Ejercicios resueltos edo exactas

CAPÍTULO

2Métodos de solución de ED de primer orden

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas

Antes de abordar este tema sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobrealgunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencialexacta o total de una función de dos variables f .x; y/ de la siguiente manera:

df D@f

@xdx C

@f

@ydy :

Comenzamos entonces con una definición básica.

� Una expresión M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de lassiguientes condiciones equivalentes:

1. M.x; y/ dx C N.x; y/ dy es la diferencial exacta de una función f .

2. Existe una función f .x; y/ tal que df D@f

@xdx C

@f

@ydy D M.x; y/ dx C N.x; y/ dy.

3. Existe una función f .x; y/ tal que@f

@xD M.x; y/ &

@f

@yD N.x; y/.

� Si M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar comodf .x; y/ D 0 para alguna función f .x; y/, por lo que

df .x; y/ D 0 , f .x; y/ D C ;

donde C es una constante arbitraria.

Diremos entonces que f .x; y/ D C , con C 2 R, es la solución general del la ecuación diferencialexacta M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0.

1canek.azc.uam.mx: 14/ 1/ 2010

1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejemplo 2.6.1 Mostrar que la ED .3x2 � y/ dx C .3y2 � x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solución generalx3 � xy C y3 D C .

H En efecto,

f .x; y/ D x3 � xy C y3 )@f

@xD 3x2 � y &

@f

@yD �x C 3y2 :

Luego:

df D@f

@xdx C

@f

@ydy D .3x2 � y/ dx C .3y2 � x/ dy :

Por lo que:.3x2 � y/ dx C .3y2 � x/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta.

Su solución general es f .x; y/ D C . Esto es:

x3 � xy C y3 D C :

�

Ejemplo 2.6.2 Mostrar que la ED .sen y Cy sen x/ dxC.x cos y �cos x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solucióngeneral x sen y � y cos x D C .

H En efecto,

f .x; y/ D x sen y � y cos x )@f

@xD sen y C y sen x &

@f

@yD x cos y � cos x :

Luego:

df D@f

@xdx C

@f

@ydy D .sen y C y sen x/ dx C .x cos y � cos x/ dy D 0 es una ED exacta :

Y su solución general es f .x; y/ D C . Esto es:

x sen y � y cos x D C :

�

En los dos ejemplos anteriores, la solución general f .x; y/ D C , cuya diferencial total df aparece en laecuación diferencial exacta df .x; y/ D 0, fue proporcionada. Sin embargo, usualmente no sucede así, puestenemos la ED y buscamos su solución. Esto plantea las interrogantes:

1. ¿Qué hacer cuando no se conoce la función f .x; y/, solución de la ecuación diferencial?.

2. ¿Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta?.

3. Y una vez identificada, ¿cómo calcular o determinar la función f .x; y/, solución de la ecuacióndiferencial?.

Las respuestas a estas preguntas están dadas en el siguiente teorema.

Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/,@M

@y, &

@N

@xson funciones continuas en una región rectangular

R D

{

.x; y/ 2 R2

∣

∣

∣

∣

a < x < b & ˛ < y < ˇ

}

;

entonces

M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es exacta si y solo si@M

@yD

@N

@x

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 3

en cada punto .x; y/ 2 R.

El teorema anterior es equivalente al siguiente teorema:

Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/,@M

@y, &

@N

@xson funciones continuas en una región rectangular

R D

{

.x; y/ 2 R2

∣

∣

∣

∣

a < x < b & c < y < d

}

;

entonces existe f .x; y/ tal que

@f

@xD M.x; y/ &

@f

@yD N.x; y/ si y solo si

@M

@yD

@N

@x

en cada punto .x; y/ 2 R.Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema.

) ) Si existe f .x; y/ tal que@f

@xD M.x; y/ &

@f

@yD N.x; y/ entonces

@M

@yD

@N

@x.

H En efecto@f

@xD M.x; y/ )

@

@yM.x; y/ D

@

@y

�

@f

@x

�

D@

@yfx D fxy :

También@f

@yD N.x; y/ )

@

@xN.x; y/ D

@

@x

�

@f

@y

�

D@

@xfy D fyx :

Pero fxy D fyx por las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo tanto:

@M

@yD

@N

@x:

Esta igualdad es la que nos permite identificar a una ED exacta.

�

( ) Si@M

@yD

@N

@xentonces existe f .x; y/ tal que

@f

@xD M.x; y/ &

@f

@yD N.x; y/.

H Para demostrar la existencia de la función f .x; y/ debemos construirla de tal manera que cumpla

con las condiciones@f

@xD M.x; y/ &

@f

@yD N.x; y/.

Partiendo de la primera condición@f

@xD M.x; y/ e integrando con respecto a x se tiene:

∫ x @f

@xdx D

∫ x

M.x; y/ dx ) f .x; y/ D

∫ x

M.x; y/ dx D P.x; y/ C h.y/; (2.1)

donde@

@xP.x; y/ D M.x; y/ & h.y/ es la constante de integración, que en este caso debe ser una función

únicamente de y.

