Ð$ 68 BÑÑ-9=Ð$ 68 BÑ 68B =/8Ð$ 68 BÑÑÞ:#"

* $


64

"%Þ B C BC C œ B 68B Resolver la ecuación $ w www

Ecuación de Euler. Claramente Resolvemos primero la ecuaciónB !Þhomogénea. La sustitución nos lleva a:B œ />

HÐH "ÑÐH #Ñ H " œ ÐH "Ñ œ !$

Luego, , es decirC Ð>Ñ œ ÐG G > G > Ñ/ À2 " # $# >

C ÐBÑ œ ÐG G 68B G 68 BÑB2 " # $#

Ahora, para encontrar la solución particular, tenemos al menos tres caminos.

Método 1. Aniquiladores (en la variable ).>

En la variable , la ecuación es: > C $C $C C œ >/w w w >w ww

ÐH "Ñ ÐH "Ñ œ ! Ê C Ð>Ñ œ ÐG G > G > G > G > Ñ/# $ ‡ # $ % >" # $ % &

C Ð>Ñ œ ÐG > G > Ñ/: % &$ % >


C Ð>Ñ œ Ð$G > ÐG %G Ñ> G > Ñ/:w # $ % >

% % & &

C Ð>Ñ œ Ð'G > Ð'G "#G Ñ> ÐG )G Ñ> G > Ñ/:w # $ % >w

% % & % & &

C Ð>Ñ œ Ð'G Ð")G #%G Ñ> Ð*G $'G Ñ> ÐG "#G Ñ> G > Ñ/:w # $ % >ww

% % & % & % & &

Ð'G #%G >Ñ/ œ >/ Ê G œ !ß G œ% & % &> > "

#%

Luego, , de donde:CÐ>Ñ œ ÐG G > G > > Ñ/" # $# % >"

#%

CÐBÑ œ ÐG G 68B G 68 B 68 BÑB" # $# %"

#%

Método 2.Variación de parámetros (con >ÑÞ

? / ? >/ ? > / œ !" # $w > w > w # >

? / ? Ð> "Ñ/ ? Ð> #>Ñ/ œ !" # $w > w > w # >

? / ? Ð> #Ñ/ ? Ð> %> #Ñ/ œ >/" # $w > w > w # > >

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

65

Restando las dos primeras ecuaciones y simplificando :/>

? ? #> œ ! Ê ? œ #>?# $ # $w w w w

Restando la primera con la tercera ecuación:#? ? Ð%> #Ñ œ > Ê #? œ > Ê ? œ ß ? œ # $ $

w w w$ #

> >% $

# $

Reemplazando en la priemra ecuación: ? œ >? > ? œ Ê ? œ" # $w w # w

">#

>)

$ %

Luego, , como antes.C Ð>Ñ œ Ð Ñ/ œ > /:> % >> > > "

) $ % #%

% % %

Método 3. Variación de parámetros (en ).B

Dividiendo, obtenemos la ecuación: C C C œ 68Bw www " " "B B B# $ #

B? B 68 B? B 68 B? œ !" # $w w # w

? Ð68 B "Ñ? Ð68 B # 68 BÑ? œ !" # $w w # w

" #68 B# "B B B? ? œ 68B# $

w w #

Como , la primera ecuación queda:B !

? 68B? 68 B? œ !" # $w w # w

y reemplazando esta expresión en la segunda ecuación:

? # 68 B ? œ !# $w w

Reemplazando este valor en la tercera ecuación y multiplicando por :B

? œ 68B Ê ? œ 68 B ? œ 68 B Ê ? œ 68 B$ #w # w # $

$ #" " " "#B % B $,

? œ 68 B Ê ? œ 68 B"w $ %

"" "#B )

Por lo tanto, , como esperábamos.C ÐBÑ œ BÐ 68 B:%" " "

) $ % Ñ

"&Þ B C BC $C œ B 68B Resolver la ecuación # w w #w

Ecuación de Euler no homogénea. Usamos la sustitución transformando laB œ / ß>

ecuación en: ÐH #H $ÑÐCÐ>ÑÑ œ / ># #>


66


C Ð>Ñ œ E/ F/2$> >

Como aniquila a y aniquila a , el operador aniquila aÐH #Ñ / H > H ÐH #Ñ#> # #

/ >Þ#> Obtenemos:H ÐH #ÑÐH $ÑÐH "Ñ œ !#

cuya solución general es: .C Ð>Ñ œ E/ F/ G/ H I>‡ $> > #>

Así, la solución particular de la ecuación no homogénea es de la forma: .C Ð>Ñ œ G/ H I>:

#>

Reemplazando en la ecuación se obtienen los valores:C:

LuegoG œ à H œ à I œ Þ" # "$ * $

CÐ>Ñ œ E/ F/ $/ # $>Ñß$> > #>"* Ð

Finalmente, reemplazando por , la solución general de la ecuación dada es:> 68 B

CÐBÑ œ EB $B # $68BÑÞ$ #F "B * Ð

"'Þ C C œ "#B Resolver la ecuación Ð(Ñ Ð$Ñ

Lo más práctico es hacer y resolver primero la ecuación ? œ C ? ? œ "#BÞÐ$Ñ Ð%Ñ

Entonces ? ÐBÑ œ G / G / G -9= B G =/8B2 " # $ %B B

? ÐBÑ œ EB F Ê E œ "#ß F œ !Þ:

C œ ?ÐBÑ œ G / G / G -9= B G =/8B "#BÐ$Ñ B B" # $ %

C ÐBÑ œ G / G / G =/8B G -9= B 'B Gw B B #w" # $ %

C ÐBÑ œ G / G / G -9= B G =/8B #B GB Gw B B $" # $ % '

CÐBÑ œ G / G / G =/8B G -9=B B G B G B G" # $ % & ' (B B % #"

#

"(Þ C C œ C Resolver la ecuación : w w ww ww #

Hacemos la sustitución .C œ ?Cw ww

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

67

Entonces, C œ ? C ?C œ Ð? ? ÑCw w w w w # ww ww

Luego, , de donde Ð? ? ÑC œ C C œ ! ” ? ? œ !Þw # w w w w ## #

Así, C œ G ” ? œ B G Ê ? œ œ" CC BG

"ww

w

Ê 68C œ 68ÐB GÑ G Ê C œ ÐG B G Ñ .Bw# # "

' Ê CÐBÑ œ G B G B G# " $

#

")Þ " C œ #CC Resolver la ecuación w w# w

Camino 1. Hacemos la sustitución C œ :Þw

Usando regla de la cadena, , implica .C .C .C.B .: .B .:

.:œ : œ Cww

Reemplazando obtenemos la ecuación en variables separables : " : œ #:C# .:.C

Luego, 68 C œ 68Ð" : Ñ G#

Ê C œ GÐ" C Ñ Ê C œ G C " Ê œ .Bw w#" È .C

G C"È "

Ê G C " œ B G Ê CÐBÑ œ Ð B G Ñ # "G G

G%" "

"È " # ##

Camino 2. Derivando.

#C C œ #C C #CC Ê #CC œ ! Ê C œ ! ” C œ !Þw w w w w w ww w w w ww w w

Pero no es solución, luego C œ ! CÐBÑ œ B G B G ÞG#" #

# $

Reemplazando en la ecuación: " ÐG B G Ñ œ #Ð B G B G ÑG" # # $ "# #G

#"

Luego, , de donde " G œ #G G G œ Þ##

" $ $"G#G

##

"

Así, la solución general es: CÐBÑ œ B G B ÞG# #G

"G" ##

"

##

"*Þ BC C 68Ð Ñ œ ! Resolver la ecuación w ww CB

w

Claramente Podemos escribir la ecuación como B Á !Þ À C œ 68Ð Ñww C CB B

w w


68

Camino 1. Hagamos la sustitución .? œ 68Ð ÑCB

w

Entonces , de donde C BC CB BC

w w ww

wœ / • ? œ C œ B? / / Þ? w w w ? ?w

Reemplazando: ÐB? "Ñ/ œ ?/ Ê œ Ê 68Ð? "Ñ œ 68B Gw ? ? .? .B?" B

Luego, de donde , es decir68Ð Ñ œ GB " ß œ / ÀC CB B

w wGB"

CÐBÑ œ / ÐB Ñ G" "G G" "

G B"#

"

Camino 2. Hagamos la sustitución .? œCB

w

Entonces , de donde ? œ C œ B? ?Þw w wwBC CB

w ww

#

Reemplazando: B? ? œ ? 68? Ê œw .? .B?Ð68 ?"Ñ B

Ê 68Ð68 ? "Ñ œ 68B G

Luego, de donde , es decir68 ? œ GB " ß œ / ÀCB

wG B""

CÐBÑ œ / ÐB Ñ G" "G G" "

G B"#

"

#!Þ C -9= B C =/8B œ "Þ Resolver la ecuación w ww ww

Sea .Método 1Þ ?ÐBÑ œ C ÐBÑww

Entonces, la ecuación se convierte en À ? -9= B ? =/8B œ "Þw

Ahora, es una ecuación lineal, de donde? -9= B ? =/8B œ "w

?ÐBÑ œ Ð =/- B .B -Ñ œ Ð =/- B .B -ÑÞ/ / / >+8B .B >+8B .B 68 -9= B' ' k k' ' #

Luego, ?ÐBÑ œ - -9= B =/8BÞ"

Integrando dos veces, obtenemos, de donde:C ÐBÑ œ - =/8B -9= B - ßw" #

CÐBÑ œ G -9= B G B G =/8B" # $

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

69

Resolvemos primero la ecuación homogénea y le sumamos una soluciónMétodo 2Þparticular:

C -9= B C =/8B œ ! Ê 68 C œ 68 -9= B Gw w ww w ww ¸ ¸ k k Luego, , de dondeC œ G -9= Bww

"

C ÐBÑ œ G -9= B G B G Þ2 " # $

Por simple inspección podemos ver que es una solución particularC œ =/8B:

de la ecuaciónÞ

Luego, CÐBÑ œ G -9= B G B G =/8B" # $

En este caso, también podemos encontrar por ensayo y error las tresMétodo 3:soluciones de la ecuación homogénea y una6Þ3Þ C œ "ß C œ Bß C œ -9= B" # $

solución para obtener la misma solución anterior.C œ =/8B:

# Þ %B C )B C C œ >11 Resolver la ecuación % ww $ w Ð Ñ"#B

En este caso usamos la sustitución .B œ ">

Entonces, de donde: .> .>.B .B .> .B .>

.C .C .Cœ > ß œ † œ ># #

. C .C .C . C.B .> .> .B .> .>

. .># #

# #œ > œ #> >Ð Ñ † Þ# $ %

Así la ecuación se transforma en . C C.> % % #

" >#

# œ >1Š ‹Þ La solución de la ecuación homogénea asociada es: C Ð>Ñ œ E-9= F=/82

> ># # Þ

Ahora buscamos la solución particular por dos métodos.

Variación de parámetros en la variable .Método 1: >


E Ð>Ñ-9= F Ð>Ñ=/8w w> ># # œ !

E Ð>Ñ=/8 F Ð>Ñ-9= >1" > " > " ># # # # % #

w w œ

de donde: F Ð>Ñ œ =/8 Ê FÐ>Ñ œ -9=w " > >

# # #


70

E Ð>Ñ œ =/- -9= Ê EÐ>Ñ œ 68 =/- >1 =/8w " > " > > > ># # # # # # #Ð Ñ

Luego, la solución general de la ecuación es

CÐ>Ñ œ E-9= F=/8 -9= 68 =/- >1> > > > ># # # # #† Ð Ñ

Reemplazando la variable por obtenemos la solución de nuestra ecuación:> ß"B

CÐBÑ œ E-9= F=/8 -9= 68 =/- >1" " " " "#B #B #B #B #B† Ð ÑÞ

. Variación de parámetros en la variable .Método 2 B


E ÐBÑ-9= F ÐBÑ=/8w w" "#B #B œ !

E ÐBÑ=/8 F ÐBÑ-9= >1w w" " " "#B #B #B #Bœ #

de donde:

F ÐBÑ œ =/8 Ê FÐBÑ œ -9=w " " "#B #B #B#

E ÐBÑ œ =/- -9= Ê EÐBÑ œ 68 =/- >1 =/8w " " " " " " "

#B #B #B #B #B #B #B# # Ð Ñ

Luego, la solución general de la ecuación es:

CÐBÑ œ E -9= F =/8 -9= 68 =/- >1" " " " "#B #B #B #B #B† Ð Ñ

##Þ %BC Ð# ) BÑC &C œ Ð$ B #Ñ ß B ! Resolver la ecuación: ww wÈ È / BÈ Usando la sustitución , tenemos , de dondeB œ > œ# .> "

.B #>

.C .C .C.B .> .B #> .>

.> "œ † œ †

. C .C .C . C

.B .> #> .> .B %> .> %> .>. " .> " "# #

# $ # #œ œ Ð † Ñ † Þ

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

71

Reemplazando en la ecuación tenemos: . C .C.> .>

#

# % &C œ Ð$> #Ñ/>

Como aniquila a la ecuación se transforma en: ÐH "Ñ Ð$> #Ñ/# >

ÐH "Ñ ÐH &Ñ œ !ß$

cuya solución es CÐ>Ñ œ E/ F/ G>/ H> / Þ&> > > # >

Así ß C Ð>Ñ œ G>/ H> /:> # >

C Ð>Ñ œ G/ Ð#H GÑ>/ H> /w > > # >:

C Ð>Ñ œ Ð#H #GÑ/ Ð%H GÑ >/ H> /:w > > # >w

de donde obtenemosG œ H œ & ""# % Þ

La solución general de la ecuación es À

CÐBÑ œ E/ F/ B/ B/& B B B BÈ È È È& ""# %

È .

#$Þ Usar el método de series para resolver la ecuación:

ÐB "ÑC 'C œ !Þ# ww

Si tenemos queCÐBÑ œ - B ß À!!

_

88

e .C ÐBÑ œ 8- B C ÐBÑ œ 8Ð8 "Ñ- Bw 8" w 8#

" #

_ _

8 8w! !

Reemplazando en la ecuación e igualando a ! À

ÐB "ÑC 'C œ 8Ð8 "Ñ- B 8Ð8 "Ñ- B '- B# w 8 8# 8w

# # !

_ _ _

8 8 8 ! ! !

œ 8Ð8 "Ñ- B Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- B '- B! ! !# ! !

_ _ _

8 8# 88 8 8

œ #- '- Ð'- '- ÑB ÐÐ8 8 'Ñ- Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- ÑB# ! $ " 8 8##

_# 8!

Así,

#- '- Ð'- '- ÑB ÐÐ8 $ÑÐ8 #Ñ- Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- ÑB œ ! ß# ! $ " 8 8##

_8!

de donde À


72

y para - œ $ - ß - œ - Ð8 $Ñ- Ð8 "Ñ- œ ! 8 "Þ# ! $ " 8 8#

Luego,

- œ - œ - ß - œ - ß - œ - ß - œ - ßá% # ! ' ! ) ! "! !" " $ $$ & &†( (†*

- œ - ß - œ - œ á œ - œ !Þ#8 ! & ( #8"$Ð"Ñ

Ð#8$ÑÐ#8"Ñ

8

Por lo tanto, CÐBÑ œ - ÐB B Ñ $- B" !$ #8

!

_! Ð"ÑÐ#8$ÑÐ#8"Ñ

8

Usamos fracciones parciales para escribir:

" " " "Ð#8$ÑÐ#8"Ñ # #8$ #8"œ Ð Ñ

y separamos en dos series:

CÐBÑ œ - BÐ" B Ñ - Ð B B Ñ" !# #8 #8

! !

_ _$# Ð#8$Ñ Ð#8"Ñ

Ð"Ñ Ð"Ñ! !8 8

œ - BÐ" B Ñ - ÐB B B B Ñ" !# $ #8$ #8"

! !

_ _$# Ð#8$Ñ Ð#8"Ñ

Ð"Ñ Ð"Ñ! !8 8

œ - BÐ" B Ñ - ÐB Ð +<->+8BÑ BÐ +<->+8BÑÑ" !# $$ " " "

# $B B B$

œ - BÐ" B Ñ - Ð" B ÐB BÑ +<->+8BÑ" !# # $$ $

# #

#%Þ Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden entérminos de series de potencias:

Ð" B ÑC BC %C œ !# w ww


_

88


" #

_ _

8 8w! !


Ð" B ÑC BC %C œ 8Ð8 "Ñ- B 8Ð8 "Ñ- B# w w 8# 8w

# #

_ _

8 8! ! 8- B %- B! !

" !

_ _

8 88 8

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

73

œ Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- B 8Ð8 "Ñ- B 8- B %- B! ! ! !! # " !

_ _ _ _

8# 8 8 88 8 8 8

œ ÐÐ8 #ÑÐ8 "Ñ- Ð8 %Ñ- ÑB #- '- B - B %- %- B!#

_

8# 8 # $ " ! "# 8

œ !

Asíß- œ #- ß - œ - ß á ß - œ - ß 8 #ß# ! $ " 8# 8

" 8## 8" para

de donde , ß - œ !ß - œ !ß 8 # - œ - ß - œ - ß% & " ( "#8

" $#†% #†%†'

- œ - ß á ß - œ -* " #8" "$†&

#†%†'†) #†%†'†âÐ#8#Ñ$†&†âÐ#8&Ñ

Por lo tanto,

CÐBÑ œ - Ð" #B Ñ - ÐB B B Ñ! "# $ #8"

$

_"# #†%†'†â#Ð8"Ñ

$†&†âÐ#8&Ñ!

#&Þ Resolver el siguiente P.V.I. usando series de potencias:

C C BC œ !ß CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ !Þw w ww


_

88


" #

_ _

8 8w! !

Como , entonces , y como , tenemos que CÐ!Ñ œ " - œ " C Ð!Ñ œ ! - œ !Þ! "w


C C BC œ 8Ð8 "Ñ- B 8- B - Bw w 8# 8" 8"w

# " !

_ _ _

8 8 8 ! ! !œ Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- B Ð8 "Ñ- B - B! ! !

! ! "

_ _ _

8# 8" 8"8 8 8

œ #- - ÒÐ8 #ÑÐ8 "Ñ- Ð8 "Ñ- - ÓB œ !Þ# " 8# 8" 8""

_8!

Luego, y- œ !#

Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- Ð8 "Ñ- - œ !ß 8 "8# 8" 8"

- œ8#- Ð8"Ñ-Ð8#ÑÐ8"Ñ

8" 8"


74

- œ ß - œ ß - œ ß - œ - œ ß - œ$ % & ' ( )" " " $ ) "%$x %x &x 'x (x )x

Vemos que no es posible encontrar una regla general para , luego, escribimos los-8primeros términos de la solución:

CÐBÑ œ " B B B B B B á" " " $ ) "%$x %x &x 'x (x )x

$ % & ' ( )

#'Þ < Determinar el o los valores de para los cuales la ecuaciónBC Ð$ BÑC #C œ !ß B !ßw ww admite una solución de la forma

CÐBÑ œ B - B< 8

!

_

8! y calcular la solución general.

Primero escribimos la ecuación en la forma:

C C C œ !w ww Ð$BÑB B

#

Entonces, , analítica en torno a y B+ÐBÑ œ $ B B œ ! + œ $Þ!

B ,ÐBÑ œ #B B œ ! , œ !Þ#!, analítica en torno a y

Luego, es un punto singular regular y es posible aplicar el Método deB œ !Fröbenius para resolver la ecuación.

Ecuación indicial: <Ð< "Ñ $< œ ! Ê < œ ! ” < œ %Þ

Como las raíces de la ecuación indicial difieren por un entero, la ecuacióndiferencial tiene dos soluciones de la forma:

e C ÐBÑ œ - B C ÐBÑ œ . B" 8 # 8! !

_ _8% 8! !

El problema es que ambas soluciones no son necesariamente 6Þ3Þ

C ÐBÑ œ Ð8 %Ñ- B C ÐBÑ œ Ð8 %ÑÐ8 $Ñ- B" "w 8$ w 8#

! !

_ _

8 8w! !,

Reemplazando en la ecuación e igualando a :!

BC Ð$ BÑC #C œ Ð8 %ÑÐ8 $Ñ- B $Ð8 %Ñ- Bw w 8$ 8$w

! !

_ _

8 8! ! Ð8 %Ñ- B #- B! !

! !

_ _

8 88% 8%

œ ÐÐ8 %ÑÐ8 $Ñ $Ð8 %ÑÑ- B Ð8 $Ñ- B #- B! ! !! " "

_ _ _

8 8" 8"8$ 8$ 8$

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

75

œ Ð8Ð8 %Ñ- Ð8 "Ñ- ÑB!"

_

8 8"8$

Luego, - œ ß 8 "Þ8

Ð8"Ñ-8Ð8%Ñ

8"

Así, por lo tanto:- œ - ß - œ - ß - œ - ß - œ - ß" ! # ! $ ! % !# #†$ $†% && #†&†' $†&†'†( &†'†(†)

- œ - Þ8 !%xÐ8"ÑÐ8%Ñx

Luego,

C ÐBÑ œ #% B"!

_8% ! 8"

Ð8%Ñx

œ #% B!%

_88$

8x

œ #%Ð $ Ñ! !% %

_ _B B

Ð8"Ñx 8x

8 8

œ #%ÐB $ Ñ! !$

_ _

%

B B8x 8x

8 8

œ #%ÐB ÐB $Ñ ÑB B$x 8x

$ 8!%

_

œ %B #%ÐB $ÑÐ/ " B B B Ñ% B # $" "# '

œ #%ÐB $Ñ/ "#Ð' %B B ÑÞB #

Notemos que es una combinación lineal de dos funciones que sonC œ C C 6Þ3Þ"‡ ‡" #

soluciones de la ecuación. Luego no es necesario calcular más y la solución generalde la ecuación está dada por:

CÐBÑ œ G ÐB $Ñ/ G Ð' %B B Ñ" #B #

2 Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden por(Þ el método de Fröbenius À

B C BÐB "ÑC ÐB "ÑC œ !# w ww

Escribimos primero la ecuación como: C ÐB "ÑC ÐB "ÑC œ !w ww " "

B B#

BT ÐBÑ œ B " B œ ! + œ ", analítica en y !

B UÐBÑ œ B " B œ ! , œ "#!, analítica en y


76

Ecuación indicial: <Ð< "Ñ < " œ ! Ê < œ "Þ

Luego, la ecuación admite al menos una solución de la forma:

CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88"

Derivando:

C ÐBÑ œ Ð8 "Ñ- B ß C ÐBÑ œ 8Ð8 "Ñ- Bw 8 w 8"

8œ! 8œ"

_ _

8 8w! !

Reemplazando en la ecuación original e igualando a :!

B C BÐB "ÑC ÐB "ÑC# w ww

œ 8Ð8 "Ñ- B Ð8 "Ñ- B Ð8 "Ñ- B - B! ! ! !8œ" 8œ! 8œ! 8œ!

_ _ _ _

8 8 8 88" 8# 8" 8#

- B!8œ!

_

88"

œ Ð8 #ÑÐ8 "Ñ- B Ð8 "Ñ- B Ð8 #Ñ- B! ! !8œ! 8œ! 8œ"

_ _ _

8" 8 8"8# 8# 8#

- B - B! !8œ! 8œ"

_ _

8 8"8# 8#

œ - B - B ÒÐÐ8 #ÑÐ8 "Ñ Ð8 #Ñ "Ñ- 8 - ÓB! 8" 88œ!

_8#

0 !

œ ÒÐÐ8 "Ñ - 8 - ÓB œ !!8œ!

_# 8#

8" 8

Luego, , para todo . Por lo tanto , de donde ,- œ - 8 - œ ! - œ !8" 8 " 88

Ð8"Ñ#

para todo y como obtenemos:8 ! - œ "!

C ÐBÑ œ B"

La segunda solución es de la forma 6Þ3Þ À C ÐBÑ œ - B B 68B#8œ!

_

8‡ 8"!

C ÐBÑ œ Ð8 "Ñ- B 68B " C ÐBÑ œ 8Ð8 "Ñ- B # 8 # 8w ‡ 8 w ‡ 8"

8œ! 8œ"

_ _w! ! "

B

Reemplazando en la ecuación original e igualando a :!

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

77

B C BÐB "ÑC ÐB "ÑC# w ww

œ ÒÐÐ8 "Ñ - 8 - ÓB B BÐB "ÑÐ68 B "Ñ ÐB "ÑB 68B!8œ!

_# ‡ ‡ 8#

8" 8

œ ÒÐÐ8 "Ñ - 8 - ÓB B!8œ!

_# ‡ ‡ 8# #

8" 8

œ Ð- "ÑB ÒÐÐ8 "Ñ - 8 - ÓB œ !" 8" 8‡ # # ‡ ‡ 8#

8œ"

_!Luego, y , para todo .- œ " - œ - 8 "" 8" 8

‡ ‡ ‡8Ð8"Ñ#

- œ ß - œ œ ß - œ ß á ß - œ‡ ‡ ‡ ‡# $ % 8

" # " "# # †$ $†$x %†%x 8†8x

Ð"Ñ# # #

8

Así, C ÐBÑ œ B B B 68B#8œ"

_8"! Ð"Ñ

8†8x

8

Por lo tanto, la solución general es: CÐBÑ œ G B G Ð B B 68BÑ" #8œ"

_8"! Ð"Ñ

8†8x

8

2 Usar el Método de Fröbenius para resolver la ecuación:)Þ

%B C )B C Ð%B "ÑC œ !ß B !Þ# w # w #w

Primero escribimos la ecuación como: C #C Ð" ÑC œ !w ww "%B#

y , ambas analíticas por lo que el método esB+ÐBÑ œ #B B ,ÐBÑ œ B # # "%

aplicable.

Ecuación indicial: <Ð< "Ñ œ ! Ê < œ Þ" "% #

C ÐBÑ œ B - B œ - B" 8 8"Î# 8 8

! !

_ _! ! "#

C ÐBÑ œ - Ð8 ÑB"w 8

!

_

8"#

! "#

C ÐBÑ œ - Ð8 ÑÐ8 ÑB" 8w 8w

!

_" "# #

! $#

Reemplazamos en la ecuación e igualamos a :!


78

%B C )B C Ð%B "ÑC# w # w #w

œ %B - Ð8 ÑÐ8 ÑB )B - Ð8 ÑB %B - B# 8 # 8 # 8

! ! !

_ _ _

8 8 8" " "# # #

! ! !$ " "# # #

- B!!

_

88"

#

œ %- Ð8 ÑÐ8 ÑB )- Ð8 ÑB %- B - B! ! ! !! ! ! !

_ _ _ _

8 8 8 8" " "# # #

8 8 8 8" $ & "# # # #

œ %- Ð8 ÑB )- Ð8 ÑB %- B - B! ! ! !! " # !

_ _ _ _

8 8" 8# 8# 8 8 8 8"

#"%

" " " "# # # #

œ - B $- B %- B - B - B! " ! ! "" $ $ " $# # # # #

Ò%- Ð8 Ñ )- Ð8 Ñ %- - ÓB!#

_

8 8" 8# 8# 8"

#"%

"#

œ %Ð - - ÑB Ò- Ð%8 " "Ñ )- Ð8 Ñ %- ÓB! " 8 8" 8##

_# 8"

#

$ "# #!

Luego, , de donde y - - œ ! - œ - œ "! " " !

8 - #Ð8 Ñ- - œ ! 8 "Þ#8 8" 8#

"# ,

- œ œ8#- Ð8 Ñ-

8 8Ð#8"Ñ- -8" 8#

"## #

8" 8#

- œ œ ß - œ œ ß - œ œ# $ %Ð$"Ñ

% # * #†$ "' %x" " "" († &

#" "$x #

- œ œ œ8

Ð#8"Ñ

8 8x8 8xÐ#8"ÑÐ8"Ñ "

" "Ð8"Ñx Ð8#Ñx

#

Luego, CÐBÑ œ B œ B / Þ" "# #!

!

_BB

8x

8

Ahora usamos la Fórmula de Abel para encontrar una segunda solución :6Þ3Þ

C ÐBÑ œ B / .B œ B /#B B" "

# #' '/ .BB/ B

' # .B#B

œ B / 68 B"# B

Así, la solución general de la ecuación es :

CÐBÑ œ ÐG G 68BÑ Þ" # B /"# B

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

79

#*Þ Un paracaidista cuyo peso es de 80 kg. se deja caer de un helicóptero a cierta altura.Suponemos que cae bajo la influencia de una fuerza de gravedad constante y que laresistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista. La constante deproporcionalidad es 10 kg/seg. cuando el paracaídas está cerrado y 100 kg/seg.cuando el paracaídas está abierto. Si el paracaídas se abre 1 m. después que elparacaidista abandona el helicóptero, determine la altura del paracaidista encualquier instante >Þ

La ecuación del movimiento de una partícula es donde es la masa yQB œ J Qww

J Þ es la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula

Sea la distancia al helicóptero en un instante . Luego, la ecuación delBÐ>Ñ >movimiento está dada por:

)!B œ )! † *ß ) "!Bw ww

es decir,B ww B

)

w

œ *ß ),

Además, sabemos que la velocidad está dada por , luego la ecuación@ B œ @w

diferencial es:@ œ *ß )w @

)

cuya solución es @ œ ()ß % G Þ/>8

Como la velocidad en el instante es se tiene .> œ ! ! G œ ()ß %

Reemplazando y obtenemos G @ B œ ()ß %Ð" / ÑÞw >8

Resolviendo nuevamente esta ecuación y considerando que , tenemos:BÐ!Ñ œ !