Derivando respecto a y esta función f .x; y/

@f

@yD

@

@yŒP.x; y/ C h.y/� D Py.x; y/ C h 0.y/:

Al utilizar la segunda condición@f

@yD N.x; y/ se tiene:

@f

@yD N.x; y/ , Py.x; y/ C h 0.y/ D N.x; y/ , h 0.y/ D N.x; y/ � Py.x; y/;


de donde, integrando con respecto a y:

h.y/ D

∫ y[

N.x; y/ � Py.x; y/]

dy:

Finalmente sustituimos h.y/ en (2.1) y se obtiene:

f .x; y/ D P.x; y/ C

∫ y[

N.x; y/ � Py.x; y/]

dy:

que es la función buscada. El desarrollo anterior es precisamente el procedimiento que debemosseguir para la obtención de la función f .x; y/.

�

Comentarios a la demostración:

1. Para la obtención de h.y/, integramos con respecto a y la expresión de h 0.y/:

h 0.y/ D N.x; y/ � Py.x; y/

Al efectuar la integración supusimos que h 0.y/ sólo depende de y. Comprobemos que esto, en efecto,

es cierto. Vamos a verificar que no depende de x demostrando que@

@xh 0.y/ D 0.

h 0.y/ D N.x; y/ � Py.x; y/ D

D N.x; y/ �@

@y

∫ x

M.x; y/ dxD

D N.x; y/ �

∫ x @

@yM.x; y/ dx D

D N.x; y/ �

∫ x

My.x; y/ dx

Estamos considerando que:

@

@y

∫ x

�.x; y/ dx D

∫ x @

@y�.x; y/ dx

y que

@

@x

∫ x

�.x; y/ dx D �.x; y/

Derivamos con respecto a x:

@

@xh 0.y/ D

@

@x

[

N.x; y/ �

∫ x

My .x; y/ dx

]

D

D@

@xN.x; y/ �

@

@x

∫ x

My.x; y/ dxDNx.x; y/ � My.x; y/ D 0:

Ya que, por hipótesis se tiene,@M

@yD

@N

@x:

2. Para la obtención de la función f .x; y/ pudimos haber partido de la segunda condición@f

@yD N.x; y/,

para luego llevar a cabo un desarrollo análogo al realizado:

a. Integrar N.x; y/ con respecto a y para tener f .x; y/.

b. Derivar el resultado del paso anterior con respecto a x para tener@f

@x.

c. Utilizar la primera condición@f

@xD M.x; y/.

d. Despejar h 0.x/ de la ecuación anterior.

e. Integrar respecto a x para obtener h.x/.


f. Sustituir h.x/ en f .x; y/ para así tener la función buscada.

Ejemplo 2.6.3 Resolver la ED: .3x2 � y/ dx C .3y2 � x/ dy D 0.

H Primero verificamos que la ED es exacta:

.3x2 � y/ dx C .3y2 � x/ dy D 0 ) M D 3x2 � y & N D 3y2 � x )

) My D �1 & Nx D �1 )

) My D Nx ) la ecuación diferencial es exacta )

) Existe una función f .x; y/ tal que df D M dx C N dy )

) Existe una función f .x; y/ tal que@f

@xdx C

@f

@ydy D M dx C N dy )


@xD M &

@f

@yD N:

Luego la resolvemos, es decir, debemos determinar la función f .x; y/. Partimos de@f

@xD M , e integramos

con respecto a x:

∫ x @f

@xdx D

∫ x

M dx ) f .x; y/ D

∫ x

M dx D

∫ x

.3x2 � y/ dx D �3

�

x3

�3

�

� yx C h.y/ )

) f .x; y/ D x3 � xy C h.y/ (2.2)

Nuestro objetivo ahora es encontrar h.y/, para determinar totalmente a f .x; y/. Derivamos la expresiónanterior con respecto a y:

@f

@yD

@

@yŒx3 � xy C h.y/� D 0 � x � 1 C h 0.y/ D �x C h 0.y/:

Utilizamos la condición@f

@yD N :

�x C h 0.y/ D 3y2 � x:

Despejamos h 0.y/:

h 0.y/ D 3y2:

Integrando con respecto a y se obtiene:

h.y/ D

∫

3y2 dy D �3

�

y3

�3

�

C C1 D y3 C C1:

Sustituimos h.y/ en (2.2) para obtener:

f .x; y/ D x3 � xy C y3 C C1:

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es:

f .x; y/ D C2 ) x3 � xy C y3 C C1 D C2 )

) x3 � xy C y3 D C:

�

Ejemplo 2.6.4 Resolver la ED: .sen y C y sen x/ dx C .x cos y � cos x/ dy D 0.


H Primero verificamos que la ED es exacta:

.sen y C y sen x/ dxC.x cos y � cos x/ dy D 0 ) M D sen y C y sen x & N D x cos y � cos x )

)My D cos y C sen x

Nx D cos y C sen x

�

) My D Nx ) la ED es exacta )


@xD M &

@f

@yD N:

Luego encontramos f .x; y/. Partimos de@f

@yD N e integramos con respecto a y:

∫ y @f

@ydy D

∫ y

N dy ) f .x; y/ D

∫ y

N dy D

∫ y

.x cos y � cos x/ dy D x sen y � .cos x/y C h.x/ )

) f .x; y/ D x sen y � y cos x C h.x/: (2.3)


@f

@xD

@

@xŒx sen y � y cos x C h.x/� D sen y � y.� sen x/ C h 0.x/:


@xD M para despejar h 0.x/:

sen y � y.� sen x/ C h 0.x/ D sen y C y sen x ) h 0.x/ D 0:

Integrando se obtiene:h.x/ D C1:

Sustituimos h.x/ en (2.3) para obtener:

f .x; y/ D x sen y � y cos x C C1:


f .x; y/ D C2 ) x sen y � y cos x C C1 D C2 )

) x sen y � y cos x D C:

�

Ejemplo 2.6.5 Resolver la ED: .2e2x sen 3y C 3e2y sen 3x/ dx C .3e2x cos 3y � 2e2y cos 3x/ dy D 0.