BÐ>Ñ œ ()ß %> '#(ß #Ð/ "Ñ >8

Luego, en el primer minuto el paracaidista ha caído aproximada-mente 4089,15mts.

Ahora la ecuación diferencial cuando el paracaídas se abre está dada por:B ww &B

%

w

œ *ß )

Reemplazando por se tiene que: B @ œ *ß )w @ w &@%

Resolviendo la ecuación y dado que la velocidad inicial es aproximadamente ()ß %tenemos:


80

@Ð>Ñ œ (ß )% (!ß &'/ ß&>%

de donde:BÐ>Ñ œ (ß )%> &'ß %%) / GÞ&>

%

Como tenemos que:BÐ!Ñ ¸ %!)*ß "&ß

.BÐ>Ñ œ (ß )%> &'ß %%)/ %"%&ß &*)&>%

$!Þ VPG IÐ>Ñ œ "!! Un circuito en serie tiene una fueza electromotriz dada por =/8"!> Z 96>= ( S27= L/8<C , un resistor de , un inductor de 1 y un capacitor de0.1 . Si la corriente inicial y la carga inicial son cero, determinar la corrienteJ+<+.del circuito.

La ecuación está dada por , .P VM œ IÐ>Ñ M œ.M.> G .>

U .U

Reemplazando los valores tenemos: M Ð>Ñ ( MÐ>Ñ "!U œ "!! =/8 "! >w

Derivando, obtenemos la ecuación lineal de segundo orden À

M M "!M "!!! -9="!>w ww ( œ

La solución de la ecuación homogénea es:

M Ð>Ñ œ G / G /2 " ##> &>

Usando aniquiladores obtenemos la solución particular:

M Ð>Ñ œ =/8"!> -9="!>:(! *!"$ "$

Así, MÐ>Ñ œ G / G / =/8"!> -9="!>" ##> &> (! *!

"$ "$

Como las condiciones iniciales son se tiene:MÐ!Ñ œ UÐ!Ñ œ !ß

M Ð!Ñ (MÐ!Ñ "!UÐ!Ñ œw "!!=/8 ! Ê M Ð!Ñ œ ! luego w

Obtenemos así :! œ MÐ!Ñ œ G G Ê G G œ" # " #

*! *!"$ "$

! œ M Ð!Ñ œ # #w G &G G &G œ" # " #(!! (!!"$ "$Ê

I-?+-38/= H30/</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<

81

lo que implica G œ G œ# "'"! $%!$* $*ß

Por lo tanto: MÐ>Ñ œ / / =/8"!> -9="!>$%! '"! (! *!

$* $* "$ "$#> &>


82

83

SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES

Sistemas lineales.

Sean funciones de una variable . Un B ß á ß B >" 8 sistema lineal normal de 8ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma:

B Ð>Ñ œ + Ð>ÑB Ð>Ñ + Ð>ÑB Ð>Ñ á + Ð>ÑB Ð>Ñ 0 Ð>Ñ"w

"" " "# # "8 8 " B Ð>Ñ œ + Ð>ÑB Ð>Ñ + Ð>ÑB Ð>Ñ á + Ð>ÑB Ð>Ñ 0 Ð>Ñ#w

#" " ## # #8 8 #

ã ã ã

B Ð>Ñ œ + Ð>ÑB Ð>Ñ + Ð>ÑB Ð>Ñ á + Ð>ÑB Ð>Ñ 0 Ð>Ñ8w

8" " 8# # 88 8 8

o abreviadamente,\ Ð>Ñ œ EÐ>Ñ † \Ð>Ñ JÐ>Ñßw

donde

\Ð>Ñ œ ß JÐ>Ñ œ

B Ð>Ñ 0 Ð>ÑB Ð>Ñ 0 Ð>Ñã ã

B Ð>Ñ 0 Ð>Ñ

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" "

# #

8 8

EÐ>Ñ œ

+ Ð>Ñ + Ð>Ñ á + Ð>Ñ+ Ð>Ñ + Ð>Ñ á + Ð>Ñ

ã ã ã+ Ð>Ñ + Ð>Ñ á +

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88Ð>Ñ

Si es el vector nulo, el sistema se dice .J homogéneo


84

Solución de un sistema.

Una función es una del sistema si y sólo si 9 9

99

9

Ð>Ñ œ ß \ œ E\ J

Ð>ÑÐ>ÑãÐ>Ñ


"

#

8

wsolución

es una función derivable que satisface cada una de las ecuaciones del sistema.La del sistema de ecuaciones está dada porsolución general 8 \ œ E\ Jw

\Ð>Ñ œ \ Ð>Ñ \ Ð>Ñ \ Ð>Ñ2 : 2 donde es la solución general del sistema homogéneo\ œ E\ \ Ð>Ñ \ œ E\ Jw w

: e es una solución particular del sistema no homogéneo .

Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad.

Sean funciones matriciales continuas definidas sobre un intervalo .EÐ>Ñß J Ð>Ñ Ò+ß ,ÓEntonces, existe una única función que es solución del P.V.I. 9Ð>Ñ \ œ E\ Jßw

\Ð> Ñ œ \ Ò+ß ,Ó! ! en todo el intervalo .

Sistemas homogéneos. Solución general.

Un conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones se denomina8 6Þ3Þ 8sistema fundamental de soluciones.

Sean soluciones del sistema lineal9 9

9 99 9

9 9

" 8

"" "8

#" #8

8" 88

Ð>Ñ œ ß á ß Ð>Ñ œ 8

Ð>Ñ Ð>ÑÐ>Ñ Ð>Ñã ãÐ>Ñ Ð>Ñ


homogéneo .\ œ E\w

La matriz: se denomina una solución matricial delF9 9

9 9Ð>Ñ œ

Ð>Ñ á Ð>Ñã ãÐ>Ñ á Ð>Ñ

Î ÑÏ Ò

"" 8"

8" 88

sistema. Si además, es un conjunto , decimos que es una soluciónÖ ßá ß × 6Þ3Þ9 9 F" 8

matricial fundamental o una matriz fundamental del sistema.

Wronskiano.

Sea una solución matricial del sistema . Definimos el delFÐ>Ñ \ œ E\w wronskianosistema como [Ð>Ñ œ Ð>Ñ Þk kF

Criterio para soluciones l.i.. es una solución matricial fundamental si y sólo siFÐ>Ñ[Ð>Ñ Á ! [Ð> Ñ Á ! > − Ò+ß ,ÓÞ si y sólo si para algún ! !

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

85

Sistemas homogéneos con coeficientes constantes. Método de diagonalización.

Caso 1: La matriz es diagonalizable.E En este caso la matriz tiene vectores propios86Þ3Þ ß á ß ß á ß Þ correspondientes a los valores propios (posiblemente repetidos)@ @" 8 " 8- -

El sistema tiene soluciones de la forma .8 6Þ3Þ Ð>Ñ œ93 3@ /-3>

Distinguimos dos casos. • Si todos los valores propios de son reales, entonces:E

\ Ð>Ñ œ G / á G /2 " " 8 8> >@ @- -" 8

es la solución general del sistema.

• Si tiene algún valor propio complejo entonces, como tieneE œ + , 3 E-coeficientes reales, también es un valor propio de y si es un vector propio de , - -E @ @- -

es un vector propio de Luego,-Þ

@ @- -/ /- -> >#

œ / ÐV/Ð Ñ -9=Ð,>Ñ M7Ð Ñ =/8Ð,>ÑÑ+> @ @- -

@ @- -/ /- -> >#3 œ / ÐM7Ð Ñ -9=Ð,>Ñ V/Ð Ñ =/8Ð,>ÑÑ+> @ @- -

Caso 2: La matriz no es diagonalizable. Consideraremos únicamente el caso en que elEvalor propio de multiplicidad tiene sólo un vector propio asociado . Los demás- 7 6Þ3Þ @casos se encuentran en cualquier buen texto de ecuaciones diferenciales. La primerasolución es entonces . Las soluciones restantes son de la forma:9"

>Ð>Ñ œ / 7 " 6Þ3Þ@ -

9# ">Ð>Ñ œ Ð> Ñ/ ß@ @ -

9$ " #>Ð>Ñ œ Ð > Ñ/ ß>

#x

#@ @ @ -

ã ã

97 7$ 7# 7">Ð>Ñ œ Ð á > Ñ/> >

Ð7"Ñx #x

7" #@ @ @ @ -

donde los vectores con se construyen recursivamente resolviendo los@3 3 œ "ßá ß7 "sistemas:

ÐE MÑ œ ß á ß ÐE MÑ œ- -@ @ @ @" 3 3"


86

Sistemas no homogéneos. Método de variación de parámetros.

Sea una matriz fundamental del sistema homogéneo . Una soluciónFÐ>Ñ \ œ E\w

particular del sistema no homogéneo está dada por:\ œ E\ Jw

\ Ð>Ñ œ Ð>Ñ † Y Ð>Ñ: F

donde el vector columna se determina resolviendo para el sistemaYÐ>Ñ Y Àw

FÐ>Ñ † Y Ð>Ñ œ JÐ>Ñw

e integrando componente a componente el vector .Y w

Sistemas no homogéneos. Método de aniquiladores.

Este método resulta útil cuando el sistema no es de primer orden y en el caso de sistemaslineales que no están en forma normal. Utilizando operadores diferenciales podemosconvertir el sistema diferencial en un sistema algebraico y resolverlo como tal. Verejercicios.

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

87


"Þ # À Resolver los siguientes sistemas homogéneos de orden

+Ñ \ œ \ ' # $ "

w Œ k k º ºE M œ œ Ð 'ÑÐ "Ñ '

' # $ "

- - --

-

œ &- -#

Valores propios: Buscamos los vectores propios resolviendo el- -1 œ !ß œ &Þ#

sstema :ÐE MÑ\ œ !-

-" œ ! À

30 0Œ Œ Œ ' # " "

$ " $µ Ê $B C œ ! Ê œ@"

Ê Ð>Ñ œ"$

9" Œ -# œ & À

0 0Œ Œ Œ " # " # #$ ' "

µ Ê B #C œ ! Ê œ@#

Ê Ð>Ñ œ /#"

9#&>Œ

Solución general del sistema: \Ð>Ñ œ G G /" #$ "" #

&>Œ Œ

,Ñ\ œ \ " $ $ &

w Œ k k º ºE M œ

" $ $ &

--

-œ Ð #Ñ- #


88

es un valor propio de multiplicidad 2.- œ #

Busquemos el primer vector propio À

33ÐE #MÑ\ œ œ ! Ê B œ C Ê œ

$ B " $ C "Œ Œ Œ @

Ê Ð>Ñ œ /""

9"#>Œ

Para encontrar resolvemos la ecuación :92Ð>Ñ ÐE #MÑ œ@ @"

33Œ Œ Œ $ B "

$ C "œ Ê B œ

C"$

Para se tiene que C œ !ß B œ Ê"$

"$@" œ

!

Luego, 92Ð>Ñ œ >/ / œ /""

>

! >Œ #> #> #>

" "$ $

Así, la solución general del sistema es: \Ð>Ñ œ G / G /""

>

>" #

#> #>Œ Œ "$

#Þ \ œ \ ß \Ð!Ñ œ' " #& % )

Resolver el P.V.I. w Œ Œ

k k º ºE M œ œ "! #*Þ' "& %

- - --

-#

Entonces, 2- œ œ & 3"! "!!""'

#È

Valores propios complejos conjugados:

2 2- -1 œ & 3ß œ & 3Þ#

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

89

Vectores propios:

, luego, de donde2 22 0 0Œ Œ " 3 " & " 3

& " 3µ &B Ð" %3ÑC œ !ß

@" œ Þ" 3

&Œ 2

Solución general del sistema:

\Ð>Ñ œ G -9= #> =/8 #>Ñ / G -9= #> =/8 #>Ñ /" # # "& ! ! &" #

&> &>”Œ Œ • ”Œ Œ • Usando la condición inicial:

2Œ Œ Œ # ") & !

œ G G Ê G œ ß G œ " # " #) *& 5

Luego, la solución (única) del P.V.I. es:

\Ð>Ñ œ -9=#> =/8 #> / # &) *”Œ Œ • &>

$Þ Resolver el sistema no homogéneo:

\ œ \ ß ! > # & !" # ->1 >

w Œ Œ 1

Primero buscaremos los valores propios

º º# &" #

œ " Ê œ „3-

-- -#

Ahora buscamos los vectores propios À

Œ Œ Œ Œ # 3 & ! ! # "" # 3 " # 3 " !

µ Ê B œ Ð# 3ÑC Ê œ 3@"

Así,

\ Ð>Ñ œ G -9= > =/8 > G -9= > =/8 ># " " #" ! ! "2 " #” ”Œ Œ • Œ Œ •

œ G G#-9= > =/8 > -9= > #=/8 >

-9= > =/8 >" #Œ Œ


90

Ahora buscamos una solución particular:

\ Ð>Ñ œ ? Ð>Ñ ? Ð>Ñ#-9= > =/8 > -9= > #=/8 >

-9= > =/8 >: " #Œ Œ Para encontrar y debemos resolver el sistema:? Ð>Ñ ? Ð>Ñ" #

Ð#-9= > =/8 >Ñ? Ð>Ñ Ð-9= > #=/8 >Ñ? Ð>Ñ œ !

-9=> ? Ð>Ñ =/8> ? Ð>Ñ œ ->1 >" #w w

" #w w

Despejando de la primera ecuación? Ð>Ñ"

w

? Ð>Ñ œ ? Ð>Ñ" #

w w-9= >#=/8 >=/8 >#-9= > †

y reemplazando en la segunda , se tiene que

? Ð>Ñ œ ->1 >Ð=/8 > #-9= >Ñ#w

Ê ? Ð>Ñ œ -9= > # œ -9= > #-=- > #=/8 >#w -9= >

=/8 >

#

Así , ? Ð>Ñ œ =/8 > #68l-=- > ->1 >l #-9= >#

? Ð>Ñ œ ->1 >Ð=/8 > #-9= >Ñ œ -=-> =/8 > #-9=>"w -9= >#=/8 >

=/8 >#-9= > †

Luego, ? Ð>Ñ œ 68l-=- > ->1 >l -9= > #=/8 >"

La solución particular es entonces:

\ Ð>Ñ œ Ð68l-=- > ->1 >l -9= > #=/8 >Ñ#-9= > =/8 >

-9= >: Œ

Ð=/8 > #68l-=- > ->1 >l #-9= >Ñ-9= > #=/8 >

=/8 >Œ œ

&=/8 > † 68l-=- > ->1>l" Ð-9=> #=/8 >Ñ68l-=- > ->1>lŒ

Por lo tanto, la solución general del sistema es:

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

91

\Ð>Ñ œ -9= > =/8 >#G G G #G

G GŒ Œ " # " #

" #

68l-=- > ->1>l! &=/8 >" -9=> #=/8 >Œ Œ

%Þ Resolver el P.V.I.

\ œ \ ß \Ð"Ñ œ > !

" " #" " "

w Œ Œ ">">

º º" "" "

œ-

--#

Luego, es un valor propio de multiplicidad .- œ ! #

Œ Œ Œ Œ " " B " "" " C " "

œ ! Ê B œ C Ê œ Ê Ð>Ñ œ@ 9"

Para encontrar resolvemos el sistema:92Ð>Ñ

ÐE MÑ œ Ê B œ- @ @" C "

Para se tiene que C œ !ß B œ " Ê" "

@" œ Ê Ð>Ñ œ > ! " !

"Œ Œ Œ 92

Así, \ Ð>Ñ œ G G" > "" >2 " #Œ Œ


\ Ð>Ñ œ ? Ð>Ñ ? Ð>Ñ" > "" >: " #Œ Œ

donde y se obtienen resolviendo el sistema:? ?" #

? Ð> "Ñ? œ"

>

? >? œ "

>

w w" #

w w" #

Restando las ecuaciones: ? œw#

#> Ê ? œ # 68 >#


92

Reemplazando en la segunda ecuación:

? œ # Ê ? œ 68 > #>w" " "

>

Así, \ Ð>Ñ œ: Œ Œ #> " "#> " "

68 > # >

La solución general del sistema es:

\Ð>Ñ œ G G 68 > # >" > " #> " "" > #> " "" #Œ Œ Œ Œ

Reemplazando la condición inicial:

Œ Œ Œ Œ # " # # " " " #

G G Ê G œ #ß G œ $œ " # " #

Luego, la solución del P.V.I es:

\Ð>Ñ œ # $ 68 > # >" > " #> " "" > #> " "Œ Œ Œ Œ

œÐ#> "Ñ68 > > "Ð#> "Ñ 68 > > #Œ

&Þ \ œ \" ! !# # "! " !

Resolver el sistema homogéneo wÎ ÑÏ Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ â" ! !# # "! "

œ Ð" ÑÐ # "Ñ-

--

- - -#

es una valor propio de multiplicidad 3- œ "

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

! ! ! ! ! !# " " # ! !! " " ! " "

µ Ê B œ !ß C œ D

Ê œ Ê Ð>Ñ œ /! !" "" "

@Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò9"

>

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

93

Ahora debemos encontrar las soluciones y 9 92Ð>Ñ Ð>Ñ$

ÐE MÑ œ Ê B œ !ß C œ D "- @ @"

Para D œ ! Ê œ!"!

@"

Î ÑÏ Ò

92Ð>Ñ œ >/ / œ /! ! !" " > "" ! >

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò> > >

ÐE MÑ œ Ê B œ ß C œ D- @ @# ""#

Para D œ ! Ê œ !!

@#

Î ÑÐ ÓÏ Ò

"#

93Ð>Ñ œ / >/ / œ /! !" "" !

!!


Î ÑÐ ÓÏ Ò


>#

"#

"#

>#

>#

# #

#

> > > > >

Así, la solución general es

\Ð>Ñ œ G / G / G /! !" > "" >

" # $> > >



"#

>#

>#

#

#

>

'Þ Resolver el P.V.I.

\ œ \ß \Ð!Ñ œ $ ! ! $! $ # #! " " "

wÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ â $ ! !

! $ #! " "

œ Ð $ÑÐ % &Ñ-

--

- - -#

œ Ð $ÑÐ # 3ÑÐ # 3Ñ- - -


94

- œ $ À


! ! ! ! ! !! ' # ! ! #' C œ !! " % ! " % D œ !

µ Ê

Ê œ Ê Ð>Ñ œ /" "! !! !

@" "$>

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò9

- œ # 3 À

1Î Ñ Î Ñ

Ï Ò Ï Ò & 3 ! ! ! !

! " 3 # ! ! !! " " 3 ! " " 3

µ

Ê Ê œB œ ! !C œ Ð" 3ÑD " 3

" @

Î ÑÏ Ò

9##> #>Ð>Ñ œ / -9= > / =/8 >

! !" "" !


9$#> #>Ð>Ñ œ / -9= > / =/8 >

! !" "! "



\Ð>Ñ œ G / G G / -9=>" ! !! " "! " !

" #$> #>

$

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò– —

G G / =/8 >! !" "! "

– —Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò# $

#>

Reemplazando las condiciones iniciales:

\Ð!Ñ œ œ Ê$ G G œ $

# G G G œ " " G G œ "


" "

# $ $

# #

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

95

Así, la solución del P.V.I. es

\Ð>Ñ œ $ / -9= > =/8 > /" ! !! # !! " "

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò– —$> #>

(Þ \ œ \ " " " #" " ! -9= >" ! " -9= >

Resolver el sistema: wÎ Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â" " " " " "" " ! ! " " " ! " " ! "

œ- -

- - -- -

œ Ð" ÑÐ "Ñ œ !- -#

Tenemos valores propios: $ œ "ß œ 3ß œ 3Þ- - -" # $

-" œ " À


# " " !" ! ! "" ! ! "

Ê B œ !ß C œ D @ œ"

-# œ 3 À


" 3 " " " ! " 3" " 3 ! ! " "" ! " 3 ! ! !

µ

Ê B œ Ð" 3ÑDß C œ D Ê œ" 3""

@#

Î ÑÏ Ò

Luego, la solución de la homogénea es:

\ Ð>Ñ œ G / G -9= > =/8 >! " "

" " !" " !

2 " #>

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò– —

G -9= > =/8 >" "! "! "

$– —Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò


96

Para encontrar una solución particular resolvemos el sistema:

? Ð-9= > =/8 >Ñ ? Ð-9= > =/8 >Ñ œ ## $w w

? / ? -9= > ? =/8 > œ -9= >" # $w > w w

? / ? -9= > ? =/8 > œ -9= >" # $w > w w

Restando la tercera ecuación con la segunda: #? œ ! Ê ? œ !"

w"

Despejando de la la tercera ecuación: ? ? œ# #w w -9= >? =/8 >

-9= >$w

Reemplazando en la primera ecuación y despejando:

? œ #-9= > -9= >Ð-9= > =/8 >Ñ Ê ? œ #=/8 > =/8 #> > =/8 >$w #

$" " "% # #

Ahora,

? œ#w -9= >Ð#-9= >-9= >Ð-9= >=/8 >ÑÑ=/8 >

-9= >

œ " #=/8 > -9= >=/8 > =/8 >#

Ê ? œ > # -9= > =/8 > > =/8 #>##" " " "

# # # %

Luego,

\ Ð>Ñ œ Ð# -9= > =/8 > =/8 #>Ñ-9= > =/8 >

-9= >-9= >

:#" "

# %

Î ÑÏ Ò

Ð#=/8 > =/8 #> > =/8 >Ñ-9= > =/8 >

=/8 >=/8 >

" " "% # #

#Î ÑÏ Ò

)Þ \ œ \ /

# # $ %! # $ #! ! " "! ! ! "

/">"

Resolver el sistema: w #>

>Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â# # $ %! # $ #! ! " "! ! ! "

œ Ð #Ñ Ð "Ñ

--

--

- -# #

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

97

Tenemos dos vectores propios, ambos de multiplicidad .#

- œ # À


! # $ % ! # ! ! C œ !! ! $ # ! ! ! ! D œ !! ! " " ! ! " ! ? œ !! ! ! " ! ! ! "

µ Ê

Ê œ Ê Ð>Ñ œ /

" "! !! !! !

@" "#>


9

Como es de multiplicidad , debemos encontrar el otro vector:- #


! # $ % ã "! ! $ # ã !! ! " " ã !! ! ! " ã !

Ê

C œ

D œ !? œ !

"#

Tomando Ê B œ !ß œ Ê Ð>Ñ œ /

! >

! !! !

@# ##>


" "# #9

- œ " À

-Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

" # $ % " ! $ ! B œ $D! " $ # ! " $ ! C œ $D! ! ! " ! ! ! " D œ D! ! ! ! ! ! ! ! ? œ !

µ Ê

Ê @ œ Ê Ð>Ñ œ /

$ $ $ $" "! !

" $>


9


98

Buscamos el otro vector:

- --Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó

Ï Ò Ï Ò" # $ % $ " ! $ ! *! " $ # $ ! " $ ! &! ! ! " " ! ! ! " "! ! ! ! ! ! ! ! ! !

µ

Tomando

-

Ê Ê D œ !ß œ

B œ $D * *C œ $D & &

D œ D !? œ " "

@"


Ê Ð>Ñ œ /

$Ð> $Ñ $> &

>"

9%>


Así,

\ Ð>Ñ œ G / G / G / G /

" $ $Ð> $Ñ! $ $> &! " >! ! "

>

!!

2 " # $ %#> #> > >

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

"#

Ahora, hacemos variación de parámetros para encontrar una solución particular:

? / ? >/ ? $/ ? $Ð> $Ñ/ œ /" # $ %w #> w #> w > w > $>

"# ? / ? $/ ? Ð$> &Ñ/ œ /# $ %

w #> w > w > #>

? / ? >/ œ >/$ %w > w > #>

? / œ /%w > #>

Luego, ? œ / Ê ? œ /%

w > >%

( cualquier constante).? œ Ê ? œ !$w

$! ? œ 'Ð> #Ñ Ê ? œ $> "#> œ $>Ð> %Ñ#

w ##

? œ / '>Ð> #Ñ $Ð> $Ñ Ê ? œ / #> > *>"w > > $ #

""&#

Luego,

\ Ð>Ñ œ $>Ð> %Ñ /

/ #> > *>

!! !! !

> $Ð> $Ñ Ð$> &Ñ

>"

:

> $ #

#>– —Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

"&# "

#

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

99

Finalmente, la solución general está dada por

+

\Ð>Ñ œ / /

G G >

G

!!

$ÐG G Ð> $ÑÑ $G G Ð$> &Ñ

G G >G


" #

# #> >

$ %

$ %

$ %

%

"#

/

/ > '> *

> $> &

>"

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

> $

# #>

*>#

$#

#

*Þ Resolver el P.V.I.:

\ Ð>Ñ œ ß \Ð!Ñ œ

" ! ! ! "# ! ! ! "! # ! ! #! ! # " #

>> "

/

/

w

#

>

>

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â" ! ! !# ! !! # !! ! # "

œ Ð "Ñ

--

--

- -# #

Tenemos dos vectores propios, ambos de multiplicidad dosÞ

- œ ! À

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

" ! ! ! B œ ! ! !# ! ! ! C œ ! ! !! # ! ! #D ? œ ! " "! ! # " # #

Ê Ê œ Ê Ð>Ñ œ@" "9

Ahora buscamos el segundo vector:


" ! ! ! ! B œ !# ! ! ! ! #C œ "! # ! ! " #D ? œ #! ! # " #

Ê

Ê œ Ê Ð>Ñ œ >

! !

! ! # #

!!"

#

@# #

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

" "# #9


100

- œ " À

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

! ! ! ! ! !# " ! ! ! !! # " ! ! !! ! # ! " "

Ê Ê œ Ê Ð>Ñ œ /D œ !C œ !B œ !

@$ $>9

La otra solución la obtenemos resolviendo el sistema:


! ! ! ! ! "# " ! ! ! #! # " ! ! %! ! # ! " !

Ê Ê œ#D œ "

#C D œ !#B C œ !

@%")

Ê Ð>Ñ œ > / /

! "! #! %" !

9%> >


")

\ Ð>Ñ œ G G G / G /

! ! ! "! "Î# ! #" > ! %

# # #> " )>

2 " # $ %> >

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

")

Buscamos la solución particular usando variación de parámetros:

")? / œ > Ê ? œ )> / Ê ? œ )Ð> / #>/ #/ Ñ% %

w > # w # > # > > >%

" " %# % $? ? / œ > " Ê ? œ #Ð> " #> Ñ Ê ? œ > #> ># % #

w w > w # # $#

? >? ? / œ /" # %w w w > >"

#

Ê ? œ / #>Ð> " #> Ñ %> œ / '> #> %>"w > # # > # $

Ê ? œ / #> > >"> $ # %

#? #Ð" >Ñ? ? / ? >/ œ /" # $ %w w w > w > >

Ê ? œ / Ð/ #/ "'> %> )> %Ñ$w > > > # $

Ê ? œ > / / Ð)> %!> ('> (#Ñ$#> > $ #

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

101

Luego,

\ Ð>Ñ œ

Ð> #> #Ñ

Ð > $> > %Ñ

Ð/ > $> > )> )Ñ

/ >/ > > #!> &'> (#

:

#

# $

> $ # %

> > % $ #

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

$ ## $

"$

"% "!$ $

\Ð>Ñ œ \ ÐBÑ \ Ð>Ñ2 :

Usando las condiciones iniciales:

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ ÓÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

" ! ! " # " ! ! # %# " ! % )

# # " ! (#

œ G G G G

!

! #

" # $ %

"# "

)

Ê G œ #%ß G œ 'ß G œ #ß G œ *!% # " $

Luego, la solución del P.V.I. es:

\Ð>Ñ œ /

! $ $ '

# ' > "#"' "# > #%> *!


>

Ð> #> #Ñ

Ð > $> > %Ñ

Ð/ > $> > )> )Ñ

/ >/ > > #!> &'> (#

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

#

# $

> $ # %

> > % $ #

$ ## $

"$

"% "!$ $

"!Þ Resuelva el sistema .B œ C $B

C œ #B #C

ww

ww

Usamos método de eliminación. El sistema se puede escribir como:

ÐH $ÑB C œ !

#B ÐH #ÑC œ !

#

#

Aplicando a la primera ecuación y sumándola a la segunda:ÐH #Ñ#

ÐH &H %ÑB œ ! Ê ÐH "ÑÐH %ÑB œ !% # # #


102

Luego, BÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9=#> G =/8#>" # $ %

Reemplazando en la primera ecuación:

CÐ>Ñ œ ÐH $ÑBÐ>Ñ#

œ #G -9= > #G =/8 > G -9=#> G =/8#>" # $ %

""Þ Resolver el sistema: B %B C œ >

B B C œ !

w w #w

w w

Como el sistema es de segundo orden lo resolveremos por el método deeliminación:

ÐH %ÑB H C œ >

ÐH "ÑB HC œ !