H En este caso:

M D 2e2x sen 3y C 3e2y sen 3x & N D 3e2x cos 3y � 2e2y cos 3x )

)My D 2e2x.3 cos 3y/ C .3 sen 3x/2e2y D 6e2x cos 3y C 6e2y sen 3x

Nx D .3 cos 3y/2e2x � 2e2y.�3 sen 3x/ D 6e2x cos 3y C 6e2y sen 3x

) My D Nx :

De lo anterior, la ED es exacta. Entonces existe una función f .x; y/ tal que

@f

@xD M &

@f

@yD N:

Partimos de@f

@xD M e integramos con respecto a x:

∫ x @f

@xdx D

∫ x

M dx ) f .x; y/ D

∫ x

M dx D

∫ x

.2e2x sen 3y C 3e2y sen 3x/ dx D

D .sen 3y/

∫

e2x 2 dx C e2y

∫

.sen 3x/ 3 dx D

D .sen 3y/e2x C e2y.� cos 3x/ C h.y/ )

) f .x; y/ D e2x sen 3y � e2y cos 3x C h.y/: (2.4)


Derivamos con respecto a y:

@f

@yD e2x.cos 3y/3 � .cos 3x/2e2y C h 0.y/:


@yD N para despejar h 0.y/:

3e2x cos 3y � 2e2y cos 3x C h 0.y/ D 3e2x cos 3y � 2e2y cos 3x ) h 0.y/ D 0:

Integrando se obtiene:h.y/ D C1:


f .x; y/ D e2x sen 3y � e2y cos 3x C C1:


f .x; y/ D C2 ) e2x sen 3y � e2y cos 3x C C1 D C2 )

) e2x sen 3y � e2y cos 3x D C:

�

Ejemplo 2.6.6 Resolver la ED: .yexy C 2x � 1/ dx C .xexy � 2y C 1/ dy D 0.

H Verificamos que la ED es exacta:

M D yexy C 2x � 1 ) My D y.exyx/ C exy.1/ D exy.xy C 1/

N D xexy � 2y C 1 ) Nx D x.exyy/ C exy.1/ D exy.xy C 1/

) My D Nx ) la ED es exacta.

Entonces existe una función f .x; y/ tal que

@f

@xD M &

@f

@yD N:

Partimos de@f

@yD N e integramos con respecto a y:

∫ y @f

@ydy D

∫ y

N dy ) f .x; y/ D

∫ y

N dy D

∫ y

.xexy � 2y C 1/ dy D

∫ y

.exy x � 2y C 1/ dy )

) f .x; y/ D exy � y2 C y C h.x/: (2.5)


@f

@xD

@

@xŒexy � y2 C y C h.x/� D exyy C h 0.x/:


@xD M para despejar h 0.x/:

yexy C h 0.x/ D yexy C 2x � 1 ) h 0.x/ D 2x � 1:

Integrando se obtiene:

h.x/ D

∫

.2x � 1/ dx D x2 � x C C1:


Sustituimos h.x/ en (2.5) para obtener:

f .x; y/ D exy � y2 C y C x2 � x C C1:


f .x; y/ D C2 ) exy � y2 C y C x2 � x C C1 D C2 )

) exy � y2 C y C x2 � x D C:

�

Ejemplo 2.6.7 Determinar el valor de la constante k de modo que resulte exacta la siguiente ecuación diferencial:

.kx2y C ey/ dx C .x3 C xey � y/ dy D 0:

H Para esta ED se tiene:

M D kx2y C ey ) My D kx2 C ey :

N D x3 C xey � y ) Nx D 3x2 C ey:

La ecuación diferencial es exacta si se cumple

My D Nx ) kx2 C ey D 3x2 C ey ) kx2 D 3x2 ) k D 3:

Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta cuando k D 3. �

Ejemplo 2.6.8 Obtener alguna función M.x; y/ de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:

M.x; y/ dx C .x3 C xey � y/ dy D 0:

H Partimos del conocimiento de la función N.x; y/:

N D x3 C xey � y ) Nx D 3x2 C ey :

La ecuación diferencial es exacta si cumple:

My D Nx )@M

@yD 3x2 C ey :

Entonces, integrando esta última expresión se tiene:

∫ y @M

@ydy D

∫ y

.3x2 C ey/ dy ) M.x; y/ D

∫ y

.3x2 C ey/ dy D 3x2y C ey C h.x/:

Donde h.x/ es cualquier función de x, esto es, que no dependa de y.M.x; y/ podría ser, entre otras funciones:

M.x; y/ D 3x2y C ey C arctan xI donde h.x/ D arctan x:

M.x; y/ D 3x2y C ey C x ln xI donde h.x/ D x ln x:

M.x; y/ D 3x2y C ey C C I donde h.x/ D C:

�

Ejemplo 2.6.9 Determinar alguna función N.x; y/ de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:

.y2 cos x � 3x2y � 2x/ dx C N.x; y/ dy D 0:


H Partimos del conocimiento de la función M.x; y/:

M D y2 cos x � 3x2y � 2x ) My D 2y cos x � 3x2:

La ecuación diferencial es exacta si cumple:

My D Nx )@N

@xD 2y cos x � 3x2:

Entonces, integrando:

∫ x @N

@xdx D

∫ x

.2y cos x � 3x2/ dx ) N.x; y/ D

∫ x

.2y cos x � 3x2/ dx D 2y sen x � x3 C h.y/:

Donde h.y/ es cualquier función de y, esto es, depende de x.N.x; y/ podría ser, entre otras funciones, cualquiera de las siguientes:

N.x; y/ D 2y sen x � x3 C ln yI donde h.y/ D ln y:

N.x; y/ D 2y sen x � x3 � yey I donde h.y/ D �yey :

N.x; y/ D 2y sen x � x3 C C I donde h.y/ D C:

�

Ejemplo 2.6.10 Resolver el siguiente PVI:

3y2 C 2y sen 2x D

�

cos 2x � 6xy �4

1 C y2

�

y 0I con y.0/ D 1:

H Primero obtenemos la solución general de la ecuación diferencial y luego aplicamos la condición inicial:

3y2 C 2y sen 2x D

�

cos 2x � 6xy �4

1 C y2

�

y 0 )

) 3y2 C 2y sen 2x D

�

cos 2x � 6xy �4

1 C y2

�

dy

dx)

) .3y2 C 2y sen 2x/ dx �

�

cos 2x � 6xy �4

1 C y2

�

dy D 0 )

) .3y2 C 2y sen 2x/ dx C

�

6xy � cos 2x C4

1 C y2

�

dy D 0:

Tenemos entonces:

M D 3y2 C 2y sen 2x ) My D 6y C 2 sen 2x

N D 6xy � cos 2x C4

1 C y2) Nx D 6y C 2 sen 2x

) My D Nx ) la ED es exacta )


@xD M &

@f

@yD N:

Partimos de@f

@xD M e integramos con respecto a x:

∫ x @f

@xdx D

∫ x

M dx ) f .x; y/ D

∫ x

M dx D

∫ x

.3y2 C 2y sen 2x/ dx D 3y2x C y.� cos 2x/ C h.y/ )

) f .x; y/ D 3y2x C y.� cos 2x/ C h.y/: (2.6)

Derivamos con respecto a y:

@f

@yD

@

@yŒ3y2x C y.� cos 2x/ C h.y/� D 6xy � cos 2x C h 0.y/:



@yD N para despejar h 0.y/:

6xy � cos 2x C h 0.y/ D 6xy � cos 2x C4

1 C y2) h 0.y/ D

4

1 C y2:

Integrando se obtiene:

h.y/ D

∫

4

1 C y2dy D 4 arctan y C C1:


f .x; y/ D 3xy2 � y cos 2x C 4 arctan y C C1:


f .x; y/ D C2 ) 3xy2 � y cos 2x C 4 arctan y C C1 D C2 )

) 3xy2 � y cos 2x C 4 arctan y D C:

Finalmente se aplica la condición inicial: y.0/ D 1 ) y D 1 & x D 0:

3.0/12 � 1 cos 0 C 4 arctan 1 D C ) 0 � 1 C 4��

4

�

D C ) C D � � 1:

Por lo tanto la solución del PVI es:

3xy2 � y cos 2x C 4 arctan y D � � 1:

�

Ejemplo 2.6.11 Resolver la ED: y cos x C 2xey C 1 C .sen x C x2ey C 2y � 3/y 0 D 0.

H Se tiene que:

.y cos x C 2xey C 1/ dx C .sen x C x2ey C 2y � 3/ dy D 0: (2.7)

Entonces

M D y cos x C 2xey C 1 ) My D cos x C 2xey

N D sen x C x2ey C 2y � 3 ) Nx D cos x C 2xey

ya que My D Nx; entonces (2.7) es una ED exacta.

Por lo tanto, existe f .x; y/ tal que fx D M & fy D N .

Partiendo de:fx D M D y cos x C 2xey C 1:

Integrando con respecto a x:

∫ x

fx dx D

∫ x

M dx )

) f .x; y/ D

∫ x

M dx D

∫ x

.y cos x C 2xey C 1/ dx D y

∫ x

cos x dx C 2ey

∫

x dx C

∫

dx )

) f .x; y/ D y sen x C x2ey C x C h.y/: (2.8)

Derivando parcialmente con respecto a y:

fy D sen x C x2ey C h 0.y/:

Utilizando la condición fy D N para despejar h 0.y/:

fy D N D sen x C x2ey C 2y � 3:


Se obtiene:

sen x C x2ey C h 0.y/ D sen x C x2ey C 2y � 3 )

) h 0.y/ D 2y � 3:

Integrando:h.y/ D y2 � 3y C C1:

Sustituyendo h.y/ en (2.8), obtenemos:

f .x; y/ D y sen x C x2ey C x C y2 � 3y C C1:

Entonces la solución general de la ED dada, es:

f .x; y/ D C2 )

) y sen x C x2ey C x C y2 � 3y C C1 D C2 )

) y sen x C x2ey C x C y2 � 3y D C:

�

Ejemplo 2.6.12 Resolver el PVI: .2xy C 2y2e2x � sen x/ dx C .x2 C 2ye2x C ln y/ dy D 0I con y.0/ D 1.

H Se tiene:

M D 2xy C 2y2e2x � sen x ) My D 2x C 4ye2x

N D x2 C 2ye2x C ln y ) Nx D 2x C 4ye2x

) My D Nx entonces la ED es exacta.