# #

Multiplicando por la segunda ecuación y sumándola con la primeraHobtenemos la ecuación no homogénea de segundo orden:

ÐH %ÑB œ ># #


B Ð>Ñ œ G -9=#> G =/8 #>2 " #

Usando aniquiladores, tenemos que la solución particular es de la formaB Ð>Ñ œ E> F> G:

# .

Derivando y reemplazando en la ecuación tenemos:

E œ ß F œ !ß G œ" "% )

Así, BÐ>Ñ œ G -9=#> G =/8 #> > " ##" "

% ) Þ

Para encontrar debemos reemplazar y en la segunda ecuación delCÐ>Ñ BÐ>Ñ B Ð>Ñw

sistema. C Ð>Ñ œ G -9=#> G =/8#> #G =/8#> #G -9=#> > > w #

" # " #" " "% # )

Integrando con respecto a :> CÐ>Ñ œ Ð G Ñ-9=#> ÐG =/8#> GG G

# # "# % )> > ># "$ #

" # $Ñ

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30/</8-3+6/=

103

"#Þ Usar método de eliminación para resolver el siguiente sistema:

B œ B D

C œ C D

D œ B C

w

w

w

Se trata de un sistema homogéneo. Lo escribimos en términos de operadoresdiferenciales:

ÐH "ÑB D œ !

ÐH "ÑC D œ !

B C HD œ !

Restamos la primera ecuación con la segunda y aplicamos a la primera ecuaciónHy la sumamos con la tercera:

ÐH "ÑB ÐH "ÑC œ ! ÐH H "ÑB C œ !#

Aplicamos a la segunda ecuación y obtenemos: ÐH "Ñ HÐH "Ñ B œ !#

Esta es una ecuación lineal homogénea de orden tres cuya solución general estádada por:

BÐ>Ñ œ G ÐG G >Ñ/" # $>

Despejando de la segunda ecuación tenemos , de donde :C C œ ÐH H "ÑB#

CÐ>Ñ œ G ÐG G G >Ñ/" # $ $>

Finalmente, del hecho que obtenemos: D œ ÐH "ÑB DÐ>Ñ œ G G /" $>

"$Þ Usar método de eliminación para resolver el siguiente sistema:

B C D œ >

B C D œ "

B C œ / C D B

w w ww w w

w w w

w w >w

Se trata de un sistema no homogéneo y lo escribimos en términos de operadores: H B H C H D œ ># # #

HB HC HD œ " ÐH "ÑB ÐH "ÑC D œ /# >


104

Aplicamos a la segunda ecuación y la sumamos con la primera:H

#H B œ > Ê HB œ G Ê BÐ>Ñ œ G > G Þ#" " #

> >% "#

# $

Aplicamos a la tercera ecuación y la sumamos con la segunda:H

HÐH #ÑB HÐH #ÑC œ / "# >

(HÐH #ÑBÐ>Ñ œ ÐH #Ñ G Ñ œ #G Þ# #" "

> " >% # #

# #

Reemplazando: HÐH #ÑC œ / #G>"

" ># #

#

Luego, , donde es de la forma:CÐ>Ñ œ G G / C Ð>Ñ C$ % : :#>

C œ +/ ,> -> .>:> # $


C œ +/ , #-> $.>:w > #

C œ +/ #- '.>:w >w

C #C œ +/ #Ð- ,Ñ #Ð#- $.Ñ>: :w w >w

Luego, , de donde:+ œ "ß - œ ß . œ ß , œ G " " ") "# )"

CÐ>Ñ œ G G / / ÐG Ñ> > >$ % "#> > # $" " "

) ) "#

Finalmente, reemplazando en la tercera ecuación, obtenemos:

DÐ>Ñ œ / ÐH "ÑB ÐH "ÑC> #

œ / > G G G G / >> #> #() " # $ %

" ") )

105

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición.

Sea una función real definida en el intervalo . La de0 Ò!ß_Ñ Transformada de Laplace0Ð>Ñ Ö0Ð>Ñ× œ JÐ=Ñ œ / 0Ð>Ñ.> = se define como para todos los valores de para ¿ '

!

_=>

los cuales la integral converge.

Definición.

Una función real se dice (o seccionalmente continua o continua a0 continua por tramostrozos) en un intervalo si:Ò+ß ,Ó

a) está definida y es continua en el intervalo excepto en un número finito de puntos0 Ò+ß ,ÓÖB ß B ß á ß B × Ò+ß ,Ó" # 8 de .

b) En cada punto de discontinuidad los límites laterales existen.B3

La función se dice continua por tramos en el intervalo si es continua por tramos0 Ò!ß_Ñen todo intervalo Ò!ß 8Ó ß 8 − Þ

Definición.

Una función real definida en un intervalo se dice que es en0 Ò!ß_Ñ de orden exponencialÒ!ß_Ñ Q G 0ÐBÑ Ÿ Q/ B !Þ si y sólo si existen constantes y tales que para todo k k GB

Teorema. Existencia de la Transformada de Laplace. Condiciones suficientes.

Si es una función continua por tramos y de orden exponencial en el intervalo ,0 Ò!ß_Ñentonces su transformada de Laplace existe.

Propiedades de la Transformada de Laplace. Sean funciones reales cuya0ß 1transformada de Laplace existe y está dada por , respectivamente.JÐ=Ñß KÐ=Ñ


106

Linealidad. ¿ ! " ! "Ö 0Ð>Ñ 1Ð>Ñ× œ JÐ=Ñ KÐ=Ñ

Primera propiedad de traslación. ¿Ö/ 0Ð>Ñ× œ JÐ= +Ñ+>

Segunda propiedad de traslación. ¿ hÖ Ð> +Ñ0Ð> +Ñ× œ / JÐ=Ñ+= ,

donde y + ! Ð> +Ñ œ" > +! > +

h œCambio de escala. ¿Ö0Ð+>Ñ× œ " =

+ +J ˆ ‰

Diferenciación. Si es continua y de orden exponencial y existe y es continua por0 0 w

tramos en , entonces existe la Transformada de Laplace de para y está dadaÒ!ß_Ñ 0 = Gw

por:

¿Ö0 Ð>Ñ× œ =JÐ=Ñ 0Ð! Ñw

Generalizando apropiadamente se obtiene:

¿Ö0 Ð>Ñ× œ = JÐ=Ñ = 0Ð! Ñ = 0 Ð! Ñ á 0 Ð! ÑÐ8Ñ 8 8" 8# w Ð8"Ñ

Integración. Si es orden exponencial y continua por tramos, y un número real no0 +

negativo, la transformada de Laplace de la función definida por existe y1Ð>Ñ œ 0Ð?Ñ.?'+

>

está dada por: ¿Ö 0Ð?Ñ.?× œ 0Ð?Ñ.?' '

+ !

> +JÐ=Ñ= =

"

Multiplicación por . >8 para ¿ Ö> 0Ð>Ñ× œ Ð "Ñ J Ð=Ñ ß 8 − Þ8 8 Ð8Ñ

División por . > , siempre que exista.¿š ›0Ð>Ñ 0Ð>Ñ> >œ JÐ?Ñ.?'

=

_

>Ä!lim

Convolución. Se define la convolución de y como:0 1 ß 0‡1ß

Ð0‡1ÑÐ>Ñ œ 0Ð?Ñ1Ð> ?Ñ.?'!

>

Esta operación es conmutativa, asociativa y distributiva con respecto a la suma. Sutransformada de Laplace está dada por:

¿ ¿Ö 0Ð?Ñ1Ð> ?Ñ.?× œ ÖÐ0‡1ÑÐ>Ñ× œ JÐ=ÑKÐ=Ñ'!

>

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

107

Funciones periódicas. Si es periódica de período entonces:0 : !ß

¿Ö0Ð>Ñ× œ'!

: =>

=:

/ 0Ð>Ñ.>

"/Propiedades sobre límites.

a) lim=Ä_

JÐ=Ñ œ !

b) Teorema del valor inicial: lim lim>Ä! =Ä_

0Ð>Ñ œ =JÐ=Ñ

c) Teorema del valor final: lim lim>Ä_ =Ä!

0Ð>Ñ œ =JÐ=Ñ

d) Generalización del Teorema del valor inicial:

Si , entonceslim lim>Ä! =Ä_

0Ð>Ñ JÐ=Ñ1Ð>Ñ KÐ=Ñ

œ " œ "

e) Generalización del Teorema del valor final:

Si , entonceslim lim>Ä_ =Ä!

0Ð>Ñ JÐ=Ñ1Ð>Ñ KÐ=Ñ

œ " œ "

Función de Bessel de primera especie de orden <. Esta función aparece como solución de la ecuación de Bessel À

, B C BC ÐB < ÑC œ ! < !# w w # #w

y está dada por:

N Ð>Ñ œ N Ð!Ñ œ "< !8œ!

_! Ð"Ñ8x Ð<8"Ñ #

> <#88

> Ð Ñ ,

Transformada Inversa de Laplace .

Si , decimos que es la transformada inversa de la función yJÐ=Ñ œ Ö0Ð>Ñ× 0 J_escribimos ._"ÖJÐ=Ñ× œ 0Ð>Ñ


108

Transformadas elementales.

0Ð>Ñ JÐ=Ñ

" = !

> = !

=/8 +> = !

-9= +> = !

=/82 +> = +

-9=2 +> = +

/ = +

> = ! ß + "

N Ð

"=8x

=+

Ð= + Ñ=

Ð= + Ñ+

Ð= + Ñ=

Ð= + Ñ"

=+Ð+"Ñ=

8

+>

+

!

8"

# #

# #

# #

# #

+"

k kk k

>

+>Ñ = !

N Ð+>Ñ = !

Ð> +Ñ = !

Ð>Ñ "

"

= +

Ð = + =Ñ

+ = +/=

ÈÈ È

# #

# # 8

8 # #

+=

8

h

$

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

109

Problemas resueltos

"Þ 0Ð>Ñ œ Ö0Ð>Ñ× Ö0 Ð>Ñ×Þ# > ! Ÿ > Ÿ "> > "

Sea . Calcular y œ _ _ w

0Ð>Ñ œ #> > Ð> "Ñ œ #> Ð> "Ñ Ð> "Ñ Ð> "Ñh h h

Ê Ö0Ð>Ñ× œ _ # / /= = =# #

= =

Como no es continua, no podemos usar la fórmula0

_Ö0 Ð>Ñ× œ =JÐ=Ñ 0Ð! Ñw

0 Ð>Ñ œ œ # Ð> "Ñ# ! Ÿ > Ÿ "" > "

w œ h

Luego, _Ö0 Ð>Ñ× œ w # /= =

=

También podríamos haber usado la fórmula para funciones con discontinuidad porsaltos:

_Ö0 Ð>Ñ× œ =JÐ=Ñ 0Ð! Ñ / Ð0Ð" Ñ 0Ð" ÑÑw =

œ / / œ # / # /= = = =

= == =

#Þ Determinar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

+Ñ 0Ð>Ñ œ >/ =/8 >#> =

_ _Ö=/8A >× œ ß = ! Ê Ö/ =/8A >× œ ß = !A A= A Ð=#Ñ A# # # #

#>

JÐ=Ñ œ Ð Ñ œ ß = !. A.= Ð=#Ñ A ÐÐ=#Ñ A Ñ

#AÐ=#Ñ# # # # #

,Ñ 0Ð>Ñ œ Ð> $> #Ñ =/8 $>#

JÐ=Ñ œ Ð Ñ $ Ð Ñ #Ð Ñ. $ . $ $.= = * .= = * = *

#

# # # #


110

œ 'Ð= *Ñ#%=

Ð= *Ñ Ð= *Ñ = *")= '# #

# $ # # #

œ

")Ð= $ÑÐ= *Ñ Ð= *Ñ = *

")= '#

# $ # # #

$Þ Calcular la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

+Ñ 0Ð>Ñ œ=/8 > ! > ! > œ 1

1

Aquí conviene simplemente aplicar la definición:

_Ö0Ð>Ñ× œ 0Ð>Ñ/ .> œ =/8 > / .>' '! !

_=> =>

1

œ Ð= =/8 > -9= >Ñ œ/ / "= " = "

=> =

# #¹!

1 1

,Ñ 0Ð>Ñ œ

-9= > ! > =/8 > >

œ 11

También podríamos usar directamente la definición, pero es más cómodo escribir 0en términos de la función escalón:

0Ð>Ñ œ -9= > Ð> Ñ Ð=/8 > -9= >Ñh 1

œ -9= > Ð> Ñ Ð=/8Ð> Ñ -9=Ð> ÑÑh 1 1 1

Luego, _Ö0Ð>Ñ× œ == " = "

/ Ð"=Ñ# #

=1

-Ñ > Ò>Ó ß > − Ò!ß_Ñ

Podemos escribir esta función en términos de la función escalón:

> Ò>Ó œ Ð> 8Ñ!8œ"

_

h

Aplicando transformada de Laplace:

_Ö> Ò>Ó × œ !8œ"

_/ /= =Ð"/ Ñ

8= =

=œ

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

111

Otra forma es graficar la función y notar que se trata de una función periódica yusar la propiedad correspondiente.

.Ñ 0Ð>Ñ œ& =/8 $Ð> Ñ > Î%

! > Î%œ 1

% 1

1

Claramente, , por lo que0Ð>Ñ œ & Ð> Ñ =/8 $Ð> Ñ Àh 1 1% %

_Ö0Ð>Ñ× œ "&/= *

= Î%

#

1

%Þ Ö>0Ð>Ñ× œ Ö/ 0Ð#>Ñ×Þ Si , encontrar _ _"=Ð= "Ñ#

>

Suponiendo que existe,0Ð! Ñ

_Ö0Ð>Ñ× œ .? œ 68 œ 68'=

_ _

=

"?Ð? "Ñ

? =

? " = "# # #È È¹ y¿Ö0Ð#>Ñ× œ J" =

# #ˆ ‰

_Ö/ 0Ð#>Ñ× œ JÐ Ñ œ 68> " =" "# # # ="

Ð="Ñ %È #

&Þ +Ñ Ö=/8 >× Calcular _ #

=/8 > œ Ð" -9= #>Ñ Ê Ö=/8 >× œ Ð Ñ# #" " " =# # = = %_ #

Usar para demostrar que ,Ñ +Ñ Ö × œ 68Ð Ñ_ =/8 > " = %> % =

# #

#

Como existe,lim>Ä!

=/8 >>

#

œ !ß

_Ö × œ Ð Ñ .? œ 68 œ 68Ð Ñ=/8 > " " ? " ? " = %> # ? ? % # % =? %

# #

# ##'=

_

=

_

È ¹ Usar para calcular -Ñ ,Ñ .>'

!

_ / =/8 >>

> #

Evaluando en = œ "ß .> œ 68 &'!

_ / =/8 > "> %

> #


112

'Þ Ö/ ? -9= %? .?× Calcular usando propiedades _ $>!