Por lo tanto existe f .x; y/, tal que fx D M & fy D N .

Partiendo defy D N D x2 C 2ye2x C ln y:

Integrando con respecto a y:∫ y

fy dy D

∫ y

N dy )

) f .x; y/ D

∫ y

N dy D

∫ y

.x2 C 2ye2x C ln y/ dy D x2

∫

dy C 2e2x

∫

y dy C

∫

ln y dy )

) f .x; y/ D x2y C y2e2x C y ln y � y C h.x/: (2.9)

Derivando parcialmente con respecto a x:

fx D 2xy C 2y2e2x C h 0.x/:

Utilizando la condición fx D M , para despejar h 0.x/, se tiene que:

2xy C 2y2e2x C h 0.x/ D 2xy C 2y2e2x � sen x )

) h 0.x/ D � sen x )

) h.x/ D cos x C C1:

Sustituyendo h.x/ en (2.9) se obtiene:

f .x; y/ D x2y C y2e2x C y ln y � y C cos x C C1;

entonces la solución general de la ED, es:

f .x; y/ D C2 )

) x2y C y2e2x C y ln y � y C cos x C C1 D C2 )

) x2y C y2e2x C y ln y � y C cos x D C:


Considerando que la condición inicial y.0/ D 1 ) x D 0 & y D 1, se obtiene:

02 � 1 C 12e0 C 1 ln.1/ � 1 C cos.0/ D C ) 0 C 1 C 0 � 1 C 1 D C ) C D 1:

Por lo tanto, la solución del PVI es:

x2y C y2e2x C y ln y � y C cos x D 1:

�

Ejemplo 2.6.13 Resolver la ED:dy

dxD �

ax C by

bx C cyI con a; b & c constantes.

H

dy

dxD �

ax C by

bx C cy) .bx C cy/ dy D �.ax C by/ dx )

) .ax C by/ dx C .bx C cy/ dy D 0:

Se tiene entonces:

M D ax C by ) My D b

N D bx C cy ) Nx D b

�


Entonces existe f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . De fx D M se obtiene al integrar:

f .x:y/ D

∫ x

M dx D

∫ x

.ax C by/ dx D ax2

2C byx C h.y/: (2.10)

Derivando parcialmente con respecto a y:

fy D bx C h 0.y/:

Utilizando la condición fy D N , para despejar h 0.y/, se tiene que:

bx C h 0.y/ D bx C cy ) h 0.y/ D cy )

) h.y/ D cy2

2C K1:

Sustituyendo h.y/ en (2.10), obtenemos:

f .x; y/ D1

2ax2 C bxy C

1

2cy2 C K1:

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:

1

2ax2 C bxy C

1

2cy2 C K1 D K2 ) ax2 C 2bxy C cy2 C 2K1 D 2K2 )

) ax2 C 2bxy C cy2 D K:

�

Ejemplo 2.6.14 Resolver la ED: .ex sen y � 2y sen x/ dx C .ex cos y C 2 cos x/ dy D 0.

H Se tiene:

M D ex sen y � 2y sen x ) My D ex cos y � 2 sen x

N D ex cos y C 2 cos x ) Nx D ex cos y � 2 sen x



Entonces existe f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . De fy D N se obtiene al integrar con respecto a y:

f .x; y/ D

∫ y

N dy D

∫ y

.ex cos y C 2 cos x/ dy D ex sen y C 2y cos x C h.x/ )

) f .x; y/ D ex sen y C 2y cos x C h.x/: (2.11)

Derivando parcialmente con respecto a x:

fx D ex sen y � 2y sen x C h 0.x/:

Utilizando que fx D M para despejar h 0.x/ se tiene:

ex sen y � 2y sen x C h 0.x/ D ex sen y � 2y sen x ) h 0.x/ D 0 )

) h.x/ D C1:

Sustituyendo h.x/ en (2.11), se obtiene:

f .x; y/ D ex sen y C 2y cos x C C1:

Por lo tanto la solución general es:

f .x; y/ D C2 ) ex sen y C 2y cos x C C1 D C2 )

) ex sen y C 2y cos x D C:

�

Ejemplo 2.6.15 Resolver la ED: .yexy cos 2x � 2exy sen 2x C 2x/ dx C .xexy cos 2x � 3/ dy D 0.

H Se tiene:

M D yexy cos 2x � 2exy sen 2x C 2x ) My D .yxexy C exy/ cos 2x � 2xexy sen 2x

N D xexy cos 2x � 3 ) Nx D .xyexy C exy/ cos 2x � 2xexy sen 2x

)


Entonces existe f .x; y/ tal que fx D M & fy D N . Integrando con respecto a y la última igualdad:

f .x; y/ D

∫ y

N dy D

∫ y

.xexy cos 2x � 3/ dy D cos 2x

∫ y

exyx dy � 3

∫

dy )

) f .x; y/ D exy cos 2x � 3y C h.x/: (2.12)

Derivando con respecto a x e igualando a M :

fx D �2exy sen 2x C yexy cos 2x C h 0.x/I

M D yexy cos 2x � 2exy sen 2x C 2xI

�2exy sen 2x C yexy cos 2x C h 0.x/ D yexy cos 2x � 2exy sen 2x C 2x:

Entonces, despejando h 0.x/ e integrando:

h 0.x/ D 2x ) h.x/ D x2 C C1:

Sustituyendo h.x/ en (2.12), obtenemos:

f .x; y/ D exy cos 2x � 3y C x2 C C1:

Por lo tanto, la solución general de la ED es:

f .x; y/ D C2 ) exy cos 2x � 3y C x2 D C:

�


Ejercicios 2.6.1 Ecuaciones diferenciales exactas. Soluciones en la página 15Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas.