>' _Ö-9= %>× œ =

= "'#

_Ö>-9= %>× œ Ð œ œ Þ. = = "'#= = "'.= = "' Ð= "'Ñ Ð= "'Ñ# # # # #

# # #

Ñ

Luego, _Ö/ ? -9= %? .?× œ Þ$>!

>' Ð=$Ñ "'Ð=$ÑÐÐ=$Ñ "'Ñ

#

# #

(Þ Ö0 Ð>Ñ× œ +<->+8Ð Ñß 0Ð!Ñ œ # 0 Ð!Ñ œ " Ö0Ð>Ñ×Þ Si y , encon-trar _ _w ww "=

Si suponemos que y son continuas y continua a trozos en 0 0 0 Ò!ß_Ñ Àw ww

_Ö0 Ð>Ñ× œ +<->+8Ð Ñ œ = JÐ=Ñ =0 Ð! Ñ 0 Ð! Ñw # w w "=

Igualando, +<->+8Ð Ñ œ = JÐ=Ñ #= ""

=#

Luego, JÐ=Ñ œ Ö0Ð>Ñ× œ Ð+<->+8Ð Ñ #= "Ñ_ " "= =#

)Þ Ö Ð> +Ñ0Ð> +Ñ× œ / JÐ=Ñ Demostrar que y usarlo para calcular_ h +=

_"Ö ×/= '="!

$=

# .

_ h hÖ Ð> +Ñ0Ð> +Ñ× œ Ð> +Ñ0Ð> +Ñ/ .> œ 0Ð> +Ñ/ .>' '! +

_ _=> =>

Haciendo el cambio de variable ? œ > + À

_ hÖ Ð> +Ñ0Ð> +Ñ× œ 0Ð?Ñ/ .? œ / JÐ=ÑÞ'!

_=Ð?+Ñ +=

Ahora, " " "= '="! Ð=$Ñ " = '="!# # #œ Ê Ö × œ / =/8 >_" $>

Luego, _ h" $Ð>$ÑÖ × œ Ð> $Ñ/ =/8Ð> $ÑÞ/= '="!

$=

#

*Þ Calcular la Transformada Inversa de las siguientes funciones:

+Ñ 68 " Š ‹"= Escribimos primero el desarrollo en serie de potencias de y aplicamos la68 " Š ‹"=

Transformada Inversa de Laplace:

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

113

_ _" "

8œ"

_š ›Š ‹ œ !68 " œ"= 8 =

Ð"Ñ8"

8

œ Ö ×!8œ"

_"Ð"Ñ

8 ="8"

8_

œ !8œ"

_ Ð"Ñ >8x

8" 8"

œ œ Ð" / Ñ" "> 8x >

Ð"Ñ >!8œ"

_>

8 8

,Ñ Ð= "Ñ$ "

. Fracciones parciales.Método 1

" " E F=G= " Ð="ÑÐ= ="Ñ =" = ="$ # #œ œ

Ê Ê E œ ß F œ ß G œEF œ !

EF G œ !E G œ "

Ÿ " " #$ $ $

" " " =# " "= " $ =" = =" $ ="

=

Ð= Ñ $ #

" $# ##

œ œ Ð Ñ Ð Ñ" $# %

œ " "$ ="

=

Ð= Ñ Ð= Ñ Ð Ñ

" $# ## #" $ " $

# % # %

Luego,

_" > > >Ö × Ð Ñ" "= " $ # #

$ $$ œ / / -9=Ð > $ / =/8Ð >ÑÑ

" "# #

È ÈÈ

. Convolución.Método 2

" " "= " =" = ="$ #œ †

JÐ=Ñ œ Ê 0Ð>Ñ œ / KÐ=Ñ œ œ œ" " " #=" = =" Ð= Ñ Ð= Ñ $

># " $ " $

# % # %# #

$#È

È

Ê 1Ð>Ñ œ / =/8Ð >Ñ#

$

$#È È"

# >


114

_" ? Ð>?Ñ!

>Ö ×" #= " #$

$$ œ / =/8Ð ?Ñ/ .?' È È"

#

œ / / =/8Ð ?Ñ .?#

$

$#È È

> ?!

>' $#

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$ $ # # # #$ $ $È È È È

>

!

>

Ò Ó$#? Ð ¹

œ / =/8Ð >Ñ -9=Ð >ÑÑ # / $ "

$ $ # # # # $ #$ $ $ $È È È È È

>Ò Ó$#> Ð

œ $=/8Ð >Ñ -9=Ð >ÑÑ // "$ # # $

$ $"#> ÐÈ È È

>

"!Þ .> Evaluar la integral '0

_ / />

#> %>

0Ð>Ñ œ / / Ê JÐ=Ñ œ #> %> " "

=# =%

, existe.lim lim>Ä! >Ä!

0Ð>Ñ> >

/ /œ œ # % œ ##> %>

¿š ›0Ð>Ñ> = =

_ _œ JÐ?Ñ.? œ .? œ ! 68' ' Ð Ñ" " =#

?# ?% =%

Luego, , de donde, tomando :'0

_=>/ / =%

> =#

#> %>

/ .> œ 68 = œ !

'0

_ / />

#> %>

.> œ 68 #

""Þ Demostrar que:

+Ñ N ÐBÑ .B œ "'!

_

!

(ver Tabla)_ÖN Ð>Ñ× œ N Ð>Ñ / .> œ ß = !! !!

_=>' "

= "È #

' '! !

_ _

! !=Ä!

=>

=Ä!N ÐBÑ .B œ N Ð>Ñ / .> œ œ "lim lim

+

"

= "È #

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

115

,Ñ .? œ /'0

_>? =/8 >?

"? ##1

Aplicamos Transformada de Laplace À

_Ö .?× œ / .? .>' ' '0 0 0

_ _ _=>? =/8 >? ? =/8 >?

"? "?# #

œ / .? .>' '

0 0

_ _=>? =/8 >?

"?#

œ / .> .?' '0 0

_ _=>? =/8 >?

"?#

œ Ö=/8?>× .?'0

_ ?"?#_

œ † .?'0

_Ð Ñ? ?"? = ?# # #

œ .?" " ="= "? = ?# # # #

#'0

_Ð Ñ

œ Ð+<->+8? = +<->+8Ð Ñ" ?"= =# ¹

0

_

œ Ð" =Ñ œ""= #Ð="Ñ##

1 1

Aplicando Transformada Inversa, como queríamos probar.CÐ>Ñ œ /1#

>

-Ñ Ö=/8 > × œ_ #

8œ"

_! Ð"Ñ Ð%8#ÑxÐ#8"Ñx=

8"

%8"

Como =/8 > œ ß =/8 > œ! !8œ" 8œ"

_ _#Ð"Ñ > Ð"Ñ >

Ð#8"Ñx Ð#8"Ñx

8" #8" 8" %8#

Luego, _Ö=/8 > × œ#

8œ"

_! Ð"Ñ Ð%8#ÑxÐ#8"Ñx =

8"

%8"

.Ñ .B œ +<->+8Ð Ñ ß +ß , ! '!

_ / =/8 ,B ,B +

+B

Como , existe, entonceslimBÄ!

=/8 ,BB œ ,

_Ö × œ .? œ +<->+8=/8 ,> , ?> ? , ,

'=

_

=

_

# # ¹


116

œ +<->+8 œ +<->+8 ß = !Þ1# , =

= ,

Evaluando en , obtenemos = œ + .B œ +<->+8Ð Ñ'!

_ / =/8 ,B ,B +

+B

"#Þ Ð> ?Ñ / =/8? .> .? Calcular la integral: ' '! ?

_ _ $ Ð>?Ñ

Primero cambiamos los límites de la integral:

' '!

_

?

_$ Ð>?ÑÐ> ?Ñ / =/8? .> .?

œ Ð> ?Ñ / =/8? .? .>' '! !

_ >$ Ð>?Ñ

Ahora, '!

> $ Ð>?Ñ $ >Ð> ?Ñ / =/8? .? œ > / ‡=/8 >

Aplicando Transformada de Laplace :

_Ö> / ‡=/8 >× œ †$ > ' "Ð="Ñ = "% #

œ / Ð> ?Ñ / =/8? .? .>' '! !

_ >=> $ Ð>?Ñ

Evaluando en .= œ ! À Ð> ?Ñ / =/8? .> .? œ '' '! ?

_ _ $ >

"$Þ Resolver las siguientes ecuaciones integrales:

+Ñ CÐBÑ œ B / / CÐ>Ñ.>B >!

BŠ ‹' Aplicamos Transformada de Laplace:

_ _Ö ×/ / CÐ>Ñ.> œ Ö / CÐ>Ñ.>× œ ] Ð=ÑB > B>! !

B BŠ ‹' ' "="

Entonces, de donde Ð" Ñ] Ð=Ñ œ ß ] Ð=Ñ œ Þ" " ="=" = =# $

Luego, CÐBÑ œ B B"##

,Ñ CÐ>Ñ œ > Ð> ?Ñ CÐ?Ñ.?"''!

>$

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

117

Aplicando Transformada de Laplace, ] Ð=Ñ œ ] Ð=Ñ" "= =# %

Despejando: ] Ð=Ñ œ œ œ = = " " "

= " Ð= "ÑÐ= "Ñ # Ð= "Ñ Ð= "Ñ

# #

% # # # #Ð Ñ

Luego, CÐ>Ñ œ Ð=/82 > =/8 >Ñ"#

-Ñ / œ CÐBÑ # -9=ÐB >ÑCÐ>Ñ.>B!

B' Aplicamos T. de L.: " =

=" = "œ ] Ð=Ñ # ] Ð=Ñ#

Despejando: ] Ð=Ñ œ † œ" = " = "#=#=##=" Ð="Ñ Ð="Ñ

# #

# $

œ " # #=" Ð="Ñ Ð="Ñ# $

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ / #>/ > /> > # >

"%Þ Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

+Ñ C C œ / ß CÐ!Ñ œ ! ß C Ð!Ñ œ "Þw > ww

Aplicando Transformada de Laplace:

, de donde= ] Ð=Ñ =CÐ!Ñ C Ð!Ñ ] Ð=Ñ œ# w "="

] Ð=Ñ œ † Ð "Ñ" "= " ="#

œ œ Ð Ñ= " " # "Ð="Ñ Ð="Ñ % =" Ð="Ñ ="# #

Aplicando Inversa: CÐ>Ñ œ Ð/ #>/ / Ñ"%

> > >

,Ñ C %C œ ß CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ !$ =/8 > ! Ÿ > Ÿ #! > #

w ww œ 11


= ] Ð=Ñ =CÐ!Ñ C Ð!Ñ %] Ð=Ñ œ Ö$ =/8 > $ Ð> # Ñ =/8Ð> # Ñ×# w _ h 1 1

] Ð=Ñ œ œ " $ $/ $ $/= % = " = " Ð= %ÑÐ= "Ñ Ð= %ÑÐ= "Ñ# # # # # # #

# = # =

Ð Ñ1 1


118

Separando en fracciones parciales:

$ " "Ð= %ÑÐ= "Ñ = " = %# # # #œ

Luego, de donde_"Ö ×$ "Ð= %ÑÐ= "Ñ ## # œ =/8 > =/8 #>

CÐ>Ñ œ =/8 > =/8 #>"#

Ð> # ÑÐ=/8Ð> # Ñ =/8 #Ð> # ÑÑh 1 1 1"#

œ=/8 > =/8 #> > #

! > # "# 1

1

, donde-Ñ C #C $C œ $0Ð>Ñw ww

0Ð>Ñ œ ß CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ !Þ! > Ÿ "

> #> " " > Ÿ $%> ) > $

ÚÛÜ # w

Podemos escribir la función en términos de la función escalón unitario:0

0Ð>Ñ œ Ð> "Ñ Ð> "Ñ Ð> $Ñ Ð> $Ñ# #h h Aplicando Transformada de Laplace:

, de donde:Ð= #= $Ñ] œ $Ð Ñ# / /= =

= $=

$ $

] Ð=Ñ œ $/ $/= Ð="ÑÐ=$Ñ = Ð="ÑÐ=$Ñ

= $=

$ $

Usamos fracciones parciales :

$ E F G H I= Ð="ÑÐ=$Ñ = = = =" =$$ # $œ

ÐE= F= GÑÐ= "ÑÐ= $Ñ#

= ÐHÐ= $Ñ IÐ= "ÑÑ œ $$

= œ " Ê H œ à = œ $ Ê I œ à = œ ! Ê G œ " Þ$ "% $'

Calculamos el coeficiente de = À E H I œ ! Ê E œ % (*

Ahora, el coeficiente de = À $F #G œ ! Ê F œ #$

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

119

Luego,

] Ð=Ñ œ / Ð Ñ= ( # " $ "*= $= = %Ð="Ñ $'Ð=$Ñ# $

, / Ð Ñ$= ( # " $ "*= $= = %Ð="Ñ $'Ð=$Ñ# $

de donde À

CÐ>Ñ œ Ð> "ÑÐ Ñh ( $/ /* $ # % $'

#Ð>"Ñ Ð>"Ñ# >" $Ð>"Ñ

Ð> $ÑÐ Ñh ( $/ /* $ # % $'

#Ð>$Ñ Ð>$Ñ# >$ $Ð>$Ñ

"& Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas:

+Ñ >C #Ð> "ÑC Ð> #ÑC œ ! ß CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ ! w w ww

Aplicando Transformada de Laplace y sus propiedades:

. . ..= .= .=Ð= ] Ð=ÑÑ # Ð=] Ð=ÑÑ #=] Ð=Ñ ] Ð=Ñ #] Ð=Ñ œ !#

Reuniendo términos semejantes:

Ð= "Ñ ] Ð=Ñ %Ð= "Ñ] Ð=Ñ œ !# w

Se obtiene la ecuación diferencial de variables separables:

] Ð=Ñ] Ð=Ñ ="

%w

œ

Luego, , de donde 68 ] Ð=Ñ œ % 68 = " G ] Ð=Ñ œk k k k GÐ="Ñ%

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ G> / Þ$ >

,Ñ >C #Ð> "ÑC Ð> #ÑC œ ! ß CÐ!Ñ œ " ß C Ð!Ñ œ "w w ww


Ð= ] Ð=Ñ = "Ñ # Ð=] Ð=Ñ "Ñ #=] Ð=Ñ # ] Ð=Ñ #] Ð=Ñ œ !. ..= .=

# w


120

#=] Ð=Ñ = ] Ð=Ñ " #] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ # ] Ð=Ñ #] Ð=Ñ œ !# w w w