1. .3x2 C 2xy2 � 2x/ dx C .3y2 C 2x2y � 2y/ dy D 0.

2. .2xy � e2y/ dx C .x2 C xe2y � y/ dy D 0.

3.

�

y sen x C sen y C1

x

�

dx C

�

x cos y � cos x C1

y

�

dy D 0.

4. .4x3y C y3 � 2x/ dx C .x4 C 3xy2 � 3y2/ dy D 0.

5. .y cos x C 2xey � x/ dx C .y C sen x C x2ey/ dy D 0.

6. .ex sen y C 2y sen x � 2x/ dx C .ex cos y � 2 cos x C 2y/ dy D 0.

7. .4x3 C 4xy � 1/ dx D .1 � 2x2 � 2y/ dy.

8. .y ln x C y/ dx C .x ln x � ey/ dy D 0.

9. Œy sec 2.xy/ C sen x� dx C Œx sec 2.xy/ C sen y� dy D 0.

10.

�

1

ysen

�

x

y

�

�y

x2cos

�y

x

�

C 1

�

dx C

�

1

xcos

�y

x

�

�x

y2sen

�

x

y

�

C1

y2

�

dy D 0.

11.

�

yey Cx

x2 C y2

�

y 0 Dy

x2 C y2� xex.

12. .y sen.2x/ � 2y C 2y2exy2

/ dx � .2x � sen 2x � 4xyexy2

/ dy D 0.

13. .2xy � e3y/ dx C .x2 � kxe3y � 3y2/ dy D 0.

Resolver los siguientes PVI.

14.�

y2 cos x � 3x2y � 2x�

dx C�

2y sen x � x3 C ln y�

dy D 0 con y.0/ D e

15. .y C xex C 2/ dx C .x C ey/ dy D 0 con y.1/ D 0.

16. .ey sen x C tan y/ dy ��

ey cos x � x sec 2y�

dx D 0 con y.0/ D 0.

17.

�

x C y

1 C x2

�

dx C .y C arctan x/ dy D 0 con y.0/ D 1.

18. Determinar los valores de las constantes A y B que hacen exacta a la ecuación diferencial:

�

y3 � y2 sen x � 2x�

dx C�

Axy2 C By cos x � 3y2�

dy D 0:

19. Obtener una función M.x; y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial:

M.x; y/ dx C .ex cos y C 2 cos y/ dy D 0:

20. Obtener una función N.x; y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial:

N.x; y/ dy C

�

x2 � y2

x2y� 2x

�

dx D 0:


Ejercicios 2.6.1 Ecuaciones diferenciales exactas.Soluciones, página 14

1. x3 C x2y2 � x2 � y2 C y3 D C

2. La ED no es exacta.

3. x sen.y/ � y cos.x/ C ln j xy j D C .

4. x4y C xy3 � x2 � y3 D C .

5. 2y sen.x/ C 2x2ey � x2 � y2 D C .

6. ex sen.y/ � 2y cos.x/ C y2 � x2 D c

7. x4 C 2x2y C y2 � x � y D c

8. xy ln.x/ � ey D c

9. tan.xy/ � cos.x/ � cos.y/ D c

10. sen�y

x

�

� cos

�

x

y

�

C x �1

yD C

11. ex � xex C ey � yey C arctan

�

x

y

�

D c

12. 2exy2

� 2xy �1

2y cos.2x/ C

y

2D c

13. La ED será exacta si k D 3

14. y2 sen.x/ C y ln j y j D x3y C x2 C y

15. xy C ey C xex � ex C 2x D 3

16. ey cos.x/ � x tan.y/ D 1

17. y2 C 2y arctan.x/ C ln.1 C x2/ D 1

18. La ED será exacta si A D 3 y B D 2

19. M.x; y/ D ex sen.y/ C k.x/, donde k.x/ es cualquier función de x con derivada continua.

20. N.x; y/ Dy2 � x2

xy2C k.y/ Donde k(y) es cualquier función de y con derivada continua.

2.2(a)

http://ed21d.webcindario.com/id74.htm[17/03/2014 06:12:18 p.m.]

Tema 6: Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

6.1 Definición Una e.d.

(1) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Es exacta si existe una función g(x,y) tal que

(2) dg(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy Prueba de exactitud: Si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en algún rectángulo del plano xy, entonces (1) es exacto si, y solamente si,

(3) ( ) ( )

xy,xN

yy,xM

∂∂

=∂

∂

Ejemplo 1. En la e.d. 2xy dx + (1 + x2) dy = 0, se tiene M(x,y) = 2xy y N(x,y) = 1 + x2. Como

xxN

yM 2=

∂∂

=∂∂

, la ecuación diferencial es exacta.