Ordenando, tenemos

Ð= "Ñ ] Ð=Ñ %Ð= "Ñ] Ð=Ñ $ œ !# w

¡ecuación lineal!] Ð=Ñ ] Ð=Ñ œw % $="Ñ Ð="Ñ#

La solución de esta ecuación es

] Ð=Ñ œ / ÐG $ Ð= "Ñ .=Ñ .= #' %=" '

œ ÐG Ð= "Ñ Ñ"

Ð="Ñ%$

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ > / /G'

$ > >

-Ñ >B Ð%> #ÑB Ð"$> %ÑB œ ! ß BÐ!Ñ œ !Þw ww

Aplicando Transformada de Laplace À

Ð= \ B Ð!ÑÑ % Ð=\Ñ #=\ "$\ %\ œ !..=

# w w..=

= \ #=\ %=\ %\ #=\ "$\ %\ œ !# w w w

Ð= %= "$Ñ\ %Ð= #Ñ\ œ !# w

\ G G\ Ð= %="$Ñ Ð= %="$Ñ ÐÐ=#Ñ *Ñ

%Ð=#Ñw

# # # # #œ Ê \Ð=Ñ œ œ

Luego, aplicando Transformada Inversa À

BÐ>Ñ œ Ð=/8 $> $>-9= $>ÑG/&%

#>

"'Þ À Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas

+Ñ >C Ð#> "ÑC Ð> "ÑC œ $/ ß CÐ!Ñ œ ! ß C Ð!Ñ œ !Þw w > ww

Aplicando la Transformada de Laplace À

#=] Ð=Ñ = ] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ #] Ð=Ñ =] Ð=Ñ ] Ð=Ñ ] Ð=Ñ œ# w w w $="

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

121

] Ð=ÑÐ= #= "Ñ ] Ð=ÑÐ= "Ñ œ w # $="

] Ð=Ñ œ w ] Ð=Ñ

Ð="Ñ$

Ð="Ñ$

Resolviendo: ] Ð=Ñ œ ÐG Ñ Ê CÐ>Ñ œ G/ $>/" $=" ="

> >

Utilizando las condiciones iniciales tenemos que: 3CÐ>Ñ œ / $>/> >

,Ñ >Ð" >ÑC #C #C œ '> ß CÐ!Ñ œ CÐ#Ñ œ !w ww

Ð= ] Ð=Ñ C Ð!ÑÑ Ð= ] Ð=Ñ C Ð!ÑÑ #=] Ð=Ñ #] Ð=Ñ œ. . '

.= .= =# w # w

#

# #

#=] Ð=Ñ = ] Ð=Ñ #] Ð=Ñ %=] Ð=Ñ = ] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ #] Ð=Ñ œ # w w # ww '=#

= ] Ð=Ñ Ð= %=Ñ] Ð=Ñ œ # w # ww '=#

] Ð=Ñ Ð" Ñ] Ð=Ñ œ w ww %=

'=%

] Ð=Ñ œ / ÐG ' .=Ñ œ ÐG '/ Ñw = Ð" Ñ.=' %=

Ð" Ñ.= =%=

% %' / /

= =

'

Como , entonces_Ö>CÐ>Ñ× œ ] Ð=Ñw

> CÐ>Ñ œ Ö] Ð=Ñ× œ Ð> "Ñ >_ h" w $GÐ>"Ñ'

$

de donde CÐ>Ñ œ Ð> "Ñ >GÐ>"Ñ

'>

$

h #

Ahora, , luego y entonces: CÐ#Ñ œ ! G œ %) CÐ>Ñ œ > Ð> "Ñ# )Ð>"Ñ>

$

h

-Ñ BC Ð#B "ÑC ÐB "ÑC œ $/ ß CÐ!Ñ œ ! ß C Ð!Ñ œ !Þw w B ww

Aplicando Transformada de Laplace a la ecuación tenemos:

Ð= ] Ð=Ñ =CÐ!Ñ C Ð!ÑÑ # Ð=] Ð=Ñ CÐ!ÑÑ Ð=] Ð=Ñ CÐ!ÑÑ. ..= .=

# w

] Ð=Ñ ] Ð=Ñ œw $="

= ] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ #] Ð=Ñ #=] Ð=Ñ =] Ð=Ñ ] Ð=Ñ ] Ð=Ñ œ# w w w $="


122

Ð= #= "Ñ] Ð=Ñ Ð= "Ñ] Ð=Ñ œ# w $="

Ð= "Ñ ] Ð=Ñ Ð= "Ñ] Ð=Ñ œ # w $="

] Ð=Ñ ] Ð=Ñ œ" $=" Ð="Ñ$

Esta última ecuación diferencial es lineal por lo que tiene solución inmediata:

] Ð=Ñ œ / Ð .= GÑ' .=="

.=="

$' $ /

Ð="Ñ

'

œ Ð .= GÑ œ Ð GÑ" $ " $

=" Ð="Ñ =" ="'

#

Así, ] Ð=Ñ œ $ GÐ="Ñ ="#

Aplicando Transformada Inversa À CÐBÑ œ $B/ G/B B

Aplicando las condiciones iniciales, , por lo que la solución esG œ ! À CÐBÑ œ $B/ ÞB

"(Þ Resolver la siguiente ecuación diferencial-integral:

B Ð>Ñ #BÐ>Ñ BÐ?Ñ.? œ ß BÐ!Ñ œ "> > "# > " > #! > #

w!

>' ÚÛÜ


=\Ð=Ñ " #\Ð=Ñ \Ð=Ñ œ Ö> # Ð> "ÑÐ> "Ñ Ð> #ÑÐ> #Ñ×"= _ h h

= #=" "= #/ /

= =

# # = #=

#\Ð=Ñ œ ß = !

Luego, \Ð=Ñ œ œ Ð/ #/ ÑÐ Ñ"= #/ / " # " " "

=Ð="Ñ = Ð="Ñ = =" Ð="Ñ

# = #=

# # ##= =

de donde

BÐ>Ñ œ " #>/ # Ð> "ÑÐ" / Ð> "Ñ/ Ñ> Ð>"Ñ Ð>"Ñh Ð> #ÑÐ" / Ð> #Ñ/ Ñh Ð>#Ñ Ð>#Ñ

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

123

") M VPG.- La corriente de un circuito en serie está regida por la ecuación:M Ð>Ñ %MÐ>Ñ œ 1Ð>Ñß MÐ!Ñ œ M Ð!Ñ œ ! ßw ww

con Determinar la corriente en cualquier instante.1Ð>Ñ œ Þ" ! > " Ÿ > #! > #

ÚÛÜ

11 1

1

Tenemos 1Ð>Ñ œ " # Ð> Ñ Ð> # ÑÞh 1 h 1

Así, la ecuación queda expresada como

M Ð>Ñ %MÐ>Ñ œ " # Ð> Ñ Ð> # Ñww h 1 h 1

Aplicando transformada de Laplace se tiene

= ] Ð=Ñ %] Ð=Ñ œ # # " / /= = =

= # =1 1

] Ð=Ñ œ # " / /=Ð= %Ñ =Ð= %Ñ =Ð= %Ñ# # #

= # =1 1

Ahora, " " " ==Ð= %Ñ % = = %# #œ Ð Ñ

Aplicando la transformada inversa se tiene:

MÐ>Ñ œ " -9=#> " -9=#Ð> Ñ Ð> Ñ" "% #Ð Ñ Ð Ñ1 h 1

" -9=#Ð> # Ñ Ð> # Ñ"% Ð Ñ1 h 1

œ

" -9=#> ! >

" -9=#> Ÿ > #

! > #

ÚÝÛÝÜ"%"%

Ð Ñ

Ð Ñ

1

1 1

1

"*Þ Usar Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas:

+Ñ B C œ / BÐ!Ñ œ ! ß B Ð!Ñ œ "

B C œ > CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ "

w w > ww w

w w w

Aplicamos Transformada de Laplace y despejamos:

= \ = ] œ #= ""

= "

=\ =] œ ""

=

# #

#


124

Multiplicando por la segunda ecuación y sumándosela a la primera obtenemos:=

, de donde#= \ œ = " # " "=" =

.\Ð=Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ" " " " " " " "

# = Ð="Ñ = # =" == =# $ $#

Así, BÐ>Ñ œ Ð/ >" "# #

> #Ñ.

Despejando en la segunda ecuación:Cw

, luegoC Ð>Ñ œ > B Ð>Ñ œ > Ð/ > œ > /w w > >" " "# # #Ñ

y como CÐ>Ñ œ > / G CÐ!Ñ œ "ß G œ Þ" " "% # #

# >

Por lo tanto, CÐ>Ñ œ Ð> #/ #ÑÞ"%

# >

,Ñ B C œ / BÐ!Ñ œ B Ð!Ñ œ !

#B C œ / CÐ!Ñ œ C Ð!Ñ œ !

w w #> ww w

w w #>w w


= \ = ] œ"

= #

#=\ = ] œ "

= #

# #

#

Restando ambas ecuaciones: , de donde :=Ð= #Ñ\ œ #=#

\Ð=Ñ œ œ # " " "=Ð=#Ñ #= #Ð=#Ñ Ð=#Ñ# #

Aplicando Transformada Inversa: BÐ>Ñ œ Ð" / #>/ Ñ"#

#> #>

Derivando y reemplazando en la segunda ecuación:BÐ>Ñ

C Ð>Ñ œ / #B Ð>Ñ œ / %>/w #> w #> #>w

Integrando, y comoC Ð>Ñ œ / #>/ / Gw #> #> #>"

"#

entonces C Ð!Ñ œ !ß G œ w"

"#

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

125

Integrando nuevamente,

y como CÐ>Ñ œ / >/ / > G CÐ!Ñ œ !ß" " "% # #

#> #> #>

entonces G œ $%

Por lo tanto, .CÐ>Ñ œ / >/ > $ " $% # %

#> #>

-Ñ B œ C =/8> BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ !

C œ B -9=> CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ "

w ww

w w ww

Como es un sistema de segundo orden con condiciones iniciales podemos aplicarTransformadas de Laplace.

= \ = ] œ"

= "

= ] = =\ œ=

= "

##

##

Multiplicando la primera ecuación por y sumándola con la segunda obtenemos= À#

Ð= =Ñ\ œ = = % $= == " = "

#

# #

Despejando À \Ð=Ñ œ == "#

Aplicando la Transformada Inversa À BÐ>Ñ œ -9=>Þ

Reemplazando la segunda derivada de en la primera ecuación del sistemaBÐ>Ñoriginal tenemos À

CÐ>Ñ œ -9=> =/8>

.Ñ B %B #C œ # Ð>Ñ BÐ!Ñ œ !

C $B C œ Ð>Ñ CÐ!Ñ œ"

#

w"

w"

h

h

Aplicando Transformadas de Laplace À

Ð= %Ñ\ #] œ#/

=

$\ Ð= "Ñ] œ / "

= #

=

=


126

Eliminando \ À

Ð= $= "!Ñ] œ # '/ =%= = #

Ð=%Ñ/= =

y despejando: ] Ð=Ñ œ =% /

#Ð=&ÑÐ=#Ñ =Ð=&Ñ=

œ Ð /" " ' " " "

"% =& =# & =& = Ñ Ð Ñ =

Aplicando Transformada Inversa À

CÐ>Ñ œ Ð/ '/ Ñ Ð> "ÑÐ/ "Ñ" ""% &

&> #> &>& h

Reemplazando en la segunda ecuación, se tiene] Ð=Ñ \Ð=Ñ œ "

Ð=&ÑÐ=#Ñ $=Ð=&ÑÐ='Ñ/=

Ê Ñ Ð Ñ\Ð=Ñ œ Ð /" " " " ' "( =& =# "& = =&

=

Aplicando Transformada Inversa

BÐ>Ñ œ Ð/ / Ñ Ð> "ÑÐ" / Ñ" "( "&

&> #> &>&h

/Ñ B œ C D #> BÐ!Ñ œ !

#B œ C D CÐ!Ñ œ "ß C Ð!Ñ œ !

#C œ D DÐ!Ñ œ D Ð!Ñ œ !

w w

w w ww

w ww

Aplicando Transformada de Laplace À

=\ ] =^ œ#

=#\ = ] =^ œ =

#] = ^ œ !

#

#

#

Eliminando tenemos\ À

Ð= #Ñ] =Ð= #Ñ^ œ =%

=#] = ^ œ !

$ ##

#

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

127

Eliminando ^ À

Ð= %Ñ] œ Ê ] Ð=Ñ œ% %= "= =

%

Reemplazando en la tercera ecuación para obtenemos ^Ð=Ñ œ #=$

Ahora, reemplazando en la segunda ecuación: \Ð=Ñ œ "=#

Aplicando la Transformada inversa À

BÐ>Ñ œ >à CÐ>Ñ œ "à DÐ>Ñ œ >#

#!Þ Resolver los siguientes sistemas no homogéneos:

+Ñ >B C >C œ Ð> "Ñ/ BÐ!Ñ œ "ß CÐ!Ñ œ "

B C œ /

w >

w >

Aplicando Tranformada de Laplace À

\

=\ ] œ "

w =] œ " "

Ð= "Ñ = ""

= "

w#

Despejando y derivando de la segunda ecuación] À

] œ \ =\ w w "="

Reemplazando en la primera ecuación À

( )\ \ =\ w w= œ " " "=" Ð="Ñ ="#

Obtenemos la ecuación de variables separables À

(s +1)# \ \w = œ !"="

Entonces À

\Ð=Ñ œ Ê BÐ>Ñ œ GN Ð>ÑG

= "È # !

Como N Ð!Ñ œ " Ê G œ "!


128

Así BÐ>Ñ œ N Ð>ÑÞ!