6.2 Método de solución Para resolver (1), asumiendo que es exacta, primero se resuelven las ecuaciones

(4) ( ) ( )y,xMx

y,xg=

∂∂

(5) ( ) ( )y,xNy

y,xg=

∂∂

para g(x,y). La solución de (1) se da implícitamente por:

(6) g(x,y) = C donde C representa una constante arbitraria. La ecuación (6) es inmediata de (1) y (2). De hecho, si (2) se sustituye en (1), se obtiene dg(x,y(x)) = 0. Integrando esta ecuación (nótese que puede escribirse 0 como dx), se tiene:

(7) ( )( ) ∫∫ = dxxy,xdg 0que a su vez implica (6).

Problemas resueltos 1. Resolver 2xy dx +(1 + x2)dy = 0

Solución: Esta ecuación es exacta. Ahora determinamos una función g(x,y) que satisface a (4) y (5).

Sustituyendo M(x,y) = 2xy en (4), obtenemos xyxg 2=∂∂

. Integrando ambos lados de la ecuación

con respecto de x encontramos:

( ) (yhyxy,xg

xydxdxxg

+=

=∂∂

∫∫2

2

)

Nota: al integrar con respecto de x, la constante (con respecto de x) de integración puede depender de y.

Ahora determinamos h(y). Derivando (1) con respecto de y, obtenemos )y('hxxg

+=∂∂ 2

Sustituyendo esta ecuación, junto con N(x,y) = 1 + x2 en (5), tenemos x2 + h’(y) = 1 + x2

h’(y) = 1 Integrando esta última ecuación con respecto de y, se obtiene h(y) = y + C1 (C1 = constante). Sustituyendo esta expresión en (1) tenemos

( ) 12 Cyyxy,xg ++=

La solución de esta ecuación diferencial, que está dada implícitamente por (6) como g(x,y) = C, es

12

22

CCCCyyx

−==+

Resolviendo explícitamente para y obtenemos la solución como 12

2

+=

xCy

2. Resolver (x + sen y)dx + (x cos y – 2y) dy = 0

Solución:

En este caso M(x,y) = x + sen y, y N(x,y) = x cos y – 2y. Entonces ycosxN

yM

=∂∂

=∂∂

, y la e.d. es

exacta. Ahora buscamos una función g(x,y) que satisfaga (4) y (5). Sustituyendo M(x,y) en (4),

obtenemos ysenxxg +=∂∂

. Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto de x,

encontramos

( )

( ) ( )yhxsenyxy,xg

dxsenyxdxxg

++=

+=∂∂

∫∫2

21

Para encontrar h(y), derivamos (1) con respecto a y, obteniendo ( )y'hycosxxg

+=∂∂

, y después

sustituyendo este resultado junto con N(x,y) = x cos y – 2y en (5), encontramos: x cos y + h’(y) = x cos y – 2y h’(y) = – 2y de lo cual se sigue que h(y) = –y2 + C1. Sustituyendo este h(y) en (1) se obtiene

( ) 122

21 Cyxsenyxy,xg +−++=

La solución de la ecuación diferencial está dada implícitamente por (6) como

222

21 Cyxsenyx =−+ (C2 = C – C1)

3. Resolver (xy + x2) dx + (– 1) dy = 0 Solución:

Aquí, M(x,y) = xy + x2 y N(x,y) = – 1; entonces 12 −=∂∂

+=∂∂

xN,xxy

yM

, entonces

0=∂∂

=∂∂

xN,x

yM

. Como xN

yM

∂∂

≠∂∂

, la ecuación NO es exacta y el método visto aquí no es

aplicable.

4. Resolver xy

xy

xeyye'y−+

=22

Solución: Escribiendo esta ecuación en forma diferencial: (2 + yexy) dx + (xexy –2y) = 0

Aquí M(x,y) = 2 + yexy y N(x,y) = xexy –2y y, como xyxy xyeexN

yM

+=∂∂

=∂∂

, la e.d. es exacta.

Sustituyendo M(x,y) en (4), encontramos xyyexg

+=∂∂ 2 ; luego, integrando con respecto a x,

obtenemos

( )

( ) (yhexy,xg

dxyedxxg

xy

xy

++=

+=∂∂

∫∫2

2

)

Para encontrar h(y) primero derivamos (1) con respecto a y, obteniendo ( )y'hxeyg xy +=∂∂

;

después reemplazamos este resultado junto con N(x,y) en (5): xexy + h’(y) = xexy – 2y h’(y) = – 2y De donde h(y) = –y2 + C1. Sustituyendo esta h(y) en (1) obtenemos G(x,y) = 2x + exy – y2 + C1La solución de la ecuación diferencial se da implícitamente por (6) como 2x + exy – y2 = C2 C2 = C – C1

5. Resolver 212

xxy'y

+−

= , y(2) = – 5

La solución de la e.d. (escrita en forma diferencial se da en el problema 1 como . Usando la condición inicial, obtenemos (2)

22 Cyyx =+

2 (–5) + (–5) = C2, o bien C2 = –25. La solución del

problema de valor inicial es, por lo tanto ( )12525 2

2

+−

=−=+x

y,yyx

Problemas suplementarios Hallar la exactitud de las siguientes e.d. y resolver todas las que sean exactas.

6. (2xy +x) dx + (x2 + y) dy = 0 2222

21

21 Cyxyx =++

7. (y + 2xy3) dx + (1 + 3x2y2 + x) dy = 0 xy + x2y3 + y = C2 8. yexy dx + xexy dy = 0 exy = C2 9. xexy dx + yexy dy = 0 no exacta 10. 3x2y2 dx + (2x3y +4y3) dy = 0 x3y2 + y4 = C2 11. y dx + x dy = 0 xy = C2 12. (x – y) dx + (x + y) dy = 0 no exacta 13. (y senx + xy cosx) dx + (x senx + 1) dy= 0 xy senx + y = C2

Introducción: Si bien la ecuación simple de primer orden es separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial de la función ; es decir, .En esta sección se examinarán ecuaciones de primer orden en la forma diferencial. Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si es una diferencial de una función . Si la respuesta es afirmativa, f se construye mediante integración parcial.

0=+ xdyydx

xyyxf =),( xdyydxxyd +=)(0),(),( =+ dyyxNdxyxM

dyyxNdxyxM ),(),( +),( yxf

Sugerencias para el aprendizaje: El alumno deberá tener conocimiento y dominio de la diferenciación e integración parcial. Así mismo deberá tener dominio suficiente de cálculo de varias variables estudiadas en matemáticas III.

Diferencial de una función de dos variables

En el caso especial cuando , donde c es una constante, entonces la ecuación anterior significa que

cyxf =),(

En otras palabras, dada una familia uniparamétrica de funciones , se puede generar una ecuación diferencial de primer orden calculando la diferencial en ambos lados de la igualdad.

cyxf =),(

Por ejemplo: Si se tiene la siguiente función , entonces la ecuación (1) debe proporcionarnos la ED de primer orden. Es decir,

cyxyx =+− 32 5

(1)

0)35()52( 2 =+−+− dyyxdxyx (2)

Por supuesto, no toda ED de primer orden escrita en forma diferencial corresponde a una diferencial de . Así que resulta más conveniente invertir el problema anterior, es decir, si se tiene una ED de primer orden como la (2).¿Existe alguna forma de reconocer que la expresión diferencial s la diferencial ? En caso afirmativo, entonces una solución implícita de (2) es . Esta pregunta se contestará después de la ver la siguiente definición.

0),(),( =+ dyyxNdxyxM cyxf =),(

dyyxdxyx )35()52( 2+−+− )5( 32 yxyxd +−

cyxyx =+− 32 5

DEFINICIÓ DE ECUACIÓN EXACTA

Una ecuación diferencial es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función definida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la forma Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

dyyxNdxyxM ),(),( +),( yxf

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA

PASO:

PASO:

PASO:

PASO:

EJEMPLO 1: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED

EJEMPLO 2: Hallar el valor de b para que sea exacta la siguiente ED y resolverla por el método de exactas.

SOLUCIÓN:

EJEMPLO 3: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED

0)1(2 2 =−+ dyxxydxSOLUCIÓN: Con , se tiene que: 1),(2),( 2 −== xyxNyxyyxM

xNx

yM

∂∂

==∂∂ 2 Que es una ecuación exacta y, por

consiguiente, existe una función tal que: ),( yxf

12 2 −=∂∂

=∂∂ x

yfyxy

xf Integrando la primera de estas dos ecuaciones

se tiene:

∫ ∫ ∫∫ ∂=∂==∂∂ xxyfxy

xf 22 )(),( 2 ygyxyxf +=

Se saca la derivada parcial de la segunda expresión con respecto a y y luego se iguala el resultado con , se obtiene , despejando se obtiene:

),( yxN 1)( 22 −=′+=∂∂ xygx

yf )(yg′

yygyyg −=−=′ )(1)(

Por consiguiente la solución de la ED en forma implícita es: yyxyxf −= 2),(cyyx =−2

O bien, la solución de la ED en forma explícita es: 11

12 <<−−

= xparax

cy

Nota:

Definición: Una ED de primer orden se dice que no es exacta si sus derivadas parciales no cumplen con el criterio para una diferencial exacta. Es decir, su diferenciales parciales son diferentes:

xN

yM

∂∂

≠∂∂

Definición de factor integrante (F.I.): Es aquel factor que al multiplicar las derivadas parciales de una ED no exacta la convierten en ED exacta, para luego resolverla con el método de las exactas:

Factor integrante (F.I.): Sea la ED

Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas

Ejemplos de algunas formas diferenciales que no son exactas

Teorema del factor integrante (F.I.)

Dos consideraciones importantes para obtener las ED generales por F.I.

EJEMPLO 4: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas.

SOLUCIÓN:

1º Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta

No exacta

2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:

Factorizando se tiene:

3º Paso: Conversión de la ED no exacta en exacta

4º Paso: Aplicación de los 4 pasos (i a iv) del método de solución de las ED exactas.

Paso i): Comprobar si la ED es exacta Exacta

Paso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constante

Paso iii): Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso ii

Despejando g´(y) de la igualdad anterior, se tiene:

Paso iv): Obtener la función g (y)

Paso v): Sustitución del valor de g (y) en el paso ii

Solución general: kccsiendocxyyx −==− 11232 2

EJEMPLO 5: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas.

SOLUCIÓN:

Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales:

Se tiene lo siguiente:

xx eyyce

xyxyc =

−−

→=−−

))0(2())0(3(

)2()3(

xx eyyce

yyc =→=−−

)()(

)0()0(

( ) xx ecec =→=1

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

INSTRUCCIONES: Resolver por el método de las exactas las siguientes ED

0)2cos2()cos( 22 =+−+− dyyxyxxedxxyye yy3.

2.

1.

INSTRUCCIONES: Obtener el F.I. de las siguientes ED no exactas y posteriormente resolverlas por el método de las exactas.

4.

5.

Ejercicios resueltos edo exactas

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