Reemplazando À ] Ð=Ñ œ " œ = " "

= " = "=" ="= = "È ÈÈ

# #

#

CÐ>Ñ œ N Ð>Ñ /">

,Ñ $B $C œ >/ $-9=> BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ #

>B C œ =/8> CÐ!Ñ œ %ß C Ð!Ñ œ !

w w > ww w

w w ww

Aplicando Transformadas de Laplace

$Ð= \ = #Ñ $Ð= ] %=Ñ œ " $=

Ð= "Ñ = "

Ð= \ = #Ñ =] % œ. "

.= = "

# ## #

##

Ordenando

$= \ $= ] œ ' "&= $= "

= " Ð= "Ñ

#=\ = \ =] œ $ "

= "

# ## #

# w#

Multiplicando por la segunda ecuación y sumándola con la primera se obtiene la$=ecuación lineal

\ \ œ w $ # # "= = = $= Ð="Ñ$ # $ #

\Ð=Ñ œ ÐG Ð# #= Ñ.=" "= $Ð="Ñ$ #

' œ ÐG #= = Ñ œ " " # " "

= $Ð="Ñ = = = $= Ð="Ñ$ $ # $# G

Desarrollando en fracciones parciales

" E F G H= Ð="Ñ = = = ="$ # $œ

" œ E= Ð= "Ñ F=Ð= "Ñ GÐ= "Ñ H=# $

= œ ! Ê G œ "

= œ " Ê H œ "

X<+8=09<7+.+ ./ P+:6+-/

129

=Ð= "ÑÐE= FÑ œ =Ð= "ÑÐ= "Ñ Ê E œ "ß F œ "

\Ð=Ñ œ G # " " " " "= = = $= $= $= $Ð="Ñ$ # # $

\Ð=Ñ œ $G" # & "$= $= $= $Ð="Ñ$ #

Aplicando transformada inversa

BÐ>Ñ œ > > /$G" # & "$ $ $6

# >

Reemplazando el valor de en la primera ecuación\Ð=Ñ À

\ ] œ # & " "= = =Ð= "Ñ $= Ð="Ñ# # # #

] Ð=Ñ œ $G" ) " = "$= $= $Ð="Ñ = " Ð="Ñ$ # #

Aplicando Transformada Inversa À

CÐ>Ñ œ > -9=> >/$G" / ) "' $ $ $

# >>

130

Prueba de alternativas

"Þ A continuación se da una lista de tipos de ecuaciones de primer orden. Escribajunto a cada ecuación, la o las letras que corresponden:

a) variables separables d) Bernoulli g) algebraica en Cw b) exacta e) Ricatti h) homogénea c) lineal en f) Clairaut i) Factor integranteC I. Ñ Ð" BCÑC œ Cw #

II. Ñ BC C œ B -9= Bw #

III ÞÑ B C œ B BC C# w # #

IV. Ñ-9=ÐB CÑ .B œ B =/8ÐB CÑ .B B =/8ÐB CÑ .C V. Ñ C BC œ >+8 Cw w

VI. Ñ C 68 C .B B.C œ !VII. ÑB C C œ #BC# w #

VIII. ÑÐC Ñ C C œ !w $ # w

#Þ BC C œ C " B C Una solución de la ecuación es:w w # #È a) B œ #C 68 C# #

b) B C œ +<->+8ÐCÑ c) C œ +<-=/8ÐBCÑ d) C œ - /CÎB

$Þ Un factor integrante de la ecuación es:Ð BC =/8B #C -9= BÑ.B #B -9= B .C œ !

a)?ÐBß CÑ œ ÐB CÑ"

b)?ÐBß CÑ œ BC c)?ÐBß CÑ œ "ÎÐBCÑ d)?ÐBß CÑ œ B C

%Þ B C #BC œ $C ß CÐ"Ñ œ "Î# La solución del P.V.I. es:# w %

a) C œ$ (B%(B *(

b) C œ$ &B%**B

'

&

T<?/,+ ./ E6>/<8+>3@+=

131

c) C œ$ &B%**B

'

&

d) C œ$ (B%(B *(

&Þ Las ecuaciones paramétricas

ÈÈB œ "Î " :

C œ :Î " : +<-=/8 :

#

#

representan una solución de la ecuación:

a)BC œ C " Cw w#È b) C œ BC +<-=/8 Cw

c) C œ BC +<-=/8 Cw w

d) C œ BC " Cw w#È'Þ Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal,

encontrados en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres en lasparedes y los techos de una caverna en Lascaux, Francia. Si el C-14 radiactivo tieneuna semivida de unos 5.600 años, y se encontró que había desaparecido el 85,5%del carbono 14 de un trozo de madera, su edad aproximada es:

a) años&Þ'!! ¸ $'Þ!!!68 )&ß&68#

b) &Þ'!! 68 !ß)&&68# ¸ 1.270 años

c) &Þ'!! 68 "%ß&68# ¸ #"Þ'!! años

d) &Þ'!! 68 !ß"%&68# ¸ "&Þ'!! años

(Þ C œ B =/8ÐB GÑ La ecuación diferencial de la familia uniparamétrica es:

a) C œ =/8ÐB GÑ B -9=ÐB GÑw

b) ÐBC CÑ œ B ÐB C Ñw # # # #

c)BC œ C B Ð" C Ñw # #

d) ÐC BC Ñ œ " Cw # w#

)Þ < œ #G -9= La familia de trayectorias ortogonales a la familia es:) a) La familia de todos los círculos tangentes al eje en el origen\ Þ b) La familia de todos los círculos tangentes al eje en el origen] Þ


132

c) La familia de todas las rectas tangentes al círculo unitario. d) La familia < œ G =/8 # Þ# # )

*Þ C #C C œ ! La solución general de la ecuación es:Ð@333Ñ Ð3@Ñ

a) CÐBÑ œ ÐG G B G B G B G B G B G B G B Ñ/" # $ % & ' ( )

# $ % & ' ( B

b) CÐBÑ œ ÐG G B G B G B Ñ =/8B" # $ %

# $

ÐG G B G B G B Ñ -9= B& ' ( )# $

c) CÐBÑ œ / ÐÐG G BÑ =/8B ÐG G BÑ -9= BÑB # #" # $ %

d) CÐBÑ œ ÐG G BÑ/ ÐG G BÑ/ ÐG G BÑ =/8B" # $ % & '

B B

ÐG G BÑ -9= B( )

"!Þ C ÐBÑ œ B =/8B B C BC ÐB ÑC œ ! Si es solución de la ecuación ,"

# w w #w "%

"#

entonces otra solución de la ecuación es: a) C ÐBÑ œ B -9= B#

"#

b) C ÐBÑ œ B =/8B .B#"

# ' B=/8 B

#

#

c) CÐBÑ œ B =/8B"#

d) CÐBÑ œ B =/8B .B"# ' "

B =/8 B# #

""Þ C %C %C œ BÐ#/ =/8BÑ La solución particular de la ecuación es de law w #Bw

forma:

a) CÐBÑ œ B ÐE FBÑ/ G=/8B H -9= B# #B

b) CÐBÑ œ ÐE FBÑ/ ÐG HBÑ =/8B ÐI JBÑ -9= B#B

c) CÐBÑ œ B ÐE FBÑ/ ÐG HBÑ =/8B ÐI JBÑ -9= B# #B

d) CÐBÑ œ B ÐE FBÑ/ GB=/8B HB-9= B# #B

"#Þ #BC ÐB $ÑC C œ ! La ecuación admite una solución de la forma:w ww

a) CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88"

#

b) CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88"

#

T<?/,+ ./ E6>/<8+>3@+=

133

c) CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88"

d) CÐBÑ œ - B!8œ!

_

88"

$

"$Þ Ð" B ÑC #BC #C œ ! Si la ecuación , tiene una solución de la forma# w ww

CÐBÑ œ - B À!8œ!

_

88, entonces

a) - œ ß - œ !ß 8 "#8 #8"-#8"

!

b) - œ ß - œ ! ß 8 "#8" #8-#8"

"

c) - œ ß - œ !ß 8 "#8 #8"-

Ð#8"Ñx!

d) - œ ß - œ ! ß 8 "#8" #8-

Ð#8"Ñx"

"%Þ E œ œ & #3' "& %

Sabiendo que la matriz tiene un valor propio , laŒ -"

solución general del sistema es:\ œ E\w

+Ñ\Ð>Ñ œ / G -9= #> =/8 #>" #& !

&>"– ŒŒ Œ

G -9= #> =/8 #># "! &#ŒŒ Œ —

,Ñ\Ð>Ñ œ / G -9= &> =/8 &>" #& !

#>"– ŒŒ Œ

G -9= &> =/8 &># "! &#ŒŒ Œ —

-Ñ\Ð>Ñ œ / G -9= &> =/8 &>" #& !

#>"– ŒŒ Œ

G -9= &> =/8 &># "! &#ŒŒ Œ —

.Ñ\Ð>Ñ œ / G -9= #> =/8 #>" #& !

&>"– ŒŒ Œ

G -9= #> =/8 #># "! &#ŒŒ Œ —


134

"&Þ \ œ \$ " "

' " #% " !

La solución general del sistema es de la forma:wÎ ÑÏ Ò

+Ñ\Ð>Ñ œ G / G / G /" " # # $ $> > #>@ @ @

,Ñ\Ð>Ñ œ G / G / G /" " # # $ $> #> %>@ @ @

-Ñ \Ð>Ñ œ G / G / G /" " # # $ $> > %>@ @ @

.Ñ\Ð>Ñ œ G G / G /" " # # $ $#> $>@ @ @

"'Þ B œ C $B

C œ #B #C

Usando el método de eliminación para resolver el sistema , sew w

w w

obtiene como solución general:

+Ñ BÐ>Ñ œ G -9=> G =/8> G -9= #> G =/8 #>" # $ %

CÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9= #> G =/8 #>& ' ( )

,Ñ BÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

CÐ>Ñ œ #G -9= > #G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

-Ñ BÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

CÐ>Ñ œ #G -9= > #G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

.Ñ BÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

CÐ>Ñ œ G -9= > G =/8 > G -9= #> G =/8 #>" # $ %

"(Þ 0Ð>Ñ œ

> & ! Ÿ > $

> > % $ Ÿ > &! & Ÿ > '

(> > > '

Sea . Entonces:

ÚÝÝÛÝÝÜ

$

$ #

$ #

+Ñ 0Ð>Ñ œ > & Ð#> > *Ñ Ð>Ñ Ð> > %Ñ Ð>Ñ Ð(> > Ñ Ð>Ñ$ $ # $ # $ #$ & 'h h h

,Ñ 0Ð>Ñ œ > & Ð> "Ñ Ð>Ñ Ð" > Ñ Ð>Ñ Ð(> "Ñ Ð>Ñ$ # # $$ & 'h h h

-Ñ 0Ð>Ñ œ > & Ð> "Ñ Ð>Ñ Ð" > Ñ Ð>Ñ Ð(> "Ñ Ð>Ñ$ # # $$ & 'h h h

.Ñ 0Ð>Ñ œ > & Ð> "Ñ Ð>Ñ Ð> > %Ñ Ð>Ñ Ð(> > Ñ Ð>Ñ$ # $ # $ #$ & 'h h h

T<?/,+ ./ E6>/<8+>3@+=

135

")Þ >B Ð> #ÑB B œ !ß Aplicando Transformada de Laplace a la ecuación w ww

BÐ!Ñ œ ! , se obtiene:

+Ñ\Ð=Ñ œÐ="Ñ

=

#

# ,Ñ\Ð=Ñ œ %68Ð= "Ñ G

-Ñ \Ð=Ñ œ GÐ="Ñ%

.Ñ\Ð=Ñ œ Ð= "Ñ%

"*Þ \Ð=Ñ œ Si , entonces:"Ð=#Ñ Ð= %Ñ# #

+Ñ BÐ>Ñ œ Ð/ #>/ -9= #>Ñ""'

#> #>

,Ñ BÐ>Ñ œ Ð/ #>/ -9= #>Ñ""'

#> #>

-Ñ BÐ>Ñ œ Ð/ #>/ -9= #>Ñ""'

#> #>

.Ñ BÐ>Ñ œ Ð/ #>/ -9= #>Ñ""'

#> #>

#!Þ \Ð=Ñ œ Sea . Entonces:" %/ #/=" = % = %

# = % =

# #

1 1

+Ñ BÐ>Ñ œ/ ! Ÿ > ##=/8 #> # Ÿ > %=/8#> > %

ÚÛÜ

> 11 1

1

,Ñ BÐ>Ñ œ/ ! Ÿ > #

/ #=/8 #> # Ÿ > %=/8#> > %

ÚÛÜ

>

>

1

1 11

-Ñ BÐ>Ñ œ/ ! Ÿ > #

/ #=/8 #> # Ÿ > %

/ =/8#> > %

ÚÛÜ

>

>

>

1

1 1

1

.Ñ BÐ>Ñ œ/ ! Ÿ > #

/ #=/8 #> # Ÿ > %

/ =/8#> > %

ÚÛÜ

>

>

>

1

1 1

1


136

#"Þ Sabiendo que la solución general del sistema homogéneo asociado al sistema: B œ %B C ")>/

C œ &B #C $!>/

w #>

w #>

es , entonces una solución particular es:\Ð>Ñ œ G / G /" "" &" #

$> >Œ Œ

+Ñ \ Ð>Ñ œ %#> %'$!> &!:

/$

#> Œ

,Ñ\ Ð>Ñ œ "&$> " > "$> " &> &:

/$

'> Œ Œ /#>

-Ñ\ Ð>Ñ œ $!> &!%#> %':

/$

#> Œ

.Ñ\ Ð>Ñ œ "&> " $> "&> & $> ":

/$

'> Œ Œ /#>

##Þ \ œ E\ Z À Sabiendo que la solución general del sistema esw

\Ð>Ñ œ G / G / /" # #> &$ " > #" #

#> &> #>Œ Œ Œ - ,

entonces la solución del P.V.I. es:\ œ E\ Z ß \Ð!Ñ œ("!

w Œ +Ñ\Ð>Ñ œ

Ð#> $Ñ/ %/

Ð> )Ñ/ #/Œ #> &>

#> &>

,Ñ \Ð>Ñ œÐ#> $Ñ/ %/

Ð> )Ñ/ #/Œ #> &>

#> &>

-Ñ\Ð>Ñ œÐ> )Ñ/ #/

Ð#> $Ñ/ %/Œ #> &>

#> &>

.Ñ\Ð>Ñ œÐ> )Ñ/ #/

Ð#> $Ñ/ %/Œ #> &>

#> &>

T<?/,+ ./ E6>/<8+>3@+=

137

#$Þ E œ Ð "ÑÐ #Ñ" ! !! $ "! " "

Si el polinomio característico de la matriz es-

Î ÑÏ Ò - - #

y los vectores propios asociados a y son respectivamente y- -œ " œ # Ð"ß !ß !ÑÐ!ß "ß "Ñ- , la solución general del sistema es:

- -

+Ñ\Ð>Ñ œ G / G / G / >/" ! ! !! " " !! " " "

" # $> #> #> #>

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò– —

- -

,Ñ\Ð>Ñ œ G / G / G / G >/" ! ! !! " ! "! " " "

" # $ %> #> #> #>

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

- -

-Ñ\Ð>Ñ œ G / G / G / G >/" ! ! !! " " !! " " "

" # $ %> #> #> #>

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

- -

.Ñ \Ð>Ñ œ G / G / G / >/" ! ! !! " ! "! " " "

" # $> #> #> #>

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò– —

Respuestas:

1 I i) II c) III e) h) IV b) V f) VI a) VII d) h) VIII g)Þ 2c 3c 4b 5c 6d 7b 8a 9d 10a 11c 12b

13a 14a 15c 16b 17d 18c 19a 20d 21a 22b 23d


138

Bibliografía

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Ò Ó4 Spiegel, Murray: , McGraw - Hill, 2000. Transformadas de Laplace

Ejercicios resueltos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias UFRO

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